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GESTION Y ADMINISTRACION PUBLICA PRIMER0. CURSO 2014-15
INTRODUCCION A LA ESTADISTICA
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
1
En este capítulo vamos a abordar algunas distribuciones de probabilidad que son
especialmente útiles porque responden a situaciones en las que nos veremos inmersos
con frecuencia.
Algunos conocimientos matemáticos son necesarios, en esta ocasión para este
tema es todo lo referente a números combinatorios.
Para ello comenzaremos con el concepto de factorial de un número natural.
Es decir, es un producto decreciente desde el número que nos interesa hasta la
unidad. Por ejemplo
Se toma como convenio que para poder efectuar determinadas operaciones.
Es inmediato que
Lo cual también será muy útil.
Una vez recordado el concepto de factorial de un número pasamos al de
número combinatorio. Su nomenclatura es simplemente 2 números naturales puestos
uno sobre otro y entre paréntesis, de forma que el de arriba sea mayor o igual que el
de abajo.
Su cálculo se expresa en función de factoriales según la siguiente expresión:
Por ejemplo
Hay varias propiedades importantes de los números combinatorios:
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Y como consecuencia
Una última propiedad será:
Una técnica para la obtención de los números combinatorios sin necesidad de realizar
tanto producto es el denominado Triángulo de Tartaglia. Consiste en disponer de
forma piramidal ordenada los números combinatorios, de forma que en cada fila estén
todos los que tienen la misma parte superior:
Etc.
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Si observamos los dos lados de este triangulo están formados por unos y en base a la
última propiedad, cualquier número combinatorio se podrá obtener como suma de los
dos que tiene encima de él. Así:
Por lo que podremos obtener fácilmente números combinatorios que no
correspondan a valores grandes.
Un resultado importante en el que intervienen los números combinatorios es
en la fórmula del Binomio de Newton que nos da la potencia de un binomio. Así pues:
Y para la diferencia
Por ejemplo:
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MODELOS DISCRETOS.-
Por cuestiones de tiempo vamos a ver solo tres distribuciones discretas, las de
mayor uso. La Distribución Binomial, la Distribución de Poisson y la Distribución
Geométrica.
BINOMIAL.-
Esta distribución se utiliza cuando se está realizando un experimento aleatorio,
la ocurrencia de un suceso dado será un éxito. Este experimento lo estamos
repitiendo, en idénticas condiciones, un determinado número de veces decidido a
priori. Finalmente, estaremos interesados en el número de éxitos que hayamos
obtenido.
Por ejemplo si realizamos el lanzamiento de un dado 10 veces y estamos
interesados en cuantas veces sale un cinco.
En esta distribución, si denotamos por la probabilidad de éxito, la de fracaso
(obviamente ) y el número de realizaciones del experimento aleatorio,
entonces se dice que la variable aleatoria que cuenta el número de éxitos seguirá una
distribución binomial con realizaciones y con probabilidad de éxito . Se denotará
como
Su función de cuantía será:
Por ejemplo si consideramos el experimento de lanzar veces un dado y ver cuantos
número mayores que cuatro ocurren será:
Por lo que si nos piden la probabilidad de que esto ocurra en tres ocasiones,
tendremos:
Se demuestra que para esta distribución se verifica que:
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Así, en el ejemplo anterior
Ejercicio 1. Halla la probabilidad de que en 5 lanzamientos de un dado, el tres
aparezca dos veces.
Vemos como el experimento lanzamiento de un dado y ver los puntos de la cara
superior se realiza 5 veces y el suceso que nos interesa es que salga un tres cuya
probabilidad obviamente es
. Así pues, si la variable aleatoria cuenta el número
de éxitos, entonces
. Su función de cuantía será:
Luego como nos piden la probabilidad de dos éxitos entonces
Ejercicio 2. Se lanzan monedas veces. Calcula el número esperado de veces
que saldrán las cuatro caras.
En este caso tenemos dos fases en el ejercicio. En primer lugar necesitamos hallar la
probabilidad de que al lanzar monedas, salgan las caras. Para esto tenemos dos
opciones:
a)
Llamando a sacar cara en la moneda y suponiendo la independencia de
unas monedas con otras.
b) Otra opción consiste en plantearlo a su vez como un ejercicio de la binomial
donde el experimento es lanzar una moneda, se efectúa veces (se lanzan
cuatro monedas), el éxito es obtener cara y nos interesa la probabilidad de
obtener éxitos.
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En definitiva, por cualquier camino obtenemos que la probabilidad de obtener las
caras es
.
Así pues, habrá que considerar ahora que el experimento es el lanzamiento (no de
una) de las monedas. Ese experimento lo realizaremos veces y el éxito es que
salgan las cuatro caras. Por lo tanto, la variable que mide el número de éxitos
verifica que
y como lo que nos piden es que hallemos su esperanza
Es decir, esperamos que salgan veces las cuatro caras.
Ejercicio 3. De un total de familias con hijos, ¿en cuántas de ellas cabe
esperar que tengan:
a) Dos varones y dos mujeres?
b) Uno o dos varones?
c) Ninguna mujer?
d) Al menos un varón?
Está claro que el experimento se va a realizar veces, luego . Sin
embargo, lo que no está tan claro es el valor de la probabilidad de éxito, porque en
cada apartado se considera como éxito una cosa diferente. Por lo tanto en cada
apartado trabajaremos con una binomial diferente.
Por otra parte como cada experimento afecta a familias con hijos, si
consideramos que es equiprobable varón y mujer y consideramos por ejemplo que nos
interesa que sea varón, la variable que mide el número de varones en cada familia
de hijos verifica
. (De forma dual se podría hacer considerando como
éxito ser mujer. Hágase como ejercicio).
a) En este caso nos interesa que tenga varones, es decir la probabilidad de
éxito será
. Por tanto la variable que
mide el número de familias que tienen varones verifica que
y en consecuencia, el número de familias que esperamos
cumplan esta condición será
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b) En este caso nos interesa que tenga o varones, es decir la probabilidad
de éxito será
. Por
tanto la variable que mide el número de familias que tienen o varones
verifica que
y en consecuencia, el número de familias que
esperamos cumplan esta condición será
c) En este caso nos interesa que no tenga ninguna mujer, es decir 4 varones,
luego la probabilidad de éxito será
. Por tanto
la variable que mide el número de familias que no tienen ninguna mujer
verifica que
y en consecuencia, el número de familias que
esperamos cumplan esta condición será
d) En este caso nos interesa que haya al menos varón, luego la probabilidad
de éxito será
Por tanto la variable que mide el número de familias que no tienen ninguna
mujer verifica que
y en consecuencia, el número de familias
que esperamos cumplan esta condición será
Ejercicio 4.- Sea una variable aleatoria con distribución binomial de
parámetros y Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
Nos están diciendo que
luego
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a)
b)
c)
d)
e)
Ejercicio 5.- En un estudio de mercado una empresa ha determinado que el
de los consumidores son clientes habituales de sus productos. Si se toman al azar
consumidores, calcular:
a) La probabilidad de que se encuentren como máximo de tales clientes.
b) La probabilidad de que se encuentren como mínimo clientes.
c) La probabilidad de que se encuentren entre 4 y clientes.
d) El número esperado de clientes.
e) La desviación típica de la distribución.
Como se consideran consumidores, quiere decir que el experimento de
seleccionar un consumidor y ver si es o no cliente nuestro se realiza veces y por
supuesto que un consumidor sea o no cliente nuestro no influye en ningún otro, por lo
que asumimos la independencia. Por otra parte, nuestro éxito (ser cliente nuestro)
tiene una probabilidad de por lo que la variable que cuenta el número de
clientes que hay entre los diez consumidores elegidos verifica
y por lo
tanto
a)
b)
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aprovechamos el resultado del apartado anterior para hacer menos cálculos.
c)
d)
e) Obtengamos primero la varianza y a continuación la desviación típica
Ejercicios propuestos:
1) En una oficina pública hay 10 administrativos. Se sabe que la probabilidad que
soliciten un día de permiso es 0,2. Se pide calcular:
a) La Probabilidad que un día determinado lo soliciten más de tres.
b) La Probabilidad que un día determinado lo soliciten por lo menos cuatro.
2) Se sabe que un determinado medicamento produce la mejoría de cierta
enfermedad a dos de cada tres enfermos. Se aplica este medicamento a 7
enfermos y se pide:
a) Calcule la probabilidad que mejoren 4 personas.
b) Calcule la probabilidad que al menos mejoren 3 personas.
2)
3) Una urna contiene cuatro bolas rojas y seis bolas blancas. Se saca una bola, se
anota el color y se devuelve a la urna. Suponiendo que esa experiencia se repite
cinco veces, se pide:
a) Calcular la probabilidad de obtener dos bolas rojas.
b) Calcular la probabilidad de obtener como máximo dos bolas rojas.
c) Calcula la Media y la Varianza de la variable aleatoria : “numero de bolas
rojas”.
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4) Se sabe que la probabilidad de que un opositor apruebe una determinada
oposición a la Administración Pública es 0,6. Cuatro amigos se presentan a dicha
oposición, se pide:
a) Probabilidad de que al menos tres de los cuatro amigos aprueben.
b) Probabilidad de que a lo sumo dos de los cuatro amigos aprueben.
5) La probabilidad de que un alumno que empieza sus estudios termine su carrera es
del . Si en un curso se encuentran 10 alumnos, se pide:
a) Calcular la probabilidad de que terminen 2
b) Calcular el número más probable de alumnos que terminen
6) Sea una variable aleatoria binomial de la que se sabe que y que
. Calcular:
a) La tabla que expresa la distribución de probabilidad.
b) La probabilidad del suceso: .
c) Calcula razonadamente la Moda y comprueba que corresponde al valor de la
variable de máxima probabilidad.
7) Lanzamos un dado, cuyas caras están numeradas del 1 al 6.
a) Calcular la probabilidad de obtener al menos un 5 en cuatro lanzamientos.
b) Calcular la probabilidad de no obtener número menor que 5 en tres
lanzamientos.
8) De una ciudad se conoce que en las pasadas elecciones generales,
de los
votantes, lo hicieron al partido A. El día de la votación se tomó una muestra
aleatoria de 5 votantes. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que al menos uno haya votado al partido A.
b) Calcular la probabilidad de que alguno haya votado al partido A.
c) Calcular la probabilidad de que ninguno haya votado a otro partido.
9) El porcentaje de repetidores entre los alumnos matriculados en cierta asignatura
es del . Si en una muestra de 20 de estos alumnos sabemos que por lo
menos 8 son repetidores, calcula la probabilidad de que menos de 15 sean
repetidores.
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10) Se sabe que en un ministerio el de los empleados son funcionarios, y el
contratados. Se seleccionan aleatoriamente 10 empleados para formar una
comisión. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que haya en dicha comisión menos de 8
contratados.
b) Calcular la probabilidad de que en dicha comisión haya más de 7 contratados.
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POISSON.-
La distribución de Poisson es la encargada de contar el número de veces que
ocurre un determinado suceso si se ha fijado una determinada unidad (casi siempre de
tiempo). Así pues, nos servirá para contar el nº de nacimientos en Torrecárdenas en un
día, el nº de accidentes de tráfico mortales en un fin de semana en España, etc.
Esta distribución depende de un solo parámetro que habitualmente se denota
como .
Se dice que una variable aleatoria sigue una distribución de Poisson con
parámetro
Cuando su función de cuantía viene dada por:
Obsérvese que no hay un valor máximo para la variable.
Por ejemplo, si nos dicen que el número de nacimientos diarios en Torrecardenas sigue
una Poisson con parámetro entonces que obtengamos la probabilidad de que en
un determinado día nazcan 2 niños será:
Se demuestra que
Finalmente, un importante resultado es que si modificamos la unidad de medida, por
ejemplo los días los pasamos a semanas, entonces el parámetro se verá modificado
por la misma razón, es decir si la variable que cuenta el nº de enfermos que acuden a
urgencias en una hora sigue una Poisson entonces el número de enfermos que
acuden a esa consulta de urgencias durante un turno (supongamos que los turnos son
de 4 horas) seguirá una Poisson y así la probabilidad de que en una hora vayan
10 enfermos será:
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Mientras que la probabilidad de que en un turno vayan 30 enfermos será:
Ejercicio 1. Sea calcular:
a)
b)
c)
d)
Basta con aplicar la fórmula que nos da la función de cuantía
Y que en nuestro caso será
a)
b)
c)
d)
Ejercicio 2. El número medio de solicitudes de préstamos que recibe una entidad
bancaria es de por día. Suponiendo que las solicitudes de préstamo sigan una
distribución de Poisson, calcular la probabilidad de que:
a) En un día se reciban más de solicitudes.
b) En una hora se reciban exactamente solicitudes, si el horario del banco es
de de la mañana hasta las de la tarde.
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Nos están diciendo que la variable que cuenta el número de solicitudes diarias
sigue una Poisson con parámetro , luego
c)
d) En este caso se está cambiando la unidad de medida del día a la hora. Pero lo
que nos interesa no son las horas del día sino el total de horas que el banco
está abierto, es decir desde las hasta las horas son un total de 5 horas.
Luego la variable que mide el número de solicitudes de préstamo por hora
será una Poisson con parámetro
por lo que
Ejercicio 3. Los accidentes de trabajo, , que se producen en una fábrica por
semana siguen una Ley de Poisson de forma que
Se supone que hay independencia entre los accidentes ocurridos en dos semanas
distintas cualesquiera. Calcular:
e) La media y la varianza de la distribución.
f) Número máximo de accidentes en el de las semanas.
g) Probabilidad de que no haya ningún accidente en semanas.
h) Probabilidad de que en una semana haya dos accidentes y en la siguiente
otros dos.
i) Si se sabe que en una semana ha habido al menos un accidente, probabilidad
de que en ella no haya habido más de tres.
e) Si aplicamos la fórmula de la función de cuantía a los valores y
obtenemos:
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de donde
Luego ya sabemos que por lo que tanto la media como la varianza de
esta distribución será . (Recordemos que en una Poisson el parámetro coincide
con la media y con la varianza).
f) Tenemos que hallar un valor de forma que y sin embargo
Para esto vamos a probar con diferentes posibilidades
hasta que encontremos el valor apropiado. Empecemos por ejemplo con
que satisface la primera condición. Veamos la segunda
que no supera por lo que habrá que probar con el siguiente
Que ya si supera por lo que el valor pedido será
g) En este caso nos interesa un periodo de cuatro semanas, por lo que la variable
que mide el número de accidentes en cuatro semanas sigue una distribución
de Poisson con parámetro y en consecuencia
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h) Como partimos del hecho de que lo que ocurra en una semana es
independiente de lo que ocurra en cualquier otra, entonces la probabilidad de
que haya dos accidentes en una semana y otros dos en la siguiente será el
producto de la probabilidad de que haya dos accidentes en una semana por la
probabilidad de que haya otros dos en la siguiente, que como son iguales será
su cuadrado
i) En este caso nos piden una probabilidad condicionada (las dos cosas afetan a la
misma semana.
1. Ejercicio 4.- Entre los 100 aspirantes a unas plazas de técnicos superiores en la Administración Pública, 40 son mujeres. Si seleccionamos una muestra aleatoria, con reemplazamiento, de 40 aspirantes. Obtener la probabilidad de que como mucho 5 sean mujeres. En este caso el experimento aleatorio es la elección de un opositor para ver si es
hombre o mujer. Este experimento se realiza 40 veces y por ser con reemplazamiento,
se hace en condiciones de independencia. Estamos interesados en el suceso ser
mujer. Como la composición de los aspirantes es de 40 mujeres y 60 hombre, entonces
la probabilidad de éxito será de
por lo que la variable que cuenta el número de
mujeres elegidas sigue una binomial
y nos están pidiendo
que bastante engorroso para su cálculo.
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Podemos calcularlo mediante una aproximación a través de la variable
y
por lo tanto
Que también es una lata pero mucho más manejable que el anterior.
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1) Sabiendo que es una variable aleatoria de Poisson con parámetro ,
calcular .
2) Sabiendo que es una variable aleatoria de Poisson tal que
.
a) Calcular el valor de .
b) Calcular el valor de .
3) Si las llamadas telefónicas siguen una Ley de Poisson con una frecuencia media por
minuto de valor , se pide:
a) Halla la probabilidad de que ocurra exactamente una llamada en un
intervalo de
minutos.
b) Halla la probabilidad de que ocurran a lo sumo dos llamadas en dicho intervalo.
4) Sabiendo que es una variable aleatoria de Poisson de parámetro y que
además , se pide calcular (Nota: calcular con un
solo decimal)
5) Se sabe que el número medio de ciudadanos que solicitan información en una
oficina pública es de 10 cada hora. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que soliciten información más de 7 ciudadanos en 1
hora.
b) Calcular la probabilidad de que soliciten información menos de 9 ciudadanos
en 30 minutos.
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6) Se conoce que en la central telefónica de una localidad se recibe un promedio de
480 llamadas por hora. Sabiendo además que la instalación tienen una capacidad
que puede atender a lo sumo 12 llamadas por minuto, se pide:
Calcular la probabilidad de que en un determinado minuto no sea posible dar línea
a todos los clientes que la soliciten.
7) El número de personas que llegan en una hora a una ventanilla de una oficina de la
Agencia Tributaria, sigue una distribución de Poisson con media 7. Se conoce que
si acuden a la ventanilla más de 5 personas en una hora se forma cola. Se pide
a) Calcular la probabilidad de que se forme cola en una ventanilla en una hora
determinada.
b) Sabiendo que en la oficina hay 10 ventanillas independientes, calcular la
probabilidad de que en una hora determinada se forme cola en 7 de las 10
ventanillas.
8) Se sabe que los errores que comete un administrativo de una oficina pública sigue
una distribución de Poisson de media 3 errores cada 2 días de trabajo. Se pide:
a) Probabilidad de que cometa más de 2 errores en los próximos 2 días.
b) Probabilidad de que cometa entre 2 y 4 errores en los próximos 2 días.
c) Probabilidad de que cometa menos de 3 errores al día siguiente.
9) Se conoce que la centralita telefónica de una oficina pública recibe en promedio
10 llamadas cada 8 minutos. Suponiendo que el número de llamadas siga una
distribución de Poisson:
a) Calcular la Moda y la Varianza de la distribución.
b) Calcular la probabilidad de que se reciban al menos 5 llamadas en los próximos
8 minutos.
c) Calcular la probabilidad de que se reciban menos de 5 llamadas en los
próximos 2 minutos.
10) Suponiendo que el promedio de alumnos que llegan a una fotocopiadora cada 5
minutos sigue una Ley de Poisson de parámetro , se pide:
a) Expresa simbólicamente la función de probabilidad y la función de distribución.
Calcula la Media, la Moda y la Varianza.
b) Calcular la probabilidad de que en los próximos 5 minutos lleguen a la
fotocopiadora más de 4 alumnos.
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c) Calcular la probabilidad de que en los próximos 10 minutos lleguen a la
fotocopiadora menos de 8 alumnos.
11) Sabiendo que el número de veces que, en promedio, suena un teléfono móvil en
una clase de dos horas sigue una Ley de Poisson de parámetro , se pide:
a) Calcular la probabilidad de que en una clase de 2 horas no suene.
b) Calcular la probabilidad de que en una clase de 2 horas, suene por lo menos 2
veces.
c) Calcular la probabilidad de que en una clase de 2 horas y 40 minutos suene
como máximo 3 veces.
12) Sabiendo que el número de huelgas anuales en una determinada empresa se
puede modelizar mediante Ley de Poisson de media , se pide:
a) Calcular la probabilidad de que el próximo año haya al menos una huelga.
b) Calcular la probabilidad de que en los últimos 10 años haya habido al menos
una huelga.
c) Calcular la probabilidad de que en los 3 años últimos, haya habido como
máximo tres huelgas, sabiendo que ha habido al menos una.
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DISTRIBUCION GEOMETRICA.-
El planteamiento en una geométrica, va a ser similar al realizado en la binomial,
en el sentido de que estaremos interesados en la ocurrencia de un determinado
suceso
y que en caso de ocurrencia diremos que ha sido un éxito. En cambio si no ocurre será
un fracaso
En esta distribución vamos a realizar el experimento, en condiciones de
independencia, tantas veces como sea necesario hasta la consecución de éxito,
entonces se dice que la variable aleatoria que cuenta el número de experimentos
realizados seguirá una distribución geométrica con probabilidad de éxito . Se
denotará como
Su función de cuantía será:
Tengamos en cuenta que estamos realizando el experimento hasta que se produzca
un éxito. Así pues, si esto ocurre en el ésimo experimento, es porque en los
primeros experimentos ha habido fracasos y por independencia, la probabilidad será
. Si a esto añadimos que la probabilidad de que en el ésimo experimento
tengamos un éxito es obtenemos la expresión anteriormente descrita, donde ahora
los experimentos pueden ser desde uno en adelante (no hay tope superior).
Por ejemplo si consideramos el experimento de lanzar un dado hasta que salga un
número mayor que cuatro. La variable que mide el número de lanzamientos será:
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Por lo que si nos piden la probabilidad de que sean necesarias 3 realizaciones,
tendremos:
Veamos cuales son las principales características de esta distribución, es decir su media
y su varianza
Si bajo el mismo planteamiento realizado para esta distribución, en lugar de
preocuparnos por el número de realizaciones del experimento nos preocupamos por el
número de fracasos necesarios para la consecución del éxito tendremos entonces otra
variable aleatoria que obviamente está relacionada con la variable que cuenta el
número de experimentos necesarios
por lo tanto todo lo visto para la variable es útil para el conocimiento de la variable
aunque lógicamente no es idéntico, hay una translación.
Así
pero la varianza es invariante a translaciones
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Veamos algunos ejemplos de la distribución Geométrica. Recordemos que
quiere decir que cuenta el número de veces que hay que realizar un
experimento aleatorio (en condiciones de independencia), para que un determinado
suceso (que denominaremos éxito) ocurra, siendo la probabilidad de éxito.
Ejercicio 1. Sea
calcular:
a)
b)
c)
d)
Basta con aplicar la fórmula que nos da la función de cuantía
Y que en nuestro caso será
a)
b)
c)
d)
Ejercicio 2.- En un laboratorio que contiene 100 productos químicos, de los que 25 son derivados del carbono, se van introduciendo alumnos para que elijan un producto al azar, se toma nota y se reintegra el producto a su sitio. Hallar la probabilidad de que sean necesarios 10 alumnos para la obtención de un producto que sea derivado del carbono.
En este caso el experimento aleatorio es la elección de un producto químico de
entre los 100 que hay. Como esta elección se realiza al azar, suponemos que todos son
equiprobables, por lo que cada producto tiene
como probabilidad de ser elegido y
por lo tanto como hay 25 productos derivados del carbono, la probabilidad de que se
elija un producto derivado del carbono será de
por lo que si realizamos este
experimento varias veces en condiciones de independencia (el producto químico es
reintegrado por lo que la situación para cada alumno es la misma) hasta la obtención
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de un éxito entonces la variable que cuenta el número de alumnos que pasan a
elegir un producto sigue una geométrica
y nos están pidiendo
Ejercicio 3.- Pepe y Luis van a practicar lanzamientos a puerta. Pepe es portero y Luis
lanza los penaltis. Se sabe que la probabilidad de que Luis marque gol es de
. Hallar
la probabilidad de que Pepe pare 5 penaltis antes de que por fin Luis marque su gol.
En este caso el experimento es lanzamiento del penalti cuya probabilidad de éxito es
de
y lo realizamos hasta que se produzca dicho éxito. Nos piden la probabilidad de
que le paren 5 penaltis, es decir, que se produzcan 5 fracasos. Para poder utilizar lo
que sabemos de la geométrica, debemos transformar la pregunta en número de
experimentos, es decir número de lanzamientos, que serán los 5 que para Pepe más el
que marca Luis, o sea 6 lanzamientos. Estamos pues ante una geométrica
y
nos piden
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DISTRIBUCION UNIFORME.
La distribución uniforme es aquella cuya función de densidad es constante a lo
largo de un intervalo y que eso conlleva que su definición sea
pero
Por tanto su función de distribución será
Obsérvese que si un intervalo está contenido en el principal entonces
es decir, la probabilidad de que la variable se mueva en un intervalo dado es el
cociente entre la longitud de este intervalo y la longitud del intervalo de definición de
la variable.
Si el intervalo no está contenido en el intervalo de definición, entonces primero lo
restringiremos a su intersección con el intervalo de definición y ya estamos en el caso
anterior.
Por otra parte
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En cuanto a la mediana
Ejercicio 1. La cantidad (en kg) demandada a una empresa textil durante un cierto
periodo de tiempo se distribuye uniformemente entre y . Determina
para dicho periodo de tiempo:
a) La probabilidad de que la cantidad demandada no supere los .
b) La probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre
y .
c) La demanda esperada
En este caso
e)
a)
b)
Ejercicio 2. Una variable aleatoria verifica que su media es y su
desviación típica es . Hallar
a) Los valores de y .
b) .
a) Sabemos que en una uniforme
y
. Como nos
dicen la media y la desviación típica, elevando al cuadrado la desviación típica
obtenemos la varianza y por consiguiente
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luego y
b) Si entonces
luego
Ejercicio 3.- El tiempo, en minutos, que tarda una persona para ir de su casa al trabajo oscila entre y minutos. Si debe llegar al trabajo a las de la mañana, ¿A qué hora debe salir de casa para tener una probabilidad de de no llegar tarde?
Si la variable aleatoria mide el tiempo que tarda en llegar al trabajo entonces
por lo tanto nos están pidiendo que valor verifica que
Si el tiempo máximo a tardar son minutos, entonces la hora máxima de salida será
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1) Un alumno de la UAL que desea tomar un autobús de la línea L llega a la parada
de la UAL en cualquier instante. Sabiendo que de esa parada sale cada 20 minutos
un autobús que recorre la línea L se pide:
a) La función de densidad de ”tiempo de espera hasta que salga el próximo
autobús de la línea L”. Comprueba que está bien definida.
b) La función de distribución de la variable aleatoria . Utilízala para calcular:
.
c) Calcular el “tiempo medio de espera” y la probabilidad de que el alumno
espere exactamente 7 minutos.
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2) El tiempo en minutos que emplea un funcionario para ir desde su domicilio a la
oficina de trabajo oscila entre 20 y 30 minutos. Debe estar en la oficina a las 8
de la mañana. Se pide:
a) Calcular a qué hora debe salir de su domicilio, para tener una probabilidad de
0.9 de no llegar con retraso.
b) Calcular: y .
c) Calcular y .
3) Dados dos números reales y tales que , se sabe que en el intervalo
la variable aleatoria continua se distribuye uniformemente con
y . Se pide:
a) Calcula la función de densidad de . Dibújala.
b) Calcula y .
c) Calcula la Mediana de la distribución.
4) Se conoce que el tiempo que emplea Juan en ir desde su casa a clase varía de
forma uniforme entre y minutos. Sabiendo que debe llegar a clase a las
horas, se pide:
a) Calcular la probabilidad de que tarde más de minutos.
b) Calcular la probabilidad de que tarde entre y minutos.
c) Calcular la hora de salida de su casa, para tener una probabilidad de de
llegar puntualmente.
5) El domicilio de un funcionario dista de su oficina de trabajo Todos los
días, de forma uniforme, desayuna en un punto intermedio y aleatorio del
trayecto. Se pide:
a) Calcular la distancia media desde su domicilio hasta el punto .
b) Calcular la distancia media desde su oficina hasta el punto .
c) Calcular la probabilidad de que el punto diste más de tres veces de su
domicilio que desde su oficina.
6) La cotización de cierre diaria de un determinado tipo de acciones en la Bolsa de
Madrid tiene una distribución uniforme entre y pesetas.
a) Calcula la probabilidad de que un día la cotización de cierre supere las
pesetas.
b) Calcular el porcentaje de días que presentaron una cotización de cierre entre
y pesetas.
c) Calcular la cotización media de cierre y su Desviación Típica.
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d) Entre los días que la cotización de cierre ha sido superior a pesetas,
¿cuál es el porcentaje de los mismos en los que la cotización ha oscilado entre
y pesetas?
7) Desiderio tiene esta mañana una entrevista de trabajo, y después ha quedado con
una amiga en la plaza del Educador entre las dos y media y las tres de la tarde. Se
pide:
a) Calcula la probabilidad de que Desiderio llegue en cualquier momento a partir
de las tres menos cuarto.
b) Calcula la probabilidad de que llegue exactamente a las tres menos veinticinco.
c) Calcula la hora que la amiga espera que llegue Desiderio.
d) Si la amiga llega a la plaza del Educador a las dos y cuarto, calcula la
probabilidad de que el tiempo que esté sola hasta la llegada de Desiderio sea
inferior a veinticinco minutos.
e) Si la amiga de Desiderio llega a la plaza del Educador a las tres menos veinte y
Desiderio aún no ha llegado, calcula la probabilidad de que tenga que esperar
al menos siete minutos más.
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Distribución exponencial negativa.
Ya hemos visto que una distribución exponencial negativa es aquella cuya función de
densidad viene dada por
y se utiliza para medir el tiempo de espera hasta la ocurrencia de algún suceso.
Está relacionada con la Poisson de la siguiente forma. Si mide el nº de veces que ocurre un
suceso en una determinada unidad temporal y entonces la variable aleatoria que
mide el tiempo (en la misma unidad temporal elegida para la Poisson) de espera hasta que
ocurra por primera vez el suceso objeto de nuestro interés sigue una exponencial negativa con
el mismo parámetro, .
Sabemos que su función de distribución es
y su esperanza y varianza:
y
Ejercicio 1.- Se sabe que la variable que mide el tiempo que tarda en fundirse una
bombilla (en horas de funcionamiento) sigue una exponencial negativa .
a) Hallar la probabilidad de que una bombilla dure como mucho horas.
b) Hallar la probabilidad de que una bombilla dure más de horas.
c) Hallar la probabilidad de que dure entre y horas.
d) Hallar su media y su varianza.
Su función de distribución será luego
a)
b)
c)
d)
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Ejercicio 2.- Se sabe que . Hallar el valor de sabiendo que
tomando logaritmos neperianos
Ejercicio 3.- Se sabe que el número de llamadas que recibe un departamento de
reparaciones sigue una ley de Poisson de promedio llamadas por hora. Comenzando en
un momento aleatoriamente seleccionado, calcula la probabilidad de que la primera llamada
no se reciba antes de media hora.
Si denotamos a la variable que cuenta el número de llamadas por hora entonces
luego la variable que mide el tiempo de espera (en horas) hasta la primera llamada sigue
una exponencial negativa . Por tanto nos piden
Ejercicios Propuestos.-
1) Los días de vitalidad de un determinado tipo de flores se miden por una variable aleatoria
que sigue una distribución exponencial negativa de parámetro
. Determinar:
a) La función de densidad.
b) La función de distribución.
c) La Esperanza.
d) La Mediana.
e) La Varianza
f) La Desviación Típica.
g) El coeficiente de Variación.
h) La proporción de flores que se marchitan en los 7 primeros días.
i) La probabilidad de que una determinada flor continúe con vitalidad a los 9 días,
sabiendo que han transcurrido cinco días y aún tiene vitalidad. Interpreta el
resultado.
2) Se conoce que el tiempo en días que emplea la Empresa SERVIRAPID en servir pedidos a
domicilio es una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial negativa con
Media 5 días. Se pide:
a) Determinar de la variable aleatoria las siguientes funciones: Densidad; Distribución;
Supervivencia.
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b) Se sabe que han transcurrido dos días y un cliente aún no ha recibido su pedido.
Calcular la probabilidad de que tenga que esperar al menos 2 días más.
c) Utiliza la función de Supervivencia para calcular la Interpreta el resultado.
3) Se sabe que el tiempo en días que está en exposición un determinado coche hasta su
adquisición es una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial negativa
de la que se conoce que: .
a) Calcula el parámetro de la distribución. Determina la función de densidad y
comprueba que está bien definida.
b) Se conoce que dicho coche lleva 10 días en la exposición. Calcula la probabilidad de
que tenga que estar otros 10 días más.
c) Determina la función de distribución. Utilízala para calcular la . Interpreta
el resultado.
4) Se conoce que el tiempo que tarda un autobús en llegar a una determinada parada sigue
una distribución exponencial negativa con Media minutos. Se pide:
a) Si a una persona que está en dicha parada le quedan minutos para llegar puntual a
su lugar de trabajo, y cuando sube al autobús sabe que tarda minutos, ¿cuál es la
probabilidad de llegar puntual a su trabajo?
b) Si otra persona llega a dicha parada cuando han transcurrido minutos desde que
pasó el autobús, calcula la probabilidad de que tenga que esperar al menos
minutos hasta que llegue el próximo autobús.
5) Sabiendo que en un libro hay en promedio 5 erratas por página, calcular la probabilidad de
que haya entre media y una página entre dos erratas consecutivas.
6) Se sabe que a una Consejería llegan aleatoria e independientemente ciudadanos por
hora, se pide:
a) Utilizando la distribución de Poisson, calcular la probabilidad de que en el próximo
minuto no llegue ningún ciudadano.
b) Utilizando la distribución de Exponencial Negativa, calcular la probabilidad de que el
próximo ciudadano no llegue en el próximo minuto.
7) Se conoce que a la centralita telefónica de una oficina pública llegan aleatoria e
independientemente un promedio de llamadas por hora.
a) Utilizando la distribución de Poisson, obtener la probabilidad de que en los próximos
segundos no llegará ninguna llamada.
b) Utilizando la distribución de Exponencial Negativa, obtener la probabilidad de que la
próxima llamada no llegará en los próximos segundos.
8) En un parking público se ha observado que los coches llegan aleatoria e
independientemente a razón de coches por hora.
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a) Utilizando la distribución de Exponencial Negativa, encontrar la probabilidad de que el
próximo coche no llegará dentro de medio minuto.
b) Utilizando la distribución de Poisson, calcular la probabilidad ningún coche llegue
dentro del próximo medio minuto.
9) Una fábrica utiliza dos métodos y para fabricar bombillas. Por el método se
fabrican el de las bombillas y la variable aleatoria que mide su tiempo de
duración sigue una exponencial negativa de Media horas. Por el método se
fabrican el restante de las bombillas y la variable aleatoria que mide su tiempo
de duración sigue una exponencial negativa de Media horas. Si consideramos a
como la variable aleatoria que mide el tiempo de duración de las bombillas, sea cual sea su
método de fabricación. Se pide:
a) Elegida al azar una bombilla, calcular la probabilidad de que su duración sea al menos
de horas.
b) Si tomamos al azar dos bombillas, calcular la probabilidad de que más de una tenga un
tiempo de duración de al menos horas.
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DISTRIBUCION NORMAL.-
Es el único ejemplo de modelo continuo que vamos a ver.
Es una distribución muy importante porque hay muchos fenómenos de la vida real que
se adaptan a este esquema y porque es una distribución límite que nos permite su
utilización para efectuar aproximaciones.
En principio veremos la distribución normal es aquella cuya función
de densidad está definida como
cuya gráfica será
Se demuestra que y y para la obtención de la función de
distribución necesitamos unas tablas. Hallar es hallar el area delimitada por la
densidad con el eje de abscisas hasta el punto
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Y por simetría se ve claramente que
Pasemos a realizar algunos ejercicios
Ejercicio 1. Sea . Hallar:
e) .
f) .
g) .
h)
i)
j)
f) Basta con mirar en la tabla en la fila del y en la columna del y
obtenemos que
g) Como es un valor negativo habrá que utilizar la fórmula ,
es decir
h) Como es un valor mayor que 4 le asignamos imagen ;
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i) Como es negativo pero como
entonces
j) En este caso nos piden la imagen en un punto con más de dos decimales, luego
habrá que interpolar. Los valores más próximos que si están en las tablas son
y por lo que para un incremento en
abscisas de le corresponde un incremento en ordenadas
de Para el incremento que buscamos
le corresponderá en ordenadas un incremento y por una
regla de tres tenemos que
luego
y en
consecuencia la imagen que buscamos será
Esto dijimos que lo podemos hacer por un procedimiento más burdo pero más
rápido. Si el incremento en abscisas es aproximadamente la tercera parte del
incremento de unidades entonces debe ocurrir lo mismo en ordenadas. Para un
incremento en ordenadas de entonces su tercera parte es el valor de
que buscamos y esto aproximadamente nos da que en este caso
ha coincidido pero que en general habrá una pequeña diferencia que no nos va
a importar.
k) Para esto buscamos y
. Así pues el incremento en abscisas se puede
aproximar por
o por
y como el incremento en ordenadas es de
entonces el incremento buscado será
aproximadamente de por lo que diremos que
y por tanto
Ejercicio 2. Sea . Hallar
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Estamos con una distribución continua por lo que las probabilidades sobre puntos
son y por lo tanto es lo mismo que nos pregunten o . Así
pues
e)
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f)
g)
h)
i)
j)
Ejercicio 3.- Sea . Hallar
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
1− 0.5=2− 1.5− 0.5=2−0.9332−0.6915=0.3753
e)
f)
La tabla también se puede utilizar en sentido contrario, es decir resolver la ecuación
siendo el valor conocido. En este caso se trata de buscar el valor de en
el interior de la tabla la variable tomará el valor definido por la fila y columna a la
que pertenece .
Ejercicio 1.- Sea . Hallar
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a) Valor de para que
b) Valor de para que
c) Valor de para que
d) Valor de para que
e) Valor de para que
f) Valor de para que
a) buscamos en el interior de la tabla y encontramos este valor
que está en la fila correspondiente al y la columna del por lo que
será
b) . Como la imagen es menor que entonces no se puede
buscar directamente en la tabla por lo que habrá qu aplicar la propiedad que
nos dice que luego y
buscando en el interior de la tabla obtenemos que de donde
c) y la tabla nos dice
que
d) que es menor que
por lo que = y la tabla nos dice
e) . Buscando en el interior de la tabla, no hay ningún valor que
nos de por lo que buscamos los que lo encierran, obteniendose que
y por lo que a un incremento en
abscisas de le corresponde un incremento en ordenadas de por
lo que, a un incremento en ordenadas de le
corresponderá un incremento en abscisas y por una regla de tres,
y en definitiva . El
cálculo de lo podíamos haber hecho de una forma más comoda aunque
menos precisa, redondeando, diciendo que el incremento en ordenadas para el
valor buscado es aproximadamente la tercera parte del incremento
entre los valores de la tabla por lo que lo podemos aproximar por
la tercera parte de .
f) . Por ser menor que entonces y en las tablas
encontramos y . Como está
aproximadamente en el centro entre y entonces
consideraremos en el centro entre y . Y en definitiva
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Ejercicio2 Sea . Hallar
a) Mediana
b)
c)
d) Valor de para que
e) Valor de para que
a) La mediana es aquel valor que divide a la población en dos partes iguales, es
decir
y en nuestro caso este valor es el primero que aparece
en la tabla y corresponde al origen,
b) En este caso
, mirando en la tabla tenemos
y por lo que tomaremos
c)
de donde y por el apartado anterior,
de donde
d)
luego la información que nos dan es de donde
y mirando en las tablas y aproximando obtenemos
e)
luego la información que nos dan es de donde
y mirando en las tablas y aproximando obtenemos
Pasemos ahora a definir una normal general. Si una variable es
porque su densidad viene dada por
y sabemos que y
Finalmente sabemos que si entonces la variable
sigue una
distribución normal tipificada, es decir
Lo que nos permite utilizar la tabla de la normal tipificada para hallar probabilidades
con cualquier otra distribución normal, sin más que tipificar la variable.
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Ejercicio 3. Sea . Hallar
a)
b)
c)
d)
e)
a) Como la variable es una normal que no es la estándar, entonces para poder
utilizar las tablas habrá que tipificar la variable, mediante la expresión
puesto que en nuestro caso y sabiendo que luego
sin más que mirar en las tablas.
b) Análogamente,
c)
d)
e) P
Ejercicio 4 Sea . Hallar
a) Mediana
b)
c)
a) luego
y por lo tanto
obteniéndose que
b) luego
y por lo tanto
obteniéndose que
c) luego
y por lo tanto
obteniéndose que
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Ejercicio 5. Se sabe que la temperatura durante mayo está distribuida
normalmente con media y desviación típica . Hallar la
probabilidad de que la temperatura durante mayo esté
1) entre y
2) por debajo de
3) Que temperatura verifica que el de los días hace una temperatura
inferior a ella.
4) Que temperatura verifica que el de los días hace una temperatura
superior a ella.
Nos están diciendo que
1)
2)
3)
luego por las
tablas,
4)
luego por las tablas,
Ejercicio 6.- Un especialista en ictiología tropical estudia la supervivencia de un cierto tipo de pez en aguas contaminadas. Después de una serie de experimentos, estima que la vida media de este tipo de pez, después de ser colocado en aguas contaminadas, es de 90 días con una desviación típica de 20 días. En apariencia, la distribución de los días sobrevividos es normal. ¿Cuál es la probabilidad de que un pez que está vivo al cabo de 110 días sobreviva más de 120 días? Sea la variable que mide los días de vida de este pez. Entonces .
Nos piden
Ejercicio 7.- La anchura en milímetros de una población de coleópteros sigue una distribución normal. Se estima que el 69.15% de la población mide menos de 12 mm.
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y que el 84.13% mide más de 7 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que un coleóptero dado mida más de 10 mm? La variable que mide la longitud de estos coleópteros sigue una distribución normal
con parámetros desconocidos, es decir pero sabemos que
y que por lo tanto
Habrá que resolver el sistema
sumando
por lo que Si aceptamos que entonces
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1) En una fábrica de vigas de hormigón, se conoce que el Peso de las mismas se
distribuye normalmente, siendo el peso medio de y la Desviación Típica de
. Se pide:
a) Calcular el porcentaje de vigas que pesan menos de .
b) Calcular el porcentaje de vigas que pesan más de .
c) Calcular el porcentaje de vigas que pesan entre y .
2) En una determinada ciudad residen familias. Se sabe que el gasto anual
por familia en Tasas Municipales sigue una distribución normal de Media
y Desviación Típica . Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que escogida al azar una familia, su gasto en tasas
municipales supere las .
b) Escogida al azar una familia, calcular la probabilidad de que, su gasto en tasas
municipales no se desvíe de la media en más de .
c) Calcular el número de familias que tienen un gasto en tasas municipales,
comprendido entre y .
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3) Se conoce que los litros de agua que ingiere diariamente cada persona de una
población de habitantes se distribuye normalmente. Sabiendo además que
de esas personas ingieren menos de litro diario, y que ingieren
más de litros diarios, calcular la Media y la Desviación Típica de la distribución.
4) La estatura de funcionarios sigue una distribución . Se pide:
a) Calcular el número de funcionarios con estatura entre y cm.
b) Calcular el número de funcionarios con estatura mayor que cm.
c) Calcular la estatura máxima que representa el del total de los que
menos miden.
5) La Administración Pública convoca a concurso una plaza, a la que se presentan
aspirantes. Las puntuaciones obtenidas en la prueba se agrupan en una escala de
a puntos. Se sabe que las puntuaciones obtenidas por los aspirantes sigue
una distribución normal de Media y que el de los presentados ha
alcanzado puntuación superior a . Se pide:
a) Desviación Típica de la distribución.
b) Número de aspirantes que han obtenido menos de puntos.
c) Número de aspirantes que han obtenido puntuación superior a puntos.
6) Una empresa ha fabricado piezas metálicas, cuyo peso se distribuye
normalmente. Se conoce que de ellas pesan menos de , y que también
hay que pesan más de . Determinar la Media y la Desviación Típica de
la distribución
7) Se conoce que la variable aleatoria sigue una distribución normal de Media y
Desviación Típica ; es decir: . Calcular el porcentaje de
mediciones que hay:
a) Por debajo de: .
b) Por encima de: .
c) Por encima de: .
8) Se sabe que la variable aleatoria sigue una distribución normal de Media CERO
y Desviación Típica: . Se conoce además que:
. Se pide
calcular:
a) La Desviación Típica.
b) Determinar la función de densidad de .
c) .
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9) Se sabe que la estatura del colectivo formado por todos los funcionarios de una
Delegación Provincial sigue una distribución normal de media y desviación
típica . Se pide:
a) Calcular el porcentaje de funcionarios, cuya estatura se desvía como máximo
de la esperada.
b) Calcular la estatura máxima que debe tener un funcionario para poder asegurar
que el porcentaje de funcionarios más altos que él sea del .
10) Una Oficina Pública ha realizado un estudio en un barrio periférico de una ciudad, y
ha encontrado que la edad media sigue una distribución normal de Media años
con una Desviación Típica de años. Se pide
a) Calcular el porcentaje de personas por encima de los años.
b) Calcular el porcentaje de personas por debajo de los años.
c) Calcular las dos edades alrededor de la Media que cubren el de las
edades.
11) Se sabe que la estatura de la población formada por todos los funcionarios de una
Oficina Pública se distribuye según una . Se toma una muestra
aleatoria de funcionarios de dicha oficina. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que la Media muestral esté comprendida entre
y la media poblacional.
b) Calcular la probabilidad de que la Media muestral tenga un valor superior a
.
12) A todos los funcionarios de una Delegación Provincial se les ha aplicado un test. De
los resultados se conoce que el de las calificaciones son como mínimo de
puntos y que el de las calificaciones son como máximo de puntos.
Suponiendo que las calificaciones se modelizan por una distribución normal, se
pide
a) Calcular la Media y la Desviación Típica de las calificaciones.
b) Calcular la calificación máxima del de las calificaciones inferiores.
c) Calcular las dos calificaciones simétricas con respecto a la Media que contienen
el de todas las calificaciones.