Post on 24-Dec-2015
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Salazar Macias Rodrigo
Investigaciones
Mecánica Analítica
Titulo:“Mecánica Analítica”
Autor:
Enrique Yépez MuliaY
Miztli Y. Yépez Martínez
Resumen:La mecánica de Newton es la primera teoría científica que se establece formal-
mente y lo hace con gran éxito. Es la primera que una fielmente el método científi -
co y con este logro un gran avance en el conocimiento; es una teoría que destaca
por su exactitud, su consistencia, su generalidad, además es una bella teoría. La
precisión con que describe el movimiento de objetos celestes y objetos de nuestra
experiencia cotidiana impacto profundamente a los científicos de su época y lo si-
gue haciendo hasta nuestros días. La mecánica clásica o newtoniana establece
los cimientos para toda la estructura de la física y de la ciencia moderna.
El estudio formal de la mecánica clásica presenta un gran reto para los estudian-
tes de física y disciplinas afines, con este tema el estudiante inicia un estudio for-
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mal de la física teórica, en el que aprende los conceptos básicos y debe ser capaz
de usarlos en la solución de problemas prácticos y de interés académico
La palabra Mecánica se usa en un sentido general para designar la ciencia que
trata del movimiento de los cuerpos, considerándose el reposo como un caso es-
pecial del movimiento. En la Mecánica se engloban una gran parte de nuestros co-
nocimientos sobre las leyes del universo, incluidas aquellas concernientes a los
gases y los líquidos, como asimismo las de los cuerpos solidos; esta ciencia ocupa
un lugar prominente en el estudio de la Astronomía y la Física, y también en el de
las máquinas y la construcciones que intervienen en la práctica de la ingeniería.
El objeto de la Mecánica Analítica, es determinar las leyes que rigen los movimien-
tos de los cuerpos (principalmente solidos) y aplicar esas leyes a las condiciones
que se encuentran en la práctica corriente de la profesión del ingeniero.
Introducción:Para poder describir los fenómenos naturales de forma cuantitativa y de manera
universal, es necesario establecer un conjunto de definiciones y patrones de medi-
da para las cantidades físicas básicas; de esta forma se puede referir apropiada-
mente las propiedades físicas de cualquier fenómeno en cualquier laboratorio y
por cualquier persona. Estos patrones son convencionales y deben ser adoptados
universalmente. Las definiciones sobre propiedades como: espacio, tiempo, mas,
carga eléctrica, etc. Se hacen con base en propiedades o fenómenos que son re-
producibles en cualquier laboratorio; otras cantidades físicas derivadas como la
energía, fuerza, momento lineal o acción; se pueden dimensionar en términos de
las cantidades básicas previamente definidas. Son seis las cantidades fundamen-
tales: el segundo (s) que mida la unidad de tiempo, el metro (m) que mide la uni-
dad de intervalo espacial (longitud), el kilogramo (kg) midiendo la masa que deter-
mina el contenido de la materia, el Coulomb (C) mide la carga eléctrica que es la
cantidad de electricidad contenida por un objeto (el patrón en este caso se fija mi-
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diendo la corriente eléctrica, de tal forma que un Coulomb es un Ampre x segun-
do), el grado Kelvin (K) mide la temperatura que caracteriza el estado de un siste-
ma macroscópico y la candela (cd) que mide la intensidad luminosa de un objeto.
Estas cantidades son independientes entre sí y fácilmente reproducibles. Dichas
cantidades se definen y regulan por el Departamento Internacional de Patones
(IBS por sus siglas en ingles).
Los conceptos fundamentales involucrados en las leyes de la Mecánica son:
Fuerza, que la tensión o la comprensión de nuestros músculos nos hacen
conocer como una tracción o un empuje.
Cuerpos o material inerte (materia) sobre la que actúan las fuerzas y sin los
que estas no pueden existir.
Espacio.
Tiempo.
El estudio de la Mecánica se divide en tres partes principales: Estática, Cinemática
y Dinámica o Cinética.
En este caso nos concentramos en lo que es la Cinemática y la Dinámica
La Cinemática es la rama de la Mecánica que trata del movimiento de los cuer-
pos, sin tener en cuenta para nada la manera como afectan al movimiento los fac-
tores (fuerza y materia) que influyen sobre el mismo. Se ocupa de los conceptos
fundamentales de espacio y tiempo y de las cantidades, velocidad y aceleración,
que se derivan de ellos. Por esta razón se le designa a veces con el nombre de
Geometría del Movimiento. La cinemática constituye una parte importante del es-
tudio de la Mecánica, no solo porque se ocupa de una parte del problema general
de la Dinámica en el que intervienen fuerzas, sino también porque en muchos pro-
blemas que implican solo el movimiento relativo de piezas de una máquina, bastan
los principios de cinemática para su resolución. Estos problemas se estudian en
los tratados de cinemática de máquinas, que se ocupan del movimiento de los ele-
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mentos de máquinas, tales como los mecanismos de distribución de retroceso rá-
pido, etc.
La Dinámica es la rama de la Mecánica que se ocupa de los cuerpos sometidos a
fuerzas desequilibradas y que, por consiguiente, están animados de movimientos
no uniformes o acelerados. En particular, trata del cambio de movimiento de los
cuerpos y de la manera como el cambio está relacionado con los factores que le
afectan a saber: las acciones de otros cuerpos (fuerzas), y las propiedades (iner-
cia, etc.) de los mismos cuerpos. Frecuentemente se usa el termino Dinámica, en
la literatura técnica, para designar aquellas subdivisiones de la Mecánica con las
que se asocia más estrechamente la idea de movimiento, esto es, la Cinemática y
la Cinética.
Desarrollo:
Principio de relatividad de Galileo y leyes de Newton
Como punto de partida es necesario especificar el sistema de observación en el
que describiremos el movimientos de los objetos al cual llamaremos el sistema de
referencia: por sistema de referencia entendemos a un sistema de observación do-
tado de aparatos de medición con distancia, tiempo, masa, carga, etc. En el, medi-
mos las variables dinámicas como velocidades, aceleraciones, fuerzas, etc. Una
vez que disponemos de un sistema de referencia es necesario el primer principio
básico de la mecánica: el Principio de Relatividad de Galileo. La forma usual de
establecerlo es la siguiente: las leyes que describen el comportamiento de la natu-
raleza toma la misma forma para dos sistemas de observación que se mueven,
uno respecto del otro con velocidad constante.
Este principio representa un buen punto de partida, pues nos garantiza que la des-
cripción que hagamos a de los sistemas físicos no requiere de un sistema de ob-
servación absoluto, sino que esta descripción será la misma para todos aquellos
sistemas que tengan un movimiento relativo rectilíneo y uniforme, sin embargo,
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este principio no dice cuales sistemas de referencia serían los más apropiados o
en cuales la descripción sería más sencilla.
La transformación que conecta a las variables de tiempo y espacio entre los dos
diferentes sistema de observación se conoce con el nombre de transformación ga-
llean. Si la velocidad relativa es “u” está dirigida a lo largo del eje “x” de ambos sis-
temas de referencia, y además, suponemos que cuando los dos orígenes coinci-
den se empieza a medir el tiempo (t = t’ = 0), la trasformación es:
x = x’ + ut
y = y’
z = z’
t = t’
Principios fundamentales de Estática: Ley del paralelogramo, es el principio funda-
mental sobre el que descansa la composición y descomposición de fuerzas. Pue-
de enunciarse como: Si desde un punto se trazan los vectores que representen en
dirección, en sentido y en magnitud dos fuerzas concurrentes, y se construye un
paralelogramo que tenga esos vectores como lados, la diagonal del paralelogramo
que une el origen con el vértice opuesto, es un vector que representa, en direc-
ción, en sentido y en magnitud, la resultante de las dos fuerzas.
Principios fundamentales de Cinemática: La cinemática trata del movimiento de los
cuerpos prescindiendo de cómo influyen las fuerzas que actúan sobre ellos y el
carácter de los mismos cuerpos. Esto es, se trata a los cuerpos como si fuera soli -
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do geométricos y no como cuerpos físicos. Cuando los sólidos geométricos están
dotados de propiedades físicas, hay que estudiar conceptos tales como fuerza,
energía, etc.
La cinemática estudia la relación que existe entre la distancia, el tiempo, la veloci-
dad y la aceleración. Con objeto de adquirir los conceptos fundamentales que in-
tervienen en el estudio del movimiento de los cuerpos. Un punto material (partícu-
la) es una parte de un cuerpo cuyas dimensiones son insignificantes comparadas
con la amplitud de su movimiento. Los cuerpos se componen de partículas y el es-
tudio del movimiento de los cuerpos es, en gran parte, el estudio del movimiento
de sus puntos materiales.
Ejemplos de leyes del movimiento.
Caída libre de los cuerpos: Un ejemplo simple, pero muy ilustrativo, de cómo tra-
baja este método, es el estudio de Galileo sobre la caída libre de los cuerpos. Gali-
leo puso gran interés en el estudio de la caída libre de los cuerpos, entre otras ra-
zones porque su experiencia no estaba de acuerdo con la física aristotélica. Debi-
do a las limitaciones experimentales de su época para medir con precisión interva-
los de tiempo, Galileo traslado el análisis experimental a los cuerpos que se desli-
zan sobre un plano inclinado muy bien pulido para evitar al máximo la fricción; la
caída libre sería el caso en donde el plano inclinado se vuelve vertical. También
estudio los objetos que abandonan el plano inclinado a la orilla de una mesa de al-
tura h con velocidad en la dirección horizontal, que ahora llamamos tiro parabólico.
Ley de Hooke. Oscilaciones armónicas.
La fuerza, el peso que cuelga mg, se transmite a lo largo de la cuerda inextensible
que no tiene masa (su masa es despreciable comparada con m), el resorte actua-
do por esta fuerza se alarga de L0 a L siendo L0 su longitud normal cuando no se
aplica fuerza; el sistema completo se mantiene en equilibrio de tal forma que la
fuerza que ejerce el resorte tiene la misma magnitud que el peso que cuelga. El
modelo físico que aplicamos en este experimento es como sigue: el resorte no tie-
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ne masa (su masa es despreciable con respecto a la masa a la que se sujeta),
esta rígidamente sujeto por un extremo a la pared (cuya masa es mucho mayor
que la que produce la fuerza actuante mg), las cuerdas no son elongables y no tie-
nen masa, la polea causa fricción con la cuerda y su masa es igualmente despre-
ciable.
Clases de movimiento: Se llama movimiento rectilíneo el de un punto material a lo
largo de una línea recta.
Si la trayectoria es curva recibe el nombre de movimiento curvilíneo
Cuando el punto que se mueve recorre distancias iguales de su trayectoria en
tiempos iguales, por pequeños que sean, se dice que el movimiento es uniforme.
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Si las distancias recorridas en periodos iguales de tiempo son desiguales, el movi-
miento se llama variado.
Discusión:Ecuaciones de movimiento de Hamilton
Estudiaremos ahora la formulación alternativa propuesta por Hamilton, la
formulación hamiltoniana de la mecánica también llamada formulación canónica.
En la descripción de los sistemas mecánicos que hemos hecho hasta aquí hemos
considerado siempre a las variables q’i como dependientes de qi, por medio de
q’i = d/dt qi, y de ah´ que las ecuaciones de LaGrange hayan resultado ecuaciones
diferenciales de segundo orden. Consideraremos ahora una descripción
equivalente para sistemas mecánicos ho-lonómicos y fuerzas derivables de una
función potencial, para aquellos donde la descripción lagrangiana es apropiada. Si
consideramos ahora al conjunto (2f ) de variables qi , pi = ∂L/∂q’i como variables
independientes, donde pi es el momento generalizado o canónico asociado con la
coordenada generalizada qi , al espacio definido por las 2f variables qi , pi se le
llama espacio fase; es el espacio donde está definida la función de Hamilton,
mientras que la función lagrangiana está definida en el espacio de configuración
definido por las f variables qi. Debido a que la función L q, q, t involucra
explícitamente a q, es necesario transformar a una nueva función H (q, p, t)
dependiente de todas las coordenadas y momentos generalizados qi , pi ; esta
transformación es sugerida directamente por la forma del momento generalizado
pi = ∂L ; i.e., por una transformada de Legendre entre pi y qi de la siguiente
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manera:
de tal forma que su diferencial se puede obtener fácilmente:
derivando la función H obtenemos también que
Estas dos últimas expresiones deben ser idénticas para toda qi y pi. Recordando
las ecuaciones de Lagrange permiten definir a arribamos a:
Estas ecuaciones son las ecuaciones canónicas o ecuaciones de movimiento de
Hamilton. En otras palabras: reconociendo a las variables qi, pi para i= 1, 2, ….., f
como variables independientes, al tiempo como parámetro y definiendo a la fun-
ción hamiltonina H, obtenemos las ecuaciones de movimiento, las cuales son
ecuaciones diferenciales de primer orden, cuya solución qi = qi (t) y pi = pi (t) nos
proporciona la solución al problema mecánico definido por su función dinámica H
(q, p, t).
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Referencias
Mecánica Analítica
Enrique Yépez Mulia
Y
Miztli Y. Yépez Martínez Primera Edición 2007
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