GEOMETRÍA 1º MEDIO Plano Cartesiano Vectores Transformaciones Isométricas

PLANO CARTESIANO

Sistema formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto.

La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

PLANO CARTESIANO

X

Y

Abscisa

Ordenada

Origen

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

PLANO CARTESIANO

X

Y

I CuadranteII Cuadrante

III Cuadrante

IV Cuadrante

(+,+)

(-,+)

(-,-) (+,-)

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

PLANO CARTESIANO

- Representar el punto P=en el plano cartesiano.

X

Y 𝑃 (𝑥1 , 𝑦1)

(0,0)

.

𝑋 1

𝑌 1

“En el Punto, la primera componente representa la X, y la segunda componente representan la Y”

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

PLANO CARTESIANO

• Sus vectores bases NO son ortogonales y tienen distinta longitud (norma)

Sistema Común de Coordenadas

• Sus vectores bases SON ortogonales y tienen distinta longitud (norma)

Sistema Ortogonal de Coordenadas

• Sus vectores bases SON ortogonales y tienen igual longitud (norma)

Sistema Ortonormal de Coordenadas

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

Dependiendo de las condiciones que cumplan los elementos que definen un Sistema de Coordenadas Cartesianas se pueden clasificar en:

PLANO CARTESIANO

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

PLANO CARTESIANO

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

Sistema Ortogonal

PLANO CARTESIANO

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

Sistema Ortonormal

PLANO CARTESIANO

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

Representa en el plano los siguientes puntos:A=(2,2)B=(-2,1)C=(-1,-3)D=(3,-2)

A

B

C

D

Une los puntos ABCD

¿Qué se forma?

Al unir distintos puntos, podemos formas distintas figuras dentro del plano cartesiano

PLANO CARTESIANO

• Ubicamos los puntos cuyas coordenadas representan los vértices del polígono.

Primer Paso

• Unimos con segmentos de rectas los vértices consecutivos.

Segundo Paso

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

Para representar un polígono en el plano cartesiano procedemos de la siguiente forma:

PLANO CARTESIANO

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

A

B

C

D

PLANO CARTESIANO

2• Con 2 puntos del plano podemos formar una circunferencia,

con centro en uno de los puntos y radio la distancia entre ambos puntos.

3• Con 3 puntos del plano podemos representar un triángulo.

4• Con 4 puntos del plano podemos representar un cuadrilátero.

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

Polígonos básicos que se pueden representar en el plano cartesiano

PLANO CARTESIANO

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

Ejemplo:Representa en el plano los siguientes puntos:C= OrigenD= (2,1)Y con ellos dibuja una circunferencia.

C

D

Caso 1: Con centro en C

PLANO CARTESIANO

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

Ejemplo:Representa en el plano los siguientes puntos:C= OrigenD= (2,1)Y con ellos dibuja una circunferencia.

C

D

Caso 2: Con centro en D

PLANO CARTESIANO

• Triángulo equilátero y/o isósceles.

• Cuadrado o Rombo. 2 puntos

• Cuadrilátero.3 puntos

Partes

Cuadrantes

Puntos en el plano

Clasificación de Sistemas de coordenadas

Representación de polígonos en el plano.

Si trabajamos con regla y compás podemos representar además…

ÁREAS Y PERÍMETROS

16 de mayo 2013

ÁREAS Y PERÍMETROS

Área Perímetro

Cuadrilátero

• Es la suma de los lados de una figura geométrica. Es su contorno.Perímetro

• Es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior.

Área

¿Qué es el área y el perímetro?

LAS FORMULAS MÁS CONOCIDAS

Figura Geométrica ÁreaPerímetro

LAS FORMULAS MÁS CONOCIDAS

Figura Geométrica ÁreaPerímetro

LAS FORMULAS MÁS CONOCIDAS

Figura Geométrica ÁreaPerímetro

ÁREAS Y PERÍMETROS

¿CÓMO CALCULAR ÁREAS Y PERÍMETROS EN EL PLANO CARTESIANO?

A

B

C

D

Teorema de Pitágoras

𝑎2+𝑏2=𝑐2

Calcule el perímetro del cuadrado utilizando Pitágoras.

A

B

C

D

Distancia entre puntos

𝑑=√ (𝑥2−𝑥1 )2+( 𝑦2− 𝑦1 )2

Calcule el área del cuadrado utilizando distancia entre puntos.

A B

C

Punto medio

𝑃𝑡𝑜 .𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜=( 𝑥1+𝑥2

2;𝑦1+𝑦 2

2 )Calcula el punto medio del segmento

Ejercicios

Representar en los ejes cartesianos los puntos, indicar que polígono es y calcular perímetro y superficie.

• A= (-4;-2), B= (-2; 4), C= (3; 4) y D= (7; -2).• A= (-2;-2), B= (-2; 4), C= (3; 4) y D= (3; -2).• A= (-2; 0), B= (0; 3), C= (2; 0) y D= (0; - 5).• A= (-2;-1), B= (-2; 4), C= (3; 4) y D= (3; -1).• A= (-1;0), B= (3/2; 3/2), C= (2;0) y D= (0;-1)

Desafío: (Canjeable por 5 décimas para la prueba)Ubiquen en un sistema de ejes los puntos A= (1; 1) y B= (3; 4). Determinen y ubiquen gráficamente las coordenadas de un punto C, para que en el plano

quede dibujado un triángulo rectángulo. Calculen el perímetro y el área de la figura determinada. Si se pintara el 60% del área del triángulo. ¿Cuántos cm² quedarían sin pintar? Escriban utilizando una fracción la parte del área que se desea colorear.

VECTORES

¿Qué es un vector?

Es un segmento orientado.

Un vector queda determinado por dos

puntos, origen A y extremo B.

Ele

men

tos

de u

n V

ecto

rMódulo Es la distancia entre A y B y se

designa como:

DirecciónEs la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la de todas

sus paralelas.

Sentido Si va de “A” a “B” o de “B” a “A”.

Coordenadas de un vector:

Las coordenadas cualquier vector se obtienen restándole a las coordenadas del extremo B

las del origen A

�⃗�=(𝒙𝟐−𝒙𝟏 ,𝒚𝟐−𝒚𝟏)

�⃗�+ �⃗�=(𝑢1,𝑢2 )+ (𝑣1 ,𝑣2)=(𝑢1+𝑣1 ,𝑢2+𝑣2)

Resta de vectores �⃗�−𝑣=(𝑢1 ,𝑢2 )− (𝑣1 ,𝑣2 )=(𝑢1−𝑣1 ,𝑢2−𝑣2 )

𝑘× �⃗�=(𝑘×𝑢1 ,𝑘×𝑢2)

Suma de vectores

Multiplicación de un vector por un escalar

Operatoria de Vectores

Sean y 2 vectores cualquiera, obtenemos que:

Suma de vectores:

Ejemplo: Sea y vectores, calcular la suma de los vectores y .

Resta de vectores:

Ejemplo: Sea y vectores, calcular la resta de los vectores y .

Multiplicación de un vector por un escalar:

Ejemplo: Sea vector y un número, calcular 2.

Transformaciones Isométricas

SIMETRÍAS Y ROTACIONES en el Plano Cartesiano

Transformaciones Isométricas

Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones y el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

La palabra isometría tiene su origen en el griego iso(igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.

Traslaciones Rotaciones Reflexiones

Se obtiene conun vector (i, j)

Se obtiene con un ángulo de giro

Se obtiene en torno a un eje de simetría

o a un centro.

Transformaciones Isométricas

Transformaciones Isométricas

SIMETRÍA AXIAL

Cada punto de una figura se refleja respecto de una línea recta llamada Eje de Reflexión o Simetría.

Todo punto original y su reflejo mantienen la misma distancia con respecto al eje de reflexión.

La línea que une un punto cualquiera con su imagen es perpendicular al eje de reflexión.

:

´ equidistan de la recta L ´

´ equidistan de la recta L ´

´ equidistan de la recta L ´

L eje de simetría

A y A AA L

B y B BB L

C y C CC L

Reflexiones con los ejes cartesianosReflexión con respecto al

eje YReflexión con respecto al

eje X

(5,1) (́ 5,1)

(4,5) (́ 4,5)

(1,5) (́ 1,5)

A A

B B

C C

(5,1) (́5, 1)

(4,5) (́4, 5)

(1,5) (́1, 5)

A A

B B

C C

En el plano cartesiano, la imagen de un punto que se refleja con respecto al eje X corresponde a . Si la reflexión se realiza con respecto al eje Y, la imagen de P resulta

EN SÍNTESIS

SIMETRÍA CENTRAL

Es una transformación isométrica en que un punto se refleja con respecto a otro punto fijo llamado centro de simetría.

Para cualquier punto y su imagen se cumple que el centro de simetría es el punto medio del segmento que los une.

,́ ,́ ,́ .́

A es el centro de simetría y punto medio

de los segmentos AA BB CC DD

SIMETRÍA CENTRAL CON RESPECTO AL ORIGEN.

¿Qué relación hay entre las coordenadas de los vértices del triángulo original y su imagen?

En el plano cartesiano es posible realizar una simetría central con respecto a cualquier punto.

(2,2) (́ 2, 2)

(4,2) (́ 4, 2)

(2,5) (́ 2, 5)

A A

B B

C C

EN SÍNTESIS

En el plano cartesiano, la imagen de un punto que se refleja con respecto al origen es .

Transformaciones IsométricasTraslaciones y rotaciones en el Plano Cartesiano

Traslaciones es el Plano Cartesiano

Corresponde al desplazamiento de un punto o figura indicando el sentido, dirección y magnitud de la traslación utilizando un vector

Ejemplo:

¿Cuáles son las imágenes de los vértices del polígono ABC?

Vértices Traslación respecto Vértices

A(1,-2) A´(1+ -3, -2+3) A´(-2,1)

B(4,-1) B´(4+ -3, -1+3) B´(1,2)

C(3,2) C´(3+ -3, 2+3) C´(0,5)

En el plano cartesiano, la imagen de un punto P(x,y) que se traslada según un vector corresponde a : P´(x+a, y+b).

( , )a bv PPPPPPPPPPPPPP

EN SÍNTESIS

ROTACIONES

Cada punto de una figura gira en torno a otro punto fijo, llamado centro de rotación, en cierto ángulo dado.

En una rotación siempre se debe verificar que las distancias desde un punto P y su imagen P´ al centro de rotación sean iguales.

Rotaciones en el plano cartesiano, con centro en el origen

Compara las coordenadas de los vértices según las rotaciones de:

EN SÍNTESIS

En el plano cartesiano, la imagen de un punto que rota en con centro en el origen corresponde a .

En el plano cartesiano, la imagen de un punto que rota en con centro en el origen corresponde a .

En el plano cartesiano, la imagen de un punto que rota en con centro en el origen corresponde a .