Post on 24-Jul-2015
Integral Múltiple.
y
xc
ba
d
yxf ,y
x
c
ba
d
Conceptos previos: intervalo n-dimensional, partición, sumas
superiores e inferiores, integral de Riemann.
x
yxf ,
y
Integral múltiple mediante integración reiterada: Teorema de Fubini.
Integración en recintos más
generales: medida-Jordan de un
conjunto.
integral doble
integral
doble
1
Integral Múltiple.
y
xc
ba
d
yxf ,
y
xc
ba
d
yxf ,
Aproximaciones por exceso: Sumas superiores.
Aproximaciones por defecto: Sumas inferiores.
2
Integral Múltiple en un Intervalo.
x
y
1
1
2
3
2 3
3,23,1
x
z
1
1
2
2
2,12,02,0
y 2 1
0
(ortoedro)
(rectángulo)
Definición: Un intervalo n-dimensional (o recinto rectangular) es
un conjunto .,,...,,
12211
nii
n
inn RbabababaI
Ejemplos:
Definición: La medida de un intervalo n-dimensional es
....1
2211
RababababI ii
n
inn
.223131 I .41202022 I
En el caso de intervalos de se trata de un área, y de un volumen
para intervalos de .
2R3R
3
x
y
1
1
2
3
2 3
3,23,1
x
y
1
1
2
3
2 3
3,23,1
x
z
2
2
2,12,02,0
y2
Definición: Una partición de un intervalo n-dimensional está
formada por n particiones de
respectivamente.
Ejemplos:
nn bababa ,,...,,,, 2211nPPP ,...,, 21
.,...,, 21 nPPPP
P
Particiónes de ,3,23,1
Partición de .2,12,02,0
Así, una partición divide un intervalo n-dimensional en subintervalos
cerrados que se solapan en las fronteras.
Integral Múltiple en un Intervalo.
4
El proceso de integración múltiple en intervalos n-dimensionales es
análogo al de funciones de una variable real, salvo por la medida de los
subintervalos considerados para la obtención de las sumas superiores e
inferiores, que ahora es un volumen (o contenido) en lugar de una
longitud.
En el caso de la integral
doble, si la función es no
negativa en el intervalo, la
integral representa el
volumen encerrado bajo la
gráfica de la función sobre
el intervalo de integración.
Las sumas superiores e inferiores proporcionan aproximaciones por
exceso y por defecto de este volumen.
Podemos entender las integrales superior e inferior como las mejores
aproximaciones por exceso y defecto respectivamente. Si estas integrales
son iguales, la función es integrable Riemann y el valor de la integral es el
valor común de las integrales superior e inferior.
x
yxf ,
y
Integral Múltiple en un Intervalo.
5
Definición: Sea definida y acotada en el intervalo
n-dimensional . Dada una partición de
con subintervalos, en cada subintervalo nPPPP ,...,, 21
RRIf n :I I
k iI
,sup xfMiIx
i
.inf xfmiIx
i
Llamamos suma superior e inferior respectivamente de para
la partición a
fP
,,
1
k
i
ki IMPfS
.,
1
k
i
ki ImPfs
Proposición: Para cualquier partición de se cumple que P I
.,, PfsPfS
Integral Múltiple en un Intervalo.
6
Definición: Decimos que una partición es más fina
que otra , esto es, , si
nPPPP ,...,, 21
Proposición: Si es más fina que , entonces P Q
,,, QfSPfS
nQQQQ ,...,, 21 QP
....,,, 2211 nn QPQPQP
.,, QfsPfs
Así, cualquier sucesión particiones sucesivamente más finas de un
intervalo genera una sucesión de sumas superiores decreciente, y una
partición de sumas superiores creciente.
Proposición: Para cualesquiera particiones y de se
cumple que
P Q I
.,, QfsPfS
Por tanto, las sumas superiores están acotadas inferiormente por cualquiera
de las sumas inferiores, y las sumas inferiores están acotadas
superiormente por cualquiera de las sumas superiores.
Integral Múltiple en un Intervalo.
7
Análogamente, la integral inferior es S
s
P m
ás fin
as
P m
ás fin
as
Definición: Llamamos integral superior de la función en el
intervalo al ínfimo de sus sumas superiores.
f
Estas integrales existen y tienen valores reales siempre que la
función es acotada, y se cumple que
I
.,inf...,...,,... 2121 PfSdxdxdxxxxfP
nn
I
.,sup...,...,,... 2121 PfsdxdxdxxxxfP
nn
I
....,...,,......,...,,... 21212121 nn
I
nn
I
dxdxdxxxxfdxdxdxxxxf
Integral Múltiple en un Intervalo.
8
....,...,,......,...,,... 21212121 nn
I
nn
I
dxdxdxxxxfdxdxdxxxxf
Definición: Sea definida y acotada en el intervalo
n-dimensional . Decimos que es integrable en si y sólo si RRIf n :
I f I
En ese caso, la integral de en ,
,...,...,,... 2121 nn
I
dxdxdxxxxf
es el valor común de las integrales superior e inferior.
f I
Integral Múltiple en un Intervalo.
9
Integral Múltiple en recintos más generales.
Es posible definir integrales
múltiples en conjuntos o recintos
que no son intervalos, siempre
que estos sean medibles-Jordan.
Se construyen por extensión de
la función por cero a un intervalo
que contenga el recinto de
integración e integrando la
nueva función en el intervalo.
.0
,
Rx
Rxxfxg
R
y
x
xfxg
0xgI
R
x
yxf ,
y
R
Así, la función es integrable
en si es integrable en ,
y en ese caso ambas integrales
tienen el mismo valor.
R Igf
10
Definición: (Contenido interior y exterior de Jordan) Sea un subconjunto
de un intervalo . Para toda partición de , definimos como la
suma de los contenidos de todos los subintervalos que contienen sólo puntos
interiores de , y como la suma de los contenidos de los
subintervalos que contienen puntos del interior o la frontera de .
Los contenidos interior y exterior de
Jordan de son, respectivamente,
y
x
RI IP PRJ ,
R PRJ ,R
,,sup PRJRcP
.,inf PRJRcP
R
Un conjunto es medible-Jordan si R
,RcRc
R Rc
En esencia, un conjunto es medible-Jordan si se puede calcular su
contenido mediante un proceso de integración de Riemann (de su función
característica).
Proposición: Un conjunto es medible-Jordan si y sólo si su frontera tiene
medida nula. Para ello es condicion suficiente que su frontera sea una
linea si ,o una superficie bidimensional si .
en cuyo caso este valor común es el contenido de Jordan, , de .
2RR 3RR
Integral Múltiple en recintos más generales.
11
Proposición: (CNS) Sea definida y acotada en el
intervalo n-dimensional . Entonces es integrable en si y
sólo si para todo existe una partición de tal que
RRIf n :I
I
Integral Múltiple: Condiciones de Integrabilidad.
IP0
.,, PfsPfS
Proposición: (CS) Si es continua en el intervalo n-
dimensional , entonces es integrable en .
RRIf n :I I
Proposición: Sea continua en el recinto .
Entonces es integrable en si y sólo es medible-Jordan. RRIf n :
RIR
R
f
f
Proposición: Sea definida y acotada en un recinto
medible-Jordan . Si tiene un número finito de puntos
de discontinuidad en , entonces es integrable en .
RRIf n :
RIR
Rf
f
12
Las propiedades de la integral múltiple son análogas a las de la
integral de funciones de una variable real; linealidad, monotonía,
aditividad respecto al intervalo. Esta última es la única que requiere
un nuevo matiz relevante.
Integral Múltiple: Propiedades.
Proposición: Sea definida y acotada en un
recinto . Y sean y dos subconjuntos de tales que
RRIf n :IR 1R 2R R
,21 RRR
.11 oRIntRInt
Entonces es integrable en si y sólo si lo es en y en y
se cumple que f R
1R 2R
nn
R
dxdxdxxxxf ...,...,,... 2121
nn
R
dxdxdxxxxf ...,...,,... 2121
1
....,...,,... 2121
2
nn
R
dxdxdxxxxf
1R2R
x
y
13
Integral Múltiple: Integración reiterada.
Proposición: (Teorema de Fubini) Sea continua
en el intervalo RRIf n :
.,,...,,1
2211n
ii
n
inn RbabababaI
Se verifica que
nn
I
dxdxdxxxxf ...,...,,... 2121
,...,...,,... 1221
1
1
2
2
dxdxdxxxxfb
ann
b
a
b
a
n
n
dónde cada integral se resuelve tratando al resto de variables
como constantes. El resultado es independiente del orden de
integración.
El siguiente resultado proporciona un procedimiento para calcular
la integral múltiple de una función continua en un intervalo n-
dimensional mediante un cálculo reiterado de integrales de
funciones de variable real.
14
Integral Múltiple: Integración reiterada.
dyyxFdydxyxfdydxyxfd
c
ba
d
c
b
a
b
a
d
c
,,,
.,,,, dyyaFdyybFdyyaFybFd
c
d
c
d
c
.,
,yxf
x
yxF
y
xc
ba
d
yxf ,
0y
0, yxf
.,, 2RdcbaI
En el caso de integrales dobles,
I
dydxyxf ,
x
y
1
2
4
5
4,25,1 I
5
1
4
2
2 dydxyx
Ejemplo:
15
.,/,
21
2
xgyxg
bxaRyxR
.,,
2
1
dxdyyxfdydxyxfb
a
xg
xgR
y
xa b
xg1
xg2
R
dxyxGdxdyyxfdydxyxf
b
a
xg
xg
b
a
xg
xgR
2
1
2
1
,,,
.,,,, 1212 dxxgxGdxxgxGdxxgxGxgxGb
a
b
a
b
a
.,
,yxf
y
yxG
Este método de integración reiterada se puede extender para
conjuntos mas generales. Pero en este caso los extremos de
integración no son, en general, fijos, y el orden de integración es
relevante para que el cálculo sea más o menos laborioso.
Ejemplo 1:
Integral Múltiple: Integración reiterada.
16
./, 212 ygxygRyxR
.,/, 3212 ygyygyygRyxR
Ejemplo 2:
.,,
2
1
dydxyxfdydxyxfd
c
yg
ygR
y
x
c
d yg2 yg1
R
Ejemplo 3:
En ocasiones es necesario dividir el recinto en varios subrecintos.
xa b c
1R 2R
xg2
xg1
xg3y
x
c
d1R
2R
y2
y1
y3y
e
Integral Múltiple: Integración reiterada.
17
R
dydxyx2
.
0
,10/, 2
xy
xRyxR
x
y
1
1 xy
R
Integral Múltiple.
Ejemplos:
R
dydxyx 22
.
0
,8/, 2
xy
yxRyxR
x
y
8
8
R
xy
xy 8
4
18
R
dydxy3
.
40
,40
,4/, 22
y
x
yxRyx
R
x
y
4
4
R
24 yx
2
-2
Integral Múltiple.
.
0
,10
,/, 22
x
yx
xyRyx
R
R
dydxxy
x
y
1
1
R
xy 1
2xy
Ejemplos:
19
R
dydxxy3
.
10
,0/, 22
x
xyRyxR
Integral Múltiple.
x
y
1
1
R
2xy
R
dydxxy sen2
.
,/, 22
xy
xyRyxR
x
y
1
1
2xy xy
R
Ejemplos:
20
R
dydxxy
.
8
,0
,62/, 2
yx
xy
xRyx
R
Integral Múltiple.
'1R
'2R
x
y
8
8
1R
xy
xy 8
2R
2 4 6
2
4
R
dydxxy
.
0,
,149
/,22
2
yx
yxRyx
Rx
y
2
-2
-3 3
R
Ejemplos:
21
Integral Múltiple: Cambio de Variable
En algunos casos es útil hacer un cambio de variable para calcular el valor
de una integral múltiple. Esto puede deberse a ello facilite la obtención de
una primitiva para la función subintegral, o bien a que transforme el recinto
de integración en otro –referido a las nuevas variables- para el cual el
proceso de integración reiterada sea más sencillo.
x
y
R
v
u
'R vugyx ,,
Las principales diferencias respecto al cambio de variable en integrales
de funciones de variable real son que en las integrales múltiples la
función para el cambio de variable debe ser una función vectorial
biyectiva (aunque este requisito se puede suavizar), y el papel que en las
integrales de variable real tenía la derivada de la transformación lo
desempeña ahora el determinante jacobiano de .
g
g22
Y sea una función vectorial
biyectiva que transforma el conjunto en .
Integral Múltiple: Cambio de Variable
n
R
dxdxdxxf ...... 21 ,...... 21
'
n
R
dududuuJgugf
nn RRDg : ngggg ,...,, 21
n
R
dxdxdxxf ...... 21
R'R
Sea una función continua en un conjunto compacto y
medible-Jordan RRIf n :
.IR
,ugx
.,...,,
...
,,...,,
,,...,,
21
2122
2111
nnn
n
n
uuugx
uuugx
uuugx
.,...,, 21 ngggg
Si es de clase y su determinante jacobiano es no nulo en un
abierto que contenga a , entonces se cumple que g 1C
'R
donde es el valor absoluto del determinante jacobiano de . uJg g
R'R
xu
RRg '
xug
I
23
Cambio a coordenadas polares: Suele
aplicarse en integrales dobles cuyo recinto de
integración es un círculo, sección circular, corona
o sección de corona circular, ya que en estos
casos el recinto expresado en términos de las
coordenadas polares es un recinto rectangular.
x
y
R 'R
sección
circular corona
circular
sección
de corona
circular
x
yx,y
,cos,1 gx
.sen,2 gy
Ecuaciones de cambio a coordenadas polares:
Integral Múltiple: Cambio de Variable
Jacobiano de la transformación: ., Jg
24
Integral Múltiple.
R
dydxx2
.
0,
,9/, 222
yx
yxRyxR
R
dydxxy
.
3
,
,9/, 222
xy
yx
yxRyx
R
x
y
3
-3
-3 3
R2
x
y
3
-3
-3 3
xy
3
xy
4
6
R
sección
circular
sección
circular
Ejemplos:
25
Integral Múltiple.
Ejemplos:
R
dydxx2
.
0
,9/, 222
yx
yxRyxR x
y
3
-3
-3 3
R
xy
R
dydxy
.
,25/, 222
yx
yxRyxR
x
y
5
-5
-5 5
R
xy
26
Integral Múltiple.
R
dydxxy
.
4
,9/,
22
222
yx
yxRyxR
R
dydxy
.
0
,1
,9/,
22
222
yx
yx
yxRyx
Rsección
de corona
circular
corona
circular
x
y
3
R
2
x
y
3
xy
4
R
1
Ejemplos:
27
Integral Múltiple.
./, 2222 rbyaxRyxR
.,0
,2,0/,''
2
r
RR
./,' 2222 rvuRvuR
,axu
.byv .11 J
,cosu
.senv.2 J
x
y
a
b u
v
r
R
Cuando la circunferencia que determina el recinto no está centrada en el
origen suele ser útil hacer un cambio de variable previo al cambio a
coordenadas polares.
28
Integral Múltiple.
22 2, / 2 4,
.0
x y R x yR
y
cosh
h
h
x
y
2 4
R
h
cos4,0
,2
,0/,'
2RR
Ejemplo:
Sin embargo, en algunos casos es posible resolver el problema con un
único cambio a coordenadas polares que, en general, no producirá un
recinto rectangular.
R
dydxyx 22
29
Integral Múltiple.
cos2,0
,2
,2
/,'
2
a
RR
./, 2222 ayaxRyxR
x
y
R
a a2'
'
Ejemplos:
.
0
,93
,42/,
22
222
y
yx
yxRyx
R
cos6,cos4
,2
,0/,'
2RR
x
y
2 4
R
3 6
30
Integral Múltiple.
.
0
,93/,222
x
yxRyxR
x
y
3
6
R
h
h
senh
h
.
sen6,0
,2
,0/,'
2
R
R
Ejemplos:
./, 2222 bbyxRyxR
.sen2,0
,,0/,'
2
b
RR
x
y
R
b2
b
'
'
' 2 sen 2 sen '.b b 31