INVOPE-UI-USAT-II

8/4/2019 INVOPE-UI-USAT-II

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UNIVERSIDAD CATOLICASANTO TORIBIO DEMOGROVEJO

Ingeniería Industrial

Investigación de Operaciones

Unidad I:

Programación Lineal

Objetivos

Comprender la importancia de la Inv. de Operaciones, su rol en la

solución de problemas y específicamente del uso y aplicación de los

métodos cuantitativos de decisión.

Obtener conocimiento y comprensión de los fundamentos teóricos de los

modelos de programación lineal , su formulación, su proceso de solución

y el análisis e interpretación de los resultados. Identificar situaciones en las que los modelos de programación lineal

pueden ser utilizados para darles solución.

Presentar a la función Operaciones como generadora de ventajas

competitivas sostenibles

Describir su sistema de funcionamiento y la generación de decisiones

que requiere

Relacionar la funciones empresarias con el área de Operaciones

Conocimientos previos

Geometría Plana: Plano cartesiano, representación de

rectas en el plano, gráfico de una recta, pendiente de

una recta, familia de rectas paralelas.

Algebra Lineal: ecuaciones, inecuaciones, sistema de

ecuaciones lineales, resolución de sistemas de

ecuaciones lineales, matrices.

Estadística: dispersión, varianza, desviación estándar.

Qué es la Investigación Operaciones en la Empresa?

Descubrir y desarrollar las ideas que permitan Dirigir y

Controlar los Procesos mediante donde los insumos setransforman en bienes y servicios terminados

Operaciones

Procesos

Insumos•Personal•Líderes•Equipos•Instalaciones•Materiales•

Servicios•Tierra•Energía

Productos•Bienes•Servicios

Participación del Cliente

Información Rendimiento Ambiente Externo

Investigación de Operaciones como Función

Manufactura MayoristasConstrucción MinoristasTransporte BancaSalud Gobierno

Tipos de Organización

Funciones

• Administración•Finanzas•Marketing•Operacioness•RRHH•Ingeniería

Areas de Habilidades•Métodos cuantitativos•Comportamiento Organizacional•

Sistemas de Información•Economía•Negocios Internacionales•Etica y Derecho en Negocios

Manufacturas y Servicios: diferencias

1. Producto Físico, Durable2. La producción se puede

inventariar

3. Poco contacto con el Cliente

4. Tiempo de respuesta largo5. Mercados regionales, nacionales

o internacionales

6. Instalaciones grandes

7. Intensivo en Capital

8. Calidad fácil de medir

1. Producto intangible, perecedero2. La producción no se puede

inventariar

3. Alto contacto con el cliente

4. Tiempos de respuesta cortos

5. Mercados locales (en la granmayoría)

6. Instalaciones pequeñas (en lagran mayoría)

7. Intensivo en trabajo

8. No es fácil medir la calidad

Organización Manufactura Organización de Servicios

Ambos tipos de organizaciones proveen unacombinación de bienes y servicios

Se mantiene stock de insumos

Todos los miembros de una organización tienenclientes: internos o externos

Sus procesos deben ser diseñados y administradoscon eficacia

Las organizaciones deben mejorar continuamentela calidad, la productividad y la respuesta puntual.

Manufacturas y Servicios: semejanzas

Para que la evaluación seajusta todos armaránindividualmente el balance

del año anterior

Productividad

Función Operaciones como arma competitiva

Alineamiento de Operaciones a la Estrategia Empresarial

Desarrollo de Habilidades Diferenciales como aporte a la estrategia

Sistema de decisiones como arma competitiva: potenciando habilidades y

capacidades, Administración de

procesos y su tecnología

recursos

capacidades y características de los ámbitos de trabajo

niveles de stock en toda la cadena de abastecimiento

proyectos de diferenciación

calidad / servicio

tiempos de respuesta

sistema de información y medición

Estrategia corporativa y de áreas funcionales

Entornosocioeconómico y denegocios

Análisisde mercado-segmentación-evaluación

DireccionesFuturas•estrategiamundial•pro/sernuevos

PrioridadesCompetitivas•costo•calidad•tiempo•flexibilidad

EstrategiaCorporativa•misión•metas•competenciasdistintivas

Estrategia AreasFuncionales•finanzas•marketing•operaciones•otras

Capacidades: actuales,necesarias y futuras

Estrategia Corporativa

Análisis de Mercado

Prioridades competitivas

Costo• Operaciones a bajo costo

Calidad

• Diseño de alto rendimiento• Calidad consistente

Tiempo

• Entrega rápida• Entrega a tiempo• Velocidad de desarrollo

Flexibilidad

• Personalización• Flexibilidad de volumen

Conclusiones

Una estrategia de operaciones basada en el cliente requiere

que las necesidades del mercado se traduzcan en capacidades

deseables para la función operaciones, conocidas como

prioridades competitivas La gerencia deberá decidir en qué dimensiones deberá

sobresalir el sistema de operaciones de la empresa

En la competencia basada en el tiempo, los gerentes tratan de

ahorrar tiempo en los diversos pasos que conducen a la entrega

del producto

Programación Lineal

Introducción

La Programación Lineal es una herramienta muy poderosa para la

aplicación y disposición de recursos escasos de una manera

adecuada y óptima.

En la actualidad los recursos necesarios para llevar a cabo una

operación son escasos y tienden a subir de precio.

La Programación Lineal permite la asignación de estos recursos

de una forma efectiva utilizando aquéllos que son indispensables

y al máximo.

Tipos de Programación

Los 5 tipos de problemas de PL en la Administración de la

Producción más usados son:

Mezcla de Productos

Mezcla de Ingredientes

Transporte

Plan de Producción

Asignación

Usos de PL

Identificación de Problemas de ProgramaciónLineal…

El primer paso será identificar que problemas son losapropiados para soluciones de programación lineal.

Es fundamental tener la capacidad de identificar losproblemas que tienen soluciones de programación lineal.

Una vez que se pueda definir bien que es y que no es un

problema de programación lineal, el siguiente paso será

formular el problema correspondiente en un formato de

programación lineal.

Existen 4 características principales de problemas de

programación lineal en la administración de la producción y

de las operaciones:

Debe existir un objetivo único bien definido.

Deben existir cursos de acción alternos.

El logro total del objetivo debe quedar restringido por

recursos escasos o por otras limitantes.

El objetivo y cada una de sus restricciones deberán poder

ser expresados como funciones matemáticas lineales.

...Identificación de Problemas de Programación Lineal

Métodos para la Solución de Problemas PL

En el año 1947, George Dantzig desarrollo el método

simplex de programación lineal que fue el inicio del

desarrollo del campo actual de la programación

matemática.

El método simplex, el de transporte y el de asignación son

herramientas practicas para la solución de los problemas

de programación lineal.

Método Gráfico

El Método Gráfico permite

visualizar el impacto de las

restricciones propias de un

problema de PL en la

función objetivo y resolución

del mismo.

Método Gráfico

Existen siete pasos a seguir en el método grafico:

Formular las funciones objetivo y las restricciones.

Dibujar una grafica con una variable en el eje horizontal y otraen el vertical.

Trazar cada una de las restricciones como si fuesen líneasrectas.

Delinear el espacio de solución factible.

Circular los puntos de solución potencial.

Reemplazar cada uno de los valores de los puntos de solución

potencial de las dos variables de decisión en la función objetivoy determinar Z.

Seleccionar aquel punto de solución que optimice Z( maximizarganancias o minimizar costos).

Método Gráfico

Ejemplo de Método Gráfico

Feedco, una empresa Lubbock, Texas, mezcla

mecánicamente alimentos para generar pasturas de bajo

costo para el ganado. Los ingredientes principales son avena

y maíz. Los costos actuales de avena y de maíz son de 10

centavos y 6 centavos de dólar por libra, respectivamente.

Feedco requiere de un mínimo de 5,000 unidades de

mineral, 8,000 calorías y 4,000 unidades de vitaminas diarios

por cada una de las cabezas de ganado. Cada libra de

avena y de maíz suministra estas cantidades:

Alimento Unidades de

minerales por

Calorías por

Unidades de

vitaminas por

Avena 200 200 100

Maíz 100 300 200

¿Cuántas libras de avena y de maíz deberán darse

diariamente a cada res para minimizar los costos de pastura?

Solución:

Objetivo: Minimización de los costos incurridos enpastura.

Variables de decisión: Feedco debe decidir cuántas libras deavena y maíz deberán darse a cada res

X1 = libra de avena

X2 = libra de maíz

Funciones de restricción:

200 X1 + 100 X2 >= 5,000

200 X1 + 300 X2 >= 8,000

100 X1 + 200 X2 >= 4,000

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

C X1 (libra de avena)

X2 (libra de maíz)

200 X1 + 100 X2 >= 5,000

200 X1 + 300 X2 >= 8,000

100 X1 + 200 X2 >= 4,000

Gráfico de las

restricciones

De acuerdo a la gráfica, los puntos A, B y C son las soluciones

potenciales al problema.Para saber cuál de éllos es el óptimo, reemplazamos valores enla función objetivo: Min Z = 0.10 X1 + 0.06 X2

PUNTO Z X1 X2

US$ Lb Maíz Lb Avena

A 3.00 0.0 50.0

B 2.65 17.5 15.0

C 4.00 40.0 0.0

Conclusión:

Feedco con 15 libras de avena y 17.5 libras de maíz diarios,minimizará costos de pastura a US$ 2.65 por día.

Método Simplex

Es el método analítico ampliamente utilizado para solucionarproblemas de programación lineal.

El Método Simplex fue desarrollado por George Dantzig en

Este cambia las restricciones o desigualdades en ecuaciones de

problemas PL, y soluciona el problema con la manipulación de

matrices.

La solución encontrada del problema alterado es de una

dimensión mayor que el original, pero es relativamente sencillo

mediante el estudio de matrices.

Método Simplex...

Existen diferentes software disponibles en la actualidad para poder

resolver los problemas a través de este método.

Entre los más importantes tenemos:

Optimization Solutions and Library de IBM,

Lindo,

POM Computer Library.

WINQSB

SOLVER de MS Excel

...Método Simplex

Problema de enlatados de tomate,

Una compañía tiene un contrato para recibir 60000 libras de

tomates maduros a 0.7$/lb de las cuales producirá jugo de

tomate y puré de tomate enlatados. Los productos enlatados se

empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo

requiere 1 lb de tomates frescos en tanto que una de puré

requiere solo de 1/3 de lb. La participación de la compañía en

el mercado esta limitada a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de

puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de puré son$18 y $9. Genere un programa de producción para esta

compañía.

Reglas de decisión

Criterio de decisión Maximizar Minimizar

Gran M en la función objetivo - MX j + MX j

Variable que entra El coeficiente másnegativo de la F.O. El coeficiente más positivode la F.O.

Variable que sale El valor menos positivo delos b j / aij ,Siendo aij > 0 , de locontrario no restringe a lavariable que entra

El valor menos positivode los b j / aij ,Siendo aij > 0 , de locontrario no restringe a lavariable que entra

Solución óptima Cuando todos losC j > 0

Cuando todos losC j < 0

Vamos a resolver el siguiente problema:

Maximizar Z = 1.2x1 + 3.4x2

Sujeto a: 24x1 + 8x2 ≤ 60000

x1 ≤ 2000

x2 ≤ 6000

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

Se consideran los siguientes pasos:

1. Convertir las desigualdades en igualdades:

Se introduce una variable de holgura por cada una de lasrestricciones, este caso Xn+1, Xn+2, Xn+3 para convertirlas enigualdades y formar el sistema de ecuaciones estándar. Usando

en simplex el siguiente criterio:

Signo: Introducir

≤ xn+1

FORMA ESTANDAR:

24x1 + 8x2 + x3 ≤ 60000

x1 + x4 ≤ 2000

x2 + x5 ≤ 6000

Igualar la función objetivo a cero y despues agregar la variables de

holgura del sistema anterior:Z – 1.2 x1 – 3.4 x2 = 0

Para este caso en particular la función objetivo ocupa la ultima fila

del tablero, pero de preferencia siempre se deberá de colocar como

la primera fila.

Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de F.O. para

convertirlo en negativo y cuando maximizamos tomamos el valor (-)

negativo de F.O. para convertirlo en positivo.

Paso 2:

En las columnas aparecerán todas las variables del

problema y en las filas, los coeficientes de las

igualdades obtenidas, una fila para cada restricción

representada por las variables de holgura y la primera

fila con los coeficientes de la función objetivo:

Paso 3: Escribir el tablero inicial simplex:

Tablero Inicial

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución

X1 X2 X3 X4 X5 B j

Z -1.2 -3.4 0 0 0 0

X3 24 8 1 0 0 60000

X4 1 0 0 1 0 2000

X5 0 1 0 0 1 6000

Paso 4: Encontrar la variable de decisión que entra en la

A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, observamos la

primera fila, la cual muestra los coeficientes de la función objetivo y

escogemos la variable con el coeficiente más negativo.

En este caso, la variable X1 de coeficiente – 3.4 (columna pivote)

Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición

anterior, entonces se elige cualquiera de ellos.

Si en la primera fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que

se ha alcanzado la solución óptima.

Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método

del simplex, es que en la primera fila no haya elementos negativos.

Paso 4: Encontrar la variable de decisión que entra en labase y la variable de holgura que sale de la base

B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base,se divide cada término de la última columna (valores solución) por el

término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos

últimos sean mayores que cero.

Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho

cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o

iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no sepuede seguir.

Iteración No. 1

Base Variables de

decisión Variables de holgura Solución Operación

X1 X2 X3 X4 X5 B j

Z -1.2 -3.4 0 0 0 0

X3 24 8 1 0 0 6000060000/8 =

X4 1 0 0 1 0 2000 Norestringe

X5 0 1 0 0 1 60006000/1=

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica

que cualquiera de las variables correspondientes pueden

salir de la base.

C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote

tenemos el elemento pivote operacional, 1, este indica que

la variable de decisión X1 entra y la variable de holgura X5

Resultado de Iteración No. 1

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 X3 X4 X5 B j

Z -1.2 0 0 0 3.4 20400 1. F0 + F3(3.4)

X3 24 0 1 0 -8 12000 2. F1 – 8 F3

X4 1 0 0 1 0 2000

X2 0 1 0 0 1 6000

Como en los elementos de la última fila hay un número negativo, -1.2, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima.Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es X1, pasa a ser la columna

pivote que corresponde al coeficiente -1.2

B. Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos lostérminos de la columna solución entre los términos de la nuevacolumna pivote; y como el menor cociente positivo es 500,tenemos que la fila pivote y la variable de holgura que sale esX3.

Iteración No. 2

Variable de

decisión Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 X3 X4 X5 B j

Z 0 0 0.05 0 3 21000 F0+(1.2)F1

X1 1 0 1/24 0 -1/3 500

X4 0 0 -1/24 1 1/3 1500 F2-F1

X2 0 1 0 0 1 6000

Como todos los coeficientes de la fila de la función

objetivo son positivos, hemos llegado a la soluciónóptima.

X1 = 500

X2 = 6000

La solución óptima viene dada por el valor de Z en lacolumna de los valores solución, en nuestro caso:21000.

Solución final

Solución con WinQSB

Definir el n°de variables y el n°de restricciones delPrograma Lineal.

Ingresamos los coeficientes del PL.

Luego la solución

Solución en WinQSB

Algunas Interpretaciones

El número de cajas de jugo de tomate a producir es500.

El número de cajas de puré de tomate a producir es6000

La utilidad máxima será de 21000 No se satisface la demanda en su totalidad porque

solo produciremos 500 cajas de jugo de tomate.

Se utilizarán toda la materia prima disponible.

Por cada kg. adicional de tomate que se adquierapara la producción se ganará 0.05.

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