Post on 28-Oct-2018
Geometría de SeñalesEspacios de Hilbert y
aproximaciones
● Teorema de Parseval y Conservación de la Norma.
● Aproximaciones por proyección
● Ejemplos
Temario
Teorema de Parseval ● Sea x la representación de un vector con base en un sistema coordenado formado por K vectores w(k)
:
● Si la combinación lineal del conjunto w(k) representa un
sistema ortonormal entonces:
Geometría Euclidiana
x = ∑k =0
K −1
αk w(k ), αk∈ℂ
∥x∥2 = ∑k =0
K −1
∣αk∣2
Teorema de Parseval ● Generalización del teorema de Pitágoras
Geometría Euclidiana
hb
a
h2 = a2 + b2
Teorema de Parseval ● Generalización del teorema de Pitágoras
Geometría Euclidiana
∥x∥= hb = α1e1
a = α0 e0
∥x∥2 = α02 + α1
2
h2 = a2 + b2
Teorema de Parseval ● Ejemplo: Sist. Coordenado
Geometría Euclidiana
E = {e(0 ) , e(1)}
x = α0 e(0 )+α1e(1)
x
e(0 )
e (1 )
ℝ²
Teorema de Parseval ● Ejemplo: Sist. Coordenado
● Nuevo Sist. Coordenado V
Geometría Euclidiana
E = {e(0 ) , e(1)}
v (0 )
V = {v(0 ) , v(1)}
x = α0 e(0 )+α1e(1)
θ
xℝ²
v (1 )
Teorema de Parseval ● Ejemplo: Sist. Coordenado
● Nuevo Sist. Coordenado V
donde:
Geometría Euclidiana
E = {e(0 ) , e(1)}
v (0 )
V = {v(0 ) , v(1)}
x = α0 e(0 )+α1e(1)
θ
v(0 ) =[ cosθ senθ]T
v(1 ) = [- sinθ cos θ]T
xℝ²
v (1 )
Teorema de Parseval ● Ejemplo: Sist. Coordenado
● Nuevo Sist. Coordenado V
donde:
Geometría Euclidiana
E = {e(0 ) , e(1)}
v (0 )
V = {v(0 ) , v(1)}
x = α0 e(0 )+α1e(1)
θ
v(0 ) =[ cosθ senθ]T
v(1 ) = [- sinθ cos θ]T
xℝ²
x = β0 v (0 )+β1 v (1)
v (1 )
Teorema de Parseval ● Con el nuevo Sist. ortonormal :
● de manera compacta :
● con como la matriz de rotación entre los sistemas original (o) y el rotado (r)
Geometría Euclidiana
v (0 )
v (1 )
V = {v(0 ) , v(1)}
θ
xℝ²
β0 = ⟨ v(0 ), x⟩
β1 = ⟨v(1 ) , x ⟩
[β0
β1] = [ cos θ senθ
- sen θ cos θ ] [α0α1 ] = Ro
rα
Ron
Teorema de Parseval - Comprobación● Norma cuadrada en el sistema ortonormal:
● Norma cuadrada en el sistema rotado :
● Verificación :
Geometría Euclidiana
∥x∥2 = α02 + α1
2
= ( Ror
α)T Ro
rα
β02+ β1
2= [β0β1 ] [β0
β1] = βT
β
∥x∥2 =β02 +β1
2
= αT( Ro
r)
T Ror
α
Teorema de Parseval - Comprobación● Norma cuadrada en el sistema ortonormal:
● Norma cuadrada en el sistema rotado :
● Verificación :
Geometría Euclidiana
∥x∥2 = α02 + α1
2
= ( Ror
α)T Ro
rα
β02+ β1
2= [β0β1 ] [β0
β1] = βT
β
∥x∥2 =β02 +β1
2
= αT( Ro
r)
T Ror
αR T R = I
Teorema de Parseval - Comprobación● Norma cuadrada en el sistema ortonormal:
● Norma cuadrada en el sistema rotado :
● Verificación :
Geometría Euclidiana
∥x∥2 = α02 + α1
2
= ( Ror
α)T Ro
rα
β02+ β1
2= [β0β1 ] [β0
β1] = βT
β
∥x∥2 =β02 +β1
2
= αT( Ro
r)
T Ror
α
= αT
α
α02+ α1
2= [ α 0α1 ] [
α0α1 ]= α
Tα
Teorema de Parseval - Comprobación● Norma cuadrada en el sistema ortonormal:
● Norma cuadrada en el sistema rotado :
● Verificación :
Al ser comprobable para 2D
por lo tanto también es válido en nD
Geometría Euclidiana
∥x∥2 = α02 + α1
2
= ( Ror
α)T Ro
rα
β02+ β1
2= [β0β1 ] [β0
β1] = βT
β
∥x∥2 =β02 +β1
2
= αT( Ro
r)
T Ror
α
= αT
α
α02+ α1
2= [ α 0α1 ] [
α0α1 ]= α
Tα
Teorema de Parseval - Significado
● Cualquier vector representado en un sistema coordenado ortonormal conservará sus características en el caso que se le observe en cualquier otro sistema ortonormal propuesto.
● Conservación de la Norma del cualquier vector así como de sus Distancias.
● Los otros sistemas coordenados unitarios (sistemas ortonormales) son producto de traslaciones, reflexiones o rotaciones.
Geometría Euclidiana
v(0 )
θ
xℝ²v(1 )
Aproximaciones
● Vector x ∈ V
● Subespacio S ⊆ V
Geometría Euclidiana
e0
e1
ℝ³
e2
x
S → {e0 , e2}V
Aproximaciones
● Vector x ∈ V
● Subespacio S ⊆ V
● Aproximación de x mediante ∈ S
(Proyección ortogonal de x sobre el plano S )
Geometría Euclidiana
e0
e1
ℝ³
e2
x
x̂S
x̂
S → {e0 , e2}V
Aproximaciones
¿ Como se logra obtener la proyección ?
● Se toma una base ortonormal para S :
● Se realiza la proyección ortogonal con la fórmula de expansión:
● La proyección generada, resultará la mejor aproximación de x sobre el plano definido por S.
Geometría Euclidiana
{S(k ) } k=0,1, ... , K−1
x̂ = ∑k =0
K −1
⟨s(k ), x⟩ s(k)
Minimización de la norma cuadrática
del error
Aproximaciones
● La proyección ortogonal minimiza la norma del error :
● El error es ortogonal a la aproximación :
Geometría Euclidiana
⟨ x−x̂ , x̂ ⟩ = 0
arg miny ∈ S
∥x−y∥= x̂
Aproximaciones
● La proyección ortogonal minimiza la norma del error :
● El error es ortogonal a la aproximación :
Geometría Euclidiana
x
⟨ x−x̂ , x̂ ⟩ = 0
s ⊆ V
arg miny ∈ S
∥x−y∥= x̂
V
Aproximaciones
● La proyección ortogonal minimiza la norma del error :
● El error es ortogonal a la aproximación :
Geometría Euclidiana
x
⟨ x−x̂ , x̂ ⟩ = 0
s ⊆ V
arg miny ∈ S
∥x−y∥= x̂
V
Aproximaciones
● La proyección ortogonal minimiza la norma del error :
● El error es ortogonal a la aproximación :
Geometría Euclidiana
x
⟨ x−x̂ , x̂ ⟩ = 0
s ⊆ V
arg miny ∈ S
∥x−y∥= x̂
V
Aproximaciones
● La proyección ortogonal minimiza la norma del error :
● El error es ortogonal a la aproximación :
Geometría Euclidiana
x
⟨ x−x̂ , x̂ ⟩ = 0
s ⊆ V
arg miny ∈ S
∥x−y∥= x̂
V
Aproximaciones
● La proyección ortogonal minimiza la norma del error :
● El error es ortogonal a la aproximación :
Geometría Euclidiana
x
⟨ x−x̂ , x̂ ⟩ = 0
s ⊆ V
arg miny ∈ S
∥x−y∥= x̂
V
Aproximaciones
● La proyección ortogonal minimiza la norma del error :
● El error es ortogonal a la aproximación :
Principio de ortogonalidad
Geometría Euclidiana
x
⟨ x−x̂ , x̂ ⟩ = 0
s ⊆ V
x̂
arg miny ∈ S
∥x−y∥= x̂
V
Aproximaciones
● El Principio de ortogonalidad
Geometría Euclidiana
⟨ x−x̂ , x̂ ⟩ = 0
x
s ⊆ V
x̂
V
x− x̂
Aproximaciones
● El Principio de ortogonalidad
Geometría Euclidiana
⟨ x−x̂ , x̂ ⟩ = 0
x
s ⊆ V
x̂
V
x− x̂
Ejemplo: Aproximación polinomial
● Definición de un sub-espacio de polinomios dentro del espacio de Hilbert de señales continuas en L
2 [-1, 1].
● La definición del sub-espacio se establece usando un sistema coordenado con la definición más obvia:
● Sin embargo este sub-espacio no es ortogonal
Geometría Euclidiana
P N [−1,1] ⊂ L2 [−1,1]
s (k ) = t k , k=0, 1, ..., N-1 : {1, t ,t² , t³ , ...}
Espacios de Hilbert
Aproximación polinomial en LN
[-1, 1]
s( k )
={1, }
Espacios de Hilbert
Aproximación polinomial en LN
[-1, 1]
s( k )
={1, t , }
Espacios de Hilbert
Aproximación polinomial en LN
[-1, 1]
s( k )
= {1, t , t² , }
Espacios de Hilbert
Aproximación polinomial en LN
[-1, 1]
s( k )
={1, t , t² , t³ , }
Espacios de Hilbert
Aproximación polinomial en LN
[-1, 1]
⟨1 , t² ⟩[−1,1]
≠0
⟨1 , t² ⟩ =∫−1
1
1⋅t² dt
Espacios de Hilbert
Aproximación polinomial en LN
[-1, 1]
⟨1 , t² ⟩[−1,1]
≠0
⟨ x , y⟩ =∫−1
1
x (t) y(t) dt
NO es
ortogonal
!!!
⟨1 , t² ⟩ =∫−1
1
1⋅t² dt
Polinomios de Legendre● Provienen de la solución de la ecuación diferencial de Legendre. La serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre.
Geometría Euclidiana
u(0 ) = 1u(1 ) = tu(2 ) = 1 /2 ( 3t²−1)
u(3 ) = 1/ 2 (5t³ −3t)u(4 ) = 1 /8 ( 35t⁴−30t² + 3) ...
s( k)
= {1, t , t² , t³ , }
Espacios de Hilbert
Polinomios de Legendre en PN
[-1, 1]
s( k )
={1,. ..}
Espacios de Hilbert
Polinomios de Legendre en PN
[-1, 1]
s( k )
={1, t , ...}
Espacios de Hilbert
Polinomios de Legendre en PN
[-1, 1]
s( k )
= {1, t , t² , ...}
Espacios de Hilbert
Polinomios de Legendre en PN
[-1, 1]
s( k )
= {1, t , t² , t³ , ... }
Espacios de Hilbert
Polinomios de Legendre en PN
[-1, 1]
s( k )
= {1, t , t² , t³ , t⁴ , ...}
Espacios de Hilbert
Polinomios de Legendre en PN
[-1, 1]
⟨ s(k ) , s( n)⟩ = δ[ n − k ]
Espacios de Hilbert
Polinomios de Legendre en PN
[-1, 1]
⟨1 , t² ⟩[−1,1]
=0
⟨1 , t² ⟩ =∫−1
1
1⋅t² dt
Polinomios derivados de Gram-Schmidt● Derivado de los polinomios de Legendre, el algoritmo de Gram-Schmidt puede ortonormalizar un sistema dado mediante el uso del producto interno (e.g. los polinomiales {1, x, x2,...}) . El sistema coordenado resultante será un sistema ortonormal para el intervalo P
N [-1, 1].
Geometría Euclidiana
s(1 ) s ⊆ V
s(0 )
Polinomios derivados de Gram-Schmidt● Derivado de los polinomios de Legendre, el algoritmo de Gram-Schmidt puede ortonormalizar un sistema dado mediante el uso del producto interno (e.g. los polinomiales {1, x, x2,...}) . El sistema coordenado resultante será un sistema ortonormal para el intervalo P
N [-1, 1].
Geometría Euclidiana
s(1 ) s ⊆ V
⟨u( 0) ,s
( 1) ⟩u( 0 )
s(0 )
u( 0)
Polinomios derivados de Gram-Schmidt● Derivado de los polinomios de Legendre, el algoritmo de Gram-Schmidt puede ortonormalizar un sistema dado mediante el uso del producto interno (e.g. los polinomiales {1, x, x2,...}) . El sistema coordenado resultante será un sistema ortonormal para el intervalo P
N [-1, 1].
Geometría Euclidiana
s(1 ) s ⊆ V
⟨u( 0) ,s
( 1) ⟩u( 0 )
s(0 )
u( 0)
p(1 )
u( 1)
Polinomios derivados de Gram-Schmidt● El sistema coordenado ortonormal resultante para el intervalo P
N [-1, 1].
Geometría Euclidiana
u(0) = √(1/ 2 )
u(1) = √ (3 / 2) t
u(2) = √(5 / 8)(3t²−1)
u(3 )
= ...
Espacios de Hilbert
Polinomios Gram-Schmidt en PN
[-1, 1]
s( k )
= {1, t , t² , ...}
Proyección ortogonal sobre P3 [-1, 1]
● Ahora con el sistema ortonormal calculado mediante el algoritmo Gram-Schmidt se pueden generar una aproximación a una señal No polinomial (e.g.: seno)
Geometría Euclidiana
α 0 = ⟨√1 / 2 ,sin ( t) ⟩ = 0
αk = ⟨u (k ) , x ⟩ = ∫−1
1
uk (t ) sin(t ) dt
α 1 = ⟨√3 / 2 t , sin( t )⟩ ≈0.7377
α 2 = ⟨√5 / 8(3t²−1) , sin( t )⟩ = 0 ...
Proyección ortogonal sobre P3 [-1, 1]
● Usando la proyección ortogonal en el espacio P3 [-1,1]
se obtiene que una aproximación estará representada por:
● Si por el contrario se usa la serie de Taylor
Geometría Euclidiana
sin (t ) = α1 u( 1) ≈ 0.9035t
sin (t )≈ t
Espacios de Hilbert
Proyección ortogonal sobre P3 [-1, 1]
Aproximación del seno
sin(t)t
0.9035 t
Espacios de Hilbert
Proyección ortogonal sobre P3 [-1, 1]
Error de Aproximación del seno
∣sin(t) - t∣∣sin (t)−0.9035 t∣
Proyección ortogonal sobre P3 [-1, 1]
● La norma del error de la proyección ortogonal sobre el espacio P
3 [-1,1] resulta en:
● El error correspondiente a la aproximación por serie de Taylor:
Geometría Euclidiana
∥sin( t )−α 1 u( 1)∥≈ 0.0337
∥sin( t )−t ∥≈ 0.0857
Alcances de lo visto● Aplicables a señales periódicas y de longitud finita contenidas en ℂN .
● Aplicable a señales de longitud finita contenidas en ℓ2(ℤ).
● El uso de distintos sistemas coordenados permite observar el comportamiento de la señal dentro de distintas perspectivas.
● Las proyecciones en sub-espacios permite tratar las señales en términos de técnicas de compresión y filtrado.
Resumen Geometría Euclidiana