Post on 30-Oct-2014
description
1
Titulación:
Asignatura:
Autor:
Ingeniero Geólogo
Análisis Numérico
César Menéndez
Planificación:
Materiales:
Conocimientos previos:
Interpolación Numérica
4 Teoría+1 Prácticas+2 LaboratorioMATLABTmas. básicos de Cálculo –Desarrollos de Taylor – Sistemas lineales –
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
2
Ejemplo
Ensayos en laboratorio que determinan la permeabilidad de un material para diferentes presionesEstimar su permeabilidad para presiones intermediasDeterminar el tipo de problema y seleccionar la base de funciones
– ¿Existencia y unicidad de solución?– Soporte {x0,x1,x2,…xn}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0-0 .0 0 5
0
0 .0 0 5
0 .0 1
0 .0 1 5
0 .0 2
0 .0 2 5
0 .0 3
p re s ió n (a tm )
perm
eabi
lidad
Descripción
Objetivos
Temario
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
3
Interpolación
Sustitución de una función (conocida o tabulada) por otra más simpleInterpolante como combinación de la base de un espacio funcional:
– Funciones base: polinómicas, trigonométricas, …
Función interpolante “coincide” con la inicial– Lagrange: valor de la función en algunos puntos– Taylor: valor de las derivadas en un punto– Hermite: valor de la función y la derivada– …
( ) ( )0
n
i ii
x xψ α ϕ=
=∑
Descripción
Objetivos
Temario
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
4
Interpolación
Plantear las condiciones de existencia y unicidad de solución del problema general de interpolaciónSaber que el problema de Lagrange tiene un único polinomio de interpolación de grado mínimoConocer las diferentes formas de representar dicho polinomioConocer las ventajas e inconvenientes de las formas de Lagrange y de NewtonComprender la relación entre diferencias divididas y expansión en serie de Taylor y su uso para acotar el errorComprender las limitaciones e incertidumbres de la extrapolaciónValorar las ventajas e inconvenientes de los diferentes interpolantes segmentarios
Descripción
Objetivos
Temario
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
5
Problema de Lagrange
– Existencia y unicidad asociadas al sistema
– Base polinónica: soporte sin puntos repetidos
– Base trigonométrica: soporte sin puntos repetidos y comprendidos en [- π , π ]
( ) ( ) ( ) ( )0
: , 0,1,n
i i k ki
x x x f x k nψ α ϕ ψ=
= = =∑
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1
n
n
n n n n n n
x x x f xx x x f x
x x x f x
ϕ ϕ ϕ αϕ ϕ ϕ α
ϕ ϕ ϕ α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
{ }2 31, , , , nx x x x…
( ) ( ) ( ) ( ){ }1,sin ,cos , sin ,cos ,x x kx kx…
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónReglas simples
- Cerradas- Abiertas- Ejemplos
Reglas CompuestasCuadratura GausianaInt. RombergInt. Adaptativa
Bibliografía
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
6
Problema de Hermite
– Existencia y unicidad asociadas al sistema
– Base polinónica: soporte sin puntos repetidos
– Base trigonométrica: soporte sin puntos repetidos y comprendidos en [- π , π ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
0 1 1 2 1
0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1
0 1 1 2 1 2 1
n n n
n n n
n n n n n n n n n
n n n n
n n n n n n n n n
x x x x xx x x x x
x x x x xx x x x x
x x x x x
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ αϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ αϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α
+ +
+ +
+ +
+ + −
+ + +
⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′ ′⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′ ′ ⎝⎝ ⎠
( )( )
( )( )
( )
0
1
0
n
n
f xf x
f xf x
f x
⎛ ⎞⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ′⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ′⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 1
0
: , 0,1,n
k ki i
i k k
x f xx x k n
x f xψ
ψ α ϕψ
+
=
=⎧⎪= =⎨ ′ ′=⎪⎩∑
{ }2 3 2 11, , , , nx x x x +…
( ) ( ) ( ) ( ){ }1,sin ,cos , sin ,cos ,x x kx kx…
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
7
Problema de Taylor
– Existencia y unicidad asociados al sistema
– Series de potenciasCriterios del cociente y de la raíz
– Si L=∞, converge en x=0, si L=0, converge ∀x– Sino converge para |x|<1/L
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
: , 0,1,n
k ki i
ix x a f a k nψ α ϕ ψ
=
= = =∑
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
0 1 0
0 1 1
0 1 0
n
n
n n n nnn
a a a f aa a a f a
a a a f a
ϕ ϕ ϕ αϕ ϕ ϕ α
αϕ ϕ ϕ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )¿ ?
0
convergekk
kx xα ψ
∞
=
⎯⎯⎯⎯→∑
1lim limk kkk k
k
L Lαα
α+
→∞ →∞= ∨ =
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
8
Ejemplos
Existencia y unicidad de– F(-π)=1,F(0)=0,F(π)=1
Base polinómica: solución única
{1,sen(x),sen(2x)}: sin solución{1,cos(x),cos(2x)}: solución múltiple
– F(x0)=y0,F(x1)=y1,F’(x2)=y2Base polinómica:
– Solución única si
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 12 2
1 12 2
1 cos 0 cos 2
0 1 cos cos 2
x x x
x x x
ψ
ψ
−
−
= + +
= + +
i
i
( ) ( )2 212 0 0P x x xπ= + +
( )10 1 2 0 12x x x x x≠ ∧ ≠ +
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
9
Problema de Lagrange
Resolución “frontal” del sistema desaconsejableÚnica solución de grado menor o igual a nFormas “más simples” de escribir el polinomio
– Forma de Lagrange
– Forma de Newton
( ) ( ) ( ) ( )00
:nn
n n ki i i
ki i kk i
x xx f x L x L xx x
ψ==≠
−= =
−∑ ∏
( )1
0 0
in
i ki k
x x xψ α−
= =
= −∑ ∏
( ) ( ) ( )0
: , 0,1,n
kn i n k k
i
P x x P x f x k nα=
= = =∑Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General- Int. Tchabishev.
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
10
Forma de Lagrange (I)
Grado n y ademásEjemplo
( ) ( )0
:n
n n kki i k i
k i kk i
x xL x L xx x
δ=≠
−= =
−∏
( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )
3 232
2 1 2 4 41 2 1 1 1 2 6x x x x x xL x+ + − + − −
= =+ + − −
( ) ( )( )( )( )( )( )
3 231
2 1 2 4 41 2 1 1 1 2 6x x x x x xL x+ − − − − +
= =− + − − − −
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
3 233
2 1 1 2 22 2 2 1 2 1 12x x x x x xL x+ + − + − −
= =+ + −
( ) ( )( )( )( )( )( )
3 230
1 1 2 2 22 1 2 1 2 2 12x x x x x xL x+ − − − − +
= =− + − − − − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 313 35 50 1 2 3
03 2 3 2 3 2 3 2
13 35 5
3 21 1 210 2 5
3 2
2 2 4 4 4 4 2 23 212 6 6 12
3
n
n i ii
P x f x L x L x L x L x L x
x x x x x x x x x x x x
x x x
=
= = − − − + =
− − + − − + + − − + − −= − − − +
− −= + + −
∑
3/5X3=2-2X2=1-3X1=-1-13/5X0=-2F(x)x
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
11
Forma de Lagrange (II)
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5funcióninterpolante
-2 0 2-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
L03 (x)
L13 (x)
L23 (x)
L33 (x)
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
12
Forma de Lagrange (III)
Ventajas– Fácil de calcular– Independientes de la
función a interpolar
Inconvenientes– El interpolante puede
ser mucho más simple que los polinomios de Lagrange
– Si cambia el soporte los polinomios obtenidos son inútiles, es necesario repetir todo el proceso
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Polinomio:y=2x-1– {(-2,-5),(-1,-3),(1,1),(2,3)}
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
03 3 3 30 1 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
5 3 1 3
2 2 4 45 312 64 4 2 21 3
6 120 0 2 1
n
n i ii
P x f x L x
L x L x L x L x
x x x x x x
x x x x x x
x x x
=
= =
= − − + + =
− − + − − += − − +
−+ − − + − −
+ +−
= + + −
∑
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
13
Forma de Newton – Diferencias Divididas (I)
Origen:
Propiedades– Simetría
– Cálculo
( ) ( ) [ ] ( )1 1
0 10 00 0
, ,i in n
n i k i ki ik k
P x x x f x x x x xα− −
= == =
= − = −∑ ∑∏ ∏…
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
10
1
10
n
n n n n kk
n
n n n kk
Q x P x P x x x
P x P x x x
α
α
−
−=
−
−=
= − = −
= + −
∏
∏
[ ] ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )0 10 0 0 1 1
0
, ,k k
i ik k
i i i i i i i i ni j
jj i
f x f xf x x x
x x x x x x x xx x= = − +
=≠
= =− − − −−
∑ ∑∏
…
[ ] ( )
[ ] [ ] [ ]0 0
0 1 1 1 10 1 1
0
, , , ,, , , k k k
k kk
f x f x
f x x x f x x xf x x x x
x x− −
−
=
−=
−… …
…
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
14
Forma de Newton – Diferencias Divididas (II)
Cálculo de la tabla de Diferencias divididas
x3=2
x2=1
x1=-1
x0=-2
F(x)x
( ) [ ] [ ]( ) [ ]( )( )[ ]( )( ) ( )
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
, , ,
, ,n
n n
P x f x f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x −
= + − + − − +
− − −
…
…
[ ] 130 5f x −=
[ ]1 3f x = −
[ ]2 2f x = −
[ ] 33 5f x =
[ ] [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )
130 1 5
0 10 1
3 2,2 1 5
f x f xf x x
x x
− − −−= = = −
− − − −
[ ] [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )
1 21 2
1 2
3 2 1,1 1 2
f x f xf x x
x x− − − −
= = =− − −
[ ] [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )
32 3 5
2 32 3
2 13,2 1 5
f x f xf x x
x x− −−
= = =− −
[ ] [ ] [ ]0 1 1 20 1 2
0 2
, , 3, ,10
f x x f x xf x x x
x x−
= =−
[ ] [ ] [ ]1 2 2 31 2 3
1 3
, , 7, ,10
f x x f x xf x x x
x x−
= =−
[ ] [ ] [ ]0 1 2 1 2 31 2 3 4
0 3
, , , , 1, , ,10
f x x x f x x xf x x x x
x x−
= =−
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
13 32 15 5 10 10
3 13 7 15 5 10 10
2 2 1 2 1 1
2 2 1 2 1 1nP x x x x x x x
x x x x x x
− −= + + + + + + + + −
= + − + − − + − − +
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
( ) 3 21 1 23 10 2 5 3P x x x x= + + −
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
15
Forma de Newton – Diferencias Finitas
Puntos equiespaciados xk=x0+k h– Progresivas– Regresivas
Relaciones–
–
–
–
–
( )0
1n
n ink k i
i
nf f
i−
+=
⎛ ⎞Δ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
( ) ( ) 1 11 1 y n n n
k k k k k kf f x f x f f f− −+ +Δ = − Δ = Δ −Δ
( ) ( ) 1 11 1 y n n n
k k k k k kf f x f x f f f− −− −∇ = − ∇ = ∇ −∇
1 y n nk k k k nf f f f− −∇ = Δ ∇ = Δ
[ ]1! , , ,n nk k k k nf n h f x x x+ +Δ =
( )0
1n
n ink k n i
i
nf f
i−
− +=
⎛ ⎞∇ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
( )0
1n
n ink k i
i
nf f
i−
+=
⎛ ⎞Δ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
[ ]1! , , ,n nk k n k kf n h f x x x− −∇ =
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
16
Error en la interpolación de Lagrange (I)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )1
0
max
1 !
nn
x In k
k
f xf z P z z x
n
+
∈
=
− ≤ −+ ∏
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
1
min max0
,1 !
n n
n kk
ff x P x x x I x x
nξ
ξ+
=
− = − ∈ =+ ∏
[ ]( ) ( )( ) ( )0 1 min max, , ,
!
n
n
ff x x x I x x
nξ
ξ= ∈ =…
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )1
0
maxmax max
1 !
nn
x In kx I x I k
f xf x P x x x
n
+
∈
∈ ∈=
− ≤ −+ ∏
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
17
Error en la interpolación de Lagrange (II)
Datos provienen de
– Valor del interpolante en x=0
– Error máximo cometido en x=0
– Error máximo cometido en todo el intervalo
[ ]( ) ( )
[ ] ( )( ) ( ) ( )( )( )( )
5 4 3 24
52,2 2,2 2
25 10 50 5 5max max 24 1221
122 610 0 0 2 0 1 0 1 0 24! 3
x x
n
x x x x xf xx
f P
∈ − ∈ −
+ − − + += − ≈
+
− ≤ + + − − =
[ ]( ) ( )
[ ]( ) ( )
3 3
2,2 0 0 0
2,2
max 4
122 61max 44! 3
k kx k k x
nx
x x x x
f x P x
∈ −= = =
∈ −
− = − =
− ≤ =
∏ ∏
( )3
2
51
xf xx−
=+
( ) 3 21 1 210 2 50 0 0 0 3 3nP = + + − = −
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5f(x)-Pn (x)
erro
r
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
18
Error en la interpolación de Lagrange (III)
Datos equiespaciados xk=x0+k h– Interpolación lineal
– Interpolación parabólica
– Interpolación cúbica
[ ]( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )0 0
2 21
211 4, 0
max maxmax max
2! 2!h
x I x Ikx x x x I k
f x f xf x P x x x h
+
∈ ∈
∈ ∈=
− ≤ − =∏
[ ]( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )0 0 2
3 32
322 3 3, 0
max maxmax max
3! 3!h
x I x Ikx x x x I k
f x f xf x P x x x h
+
∈ ∈
∈ ∈=
− ≤ − =∏
[ ]( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )0 0 3
4 43
43, 0
max maxmax max
4! 4!h
x I x Ikx x x x I k
f x f xf x P x x x h
+
∈ ∈
∈ ∈=
− ≤ − =∏
4.2901 104995.841964.9292 103816.90095640.601073.63144
nn [ ]( )
0, 0
maxn
s n k
s k∈
=
−∏ [ ]( )
0, 0
maxn
s n k
s k∈
=
−∏
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
19
Ejemplo 1 de Interpolación de Lagrange (I)
El mástil de un barco construido con una nueva aleación de aluminio tiene un área transversal de 5.65 cm2. Se desarrollan pruebas para definir la relación entre esfuerzo (fuerza aplicada al material por unidad de área) y deformación (deflexión por unidad de longitud), cuyos resultados se muestran en la tabla. Utilize polinomios de varios grados para obtener la deformación del mástil debida a la fuerza del viento, evaluada en 2900Kg. . ¿Cual parece ser el más adecuado?.
0.0005126
0.0085703
0.0013365
0.006562
0.0045527
0.002506
Deforma.(m)
Esfuerzo(Kg/cm2)Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
20
Ejemplo 1 de Interpolación de Lagrange (II)
0.0045
0.002
F(x)
0.1190 10-3527
506
x
0.006 0.0429 10-3 -0.1361 10-55620.0013 0.0239 10-3 0.0117 10-5 -0.1048 10-73650.0085 0.0213 10-3 -0.0018 10-5 -0.0077 10-7 0.4930 10-107030.0005 0.0139 10-3 0.0031 10-5 -0.0011 10-7 -0.0164 10-10 0.1340 10-12126
P1(x)=0.002+ 0.1190 10-3 (x-506)
Interpolante
2.865992 10-3
P(z)
P2(x)= P1(x) - 0.1361 10-5 (x-506)(x-527) 3.001836 10-3
P3(x)= P2(x)- 0.1048 10-7 (x-506)(x-527)(x-562) 2.950845 10-3
P4(x)= P3(x) + 0.4930 10-10 (x-506)(x-527)(x-562)(x-365) 2.986407 10-3
P5(x)= P4(x) + 0.1340 10-12 (x-506)(x-527)(x-562)(x-365)(x-703) 2.968062 10-3
Punto de interpolación: z= 2900/5.65= 513.2743
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
21
Ejemplo 1 de Interpolación de Lagrange (III)
100 200 300 400 500 600 700 8000
1
2
3
4
5
6
7
8
9x 10
-3 P1 (x)
100 200 300 400 500 600 700 8000
1
2
3
4
5
6
7
8
9x 10-3 P2 (x)
100 200 300 400 500 600 700 800-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10x 10-3 P3 (x)
100 200 300 400 500 600 700 800-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01P4 (x)
100 200 300 400 500 600 700 800-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12P5 (x)
100 200 300 400 500 600 700 800-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12P1 (x)
P2 (x)
P3 (x)
P4 (x)
P5 (x)
P1(x)=0.002+ 0.1190 10-3 (x-506)
Interpolante
2.865992 10-3
P(z)
P2(x)= P1(x) - 0.1361 10-5 (x-506)(x-527) 3.001836 10-3
P3(x)= P2(x)- 0.1048 10-7 (x-506)(x-527)(x-562) 2.950845 10-3
P4(x)= P3(x) + 0.4930 10-10 (x-506)(x-527)(x-562)(x-365) 2.986407 10-3
P5(x)= P4(x) + 0.1340 10-12 (x-506)(x-527)(x-562)(x-365)(x-703) 2.968062 10-3
505 510 515 520 525 5302
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10-3
P1 (x)
P2 (x)
P3 (x)
P4 (x)
P5 (x)
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
22
Ejemplo 2 de Interpolación de Lagrange (I)
Se desea tabular la función f(x)=cos(x)*exp(x) definida en [-π,π] mediante puntos equiespaciados.¿Cuántos puntos son necesarios para que al interpolar linealmente entre dos valores consecutivos el error entre la función y el interpolante no supere lmedia unidad?. ¿Y si se utiliza una interpolación con tres puntos consecutivos?.¿Cual es el máximo error cometido al utilizar 5 puntos equiespaciados? ¿ Y si se toman 9?
– Interpolación lineal
– Interpolación cuadrática
[ ]( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
[ ]( ) ( )
0 0
1
2
211 4,
2
,
211 4,
maxmax
2!cos 2sin max 2
2 2max 0.5 0.2940 1 23 puntos2!
h
k k
x I
x x x
x x
x
x x x
f xf x P x h
f x x e f x x e f x e
ef x P x h h Nh
π
π π
π π
+
+
∈
∈
∈ −
∈
− ≤
′′= → = − → ≤
− ≤ < → < → > + =
[ ]( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
[ ]( ) ( )
0 0 2
1
3
322 3 3,
3
,
322 3 3,
maxmax
3!2cos 2sin max 4
4 2max 0.5 0.4383 1 16 puntos3!
h
k k
x I
x x x
x x
x
x x x
f xf x P x h
f x x e x e f x e
ef x P x h h Nh
π
π π
π π
+
+
∈
∈
∈ −
∈
− ≤
′′′ = − − → ≤
− ≤ < → < → > + =
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
23
Ejemplo 2 de Interpolación de Lagrange (II)
– Interpolación con 5 puntos
– Interpolación con 9 puntos
[ ]( ) ( )
( ) ( )
[ ]( ) ( )
[ ]( ) ( )( )
[ ]( ) ( )
5
54,
5 3 8
, ,
5
4,
maxmax 3.6314
5!max max 4 sin cos 8 10
8 2max 3.6314 53.57465! 4
x I
x
x
x x
x
f xf x P x h
f x e x x e h
ef x P x
π π
π
π π π π
π
π π
π
∈
∈ −
∈ − ∈ −
∈ −
− ≤
= − ≤ ⋅
⎛ ⎞− ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ]( ) ( )
( ) ( )
[ ]( ) ( )
[ ]( ) ( )( )
[ ]( ) ( )
9
3 98,
9
, ,
93
8,
maxmax 4.9292 10
9!max max 16 sin cos 32
32 2max 4.9292 10 1.14389! 8
x I
x
x
x x
x
f xf x P x h
f x e x x e
ef x P x
π π
π
π π π π
π
π π
π
∈
∈ −
∈ − ∈ −
∈ −
− ≤ ⋅
= − ≤
⎛ ⎞− ≤ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
24
Ejemplo 2 de Interpolación de Lagrange (III)
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 1 6
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
0
2
x
c o s ( x ) e x p ( x )
f u n c i o nP 1 ( x )
P 2 ( x )
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 1 6
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
0
2
x
c o s ( x ) e x p ( x )
f u n c i o nP 4 ( x )
P 8 ( x )
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. Polinomial
- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev
Int. SegmentariaInt. Multidimensional
Bibliografía
– Máximo error realLineal: 0.0750 Cuadrática: 0.09235 Puntos: 0.9028 9 Puntos: 0.0160
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
33
Definición
Sea X={a=x0,x1,x2,…xn=b} un soporte ordenado donde se conoce f(x), se define el interpolante segmentario de grado n (splinede grado n) mediante
( ) ( ){ } [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
11 1
0 1 2 1
1
con con , ,
donde y
n n
k k k k kk k
n n
k k k k k k
S x P x x I a b I x x
a x x x x x bS x P x P x f x
−= =
−
+
= ∈ = =
= < < < < < =
= = =
∪ ∪
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
34
Interpolación Segmentaria Lineal
Definición– Los polinomios en cada uno de los n intervalos de la
partición son lineales, esto es, de grado 1 (dos coeficientes cada polinomio).
Condiciones (Ecuaciones): 2n– Cada polinomio coincide con la función en ambos
extremos.Coeficientes (Incógnitas): 2n
– Hay n polinomios linealesSistema compatible determinado. Se obtiene una poligonal
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
35
Interpolación Segmentaria Lineal: Ejemplo (I)
Aproximar la función f(x)=cos(x)*exp(x) definida en [-π,π] mediante una poligonal utilizando 5 y 9 puntos equiespaciados. Acotar el error cometido en cada caso.Interpolación con 5 puntos y polinomios
– Error de interpolación
[ ]( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )1, 1,
21
1, 0
2 221 1
4 4
maxmax max max
2!
max 2 2 14.27432! 2! 4
k kk n k n
x Ik k ix x I x I i
x I
f xf x S x f x P x x x
f x eh
π π
π π
= =
∈−∈ − ∈ ∈
=
∈
− = − ≤ − =
⎛ ⎞= = ≈⎜ ⎟⎝ ⎠
∏
-14.7318-23.1407π
-0.63660π/2
0.636610
0.02750-π/2
-0.0432-π
F[.,.]F[.]x
0 -14.7318(x-π/2)[π/2, π]
1 -0.6366(x-0)[0 , π/2]
0+ 0.6366(x+π/2)[-π/2 ,0]
-0.0432+ 0.0275(x+π)[-π, -π/2]
PolinomioIntervalo
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30
-20
-10
0
10Interpolacion
f(x)S1 (x)
Datos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
2
4
6Error
Maximo:4.1056
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
36
Interpolación Segmentaria Lineal: Ejemplo (II)
Interpolación con 9 puntos y polinomios
– Error de interpolación
[ ]( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )1, 1,
21
1, 0
2 221 1
4 4
maxmax max max
2!
max 2 2 3.56862! 2! 8
k kk n k n
x Ik k ix x I x I i
x I
f xf x S x f x P x x x
f x eh
π π
π π
= =
∈−∈ − ∈ ∈
=
∈
− = − ≤ − =
⎛ ⎞= = ≈⎜ ⎟⎝ ⎠
∏
-9.4990-7.46053π/4
0.41050.3224-π/4
0.08530-π/2
-0.0303-0.0670-3π/4
-1.97460π/2
-19.9647-23.1407π
0.70141.5509 π/4
0.862810
-0.0432-π
F[.,.]F[.]x
0+0.8628(x+π/4)[-π/4,0]
0+0.4105(x+π/2)[-π/2,-π/4]
-0.0432+0.0853(x+3π/4)[-3π/4,-π/2]
-0.0432-0.0303(x+π)[-π,-3π/4]
0-19.9647(x-3π/4)[π/2,π]
0-9.4990(x-π/2)[π/2,3π/4]
1-1.9746(x-π/4)[π/4,π/2]
1+0.7014(x-0)[0,π/4]
PolinomioIntervalo
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30
-20
-10
0
10Interpolacion
f(x)S1 (x)
Datos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.5
1
1.5Error
Maximo:1.0023
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
37
Splines cúbicos: Definición
Definición– Los polinomios en cada uno de los n intervalos de la
partición son cubicos (cuatro coeficientes cada polinomio).
Condiciones– Cada polinomio coincide con la función en ambos
extremos (2n condiciones)– La derivada primera de los polinomios es continua
en los puntos del soporte (n-1 condiciones)– La derivada segunda de los polinomios es continua
en los puntos del soporte (n-1 condiciones)Incógnitas
– 4n (n intervalos con polinomios cúbicos en cada uno)
Sistema indeterminado (hay 4n incógnitas y 4n-2 ecuaciones)
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
38
Definición
Condiciones
– Sustituyendo las condiciones, se obtiene
Splines cúbicos: Planteamiento (I)
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1,2,k k k k k kP x f x P x f x k n− −= ∧ = =
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
3 21 1 1
1con ,k k k k k k k k
k k k
P x a x x b x x c x x d
x I x x− − −
−
= − + − + − +
∈ =
( ) ( )1 1,2, 1k k k kP x P x k n+′ ′= = −( ) ( )1 1,2, 1k k k kP x P x k n+′′ ′′= = −
( )
[ ]
( )[ ] [ ]( ) ( )
1 1
1
11
1
1 1 1 1 2 1
1,2,3 3
2, 1,2,3
1,2,
3 , , 2 1,2,3, 1
k k k kk
k k k
k kk k k k
k k
k k k k k k k k k k k
b b b ba k nx x h
b bc f x x h k n
d f x k n
f x x f x x b h b h h b h k n
+ +
−
+−
−
+ − + + + +
− −= = =
−
+= − =
= =
− = + + + = −
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
39
Sistema
– Se necesitan 2 condiciones más para que el sistema sea compatible determinado
Splines cúbicos: Planteamiento (II)
( )( )
( )[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
1 1 2 2 1
2 2 3 2 2
1 1 1
1 2 0 1
2 3 1 2
1 2 1
2 0 0 0 00 2 0 0 0
0 0 0 0 2
, ,, ,
3
, ,
n n n n n
n n n n
h h h h bh h h h b
h h h h b
f x x f x xf x x f x x
f x x f x x
− − +
− − −
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
40
– Aproximación parabólica en los extremos
– Aproximación cúbica en los extremos– Comportamiento periódico– …
Condiciones
Splines cúbicos: Planteamiento (III)
( )
( )
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
1 1 1 0 1
1 1 2 2 1 2 0 1
1 1 2 1
1 1
2 0 0 ,2 0 0 , ,
3 0 0 2 , ,0 0 2 ,
n n n n n n n n
n n n n n
h h b f x x Ah h h b f x x f x x
h h h b f x x f x xh h b B f x x− − − −
+ −
⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )( )
( )( )
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
1 2 2 2 1 2 0 1
2 2 3 3 2 3 1 0
2 1 1 1 2 1 3 2
1 1 1 2 1
2 0 0 , ,2 0 0 , ,
3 0 0 2 , ,0 0 2 , ,
n n n n n n n n
n n n n n n n n
h h h b f x x f x xh h h b f x x f x x
h h h b f x x f x xh h h b f x x f x x− − − − − − − −
− − − − −
⎛ ⎞+⎛ ⎞ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( )0 1 1; n nS x S x S x S x−′′ ′′ ′′ ′′= =
– Spline Natural (S”(a)=S”(b)=0)– Spline Sujeta (pendiente conocida en los extremos)Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
41
Spline Cúbicos: Procedimiento y Cota de error
Procedimiento– Datos de partida {(x0, f(x0)), (x1, f(x1)),…(xn, f(xn))} (derivadas en
los extremos cuando se desea una spline sujeta)– Selección de las 2 condiciones a añadir– Planteamiento y resolución del sistema– Recuperación de los coeficientes de los polinomios para cada
intervalo– Selección del intervalo al que pertenece el punto a interpolar y
uso del polinomio correspondiente
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0
0
4
4 5 310 1 2384 24 8
max , 0,1,2
con max , , ,n
n
k k kkx x x
x x x
f x S x c Mh k
M f x c c c
−
≤ ≤
≤ ≤
− ≤ =
= = = =
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ]( ) ( )
1 1
0 1 1
4
2
, ,
max , 0,1,2
maxn
n n
k k kkx x x
x x x x x
f x S x c Mh k
f x S x cMh−
−
−
≤ ≤
∈
− ≤ =
− ≤∪
Acotación del error– Spline sujeta
– Spline natural
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
42
Spline Cúbicos: Ejemplo (I)
Aproximar la función f(x)=cos(x)*exp(x) definida en [-π,π] mediante una spline cúbica sujeta utilizando 5 y 9 puntos equiespaciados.Spline Sujeta con 5 puntos
-0.0432-π
-0.0432-π
-23.1407π
-23.1407π
0π/2
10
0-π/2
F(x),F’(x)x
0.0843(x-π/2)3-5.6182(x-π/2)2-6.1149(x-π/2)+0[π/2,π]
-1.3564x3+0.7736x2+1.4949x+1.0000[0,π/2]
0.1446(x+π/2)3+0.0920(x+π/2)2+0.1352(x+π/2)+0[-π/2,0]
0.0150(x+π)3-0.0215(x+π)2-0.0432(x+π)-0.0432[-π,-π/2]
PolinomioIntervalo
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía ( ) ( )
( )0
45384
45 2384 4
max
4 7.3376nx x x
f x S x Mh
eπ π
≤ ≤− ≤
≤ ≈
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30
-20
-10
0
10Interpolacion
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8Error
f(x)SpSuj3 (x)
Datos
Maximo:0.76909
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
43
Spline Cúbicos: Ejemplo (II)
Spline Sujeta con 9 puntos
-23.1407π
-0.0432-π
10
0.3224-π/4
0-π/2
-0.0670-3π/4
-0.0432-π
-23.1407π
-7.46053π/4
0π/2
1.5509 π/4
F(x),F’(x)x
-0.1052(x+π/4)3+0.3536(x+π/4)2+0.6499(x+π/4)+0.3224[-π/4,0]
0.0622(x+π/2)3+0.2071(x+π/2)2+0.2095(x+π/2)+0[-π/2,-π/4]
0.0624(x+3π/4)3+0.0600(x+3π/4)2-0.0003(x+3π/4)-0.0670[-3π/4,-π/2]
0.0277(x+π)3-0.0054(x+π)2-0.0432(x+π)-0.0432[-π,-3π/4]
2.7288(x-π/2)3-8.3302(x-π/2)2-15.1054(x-π/2)-7.4605[π/2,π]
-1.5177(x+π/2)3-4.7543(x+π/2)2-4.8288(x+π/2)+0[π/2,3π/4]
-1.4265(x+π/4)3-1.3933(x+π/4)2-0.0004(x+π/4)+1.5509[π/4,π/2]
-0.6363(x-0)3+0.1058(x-0)2+1.0108(x-0)+1.0000[0,π/4]
PolinomioIntervalo
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
( ) ( )
( )0
45384
45 2384 8
max
4 0.4586nx x x
f x S x Mh
eπ π
≤ ≤− ≤
≤ ≈
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30
-20
-10
0
10Interpolacion
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.02
0.04
0.06
0.08Error
f(x)SpSuj3 (x)
Datos
Maximo:0.075319
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
44
Spline Cúbicos: Ejemplo (I)
Aproximar la función f(x)=cos(x)*exp(x) definida en [-π,π] mediante una spline cúbica natural utilizando 5 y 9 puntos equiespaciados.Spline Natural con 5 puntos
-23.1407π
0π/2
10
0-π/2
-0.0432-π
F[.]x
-1.0508(x-π/2)3 -4.4866(x-π/2)2 -5.0914 (x-π/2)+0[π/2, π]
-1.0508x3+0.4653x2+1.2254x+1.0000[0 , π/2]
0.0576(x+π/2)3+0.1939(x+π/2)2+0.1900(x+π/2)+0[-π/2 ,0]
0.0576(x+π)3-0.0775(x+π)2+0.0071(x+π)-0.0432[-π, -π/2]
PolinomioIntervalo
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30
-20
-10
0
10Interpolacion
f(x)SpNat3 (x)
Datos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8Error
Maximo:0.50656
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. Multidimensional
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
45
Spline Cúbicos: Ejemplo (II)
Spline Natural con 9 puntos
10
0.3224-π/4
0-π/2
-0.0670-3π/4
-0.0432-π
-23.1407π
-7.46053π/4
0π/2
1.5509 π/4
F[.]x
-0.1229(x+π/4)3+ 0.3632(x+π/4)2+ 0.6533(x+π/4)+ 0.3224[-π/4,0]
0.0687(x+π/2)3+ 0.2013(x+π/2)2+ 0.2100(x+π/2)+0[-π/2,-π/4]
0.0542(x+3π/4)3- 0.0736(x+3π/4)2 -0.0059(x+3π/4) -0.0670[-3π/4,-π/2]
0.0542(x+π)3-0.0541 (x+π)2-0.0213 (x+π)-0.0432[-π,-3π/4]
-0.6203(x-π/2)3 -6.6627(x-π/2)2-14.3492 (x-π/2)+ -7.4605[π/2,π]
-0.6203(x+π/2)3 -5.2012 (x+π/2)2 -5.0314 (x+π/2)+0[π/2,3π/4]
-1.6669(x+π/4)3-1.2735 (x+π/4)2+ 0.0538(x+π/4)+ 1.5509[π/4,π/2]
-0.5717 (x-0)3+0.0735 (x-0)2+0.9963 (x-0)+1.0000[0,π/4]
PolinomioIntervalo
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30
-20
-10
0
10Interpolacion
f(x)SpNat3 (x)
Datos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4Error
Maximo:0.31398
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. MultidimensionalResumen
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
46
Resumen
El problema de Lagrange tiene un único polinomio de interpolación de grado mínimo que se puede obtener mediante
– Planteamiento directo del sistema lineal– Usando los polinomios de Lagrange– Usando diferencias divididas de Newton
Los polinomios de Lagrange permiten sólo dependen de los puntos del soporte y son independientes de la función pero pueden ser más complejos que la función de partidaLas diferencias divididas de Newton dependen tanto de los puntoscomo de la función y permiten añadir o eliminar puntos del soporte aprovechando los cálculos realizadosLa fórmula de error del polinomio de interpolación es independiente de la forma en que se de éste y no siempre el error disminuye con el aumento del número de puntos del soporteLos polinomios de interpolación de grado elevado tienden a tener oscilaciones muy fuertes, lo que limita su aplicabilidadLa interpolación segmentaria permite disminuir el error con el aumento del número de puntos a consta de calcular interpolantes simples en cada subintervaloLos mejores resultados se suelen obtener con los splines cúbicos sujetos, si bien se utilizan las naturales porque los sujetos exigen conocer el valor de la derivada en los extremos
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. MultidimensionalResumen
Bibliografía
Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández
47
Resumen (Ejemplo)
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria
- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)
Int. MultidimensionalResumen
Bibliografía
1.00233.58869Poligonal4.104614.27435Poligonal
0.506565Sp. Natural
0.769097.33765Sp. Sujeta
Sp. Natural
Sp. Sujeta
PolinomialPolinomialCuadráticaLinealTipo
0.313989
0.0753190.45869
0.01601.143890.0902853.574650.09230.5160.07500.523ErrorCotaPuntos