Identificación Identificación ParamétricaParamétrica

2

ContenidosContenidos

• Proceso de Identificación

• Algunas Nociones Teóricas

• Modelos Paramétricos

• Interfaz Gráfica Toolbox de Identificación

• Otros métodos

• Métodos Recursivos

• Los comandos de la Toolbox

3

DefiniciónDefinición

• Se denomina identificación de sistema a laobtención de información relevante a partir deun conjunto de datos observados.

• Resultado: Modelo Modelo

• ¿Cómo?– Ajustando parámetros para un modelo dado.

• ¿Cómo saber si un modelo es bueno?– Comprobandolo con datos no utilizados para la

obtención del modelo

4

Identificación de SistemasIdentificación de Sistemas

• Tanto el modelado como la identificación son necesariospara la interpretación y observación de las medidasobtenidas desde el sistema de estudio.

• Los modelos constituyen el enlace necesario entreexperimentos y la toma de decisiones.

5

ModelosModelos•• CognitivosCognitivos: modelos conceptuales desde el

razonamiento humano y su percepción.•• NormativosNormativos: especifican funciones a propósito de

un sistema. Ingeniería y regulacionesgubernamentales.

•• DescriptivosDescriptivos: orientados al comportamiento delsistema.

•• FuncionalesFuncionales: orientados a la acción y control delsistema.– cuantitativos

– cualitativos

6

Modelos cuantitativosModelos cuantitativos• Es natural comenzando con un conjunto de datos de

entrada - salida de un sistema en funcionamiento,mientras los experimentos se realizan mediantemanipulación de las entradas.

• Propósitos:–– PredicciónPredicción del comportamiento del sistema en el futuro

–– AprendizajeAprendizaje de nuevas reglas que resuman lasregularidades del sistema

–– Compresión de datosCompresión de datos: produce un modelo querepresenta los datos de forma compacta y con bajacomplejidad

7

Sistemas y complejidad de losSistemas y complejidad de losmodelosmodelos

• La complejidad depende del propósito delmodelado y de la identificación:–– Modelos cualitativos y categóricosModelos cualitativos y categóricos: derivables desde

principios físicos.–– Modelos cuantitativos estáticosModelos cuantitativos estáticos: modelos basados en

modelos de estados estables descritos mediante ecuacionesalgebraicas.

–– Modelos a posterioriModelos a posteriori: se derivan de datos experimentales yutilizan parametrizaciones abstractas o dependientes deexperimentos como son: caja negra, basados en regresioneslineales o modelos de series temporales. También expresanrelaciones como la covarianza entre las variablesformuladas y nociones estadísticas.

8

Proceso de la identificaciónProceso de la identificaciónFasesFases

• Considerar el contexto de la aplicación

• Propósito y formulación del problema

• Planificación experimental

• Conjunto de modelos

• Identificación y métodos de identificación

• Validación del modelo

9

Modelos noModelos no paramétricos vs paramétricos vs..modelos modelos paramétricosparamétricos

•• Modelos no Modelos no paramétricosparamétricos: consisten en un registrode respuestas a un impulso o a un flanco en eldominio del tiempo, o una medida de la función detransferencia en el dominio de la frecuencia.

•• Modelos Modelos paramétricosparamétricos: concentran toda lainformación en la estructura del modelo con unnúmero limitado de parámetros. Áreas de dificultad:– Definición y estructura del modelo

– Desarrollo del algoritmo para estimar los parámetros delmodelo

10

HerramientasHerramientas• Vamos a utilizar el Matlab 6.0 con la toolbox de

Identificación

• Información básica: Los modelos describen lasrelaciones entre señales medidas de entrada y desalida.

• En el contexto de la identificación se consideranmedidas discretas tanto de las entradas como de lassalidas

y(t)u(t)e(t)

entradas salidas

perturbaciones

Sistema

11

Un modelo dinámico básicoUn modelo dinámico básico• Una relación básica es una ecuación en diferencias

lineal

• donde la salida actual se puede obtener como unacombinación lineal de entradas y salidas anteriores.Donde:– los coeficientes: -1.5, 0.7, 0.9....– Los retardos de tiempo es de 2T unidades de tiempo antes

que un cambio en u afecte a y– en muchos modelos los retardos de las entradas y salidas

son referidos como orden del modelo.

)3(5.0)2(9.0)2(7.0)(5.1)( TtuTtuTtyTtyty −+−=−+−−

12

Variantes en la descripción deVariantes en la descripción delos modeloslos modelos

• ARX del ejemplo anterior

• Otros:– Salida del error OE

– ARMAX

– FIR

– Box-Jenkins (BJ)

– Modelos del espacio de estado lineales

– Modelos lineales generales

– Modelos de función de transferencia........

13

¿Cómo interpretar la fuente de¿Cómo interpretar la fuente deruido?ruido?

• Hay tres aspectos a tener en cuenta–– entender el ruido blancoentender el ruido blanco: es completamente

impredecible

– ¿cómo interpretar la fuente de ruidocómo interpretar la fuente de ruido? muchas vecesla fuente de ruido tiene significado físico.

– Utilizar la fuente de ruido cuando se trabaja con elmodelo:

• si el modelo es para simulación

• si el modelo es para predicción

14

Términos que caracterizanTérminos que caracterizanpropiedades del modelopropiedades del modelo

• Respuesta a un impulso: es la salida obtenidacuando la entrada es un impulso.

• Respuesta a un escalón: es la salida resultado de unaentrada escalón.

AMBOS: son llamados El transitorio de la respuesta.

• Respuesta en frecuencia: Como responde el sistemafrente a una entrada senoidal. Dos gráficos uno delcambio de amplitud y otro del cambio de fase comofunción de la frecuencia. Diagrama de Bode.

• Ceros y Polos

∫ −=t

dtugty0

)()()( τττ )()( ttu δ=

15

Algunas nociones teóricas.......Algunas nociones teóricas.......

16

TransformacionesTransformaciones

• Transformada de Laplace

• don con s=σ+iw se llama frecuencia compleja. Latransformada de Fourier

{ }

{ } dsesXi

sXtx

dtetxtxsX

st

st

∫

∫∞+

∞−

−

∞

∞−

−

==

==

σ

σπ)(

2

1)()(

)()()(

1L

L

{ }

{ } dweiwXiwXtx

dtetxtxiwX

iwt

iwt

∫

∫∞+

∞−

−

∞

∞−

−

==

==

σ

σπ)(

2

1)()(

)()()(

1F

F

17

Análisis de la respuesta enAnálisis de la respuesta enFrecuenciaFrecuencia

• Si el sistema a identificar es un sistemadinámico invariante en el tiempo y lineal

∫ −=t

dtugty0

)()()( τττ

)()()( sUsGsY =

{}.L

18

Datos Datos discretizadosdiscretizados

• Una variable medida sólo esta disponible comoobservaciones periódicas de x(t) muestreado comoun intervalo de tiempo h.

• Se requiere que la duración del periodo de muestreo sea muycorta así la función de muestreo debe ser representada comouna secuencia de impulsos muy pequeños

{ } KK ,2,1,0,1,)( −==∞∞− kparakhxxx kk

∑

∑∞

−∞=

∆

∞

−∞=∆

−=Π

Π=−=

kh

hk

khtht

ttxkhthtxtx

)()(

)()()()()(

δ

δ

19

Efectos producidos alEfectos producidos al discretizar discretizar

• Aplicando la transformada de Fourier

{ } { } { }

{ }

{ } { } ∑

∑

∞

−∞=∆

∞

−∞=

∆∆

−=Π=

Π=

−=Π

Π==

kh

hkh

h

kh

wiXttxiwX

wh

hwt

ttxtxiwX

π

ππ

δ π

2)(*)()(

)(2

2)(

)(*)()()(

2

FF

F

FFF

que tal

donde

Periodo=Frecuencia de muestreo

20

Teorema del muestreo deTeorema del muestreo deShannonShannon

• La variable continua en el tiempo x(t)puede ser reconstruida desde losmuestreos {xk}∞

∞ sí y sólo si lafrecuencia de muestreo es al menos dosveces la frecuencia más alta para la queX(iw) no es cero.

21

La transformada en ZLa transformada en Z

Una aplicación directa de la variable discretizadaverifica que el espectro de x∆∆(t) esta relacionado conXz(z)

{ }

∞==∞<

=

==

−∞

−∞=

−

−∞

−∞=

∑

∫

∑

zzzx

dzzzXi

x

zxxzX

k

kk

kzk

k

kkz

y para excepto z de Plano

iaconvergenc de Región

pordada inversa rmaciónla transfo con

0

)(21

)(

1

π

Z

iwh

kz

iwkhkhz ehXexhttxFiwX −

∞

−∞=

−∑ ==Π= )}()({)(

22

Tiempo de medida finitoTiempo de medida finito

• Sea

• El espectro de cualquier señal esta distorsionado parauna medida en un intervalo de tiempo finito

{ }

{ }1

2/

11

0

)(101

00

)(

)2/(2

0

)(01

00

)(

−

−

−−=

≥−≤≤

<=

=

>≤≤

<=

zz

Nt

tNkk

k

ewTwTsin

T

Tt

tTtt

t

N

NN

iwTTT

**

**

Z

F

F

F

discreto tiempoen

{ } { } { })(*)()().( ttxttx hh ++ FFF =

23

Transformada de Transformada de FourierFourierDiscretaDiscreta

• Nótese que la transformada de Fourier {Xk}k=N-1 solo esta

definida en los puntos de frecuencia discreta

• la relación de la DFT con la transformada de la funcióncontinua en el tiempo

• de donde

{ } hiwz

N

l

iwlhlNhk

kehXexhkhxX === ∑−

=∆

1

0),( )(F

1,,1,02 −== NkkNh

wk K con π

{ } { }{ } { } { } hkiwhkiw

ezNezN

NhhNhNhk

kkhxhkkhxh

ktxkhxX

==

∆∆

==

Π==

)(*)()()(

)()()( ),(),(

**

*

ZZZ

FF

{ } hiw

hNiw

kNhk k

k

ee

hiwXkhxX−−

== ∆∆ 1

1*)()(),(F

24

La Función de TransferenciaLa Función de Transferencia• Representación en el espacio de estados: La dependencia

de la salida para un sistema lineal viene caracterizadapor la ecuación de convolución

∫∞

+−=0

)()()()( tvdtugtY τττ

)()()()( sVsUsGsY +=

KK ,1,0,1,0

−=+=+= ∑∑−∞=

−−

∞

=

kvuhvuhy kl

k

llkklk

llk con

{ } k

kk zhkhhZzH −

∞

=∑==

0

)()(

)()(

)(zUzY

zHz

z=

25

Sistema en el espacio de estadosSistema en el espacio de estados

• Con la función de transferencia de un impulso

• y la variable de salida

mk

pk

nk

kkk

kkk

RyRuRx

kDuCxy

uxx

∈∈∈

=+=

Γ+Φ=+

,,

,1,01

con

K

DzICzH +ΓΦ−= )()(

)()()( 00

zUzHxzCzYk

kk +Φ= ∑∞

=

−

26

Potencia y Energía de la SeñalPotencia y Energía de la Señal

Las señales x e y se dicen no correlacionadas sino correlacionadas si:

)()()( * txtxtpxx = )()()( * tytxtpxy =

dttxtxT

tpTt

txx ∫+

=0

0

)()(1

)( *dttytx

Ttp

Tt

txy ∫+

=0

0

)()(1

)( *

dttxtxT

texx ∫∞

∞−= )()(

1)( * dttytx

Texy ∫

∞

∞−−= )()(

1)( * ττ

)()()(1

)( ** τττ −=−= ∫∞

∞− xyyx edttxtyT

e

0)( =τxye

27

Funciones espectro yFunciones espectro ycovarianzacovarianza

La densidad espectral de energía o espectro de energía

La energía total del sistema es según las relaciones de Parseval

La energía es independiente de la elección de larepresentación en el tiempo o frecuencia

)()()( * iwXiwXiwExx =

)()()( * iwYiwXiwExy =

dwiwYiwXdttytxT

texy ∫∫∞

∞−

∞

∞−== )()(

21

)()(1

)( **

π

28

Funciones espectro yFunciones espectro ycovarianzacovarianza

• De acuerdo con el teorema de Plancherel el producto dedos transformadas de Fourier es igual a la transformada deFourier de la convolución de dos señales en el dominio deltiempo. Teorema de Wiener-Khintchine.

• Covarianza cruzada

• Espectro cruzado

Existen relaciones similares entre el autoespectro y laautocovarianza

{ } { } { } { })()()()()()( *** ττ xyxy edttytxyxiwYiwXiwE FFFF =−=== ∫∞

∞−

{ }∫∞

∞−∞→−= dttytxlimC

Txy )()()( * ττ

{ })()( τxyxy CiwS F=

29

Correlación y coherenciaCorrelación y coherencia

• Coeficiente de correlación

• Espectro de coherencia cuadrática

Es un test de linealidad interesante

)()(*)()()()( tvtutgtvtxty +=+=1−==

vv

yy

vv

xx

e

e

ee

SNR

)()(

)()(

ττ

ττρ

yyxx

xy

CC

C=

)()(

)()(

2

2

iwSiwS

iwS

yyxx

xyxy =τγ

30

Análisis EspectralAnálisis Espectral

• Estimación del espectro de potencia

• Perdidas espectrales y enmarcado

• Estimación de funciones de transferencia

• Alisado del espectro

31

Estimación del espectro deEstimación del espectro depotenciapotencia

• El periodogramaperiodograma: o espectro de la muestra

• El correlogramacorrelograma: : Las funciones de covarianzaestimadas

kNh

wiwXNh

iwS kkNkxxπ2

)(1

)(ˆ 2 == para

1,,1,0,1

)(ˆ

,1

)(ˆ

1

1*

−=−

=

−=

∑

∑

=−

=−

Nkyx kN

hkC

xx kN

hkC

N-

kl

*kllxy

N-

klkllxx

K

32

Estimación del espectro deEstimación del espectro depotenciapotencia

• El cálculo del espectro de potencia -energía-

con para

mhiwN

mxykxy

kmhiw

N

mxxkxx

k

k

emhChiwS

NkkNh

wemhChiwS

−−

=

−−

=

∑

∑

=

−===

)(ˆ)(ˆ

1,...,1,02

)(ˆ)(ˆ

1

0

1

0

π

Dominio en el tiempo

Espectrode Potencia

función decorrelación

Periodograma

correlograma

33

MODELOSMODELOSPARAMÉTRICOSPARAMÉTRICOS

• Regresión lineal

• Identificación de modelos de series temporales– Modelos ARMAX y ecuaciones en diferencias

• Métodos Recursivos

34

Modelos Modelos paramétricosparamétricos

• Definición:son aquellos modelos que permitenestablecer una relación conocida entre lasentradas y salidas salvo algunas constantes ocoeficientes: parámetros θ

• Caracterización– Modelos lineales con los parámetros

– Modelos no lineales con los parámetros

vuufy ji += );,.....( θ

2210 uuy θθθ ++=

uey 2

10θθθ +=

35

Regresión linealRegresión lineal

• Modelo• Las observaciones {yk} se asumen recogidas con un

periodo de muestreo concreto, conjuntamente con loscorrespondientes vectores de regresión {φk}– Donde los errores añadidos se asumen que tienen la forma,

distribución normal

• Suponiendo que hay p parámetros θ1 ....... θp para Nobservaciones, el problema es encontrar un estimador delvector de parámetros θ para las variables observadas

)()()( tetty T += θφ

jieee ijejii ,},{0}{ 2 ∀== , δσEE

36

Modelo para la regresión linealModelo para la regresión lineal

=

N

N

y

y

y

YM2

1

=Φ

N

N

φ

φφ

M2

1

=

Ne

e

e

eM2

1

θ

ε

εε

θε NN

N

Y Φ−=

=M2

1

)(

eY NN +Φ= θ

El vector deerrores o de errores depredicción

37

Estimación por mínimosEstimación por mínimoscuadrados. Formulacióncuadrados. Formulación

• Esta estimación requiere la minimización de lafunción de error según diferentes criterios

∑ − θφθ

Tiiymin

2

∑ − θφθ

Tiiymin

38

Estimación por mínimosEstimación por mínimoscuadradoscuadrados

• El criterio de mínimos cuadrados consiste enminimizar la suma de los cuadrados del error entreel modelo de salida y las observaciones

• obteniendo para el estimado óptimo

• a partir del gradiente del criterio de optimización

( ) ( )

)ˆ()(

2

1

2

1

2

1)(

1

2

θθ

θθεεεθ

θVVmin

YYV NNT

NN

N

Kk

T

=

Φ−Φ−=== ∑=

mínimo el con

( ) NTNN

TN YΦΦΦ=

−1θ̂

39

EjemploEjemplo

• Ejemplo1– Datos U=(1 2 3 4)T e Y=(6 17 34 57)

– Modelo

• Ejemplo 2 (Ejemp54)– donde u y e son datos artificiales generados como

variables a aleatorias con varianzas =1 y con unaperturbación media de cero.

2210 uuy θθθ ++=

kkkk ebuayy ++= −1

40

CaracterísticasCaracterísticas• Los grandes errores son duramente penalizados

• Puede ser obtenido directamente a partir del álgebramatricial.

• Con las asunciones tomadas

– es un estimado imparcial de θ– La matriz de covarianzas es:

– El estimado imparcial

•• La sensibilidad del estimado por mínimosLa sensibilidad del estimado por mínimoscuadrados a las perturbaciones diferentes delcuadrados a las perturbaciones diferentes delruido blanco es una cuestión bastante seriaruido blanco es una cuestión bastante seria

θ̂( ) 12ˆ −

ΦΦ NTNeσθ es de

( )θσσ ˆ222 VpNee −

= es de

41

Estimadores imparcialesEstimadores imparcialeslineales óptimoslineales óptimos

• Las condiciones impuestas son restrictivas yvaliosas para identificar la clase de todos losestimadores de la forma

• donde T es una matriz de las dimensionesadecuadas.

• El correspondiente vector de error de parámetros

YT T=θ̂

( ) eTITYT Tpp

TT +−Φ=−=−= × θθθθθ ˆ~

42

Estimadores imparciales........Estimadores imparciales........

• Se deben añadir las siguientes condiciones paraque el estimador sea imparcial

• La determinación del mejor método posiblerequiere la minimización de la covarianza

• para

{ } 0==Φ eTIT TT E y

{ } { } θθθ =+Φ= eTT TT EE ˆ

( )( ){ } ( )( ){ } RTTYTYTC TTTTT=−−=−− θθθθθθ ˆˆˆˆ Eov

{ }eeR TE=

43

Estimadores Imparciales......Estimadores Imparciales......

• Aplicando el método del Lagrangiano con estarestricción nos da las siguientes ecuaciones

• Que resolviendolo se obtiene el estimadorimparcial óptimo

• Que es conocido como estimador de Markov conla matriz de covarianzas

• o BLUE

ITL

RTTL

T −Φ=Λ∂

∂=

ΦΛ+=∂∂

=

0

~~20 θθ

( ) YRRYT TTT 111ˆ −−− ΦΦΦ==θ

( ) ( ) 11ˆ −− ΦΦ= RCov Tθ

44

ConclusionesConclusiones

• Para la aplicación del método de mínimoscuadrados se deben cumplir dos prerequisitosimportantes:– (ΦN

TΦN) debe ser invertible• Por tanto el rango va a ser determinante .

• La selección de los datos de entrada con un excitaciónadecuada debe formar parte del procedimientoexperimental.

– El ruido no debe ser correlativo con los regresoresΦN

45

Identificación SistemaIdentificación SistemaMultivariableMultivariable

• Con

• Un problema característico: es que en general no hay unaúnica factorización AB correspondiente a una función detransferencia.

• Por tanto dada una función de transferencia multivariablese puede definir una clase de factorizaciones.

0)det()()()()(: 11 ≠= −− AzUzBzYzAS

pmn

nn

mmn

nnmm

RBBzBzBzB

RAAzAzAIzA×−−−

×−−×

−

∈++=

∈+++=

LL

LL

11

11

11

11

,)(

,)(

( ) ( ) )()()()()()()( 11111111 −−−−−−−− == zHzBzAzBzQzAzQ

46

Sistemas Sistemas MultivariablesMultivariables

• Cualquier miembro de esta clase puede serutilizado para describir acoplamientos cruzados,retardos y otras propiedades de las funciones.

• Por razones practicas es deseable utilizar unnúmero finito de parámetros bien definidos, y es amenudo deseable escoger un conjunto deparámetros con la menor dos norma posible.

47

Sistemas Sistemas Multivariables Multivariables LSLS• Para el propósito de identificación por mínimos

cuadrados

• sugiere el modelo de regresión lineal

• Solución mínimos cuadrados

( ) ( )

( ) ( ) mpmTnn

pmk

TTnk

Tk

Tnk

Tkk

mknknknknkk

RBBAA

Ruuyy

RyuBuByAyAy

×+

+−−−−

−−−−

∈=

∈−−=

∈+++−−=

θθ

φφ

LL

LL

LL

11

11

1111 ,

=Φ

=Φ=

TN

T

T

N

TN

T

T

NNN

y

y

y

φ

φφ

θMM2

1

2

1

, y con YYM

( ) NTNN

TNN YΦ+ΦΦ=θ̂

48

Ejemplo Ejemplo multivariablemultivariable

• Sea el sistema

• se puede construir el sistema con n =1 y n=2.

• Con el Matlab ninguno de los dos se puedeestimar pues da error al obtener la inversa.

• Ejemplo 59

11 11

11

5.04.0

4.05.0−−

−

+

= kkk uyy

49

Modelos Series TemporalesModelos Series Temporales

• La identificación de modelos de series temporalesofrece varias aproximaciones estadísticas parafijar el modelo además del criterio utilizado enmínimos cuadrados.

• Hay al menos tres categorías importantes de losmodelos de series temporales:– Ecuaciones en diferencias y modelo ARMAX

– Modelos de funciones de transferencia

– Modelos del espacio de estados

50

Modelos ARMAXModelos ARMAX

• Autoregresive Moving Average with ExogenousInput: constituye una clase especial de lasecuaciones en diferencias de la forma

• donde d es un retardo y A, B, C son polinomios

• con los parámetros desconocidos

kkd

k wzCuzBzyzA )()()( 111 −−−− +=

C

C

B

B

A

A

nn

nn

nn

zczczC

zbzbbzB

zazazA

−−−

−−−

−−−

+++=

+++=

+++=

L

L

L

11

1

110

1

11

1

1)(

)(

1)(

Tnnn CBA

ccbbbaa )( 1101 LLL

51

Algunos casosAlgunos casos

• Reformulación Regresión lineal

• Autoregresivo (AR)

• Moving Average (MA)

• Modelo ARMA

• Modelo ARX

kkd

k wuzBzyzA += −−− )()( 11

kk wyzA =− )( 1

kk wzCy )( 1−=

kk wzCyzA )()( 11 −− =

kd

k uzBzyzA )()( 11 −−− =

52

Modelos ARXModelos ARX• Esta completamente definido por tres enteros:

– na: número de ceros– nb: número de polos– nk: el retardo d

• Se puede introducir el orden o estimarlo utilizando lanotación tipo na=1:10

• Para modelos de múltiples entradas se puedenintroducir como vectores

• Dos métodos:

– Mínimos cuadrados

– Variable Instrumental

kd

k uzBzyzA )()( 11 −−− =

EjemplosEjemplos..........................

e

Interfaz Toolbox Identificación

54

M. de Función de TransferenciaM. de Función de Transferencia

• Un modelo de función de transferencia quepermite el modelado tanto determinístico comoestocástico es

• En el contexto de la identificación hay dos modosde función de transferencia muy populares

{ } ∑=+=v ijjikvkuk vvEvzHuzHy δ*)()( con

Jenkins-Box de modelo

salidala deerror del modelo

kkk

kkk

wzDzC

uzFzB

y

vuzFzB

y

)()(

)()(

)()(

1

1

1

1

1

1

−

−

−

−

−

−

+=

+=

55

M. de Función deM. de Función deTransferenciaTransferencia

• Otra opción es tratarlos como ecuaciones endiferencias

• donde A, B, C, D, F son polinomios en z-1 deorden nA, nB, nC, nD, nF,

• El modelo del error de la salida es un casoespecial con A=B=D=1

kkk wzDzC

uzFzB

yzA)()(

)()(

)( 1

1

1

11

−

−

−

−− +=

56

ARMAX, Error de la salida yARMAX, Error de la salida yBoxBox--JenkinsJenkins

• Hay varias modificaciones sobre el modelo básicoARX donde se introducen diferentes modelos deperturbaciones: ARMAX, OE, BJ

– Entrando la Estructura

– Método de Estimación• Error de predicción/máxima probabilidad: minimizando

el término e

SOLO DISPONIBLES SISTEMA SISO

57

Identificación de MáximaIdentificación de MáximaProbabilidadProbabilidad

• seleccionamos el estimador que proporciona lasobservaciones más probables de Y.

• que obtiene el estimado

• que maximiza

)/( θθ Ypmax

θθ ˆ=)/( θYp

58

Filtro de Filtro de KalmanKalman

• Se considera un problema de estimación y filtrado.

• con E{vk}=0, E{ek}=0, E{vvT}=R1, E{eeT}=R2, y• P(0)= E{x0 x0

T}=R0,• El problema de la estimación puede ser resuelto

minimizando

kkkk

kkkk

eDuCxy

vuxx

++=

+Γ+Φ=+1

( ) ( ){ } 3,..... 2, 1,para k =−= ++ ,ˆˆˆ2

11 kkkk xxxJ E

59

Filtro deFiltro de Kalman Kalman

• Resultado

• que es la ecuación recursiva donde losestimados se actualizan tan pronto como unaentrad-salida esta disponible

( )( )

( ) Tk

Tk

Tk

Tkk

Tk

Tkk

kkkkkkkkk

CPCCPRCPRPP

CCPRCPK

CxyKuxx

Φ+Φ−+ΦΦ=

+Φ=

−+Γ+Φ=

−

+

−

−−+

1

211

1

2

111

60

Método de la variableMétodo de la variableinstrumentalinstrumental

• Sea el método de regresión lineal

• la correlación entre el regresor y el error depredicción conduce al vector de parámetrosestimados obtenido mediante las soluciones demínimos cuadrados.

• Son métodos que reemplazan el regresor Φ por lavariable Z y el estimado toma la forma

vY +Φ= θ

( ) YZZ TTZ 1ˆ −Φ=θ

61

Método de la variableMétodo de la variableinstrumentalinstrumental

• Condiciones

– 1- Las variables instrumentales deben ser nocorrelacionadas con las perturbaciones

– 2- La matriz ZTΦΦ debe ser invertible. Ademásdebe ser grande para el estimador obtenido seaeficiente

{ } 0=vZ TE

62

Examinando los ModelosExaminando los Modelos• Respuesta en frecuencia y Espectro de perturbaciones

• Respuesta del transitorio

• Polos y ceros

• Comparando medidas y salida del modelo

• Análisis residual

• Visualizador LTI: este visualizador contiene unconjunto de modelos pero que requieren el mismonúmero de entradas que salidas.

Métodos Métodos RecursivosRecursivos