Semana 07 Invope I Primal Dual 07.10.15

7/23/2019 Semana 07 Invope I Primal Dual 07.10.15

1/27

II UNIDAD: PROBLEMA PRIMALDUAL Investigacin de Operaciones I

1Ing. Juan Pablo Snchez Chvez Semestre 2015 II - UNS

SEMANA 07

EL PROBLEMA PRIMALDUAL

SOLUCIN GRFICA

I .- Problema Primal y Dual en la Programacin Lineal

Cada problema original de Maximizacin (llamado PRIMAL), tiene asociado un segundo

problema de minimizacin (llamado DUAL); de manera similar cada problema original de

Minimizacin (llamado DUAL), tiene su correspondiente problema PRIMAL. Estos dos

problemas PRIMAL DUAL estn estrictamente relacionados de tal manera que la

solucin optima de uno de ellos proporciona informacin completa para la solucin del otro

problema asociado, esta relacin completa se ve claramente en la solucin por l mtodo

simplex, ms no con la solucin grfica (donde solo se ve la coincidencia en l valor de la

funcin objetivo en ambos problemas.

1.- Definicin del Problema DualLa definicin del problema dual esta sujeto a la presentacin del problema primal.

A. El problema Dual cuando el Primal esta en

presentacin CannicaEn general : MODELO PRIMAL

Max : Xo =

n

j

CjXj

1

n

j

aijXi1

bi

Xj 0


2/27



Donde :

i = 1, 2, . . ., m variables

j = 1, 2, . . ., n variables

X j : Variables de decisin primales ( j = 1,2, . . ., n), ( n variables de decisin)

C j : Valor por unidad de actividad j.

bi : Cantidad disponible del recurso i ( i = 1, 2, . . . , m) ( m restricciones).

a ij : Cantidad de recurso que debe asignarse a cada unidad de actividad j.

Caractersticas de la forma cannica

1. Todas las variables son no negativas.

2.

Todas las restricciones son del tipo ( o =).3.

La funcin objetivo es del tipo de Maximizacin.

Nota : Cualquier problema de programacin lineal puede llevarse a su presentacin

cannica.

Proceso de Cambio para Generar el Modelo Dual a

partir del Modelo Primal en su forma Cannica


3/27



MODELO PRIMAL:

Max : Z0 = 8X1 + 6X2

s.a.

4X1 + 2X2 60 (horas Mquina 1, en ensamble) Y12X1 + 4X2 48 (48 (horas Mquina 2, en acabado) Y2

X1, X2 0

Solucin ptima al Modelo Primal

1.

Si resolvemos por el mtodo grfico o por el mtodo Simplex, la solucin sera:

X1 = 12 (fabricar y vender 12 unidades de este tipo de producto)

X2 = 6 (fabricar y vender 6 unidades de este tipo de producto)

Zo = S/. 132 nuevos soles (Utilidad mxima)

Cuadro de solucin ptima Primal

VB

X1 X2 S1 S2 Solucin

LD Bi/aij>0Cj 8 6 0 0

X1 8 1 0 1/3 -1/6 12

X2 6 0 1 -1/6 1/3 6

Zj 8 6 5/3 2/3 132Cj-Zj 0 0 -5/3 -2/3

2. Una alternativa sera: Si tengo 60 horas Mq1 en ensamble y 48 horas Mq2 en

acabado (son mis recursos limitados) los cuales en mi proceso productivo los

estoy utilizando para fabricar productos tipo X1 y X2, y segn la solucin estoy

logrando una utilidad de S/. 132, entonces mi inters es saber:

a)

Econmicamente cuanto representa las 60 horas mq1 en ensamble; para estoimplemento una variable econmica Y1 que sera el costo de 1 hora en

ensamble; por lo tanto si tengo 60 horas de Mq1, mi costo total por las 60

horas ser: 60*Y1, asimismo, econmicamente cuanto representa las 48

horas de mq2 en acabado; para esto implemento otra variable econmica Y2


4/27



que sera el costo de 1 hora en acabado; por lo tanto si tengo 48 horas de

Mq2, mi costo total por las 48 horas ser: 48*Y1; por lo tanto, mi costo total

en ensamble y acabado sera 60Y1 + 48Y2. De esta manera tengo mi

funcin objetivo del modelo Dual, que sera Min Yo = 60Y1 + 48Y2.

b) Ahora veamos cmo se generan las restricciones Duales. Analicemos la

primera variable primal X1. Para fabricar una unidad de este tipo de

producto se requiere o se consume 4 horas en ensamble, costeando estas 4

horas sera 4*Y1 (por qu Y1 es el costo por hora en ensamble); pero esa

misma unidad tambin requiere 2 horas en acabado, costeando estas 2 horas

sera 2*Y2; ahora veamos, si produzco una unidad del tipo X1 mi utilidad o

contribucin que obtengo es de S/. 8 nuevos soles; por lo tanto, si mi costototal para fabricar una unidad de X1 es 4Y1 + 2Y2 por lo tanto mi

contribucin debe ser por lo menos S/. 8 nuevos soles, de esta manera, se

sustenta que esta primera variable primal X1 genera la primera restriccin

Dual la que sera: 4Y1 + 2Y2 8.

Del mismo modo, analicemos la segunda variable primal X2. Para fabricar

una unidad de este tipo de producto se requiere o se consume 2 horas en

ensamble, costeando estas 2 horas sera 2*Y1 (por qu Y1 es el costo por

hora en ensamble); pero esa misma unidad tambin requiere 4 horas en

acabado, costeando estas 4 horas sera 4*Y2; ahora veamos, si produzco una

unidad del tipo X2 mi utilidad o contribucin que obtengo es de S/. 6 nuevos

soles; por lo tanto, si mi costo total para fabricar una unidad de X1 es 2Y1 +

4Y2 por lo tanto mi contribucin debe ser por lo menos S/. 6 nuevos soles,

de esta manera, se sustenta que esta segunda variable primal X2 genera la

segunda restriccin Dual la que sera: 2Y1 + 4Y2 6.

3. De esta manera, si se tiene ms recursos (bi) el anlisis es semejante, para

generar tanto la funcin objetivo Dual como sus correspondientes restricciones

Duales; por lo tanto, para este caso el modelo Dual es:


5/27



MODELO DUAL

Min : Y0 = 60Y1 + 48Y2

s.a.

4Y1 + 2Y2 8

2Y1 + 4Y2 6

Y1, Y2 0

NOTA: RESOLVER EL MODELO GRFICAMENTE

Nota: este modelo dual lo podemos resolver por el mtodo grfico o por elmtodo simplex, y la solucin sera

Yo = S/. 132 nuevos soles

Y1 = S/. 5/3 o S/. 1.666667 de nuevos soles

Y2 = S/. 2/3 o S/. 0.666667 de nuevos soles

4. Solucin Dual a partir de la Solucin Primal. El mtodo grfico de la solucin

primal, solamente me brinda la solucin dual de la funcin objetivo, o sea Zo =

Yo = S/. 132, ms no los valores de Y1 y de Y2; pero si resuelvo el modelo

primal por el mtodo simplex, si me da la solucin completa del modelo Dual;

pero solamente si se tiene la iteracin optima primal, veamos cmo lograr esto:

Cuadro de solucin ptima Primal

VB

X1 X2 S1 S2 Solucin

LD Bi/aij>0Cj 8 6 0 0

X1 8 1 0 1/3 -1/6 12

X2 6 0 1 -1/6 1/3 6

Zj 8 6 5/3 2/3 132

Cj-Zj 0 0 -5/3 -2/3


6/27



Como la primera restriccin 4X1 + 2X2 60, o variable bsica inicial o ecuacin

S1 genera la 1era Variable dual Y1, entonces bajo esta variable S1 en Cj Zj se

obtiene el valor de Y1 cmo? Cambiando de signo ese valor y sumndole su Cj

correspondiente., as:

Y1 = 5/3 + 0 = S/. 5/3 o 1 = 1.66667 + 0 = S/. 1.66667

Como la segunda restriccin 2X1 + 4X2 48, o variable bsica inicial o

ecuacin S2 genera la 2da Variable dual Y2, entonces bajo esta variable S2 en Cj

Zj se obtiene el valor de Y2 cmo? Cambiando de signo ese valor y sumndole suCj correspondiente., as:

Y2 = 2/3 + 0 = S/. 2/3 Y2 = 0.66667 + 0 = S/. 0.66667

Por lo tanto la solucin al modelo Dual a partir de la solucin Primal sera:

Y1 = S/. 1.666667

Y2 = S/. 0.666667

Yo = S/. 132

Iteracin ptima Dual

VB

Y1 Y2 S1 S2 A1 A2 Solucin

LDCj 60 48 0 0 M M

Y1 60 1 0 -1/3 1/6 1/3 -1/6 5/3

Y2 48 0 1 1/6 -1/3 -1/6 1/3 2/3

Zj 60 48 -12 -6 12 6 132

Cj-Zj 0 0 12 6 -12+M -6+M

Respuestapara obtener una contribucin mnima de S/. 132 nuevos soles por mis

recursos de 60 horas mq1 en ensamble y de 48 horas mq2 en acabado, mis costos

son de S/. 1.666667 nuevos soles por hora en ensamble y de S/. 0.666667 nuevos

soles por hora en acabado.


7/27



5.

Asimismo, si se resuelve el modelo Dual, a partir de la solucin del modelo

dual, tambin se puede dar la solucin directa al modelo primal, en el supuesto

caso que no hayamos resuelto el modelo primal, el procedimiento es semejante;

veamos, esto:

MODELO DUAL

Min : Y0 = 60Y1 + 48Y2

s.a.

4Y1 + 2Y2 8

2Y1 + 4Y2 6

Y1, Y2 0

6. El mtodo grfico de la solucin dual, solamente me brinda la solucin primal

de la funcin objetivo, o sea Yo = Zo = S/. 132, ms no los valores de X1 y de

X2; pero si resuelvo el modelo dual por el mtodo simplex, si me da la solucin

completa del modelo Primal; pero solamente si se tiene la iteracin optima dual,

veamos cmo lograr esto:

Cuadro de solucin ptima Dual

VB

Y1 Y2 S1 S2 A1 A2 Solucin

LDCj 60 48 0 0 M M

Y1 60 1 0 -1/3 1/6 1/3 -1/6 5/3

Y2 48 0 1 1/6 -1/3 -1/6 1/3 2/3

Zj 60 48 -12 -6 12 6 132

Cj-Zj 0 0 12 6 -12+M -6+M

Como la primera restriccin 4Y1 + 2Y2 8, ovariable bsica inicial o ecuacin

A1 genera la 1era Variable primal X1, entonces, en la iteracin optima bajo esta


8/27



variable A1 en Cj Zj se obtiene el valor de X1 cmo? Cambiando de signo ese

valor y sumndole su Cj correspondiente., as:

X1 = - M + 12 + M = 12 unidades del producto tipo X1

Como la segunda restriccin 2Y1 + 4Y2 6, o variable bsica inicial o ecuacin

A2 genera la 2da Variable primal X2, entonces bajo esta variable A2 en Cj Zj se

obtiene el valor de X2 cmo? Cambiando de signo ese valor y sumndole su Cj

correspondiente., as:

X2 = - M + 6 + M = 6 unidades del producto tipo X2

Por lo tanto la solucin al modelo Primal a partir de la solucin del modelo Dual

sera:

Zo = S/. 132 nuevos solesX1 = 12 unidades del producto terminado tipo X1 o como se haya definido esta

variable.

X2 = 6 unidades del producto terminado tipo X2 o como se haya definido esta

variable.

Respuestapara obtener una contribucin o utilidad mxima de S/. 132 nuevos soles

se debe fabricar y vender 12 unidades del producto tipo X1 y 6 unidades del

producto tipo X2.

PROCESO PARA CONSTRUIR EL MODELO DUAL A PARTIR DEL

MODELO PRIMAL Y VICEVERSA

1. Si la funcion objetivo del primer modelo (primal) busca maximizar, entonces, la

funcion objetivo del modelo dual buscara minimizar. Antes de comenzar a construir

el otro modelo, se debe tener en cuenta lo siguiente: Si el problema es de

maximizacion, entonces todas sus restricciones deben ser del tipo y si el modelo

es de minimizacion todas las restricciones deben ser del tipo , si en algn caso no

se cumple este requisito, hacer lo necesario para cumplir con este requisito.

ejemplo 01

Max : Zo = 12 X 1+ 14 X 2

s.a.


9/27



1X 1+ 3 X 2 130

3X 1+ 2 X 2 45 esta restriccin no cumple el requisito

1X 1+ 2 X 2 85

X 1, X 2 0

Hacemos lo necesario para que la segunda restriccin cumpla el requisito

Max : Zo = 12 X 1+ 14 X 2

s.a.

1X 1+ 3 X 2 130

-3X 1- 2 X 2 - 45 ahora esta restriccin si cumple el requisito

1X 1+ 2 X 2 85

X 1, X 2 0

Ejemplo 02

Min : Zo = 10X 1+ 7 X 2

s.a.

2X 1+ 1 X 2 160 esta restriccin no cumple con el requisito

1X 1+ 3 X 2 140

2X 1+ 2 X 2 125

X 1, X 2 0

Hacemos lo necesario para que la segunda restriccin cumpla el requisito

Min : Zo = 10X 1+ 7 X 2

s.a.

-2X 1- 1 X 2 -160 ahora si esta restriccin cumple con el requisito

1X 1+ 3 X 2 140

2X 1+ 2 X 2 125

X 1, X 2 0

2. Cada restriccion primal determina una variable dual, entonces m restricciones

primales generan m variables duales (Yi : i = 1, 2, . . . , m) cuyos coeficientes para

dichas variables duales Yi son sus corrrespondientes biprimales.


10/27



Asociando 1 y 2 tenemos la funcion objetivo dual.

3.

El numero de variables primales determinan el numero de restricciones duales,

entonces n variables primales i ( i = 1, 2, . . . , n), establece n restricciones duales

donde las Cj primales se constituyen en elementos del lado derecho para las

restricciones duales.

4. Tanto las variables primales como las duales son no negativas.

En general: MODELO PRIMAL EN SU FORMA CANONICA

Max : Xo =

n

j

CjXj1

n

j

aijXi1

bi

Xj 0

En general su MODELO DUAL :

Min : Yo =

m

i

biYi

1

m

i

aijYi1

Cj

Donde : Yi 0

i = 1, 2, . . ., m variables

j = 1, 2, . . ., n variables

Observacin: Cmo la dificultad en la solucin de un problema lineal depende del numero

de restricciones y no del numero de variables, entonces en este caso la recomendacin sera

resolver el problema dual.


11/27



B. El Problema Dual cuando el primal esta en su

presentacin estndar

-

En la forma estndar la funcin objetivo puede ser de maximizacin o deminimizacin.

- Todas las variables son no negativas.

-

Los elementos del lado derecho son todos mayores o iguales a cero.

- Todas las restricciones son ecuaciones.

PRIMAL

Max : Xo =

n

jCjXj

1

n

j

aijXi1

= bi

Xj 0

Proceso de Cambio para Generar el Modelo Dual a

partir del Modelo Primal en su forma Estndar

DUAL :

Min : Yo =

m

i

biYi1

m

i

aijYi1

Cj

Yi es irrestricta en signoEntonces Yi puede tomar valores positivos , negativo o ceros

Yi = Yi+ - Yi- (se lee Yi = Yi ms, MENOS, Yi menos)

Despus del cambio correspondiente, el modelo quedara


12/27



MODELO DUAL :

Nota : A PARTIR DE AQU SE PUEDE COMBINAR LAS DOS FORMAS

(CANNICA Y ESTNDAR), PARA QUE UN MODELO LLAMADO

PRIMAL SI ES DE MAXIMIZACIN DESPUES DE CUMPLIR EL

REQUISITO PUEDA TENER RESTRICCIONES DEL TIPO , = Y UN

MODELO LLAMADO DUAL SI ES DE MINIMIZACIN PUEDA

TENER RESTRICCIONE DEL TIPO , =.APLICAR LAS SIGUIENTESRECOMENDACIONES PARA PASAR DE UN MODELO (PRIMAL O

DUAL) A SU OTRO MODELO (DUAL O PRIMAL):

1. El proceso de cambio es semejante al anterior excepto que para toda

restriccin de igualdad (ecuacin) en el primal original genera una variable

dual que es irrestricta en el signo ( que puede ser positivo, negativo o

cero).

2.

En el proceso inverso a una variable irrestricta en el dual le corresponde

una restriccin de igualdad (ecuacin).

Proceso de Cambio de Primal al Dual para Diferentes tipos de Desigualdades

Ejemplo: Dado el modelo Primal construir su modelo Dual

Modelo Primal (Original)

Max : Zo = 22 X1 + 28 X2

s.a.


13/27



3 X1- 4 X2 18

X1- 2 X2 = 10

2 X1+ X2 12

X1 : irrestricta en el signo

X2 0

Analicemos el modelo Primal:

1. El modelo es de maximizacin entonces en este caso todas sus restricciones deben

se del tipo (cumple la 1era y 3era restriccin, por lo tanto la primera restriccin o

ecuacin S1 genera la 1era variable dual Y1 la que ser 0, la tercera restriccin o

ecuacin S3 genera la 3era variable dual Y3 la que ser 0 ), inclusive tener

restricciones del tipo de ecuacin (cumple la 2da restriccin, en este caso la 2da

restriccin o ecuacin A2 genera la 2da variable dual Y2 la que ser irrestricta en

signo).

2. Ahora analicemos las variables del modelo primal, nos dicen que la variable X1es

irrestricta en signo, por lo tanto como esta variable X1 del modelo primal genera la

primera restriccin del modelo dual, entonces esta restriccin ser del tipo de

ecuacin en el modelo dual. en cambio, la variable X2 del modelo primal genera la

segunda restriccin del modelo dual, esta restriccin debe ser del tipo .

Modelo Primal

Max : Zo = 22 X1 + 28 X2

s.a.

3 X1- 4 X2 18 Y1(sta primera restriccin o ecuacin S1(VBI) genera Y1)X1- 2 X2 = 10Y2 ( o ecuacin A2 (VBI)genera Y2, la que ser irrestricta en signo)

2 X1+ X2 12 Y3 (sta tercera restriccin o ecuacin S3(VBI)genera Y3

X1 : irrestricta en el signo (Esta variable X1 que genera la 1era restriccin en el

modelo Dual, entonces esa primera restriccin ser del tipo de ecuacin)


14/27



X2 0

VBI = Variable Bsica en la solucin inicial

Con las indicaciones dadas el Modelo Dual quedara, as:

Modelo Dual

Min : Yo = 18 Y1 + 10 Y2 + 12 Y3

s.a.

3 Y1 + 1 Y2 + 2 Y3 = 22

-4 Y1 -2 Y2 + 1 Y3 28

Y1, Y3 0

Y2 : irrestricta en el signo.

Este modelo debemos concluirlo reemplazando Y2 = Y2+- Y2-

Min : Yo = 18 Y1 + 10 Y2+ - 10 Y2- + 12 Y3

s.a.

3 Y1 + 1 Y2+- 1Y2- + 2 Y3 = 22

-4 Y1 -2 Y2++ 2Y2-

+ 1 Y3 28

Y1, Y2+ , Y2-,Y3 0

y su forma estndar sera:

Min : Yo = 18 Y1 + 10 Y2+ -10 Y2- + 12 Y3 + 0S2 + MA1 + MA2

s.a.

3 Y1 + 1 Y2+- 1Y2- + 2 Y3 + A1 = 22

-4 Y1 -2 Y2++ 2Y2- + 1 Y3S2 + A2 28

Y1, Y2+ , Y2-,Y3, S2, A1, A2 0


15/27



TRABAJO DE ASIGNACIN INDIVIDUAL DE

PRCTICA, TRABAJAR EN FRACCIONES.

NOTA: Desarrollar segn se pide en suCUADERNO PARA ser presentado el da 14.10.15

asimismo, en archivo Word.

Dado el siguiente modelo Primal

Modelo Primal (Original)Max : Zo = 44 X1 + 56 X2

s.a.

6 X1- 8 X2 36

2 X1- 4 X2 = 20

4 X1+ 2 X2 24

X1 : irrestricta en el signo

X2

01. Resolver este modelo primal y a partir de dicha solucin primal dar la solucin al

modelo dual

2. Resolver el modelo dual y a partir de dicha solucin dual dar la solucin al modelo

primal

Indicaciones para resolver la prctica y dar Solucin a lo que se pide:

1. El modelo es de maximizacin y cumple los requisitos, lo nico que debemos

tener en cuenta es la variable X1 que es irrestricta en signo.

Su forma estndar del modelo Primal sera:

Max : Zo = 44 X1+ - 44X1- + 56 X2 + 0S1 - MA2 + 0S3


16/27



s.a.

6 X1+ - 6X1- - 8 X2 + 1 S1 = 36

2 X1+ - 2X1- - 4 X2 + 1 A2 = 20

4 X1+ - 4X1- + 2 X2 + 1 S3 = 24

X1+, X1- , X2, S1, A2, S3 0

Ahora si el modelo est listo para aplicar el mtodo simplex el que deben

resolverlo en primer lugar en manuscrito en cuaderno y en la iteracin

ptima de la solucin primal se dar la solucin al modelo dual, y en

segundo lugar utilizando un software resolver este modelo para verificar la

solucin manual.

2. Para el punto 2 debemos construir el modelo dual a partir del modelo primal

Modelo Primal

Max : Zo = 44 X1 + 56 X2

s.a.

6 X1- 8 X2 36

2 X1- 4 X2 = 20

4 X1+ 2 X2 24X1 : irrestricta en el signo

X2 0

Este modelo cumple los requisitos por lo tanto hacemos la construccin del

modelo dual

El Modelo Dual ser:

Min : Yo = 36 Y1 + 20 Y2 + 24 Y3

s.a.6 Y1 + 2 Y2 + 4 Y3 = 44

- 8 Y1 - 4 Y2 + 2 Y3 56

Y1, Y3 0

Y2 : irrestricta en el signo.


17/27



Como Y2 es irrestricta para aplicar el simplex tenemos que tener todas las

variables 0

Para esto se debe hace la forma estndar, reemplazando Y2 = Y2 +- Y2-

Min : Yo = 36 Y1 + 20 Y2+ - 20 Y2- + 24 Y3 + 0S2 + MA1 + MA2

s.a.

6 Y1 + 2 Y2+- 2Y2- + 4 Y3 + A1 = 44

- 8 Y1 - 4 Y2++ 4Y2-

+ 2 Y3 S2 + A2 56

Y1, Y2+, Y2-, Y3, S2, A1, A2 0

Ahora si el modelo est listo para aplicar el mtodo simplex el que deben

resolverlo en primer lugar en manuscrito en cuaderno y en la iteracin

ptima de la solucin dual se dar la solucin al modelo primal, y en

segundo lugar utilizando un software resolver este modelo para verificar la

solucin manual.

C.

Relacin entre los valores de la funcin objetivo del primaly del dual

Propiedad : Si los dos problemas tienen soluciones optimas finitas, entonces los

valores de Z0y Yo en funcin objetivo son iguales.

Esta propiedad indica que para dos soluciones factibles, el valor de Yo (en el

modelo de minimizacin acta como una cota superior para el valor de Z0 (en el

problema de maximizacin).

APLICACIN DEL PROBLEMA PRIMAL - DUALDado el esquema de un sistema productivo donde se procesan 3 tipos de productos,

componente 1, componente 2 y componente 3; pasan por tres departamentos ensamble,

acabado y empaque. Los requerimientos en horas por unidad de tipo de componente, la

utilidad por componente, la disponibilidad del numero de horas en cada departamento se


18/27



dan en el esquema, con esta informacin se pide: Confeccionar el modelo primal y hallar la

solucin, y a partir de la solucin al modelo primal dar la solucin al modelo dual.

Solucin

Definicin de Variables de decisin:

X1 : Nde componentes (C 1) a fabricar y vender



Modelo Primal: Modelo original

Max : Zo = 2 X 1+ 4 X 2+ 3 X 3

s.a.

3X 1+ 4 X 2+ 2 X 3 60

2X 1+ 1 X 2+ 2 X 3 40

1X 1+ 3 X 2+ 2 X 3 80

X 1, X 2, X 3 0

Resolver EN CUADERNO DE MANERA PERSONAL los siguientes modelos y comparar

las soluciones (en cada cambio regresara al modelo original)

a) C1 varia de 2 a 4

b) B1 varia de 60 a 63 horas

C1

3

4

2

2

1

2

4

3

60 40

1

3

2

80

EmpaqueEnsamble

$ 2

Utilid./unid.Acabado

C2

C3


19/27



c)

B2 varia de 40 a 38

d)

B3 varia de 80 a 78 horas

TODAS ESTAS SOLUCIONES MAS LAS DOS SOLUCIONES ANTERIORES

HACERLO EN PAPEL OCFICIO CUADRICULADO A MANUSCRITO TINTA

AZUL O NEGRO PRESENTARLO EL PROXIMO MIERCOLES 29 DE

OCTUBRE DE 2014 EN CLASE.

Solucin ptima Primal

Solucin Dual a partir de la solucin optima Primal

Para esto construimos el modelo Dual

Min : Yo = 60Y 1+ 40Y2+ 80Y3

s.a.

3Y 1+ 2Y 2+ 1Y 3 24Y 1+ 1 Y 2+ 3Y 3 4

2Y 1+ 2Y 2+ 2 Y 3 3

Y1, Y2, Y3 0

V . B . Cj X1 X2 X3 S1 S2 S3 Bi

2 4 3 0 0 0

X2

X3

S3

ZjCj- Zj

4

3

0

1/3 1 0 1/3 -1/3 0

5/6 0 1 -1/6 2/3 0

-5/3 0 0 -2/3 -1/3 1

23/6 4 3 5/6 2/3 0-11/6 0 0 -5/6 -2/3 0

20/3

50/3

80/3

230/3


20/27



Como se dijo, la solucin al modelo dual, solamente se d en la solucin ptima primal, o

viceversa. En este caso: Bajo las V.B.I. (variables bsicas iniciales) en Cj - Zj en forma

secuencial se obtienen los valores para las variables duales.

S1 S2 S3

Cj 0 0 0

Cj- Zj - 5/6 - 2/3 0

Variables Duales Y1 Y2 Y3

S1: Llamado tambin ecuacin S1 en la forma estndar del primal, genera la primera

variable dual Y1, cuyo valor se encuentra cambiando el signo a su valor correspondiente en

Cj - Zj (-5/6 al cambiar de signo se convierte en 5/6) y sumndole su coeficiente respectivoCjde S1 (Cj = 0), as se procede para el resto de las variables duales.

Y1 = 5/6 + 0 = $ 5/6 (Trabajamos con la columna de S1)

Y2 = 2/3 + 0 = $ 2/3 (Trabajamos con la columna de S2)

Y3 = 0 + 0 = $ 0 (Trabajamos con la columna de S3)

Yo = $ 230/3

Verificacin del valor de Yo

El valor de la funcin objetivo dual es igual al valor de la funcin objetivo primal

Min : Yo = 60 Y1 + 40 Y2 + 80 Y3

Min : Yo = 60 ( $ 5/6) + 40 ($ 2/3) + 80 ($ 0) = $ 230/3

Interpretacin Econmica de la Dualidad

1. Una alternativa a la solucin primal, es no utilizar los recursos (horas

disponibles en cada departamento) para producir los componentes C1, C2 y C3;


21/27



si no por ejemplo alquilar estos recursos a una tercera persona, para que esta los

utilice de acuerdo a su conveniencia.

Para que el dueo de los recursos, alquilar estos recursos en vez de Producir, la

retribucin por el alquiler de estos recursos deben sumar cuanto menos tantocomo se puede obtener produciendo.

Esto se demuestra a travs de las funciones objetivos, as:

Valor de la funcin objetivo primal Valor de la funcin objetivo dual

2 X1 + 4 X2 + 3 X3 60 Y1 + 40 Y2 + 80 Y3

2( 0) + 4 ( 20/3) + 3 ( 50/3) 60 ( 5/6) + 40 ( 2/3) + 80 (0)

Valor de Zo = $ 230/3 Valor de Yo = $ 230/3

2. Si el modelo primal tiene solucin, entonces, tambin la tendr el dual y sus

valores en la solucin ptima sern iguales en la funcin objetivo. Esto quiere

decir que, el valor de todos los recursos productivos es igual a la utilidad que

obtendra la empresa o sistema productivo si los recursos son empleados en

forma eficiente.

3.

Ahora, analicemos los valores de las variables duales:

Y1 = $ 5/6 de dolarEsta variable dual es generada por la primera restriccin primal

3X 1+ 4 X 2+ 2 X 3 60

Conocemos que en la solucin ptima primal

X1 = 0 unidades del componente C1

X2 = 20/3 de unidades del componente C2


Por lo tanto en la forma estndar esta restriccin ser:

3X 1+ 4 X 2+ 2 X 3 + S1 = 60 horas

Reemplazando los de las variables de decisin, tendramos:

3*(0) + 4*(20/3) + 2*(50/3) + S1 = 60


22/27



por lo tanto S1 = 0 eso significa que se ha consumido las 60 horas en

ensamble; es por esta razn que no aparece S1 en la iteracin ptima.

Por lo tanto, si el dueo de los recursos, por x motivos desea incrementar por

ejemplo una hora adicional en ensamble (por que con la produccin que tiene a

consumido las 60 horas y ya no tiene ninguna hora sobrante en ensamble), debe

invertir $ 5/6 de dlar, esto econmicamente se interpreta de la siguiente

manera Y1 = $ 5/6 de dlar, conocido como precio sombra de Y1, es la

cantidad mxima que estara dispuesto a invertir por una hora adicional en

ensamble. Lo interesante de este asunto es que, si resuelve el nuevo modelo

variando las horas de ensamble de 60 a 61 horas y el resto de datos permanecen

igual. Los nicos valores que cambian son de las variables bsicas y el valor dela funcin objetivo se incrementa en 1*$Y1, o sea el nuevo Zo = $ 230/3 + $

5/6.

Un siguiente ejemplo para aclarar mejor esto: Si deseamos incrementar 5 horas

en ensamble y se resuelve el nuevo modelo variando las horas de ensamble de

60 a 65 horas y el resto de datos permanecen igual. Los nicos valores que

cambian son de las variables bsicas y el valor de la funcin objetivo se

incrementa en 5*$Y1, o sea el nuevo Zo = $ 230/3 + 5*$ 5/6.

Un siguiente ejemplo aclarara ms an sta situacin: Si deseamos reducir

nuestra produccin, entonces debo reducir las hora en ensamble, supongamos el

nmero de horas en ensamble se reducen de 60 a 57 horas y se resuelve el

nuevo modelo variando las horas de ensamble de 60 a 57 horas y el resto de

datos permanecen igual. Los nicos valores que cambian son de las variables

bsicas y el valor de la funcin objetivo se reduce en 3*$Y1, o sea el nuevo Zo

= $ 230/3 - 3*$ 5/6.

Nota: Esto funciona as, para cualquier recurso


23/27



Y2 = $ 2/3 de dolar

Esta variable dual es generada por la segunda restriccin primal

2X 1+ 1 X 2+ 2 X 3 40

Conocemos que en la solucin ptima primalX1 = 0 unidades del componente C1




2X 1+ 1 X 2+ 2 X 3 + S2 = 40 horas

Reemplazando los de las variables de decisin, tendramos:

2*(0) + 1*(20/3) + 2*(50/3) + S2 = 40

por lo tanto S2 = 0 eso significa que se ha consumido las 40 horas en acabado;

es por esta razn que no aparece S2 en la iteracin ptima.

Por lo tanto, volviendo al modelo original sin variar nada, si el dueo de los

recursos, por x motivos desea incrementar por ejemplo dos horas adicionales en

acabado (por que con la produccin que tiene a consumido las 40 horas y ya no

tiene ninguna hora sobrante en acabado), debe invertir $ 2/3 de dlar, esto

econmicamente se interpreta de la siguiente manera Y2 = $ 2/3 de dlar,conocido como precio sombra de Y2, es la cantidad mxima que estara

dispuesto a invertir por una hora adicional en acabado. Lo interesante de este

asunto es que, si resuelve el nuevo modelo variando las horas de acabado de 40

a 42 horas y el resto de datos del modelo permanecen igual. Los nicos valores

que cambian son de las variables bsicas y el valor de la funcin objetivo se

incrementa en 2*$Y2, o sea el nuevo Zo = $ 230/3 + 2*$ 2/3.

Un siguiente ejemplo aclarara ms an sta situacin, volviendo al modelo

original sin variar nada: Si deseamos reducir nuestra produccin, entonces debo

reducir las hora en acabado, supongamos el nmero de horas en acabado se

reducen de 40 a 36 horas y se resuelve el nuevo modelo variando solamente las


24/27



horas de acabado de 40 a 36 horas y el resto de datos permanecen igual. Los

nicos valores que cambian son de las variables bsicas y el valor de la funcin

objetivo se reduce en 4*$Y2, o sea el nuevo Zo = $ 230/3 - 4*$ 2/3.

Nota: Esto funciona as, para cualquier recurso, teniendo en cuenta que en

cada anlisis de sensibilidad como se llama se vuelve al modelo original y

solamente se cambia un solo valor de inters el resto de valores

permanecen iguales.

Y3= $ 0 de dolar

Esta variable dual es generada por la tercera restriccin primal

1X 1+ 3 X 2+ 2 X 3 80

Conocemos que en la solucin ptima primal

X1 = 0 unidades del componente C1




1X 1+ 3 X 2+ 2 X 3 + S3 = 80 horas

Reemplazando los de las variables de decisin, tendramos:1*(0) + 3*(20/3) + 2*(50/3) + S3 = 80

Por lo tanto S3 = 80/3 eso significa que NOse ha consumido las 80 horas en

EMPAQUE; es por esta razn que SIaparece S3 en la iteracin ptima, con un

valor de 80/3 de horas sobrantes.

4. Por lo tanto, volviendo al modelo original sin variar nada, si el dueo de los

recursos, por x motivos desea incrementar por ejemplo cinco horas adicionalesen empaque (pero con la produccin que tiene no ha consumido las 80 horas ya

que tiene 80/3 de horas adicionales en empaque), por lo tanto como tiene horas

sobrantes en empaque su inversin es $ 0 de dlar, esto econmicamente se

interpreta de la siguiente manera Y3 = $ 0 de dlar, conocido como precio


25/27



sombra de Y3, significa que no todo el tiempo un empaque fue utilizado. Se

tiene tiempo de empaque en exceso, este tiempo adicional no se puede utilizar

en forma rentable, por lo tanto carece de valor. Esta caracterstica se identifica

como la primera mitad del PRINCIPIO DE LA HOLGURA

COMPLEMENTARIA.

Volviendo al incremento de 5 horas adicionales en empaque, si resuelve el

nuevo modelo variando solamente las horas de empaque de 80 a 85 horas y el

resto de datos del modelo permanecen igual, el nico valor que cambian es el de

S3 de 80/3 a 80/3 de horas + 5 horas, por lo tanto S3 en la nueva solucin ser

95/3 de horas, y el valor de la funcin objetivo permanece igual Zo = $ 230/3

5. Ahora analicemos la variable de decisin X1 que queda fuera de

la solucin ptima: En la solucin primal no recomienda producir

componente C1 (X1 = 0 es una variable de decisin no bsica), esta variable

primal genera la restriccin dual 3Y1 + 2 Y2 + Y3 2, la parte izquierda

representa el valor econmico del tiempo (cantidad de horas en ensamble,

acabado y empaque) que se necesita para producir una unidad del componente

C1 reemplazando Y1 = $ 5/6, Y2 = $ 2/3, Y3 = $ 0, en la parte izquierda nos da

$ 23/6 ($ 3.8333 dlares); pero la utilidad de una unidad del componente C1solo brinda $ 2 dlares que es una cantidad mucho menor) . Esta es la razn por

que no se produce X1, interpretndolo diremos puesto que el tiempo necesario

para producir una unidad del componente C1 vale mas que la utilidad del

componente C1, la solucin optima primal indica no producir ninguna unidad

del componente C1 para la empresa, esto es segunda mitad del PRINCIPIO DE

LA HOLGURA COMPLEMENTARIA.

D.Solucin Primal a partir de la Solucin Optima Dual

En este caso resolveramos por el mtodo simplex el modelo Dual


26/27



Modelo Dual

Min : Yo = 60 Y1 + 40 Y2 + 80 Y3

s.a.

3 Y1 + 2 Y2 + Y3 2

4 Y1 + Y2 + 3 Y3 4

2 Y1 + 2 Y2 + 2 Y3 3

Y1, Y2, Y3 0

Forma estndar del Modelo DualMin : Yo = 60 Y1 + 40 Y2 + 80 Y3 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3

s.a.

3 Y1 + 2 Y2 + Y3 S1 + A1 = 2

4 Y1 + Y2 + 3 Y3 S2 + A2 = 4

2 Y1 + 2 Y2 + 2 Y3 S3 + A3 = 3

Y1, Y2, Y3, S1, S2, S3, A1, A2, A3 0

A continuacin se tiene la iteracin ptima de la solucin al modelo dual

V.B. Cj Y1 Y2 Y3 S1 S2 S3 A1 A2 A3 Bi

60 40 80 0 0 0 M M M

Y1

S1

Y2

ZjCjZj

60

0

40

1 0 2/3 0 -1/3 1/6 0 1/3 -1/6

0 0 5/3 1 -1/3 -5/6 -1 1/3 5/6

0 1 1/3 0 1/3 -2/3 0 -1/3 2/3

60 40 160/3 0 -20/3 -50/3 0 20/3 50/30 0 80/3 0 20/3 50/3 M -20/3+M -50/3+M

5/6

11/6

2/3

230/3

En la iteracin optima dual los valores bajo las variables bsicas iniciales Cj Zj, nos

permiten encontrar los valores para las variables primales. Si tenemos en cuenta que A1 se


27/27


27

le conoce inicialmente como ecuacin A1, entonces esta ecuacin genera la primera

variable primal X1, a A2 se le conoce inicialmente como ecuacin A2 en el dual, entonces

genera la segunda variable primal X2 y la ecuacin inicial A3 genera la variable primal X3.

El proceso es el siguiente, bajo las variables bsica iniciales (A1, A2 y A3) a los

correspondientes valores en Cj Zj se le cambia de signo y se le suma su respectivo

coeficiente.

Ejm.

VBI A1 A2 A3Sus Cj M M M

Valores en (Cj - Zj) M - 20/3 + M - 50/3 + M

Valores buscados X1= -M+M=0 X2= 20/3-M+M=20/3 X3=50/3-M+M= 50/3

Solucin directa al modelo PrimalX1 = 0 unidades a producir del componente C1

X2 = 20/3 de unidades a producir y vender del componente C2

X3 = 50/3 de unidades a producir y vender del componente C3

Verificacin del valor de la funcin objetivo primal

Max : Zo = 2 X1 + 4 X2 + 3 X3

= 2 ( 0 ) + 4 ( 20/3 ) + 3 ( 50/3 )

Zo = $ 230/3 de dlares

Respuesta:Para obtener una utilidad mxima de $ 230/3 de dlares de debe producir 20/3 de unidadesdel componente C2, 50/. de unidades del componente C3 y 0 unidades del componente C1.

Semana 07 Invope I Primal Dual 07.10.15

Documents

Transcript of Semana 07 Invope I Primal Dual 07.10.15