Historia y Conceptos de la Programacin Lineal

El problema de la resolucin de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, despus de quien nace el mtodo de eliminacin de Fourier-Motzkin. La programacin lineal se plantea como un modelo matemtico desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejrcito y aumentar las prdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificacin diaria.

Los fundadores de la tcnica son George Dantzig, quien public el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarroll la teora de la dualidad en el mismo ao, y Leonid Kantorvich, un matemtico ruso, que utiliza tcnicas similares en la economa antes de Dantzig y gan el premio Nobel en economa en 1975. En 1979, otro matemtico ruso, Leonid Khachiyan, dise el llamado Algoritmo del elipsoide, a travs del cual demostr que el problema de la programacin lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial.2 Ms tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo mtodo del punto interior para resolver problemas de programacin lineal, lo que constituira un enorme avance en los principios tericos y prcticos en el rea.

El ejemplo original de Dantzig de la bsqueda de la mejor asignacin de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programacin lineal. La potencia de computacin necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignacin es inmensa (factorial de 70, 70!); el nmero de posibles configuraciones excede al nmero de partculas en el universo. Sin embargo, toma slo un momento encontrar la solucin ptima mediante el planteamiento del problema como una programacin lineal y la aplicacin del algoritmo simplex. La teora de la programacin lineal reduce drsticamente el nmero de posibles soluciones ptimas que deben ser revisadas.

La programacin lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una funcin lineal denominada funcin objetivo, de tal manera que las variables de dicha funcin estn sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

Entre las tantas aplicaciones de la programacin lineal, se tienen algunos ejemplos que confirma el potencial de esta herramienta matemtica; ejemplos: la mezcla de alimentos, la gestin de inventarios, la cartera y la gestin de las finanzas, la asignacin de recursos humanos y recursos de mquinas, la planificacin de campaas de publicidad, etc.