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CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR
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GUÍA DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
GUIA # 1 CONJUNTOS
SÍMBOLOS
= Llaves, que indican conjunto
= slach, que significa tal que, (tales que)
= pertenece, se utiliza para indicar que un elemento forma parte de un
Conjunto determinado.
= no pertenece, sirve para indicar que un elemento no esta en un conjunto
dado.
= contenencia sirve para indicar que un conjunto es subconjunto de propio
de otro.
= no contenencia, con el se indica que es un conjunto no es un subconjunto
propio de otro.
= fi, indica el conjunto vació.
U = nos indica el conjunto universal.
= nos da a entender la unión entre dos o mas conjuntos.
= nos indica la intersección entre dos o mas conjuntos.
= o, disyunción.
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= y, conjunción.
, = complemento de A.
= diferencia simétrica o triangular.
__ = diferencia.
= producto cartesiano.
n A = números de elementos de A.
n BA = números de elementos de la unión B.
~ = no negación.
= entonces implica condicional.
= si solo si, equivale ó bi condicional.
= existe un , cuantificador existencial.
= para todo , cuantificador universal.
= paréntesis internos.
= paréntesis externos.
F = indicativo de proposición falsa
V = indicativo de proposición verdadera
= su lectura depende de donde este ubicada la variable a leer
P = existe un que cumpla una condición dada.
P = existe toda que cumpla una condición.
= conjunto de números naturales
Z = conjunto de números enteros
Q = conjunto de números racionales
= conjunto de números irracionales
R = conjunto de números reales
C = conjunto de números complejos
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2.1 Definiciones
2.1.1 Conjunto: es la colección de objetos especificados en tal forma que se puede
firmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la colección. Es importante
hacer notar que cuando se listan los elementos de un conjunto no debe aparecer un
elemento más de una vez dentro de la lista.
Notación: se usan letras mayúsculas para darles un nombre. Igualando la letra a una
serie de objetos, estos son encerrados entre { } y la lista de objetos es separada por
comas. Por lo que se dice que un conjunto se describe ya sea listando todos sus
elementos entre llaves. O bien encerrando entre llaves una regla que determina los
elementos del conjunto. En este caso se emplea | que significa "tales que" o "tal que".
En forma simbólica:
A = {X | P(X)} = {X1, X2,…..}
Significa A es el conjunto de todas las X tales que P(X) es verdadera, como X1, X2, etc.
Ejemplos:
a) A = Conjunto de animales
A = {perro, gato, tigre}
Significa A es el conjunto de los animales, perro, gato y tigre.
b) S = {X | X es el nombre de un varón} = {Pedro, Omar, Jorge}
Significa A es el conjunto de nombres de varones, como Pedro, Omar, Jorge.
2.1.2 Miembro o Elemento del Conjunto: es cada uno de los objetos de un conjunto.
Ejemplos: a) En el conjunto A = {perro, gato, tigre}, el miembro 1 o elemento 1 es perro; el
miembro 2 o elemento 2 es gato; y el miembro 3 o elemento 3 es tigre.
b) S = {X | X es un dedo de la mano}
Significa que S es el conjunto de todas las X tales que X es un dedo de la mano.
2.1.3 Pertenencia: cuando un elemento es o pertenece a un conjunto dado.
Notación: Si "a" es un elemento del Conjunto A, y si "g" no es un elemento del
Conjunto A, en forma simbólica se expresa como:
a A
g A
Ejemplos: a) En el conjunto A = {perro, gato, tigre}, se encuentra el perro por lo que se dice que
"perro es un elemento del Conjunto A".
b) Y también puede decirse que "la flor no es un elemento del Conjunto A".
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2.2 Conjuntos con Nombres Específicos
2.2.1 Conjunto Vació o Nulo: es aquel conjunto que no tiene elementos.
Notación: Se representa por una .
Ejemplos: a) S = { }
b) S = {X | X es un dinosaurio haya sobrevivido hasta la era moderna}
c) S = {X | X2 = 3 y además x es un número entero}
2.2.2 Conjunto Finito: es el conjunto cuyos elementos pueden ser contados.
Ejemplos: a) S = {X | X es el número de un día del mes de agosto}.
b) S = {X | X2 = 4}
2.2.3 Conjunto Infinito: es el conjunto cuyos elementos no pueden ser contados, es
decir si se intenta contarlos nunca se terminaría.
Ejemplos: S = {1, 3, 5, 7,…..}
S = {X | X es un punto sobre la recta numérica}
2.3 Métodos para representar un conjunto
2.3.1 Método de la Regla: como su nombre los dice se encierra entre llaves una regla
que determina los elementos del conjunto. Donde regla son los principios que rigen al
conjunto.
2.3.2 Método del Listado: se listan todos los elementos del conjunto y se encierran
entre llaves.
Ejemplos:
Regla Listado
S = {X | X es un día de la semana} S = {Sábado, Domingo}
S = {X | X 2 = 9} S = {-3, 3}
S = {X | X es un número natural impar positivo } S = {1, 3, 5}
S = {X | X es un animal doméstico} S = {perro, gato}
S = {X | X es un dedo de la mano} S = {meñique, anular}
S = {X | X es el número de un día del mes de agosto} S = {1, 2, 3, 4, ….., 29, 30, 31}
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Problema: Sea G el conjunto de todos los números tales que x
2 = 16
a) Especifique G por el método de la regla
b) Especifique G por el método del listado
Indique si lo siguiente es verdadero (V) o falso (F)
c) 3 G
d) 9 G
e) -4 G
Solución:
Regla Listado
a) S = {X | X 2 = 16} b) S = {-4, 4}
c) 3 G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Falso = F
d) 9 G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V
e) -4 G Como -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V
f) -2 G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V
2.4 Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, se dice que
A es un subconjunto de B.
Notación: A B significa "A es un subconjunto de B".
Si no todos los elementos de un conjunto A es elemento del conjunto B, se dice que A
no es un subconjunto de B.
Notación: A B significa "A no es un subconjunto de B".
Nota Importante: el conjunto vació es un subconjunto de todo conjunto. Por lo que si A
es cualquier conjunto, entonces A.
Ejemplos:
a) Si A es el Conjunto nombres de seres humanos y B es el Conjunto de nombres de
mujeres, entonces : B A
b) Si A es el Conjunto nombres de seres humanos y B es el Conjunto de nombres de
flores, entonces : B A
c) Si A es el conjunto de todas las mujeres estudiantes de un grupo y B es el conjunto de
todo el grupo, entonces : A B
d) Si A es el conjunto de todas las mujeres profesionistas y B es el conjunto de un grupo
de estudiantes, entonces : A B, ni B A.
Problema: Liste todos los subconjuntos del conjunto A = {a, b, c}
Solución: { a, b, c }, { a, b }, { a, c }, { b, c}, { a }, { b }, { c},
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2.5 Igualdad de los conjuntos
Si el conjunto A y el conjunto B tienen exactamente los mismos elementos se dice que
los dos conjuntos son iguales. Se emplea en forma común el símbolo ==> para indicar
"implica".
Notación: A = B significa "A es igual a B porque A y B tienen exactamente los mismos
elementos".
Ejemplos: a) A = {Paty, Jorge, Rafa}; B = {Paty, Jorge, Rafa} ==> A = B
b) A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {| X es un número del 1 al 5} ==> A = B
c) A = {X | X2 = 9}; B = {-3, 3} ==> A = B
2.6 Desigualdad de los conjuntos
Si el conjunto A y el conjunto B no tienen exactamente los mismos elementos se dice
que los dos conjuntos son diferentes.
Notación: A B significa "A es diferente a B porque A y B no tienen exactamente los
mismos elementos".
Ejemplos: a) A = {Patricia, Jorge, Rafa}; B = {Patricia, Jorge, Raquelito} ==> A B, porque
Rafa y Raquelito son diferentes personas.
b) A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {10, 20, 30, 40, 50} ==> A B
c) A = {X | X2 = 9}; B = {-2, 2} ==> A B
Problema: Se tiene el conjunto A de todas las mujeres estudiantes de un grupo y el conjunto B de
todo el grupo que es mixto, y que está formado por: Ana, Beto, Cecilia, Daniel,
Esperanza:
a) Especifique A por el método de la regla
b) Especifique A por el método del listado
c) Especifique B por el método de la regla
d) Especifique B por el método del listado
Indique si lo siguiente es verdadero (V) o falso (F)
e) Jimena A
f) Tito A
g) Beto B
h) manzana B
i) B A
j) A B
k) A B
l) B = A
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Solución:
Regla Listado
a) A = {X | X es mujer estudiante de
un grupo}
b) A = {Ana, Cecilia}
c) B = {X | X es un grupo mixto de
personas}
d) B = {Ana, Beto, Cecilia, Daniel,
Esperanza}
e) Jimena A. Dado que Jimena no se encuentra en lista b) ==> Jimena A ==> F.
f) Tito A. Dado que Tito no se encuentra en lista b) ==> Tito A ==> V.
g) Beto B. Dado que Beto se encuentra en lista d) ==> Tito B ==> V.
h) manzana B. Dado que manzana es fruta y no se encuentra en lista b) manzana
B ==> F.
i) B A. Dado que B contiene 5 personas y A solo dos ==> B A ==> F.
j) A B. Dado que A tiene dos personas que se encuentran en la lista del conjunto B
==> A B ==> F.
k) A B. Dado que A tiene dos personas y B tiene 5 personas ==> A B ==> V.
l) B = A. Dado que A tiene dos personas y B tiene 5 personas ==> A B ==> F.
2.7 Conjunto Universal
Es el conjunto de todos los elementos bajo consideración.
Notación: el conjunto universal se representa por "U".
Nota Importante: el resto de los conjuntos de la discusión deben ser subconjuntos de U.
Ejemplos: a) Si U = {X | X son los días de la semana}; A = {X | es semana inglesa}; B = {X | es
día impar (empezando con lunes)} y C = {X | X es el número de letras del día
correspondiente y X < 9}, entonces:
U = {X | X son los días de la semana} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado, domingo}
A = {X | es semana inglesa} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes};
B = {X | es día impar (empezando con lunes)} = {lunes, miércoles, viernes, domingo}
C = {X | X es el día de la semana, cuya palabra tiene un número de letras menor que 9}
= {lunes, martes, jueves, viernes, sábado, domingo}, y puede concluirse que:
A U, B U, C U
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2.8 Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn son ayudas útiles para visualizar las relaciones entre conjuntos.
Notación: se dibuja un rectángulo que representa al conjunto universal. Un conjunto
específico A se representa por medio de un círculo. Donde A U y se grafica de la
siguiente manera:
2.9 Operaciones elementales de Conjuntos
2.9.1 Unión
La unión de los Conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos de A y todos los
elementos de B. La Unión puede ser entre dos o más conjuntos.
Notación: la forma simbólica de representar A unión B es:
= {X | X A o bien X B}
Aquí se emplea la partícula (letra) "o" en la forma en que siempre se ha utilizado en
matemáticas; es decir, x puede ser un elemento del conjunto A, o bien del conjunto B, o
bien de ambos.
En diagramas de Venn:
Nota Importante: cuando se resuelven problemas generalmente la unión está asociada a
la palabra "o".
Ejemplos: a) Si A = {2, 7, 8}, B = {3, 5, 9}, entonces:
= {2, 3, 5, 7, 8, 9} Son los elementos que estén en A o que estén en B.
En Diagramas de Venn:
b) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces:
= {Guillermo, Jorge, Kelvin, Luga, María, Tere}
En Diagramas de Venn:
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2.9.2 Intersección
La Intersección es entre dos o más conjuntos. Así la Intersección de los Conjuntos A y
B, es el conjunto de los elementos del conjunto A que también pertenecen al conjunto
B.
Notación: la forma simbólica de representar A Intersección B es:
= {X | X A y X B}
Aquí se emplea la partícula "y" en la forma en que siempre se ha utilizado en
matemáticas; es decir, x es un elemento que pertenece al conjunto A y también
pertenece al conjunto B, es decir pertenece a ambos conjuntos.
En diagramas de Venn:
2.9.3 Conjuntos Ajenos o Disjuntos
Cuando dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, su intersección es vacía. En
este caso se dice que los conjuntos A y B son ajenos o disjuntos, es decir:
A B =
Nota Importante: cuando se resuelven problemas generalmente la intersección está
asociada a la palabra "y".
Ejemplos: a) Si A = {2, 7, 8}, B = {3, 5, 9}, entonces:
=
En diagramas de Venn:
b) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces:
= {Tere}
En diagramas de Venn:
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2.9.4 Complemento
El complemento de A (con relación a U), que se representa como A', es el conjunto de
los elementos de U que no son de A.
Notación: la forma simbólica de representar A' es:
A' = {X U | X A}
A' En diagramas de Venn:
Ejemplo: a) Si U = {2, 3, 5, 7, 8, 9}, y A = {2, 7, 8} entonces:
A' = {3, 5, 9}
En diagramas de Venn:
EJEMPLO FINAL
Si A = {c, f, i}; B = {c, d, e, f, g}, y C = {d, e, g}, entonces:
a) = {c, d, e, f, g, i} y en diagrama de Venn:
b) = {c, f} y en diagrama de Venn:
c) = porque A y C son ajenos y en diagrama de Venn:
d) C' con relación a B es C' = {c, f} y en Diagrama de Venn:
e) = {d, e, g} y en diagramas de Venn: Puede notarse en la figura anterior que
= C.
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f) C B y en diagramas de Venn: Puede notarse en la figura anterior que (C B)
= = C
g) A B
h) ( ) B y en diagramas de Venn:
2.9.5 Diferencia A - B
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos de
A que pertenecen a A, pero no pertenecen a B.
Notación: La forma simbólica de representar la diferencia de los conjuntos A y B es:
A - B = {X | X A y X B}
A - B y B-A en diagramas de Venn:
En la siguiente figura A - B se representa por el área oscura; B - A por el área clara
y por el área gris del centro.
Notas Importantes a cerca de A - B: Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes operaciones:
a) A - B = A B' = B' - A'
b) A - B = , si y solo si, A B
c) A - B = B - A, si y solo si, A = B
d) A - B = A, si y solo si, A B =
e) (A - B) A
f) Los conjuntos (A - B), A B y (B-A) son mutuamente disjuntos, es decir, la
intersección de dos conjuntos cualesquiera es vacía.
Ejemplo: a) Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S - T = {a, c}
b) Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}. Entonces A - B = {2, 4, 5} y
puede decirse que {2, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} ===> (A - B) A
c) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces:
A - B = {María, Jorge, Luga}
En diagramas de Venn:
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2.10 Leyes de operaciones con conjuntos
Se listan a continuación las leyes más importantes que rigen las operaciones con
conjuntos:
Leyes de Complemento
1) (A')' = A
Leyes de Complemento
2) ' = U 2') U' =
3) A - A = ; A - = A; A - B = A B'
Leyes de Identidad
4) A = A
Leyes de Identidad
4') A U = A
Leyes de Identidad
5) A U = U
Leyes de Identidad
5') A =
Leyes de Idempotencia
6) A A = A
Leyes de Idempotencia
6') A A = A
Leyes de Complemento
7) A A' = U
Leyes de Complemento
7') A A' =
Leyes Asociativas
8) (A B) C = A (B C)
Leyes Asociativas
8') ) (A B) C = A (B C)
Leyes Conmutativas
9) A B = B A
Leyes Conmutativas
9') A B = B A
Leyes Distributivas
10) A ( B C) = (A B) (A C)
Leyes Distributivas
10') A ( B C) = (A B) (A C)
Leyes de Morgan
11) (A B)' = A' B'
Leyes de Morgan
11') (A B)' = A' B'
Leyes de Morgan
12) A - (B C) = (A - B) (A - C)
Leyes de Morgan
12') A - (B C) = (A - B) (A - C)
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2.11 Teoremas de operaciones con conjuntos
Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento tienen propiedades
sencillas, cuando los conjuntos de que se trata son comparables:
Teorema 1)
Sea A un subconjunto de B. Entonces la intersección de A y B es precisamente A, es
decir:
A B ==> A B = A
Teorema 2)
Sea A un subconjunto de B. Entonces la unión de A y B es precisamente B, es decir:
A B ==> A B = B
Teorema 3)
Sea A un subconjunto de B. Entonces B' es un subconjunto de A', es decir:
A B ==> B' A'
Teorema 4)
Sea A un subconjunto de B. Entonces la unión de A y (B-A) es precisamente B, es decir
A B ==> A ( B - A) = B
2.12 Problemas resueltos
Problema 1 Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}. Hallar:
a) A B
b) B A
c) B'
d) B - A
e) A' B
f) A B'
g) A' B'
h) B' - A'
i) A B'
j) (A B)'
Solución:
a) La A B consta de los elementos de A y los elementos de B, es decir, A B = {a, b, d,
e}
b) La B A consta de los elementos que son comunes A y a B, es decir,
B A = A B = {b, d}
c) B' costa de las letras que están en U pero no en B; así que B' = {a, c}
d) El conjunto B - A está formado por los elementos de B que no están en A, es decir,
B - A = {e}
e) A' = {c, e} y B = {b, d, e}; así que A' B = {e}
f) A = {a, b, d} y B' = {a, c}; así que A B' = {a, b, c, d}
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g) A' = {c, e} y B' = {a, c}; entonces A' B' = {c}
h) B' - A' = {a}
i) Según (b), A B = {b, d}; luego (A B)' = {a, c, e}
j) Según (a), A B = {a, b, d, e}; luego (A B)' = {e}
Problema 2 En el diagrama de Venn que sigue, rayar:
a) A (B C)
b) (A B) (A C)
c) A (B C)
d) (A B) (A C)
Solución:
a) Primero rayar A con trazos inclinados a la derecha (color azul ) y rayar (B C) con
trazos inclinados a la izquierda (color rojo), entonces A (B C) es el área con doble
rayado.
b) Primero rayar (A B) con trazos inclinados a la derecha y (A C) con trazos
inclinados a la izquierda, entonces (A B) (A C) resulta ser ) es el área con doble
rayado como se muestra en seguida :
En esta gráfica puede notarse que : (A B) (A C) = A (B C)
c) Primero se raya A con trazos inclinados a la derecha y se raya (B C) con trazos
inclinados a la izquierda; así resulta ser A (B C) el área total rayada.
d) Primero se raya (A B) con trazos inclinados a la derecha y se raya (A C) con trazos
inclinados a la izquierda; (A B) (A C) es el área con doble rayado.
Nótese que (A B) (A C) = A (B C)
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Problema 3 Demostrar: B - A es un subconjunto de A'.
Solución:
Sea x perteneciente a B - A. Entonces x B y x A; por tanto, x es elemento de A'. Si
x (B - A) ==> x A', y por lo tanto B - A es subconjunto de A'.
Problema 4 Demostrar: B - A' = B A.
Solución: B - A' = {x | x B y x A'} = {x | x B y x A} = B A
Problema 5
Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B y C de modo que A, B y
C tengan las siguientes características :
a) A B, C B, A C =
b) A B, C B, A C
c) A C, A C, B C =
d) A (B C), B C, C B, A C
Solución:
a) A B, C B, A C =
b) A B, C B, A C
c) A C, A C, B C =
d) A (B C), B C, C B, A C
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Tareas de repaso:
1- Defina por extensión los siguientes conjuntos :
a) el conjunto de vocales.
b) el conjunto de los números irracionales.
c) el conjunto de países de América del sur con costas en el Océano
Pacifico.
d) El conjunto de pre-grados de esta universidad.
e) El conjunto de los números naturales mayores que 8 y menores o iguales
a 30.
f) El conjunto de los números impares primos menores a 300.
2- Definir por comprensión los siguientes conjuntos:
a) godosabadoviernesjuevesmiercolesmarteslunes min,,,,,,
b) B = {bandera, escudo, himno nacional}
c) 10,8,6,4,2C
d) D ={3,6,9,12,15,18}
e) E ={-3,-6,-9,-12,-15,-18...}
3- Escriba al frente si la afirmación es correcta en incorrecta:
iea ,,,5,3,2
5,3
eaC ,
iD ,2
a) 3 ___________________
b) C ___________________
c) Da ___________________
d) C ___________________
e) Di ____________________
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4. Dado: Dado:
U ={1,2,3,4,a, b,c, f} U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A ={1,2,3, a} A ={1,3,6,8,10}
B ={3,4,a, b,c } B ={2,4,5, 6,8 }
C ={3,4,a, c, f} C ={1,4,6, 10}
D ={a, b,c f} D ={ }
Determinar para cada uno de los datos anteriores y representar gráficamente.
a) A B b) A C c) B D d) B C D
e) C D f) (A C) g) (AC)B h) (A-B)C
INVESTIGACIÓN:
Mediante el uso de los diagramas de Venn, desarrollar los siguientes ejercicios y
responder las preguntas solicitadas.
1. En un lote de animales hay 100; 20 tienen aftosa,30 ranilla y 10 que tienen
ambos síntomas:
Se pregunta:
a) Cuantos animales tienen aftosa o ranilla?
b) Cuantos animales tienen ambos síntomas?
2. De los 110 estudiantes de un curso: 46 pierden matemáticas, 38 física, 26
química. De estos: 26 pierden matemáticas y física, 14 física y química, 18
matemáticas y química y 8 estudiantes pierden las materias.
a) Cuantos no pierden ninguna materia?
b) Cuantos solo física y matemáticas?
c) Cuantos solo química?
d) Cuantos pierden de a 2 materias?
e) Cuantos pierden de a 1 materia?