Programación Lineal para la Ingeniería Técnica

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12.1. EL MODELO DUAL A todo programa lineal, llamado problema primal, le corresponde otro que se denomina problema dual. Las relaciones existentes entre ambos problemas son las siguientes:

• El dual tiene tantas variables como restricciones existen en el primal.

• El dual tiene tantas restricciones como variables tiene el primal.

• Los coeficientes de la función objetivo del primal son los términos independientes de las restricciones del dual.

• Los términos independientes de las restricciones del primal son los

coeficientes en la función objetivo del dual.

• La matriz de coeficientes de las restricciones del dual es igual a la traspuesta de la del primal.

Se pueden distinguir dos tipos de problemas duales:

1. Duales simétricos: para primales que incluyan restricciones de desigualdad.

2. Duales asimétricos: para primales en forma estándar, es decir, con

restricciones de igualdad. Otro tipo de relaciones entre los problemas primal y dual son las siguientes:

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• Para duales simétricos el sentido de desigualdad de las restricciones del dual es inverso al de las del primal; mientras que para asimétricos, las restricciones del dual son de sentido menor o igual en caso de que el problema primal sea de minimización, y de mayor o igual en caso de maximización. Además, las variables del dual, variables duales, no están sujetas a la condición de no negatividad.

• El problema dual de uno de minimización es de maximización y

viceversa.

• El dual del programa dual es el primal. Según estas afirmaciones, el problema dual queda unívocamente determinado por su primal. Si nxx ,,1 … son las variables primales, myy ,,1 … las correspondientes

variables duales, el planteamiento del problema dual es: 1. Duales simétricos:

Primal: max ( ) nnxcxcXf ++= …11 s.a.: 11111 bxaxa nn ≤++ …

mnmnm bxaxa ≤++ …11 nixi ,,1,0 …=≥

Dual: min ( ) mm ybybYg ++= …11 s.a.: 11111 cyaya mm ≥++ …

nmmnn cyaya ≥++ …11 miyi ,,1,0 …=≥

Se pueden resumir primal y dual en un cuadro como el que sigue, donde el primal se lee verticalmente y el dual de forma horizontal:

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PROGRAMAS PRIMAL (MAX.)

DUAL (MIN.) mnmm

n

aaa

aaa

…

MMMM

…

21

11211

0

01

≥

≥

nx

x

M ≤

≤

M

mb

b

M

1

000 21 ≥≥≥ myyy … variables ≥≥≥ … relación nccc …21 constantes

2. Duales asimétricos: a) Primal: max ( ) nnxcxcXf ++= …11 s.a.: 11111 bxaxa nn =++ …

mnmnm bxaxa =++ …11 nixi ,,1,0 …=≥

Dual: min ( ) mm ybybYg ++= …11 s.a.: 11111 cyaya mm ≥++ …

nmmnn cyaya ≥++ …11 miy i ,,1, …= , no restringidas en signo

b) Primal: min ( ) nnxcxcXf ++= …11 s.a.: 11111 bxaxa nn =++ …

mnmnm bxaxa =++ …11 nixi ,,1,0 …=≥

Dual: max ( ) mm ybybYg ++= …11 s.a.: 11111 cyaya mm ≤++ …

nmmnn cyaya ≤++ …11 miy i ,,1, …= , no restringidas en signo

Programación Lineal para la Ingeniería Técnica

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La tabla anterior queda ahora de la siguiente forma: PROGRAMAS PRIMAL MAX. (MIN.)

DUAL MIN. (MAX.)

mnmm

n

aaa

aaa

…

MMMM

…

21

11211

0

01

≥

≥

nx

x

M =

=

M

mb

b

M

1

myyy …21 variables ( ) ( ) ( )≤≥≤≥≤≥ … relación nccc …21 constantes

Nota: Sin distinguir en el caso de duales simétricos o asimétricos, podemos formular una tabla general, que reúne las relaciones entre el problema primal y dual, sea cual sea su formulación:

Problema de minimización

Problema de maximización

VARIABLES asrestringid no

0

0

≤

≥

=

≥

≤

RESTRICCIONES

RESTRICCIONES =

≤

≥

asrestringid no

0

0

≤

≥

VARIABLES

La ventaja de esta tabla es que se puede leer de derecha a izquierda o viceversa, según el problema primal sea de maximización o minimización, respectivamente. Además, en el problema primal pueden darse diferentes combinaciones en cuanto al sentido de sus desigualdades o al signo de sus variables.

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Ejemplos: 1. Primal: max 212 xx + s.a.: 105 21 ≤+ xx 63 21 ≤+ xx 822 21 ≤+ xx 0, 21 ≥xx

Como el primal es de maximización, el dual será de minimización, por lo que leemos la última tabla de derecha a izquierda. Esto nos dice que por ser todas las restricciones de menor o igual, las variables duales serán de signo no negativo; además por ser las variables primales no negativas, todas las restricciones duales serán de mayor o igual. El problema dual quedará por lo tanto como: Dual min 321 8610 yyy ++ s.a.: 22 321 ≥++ yyy 1235 321 ≥++ yyy 0,, 321 ≥yyy

2. Primal min 321 25 xxx ++ s.a.: 2032 321 ≥++ xxx 30586 321 ≥++ xxx 4037 321 ≥++ xxx 5042 321 ≥++ xxx 0,, 321 ≥xxx

En este caso, leemos la tabla de izquierda a derecha, resultando el dual: Dual max 4321 50403020 yyyy +++ s.a.: 5762 4321 ≤+++ yyyy 2283 4321 ≤+++ yyyy 1435 4321 ≤+++ yyyy 0,,, 4321 ≥yyyy

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3. Primal min 321 23 xxx −+ s.a.: 25684 321 =++ xxx 30957 321 =++ xxx 0,, 321 ≥xxx

Ahora, aunque como en el ejemplo anterior hay que leer la tabla de izquierda a derecha, la formación del dual será ligeramente diferente a la de dicho ejemplo. Dual max 21 3025 yy + s.a.: 174 21 ≤+ yy 358 21 ≤+ yy 296 21 −≤+ yy 21 , yy no restringidas en signo

4. Primal max 213 xx + s.a.: 721 =+ xx 832 21 =+ xx 0, 21 ≥xx

Al igual que el ejemplo 1, leemos la tabla de derecha a izquierda, resultando: Dual min 21 87 yy + s.a.: 32 21 ≥+ yy 13 21 ≥+ yy 21 , yy no restringidas en signo

Nota: La forma del dual asimétrico (ejemplos 3 y 4) está determinada exclusivamente por la forma del dual simétrico. Si pasamos a forma estándar el problema con restricciones de desigualdad y calculamos el dual, que sería dual asimétrico, el problema que se obtiene es el mismo que le correspondería al primal como dual simétrico. Por ejemplo:

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max ( ) nnxcxcXf ++= …11 s.a.: 11111 bxaxa nn ≤++ …

mnmnm bxaxa ≤++ …11 nixi ,,1,0 …=≥

Si pasamos a forma estándar: max ( ) H

mnHnnn xxxcxcXf ++ +++++= 00 111 ……

s.a.: 111111 bxxaxa Hnnn =+++ +…

m

Hmnnmnm bxxaxa =+++ +…11

nixi ,,1,0 …=≥ , mjx Hjn ,,1,0 …=≥+

El correspondiente dual asimétrico de este último problema primal es: min ( ) mm ybybYg ++= …11 s.a.: 11111 cyaya mm ≥++ …

nmmnn cyaya ≥++ …11 01 ≥y

0≥my

Es el mismo que el dual simétrico que le correspondería al problema sin transformar en su formulación estándar. Una vez visto que los duales simétricos pueden convertirse en asimétricos utilizando variables de holgura, vamos a enunciar un teorema de dualidad válido para ambos.

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Teorema: Sea P un problema de Programación Lineal cuya región de factibilidad es F, y sea D su problema dual de región de factibilidad G. Entonces:

i) Si FX ∈ , GY ∈ , se cumple que ( ) ( )YgXf ≤ .

ii) Si para algún FX ∈ y algún GY ∈ se verifica que ( ) ( )YgXf = ,

entonces X es solución óptima de P, Y es solución óptima de D.

iii) Si uno de los problemas P ó D tienen una solución óptima *X ó *Y , el otro también la tiene, verificándose además que ( ) ( )** YgXf = .

iv) Si f está acotada superiormente en ∅≠F , ó g está acotada

inferiormente en ∅≠G , entonces ambos problemas P y D tienen solución óptima.

Consecuencias del teorema: 1. Si el primal tiene solución finita, entonces el dual también la tiene y ambas

coinciden. 2. Si el primal tiene solución no acotada, el dual no tiene solución. 3. Si el primal no tiene solución, entonces ó el dual no tiene solución ó tiene

solución no acotada. El dual del dual: Consideremos ahora como primal al dual, ¿cuál es su dual?. min ( ) mm ybybYg ++= …11 s.a.: 11111 cyaya mm ≥++ …

nmmnn cyaya ≥++ …11 miyi ,,1,0 …=≥

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Introducimos variables de holgura: min ( ) H

nmHmmm yyybybYg ++ +++++= 00 111 ……

s.a.: 111111 cyyaya Hmmm =−++ +…

n

Hnmmmnn cyyaya =−++ +…11

miyi ,,1,0 …=≥ , njy Hjm ,,1,0 …=≥+

Su dual sería: max ( ) nnxcxcXf ++= …11 s.a.: 11111 bxaxa nn ≤++ …

mnmnm bxaxa ≤++ …11 01 ≤− x

0≤− nx

Las últimas n restricciones son las de no negatividad, y el problema que se obtiene es el primal. Luego el dual del dual es el primal. 12.2. RELACIONES PRIMAL-DUAL Con la solución del primal, se obtiene con el Simplex implícitamente la del dual. Veámoslo: Sea el primal en forma estándar: max Z = CX s.a.: AX = b 0≥X Escribimos A = (B/N), con B la submatriz formada por las columnas correspondientes a las variables básicas, y N lo mismo para las no básicas o libres. Entonces:

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Solución óptima primal

max NNBB XCXCZ += s.a.: bNXBX NB =+ 0, ≥NB XX

La solución de este problema consiste en hacer que el vector no básico NX sea cero,

y resolver el vector básico en términos de la base B, es decir:

bBXbBXbNXBX BBNB1−=⇒=⇒=+

y la función objetivo será:

bBCXCXCXCZ BBBNNBB1−==+=

Ahora bien, la función objetivo dual es ( ) bYYbYg TT == , y en el óptimo el valor de

la función objetivo primal coincide con el valor óptimo de la función objetivo dual, esto es, ( ) ( )** YgXZ = . Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

B

T

B YBCbYbBCYgXZ *1***1**** =⇒=⇒=−−

En los casos particulares que estudiaremos, este valor no hace falta calcularlo explícitamente si hemos resuelto el primal aplicando el algoritmo del Simplex, puesto que en la última tabla:

Variables originales Variables de holgura

Variables básicas BX

Valor de las variables básicas

bBX B

1−=

AB 1− 1−B

ABCC B1−− 1−− BCB

Solución óptima dual opuesta en signo

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Ejemplo: max 21 34 xx + max 21 34 xx + s.a.: 1832 21 ≤+ xx s.a.: 1832 321 =++ Hxxx 1024 21 ≤+ xx 1024 421 =++ Hxxx 0, 21 ≥xx 0,,, 4321 ≥HH xxxx

Introduciendo las variables de holgura. La última tabla es:

1x 2x Hx3 Hx4 Hx3 3 -4 0 1 -3/2 2x 5 2 1 0 1/2 -2 0 0 -3/2

Solución óptima dual:

=23,0*Y

Solución óptima primal: ( )5,0* =X Función objetivo primal y dual óptimas: ( ) ( ) 15** == YgXf

El dual sería: min 21 1018 yy + max AA MyMyyy 6521 1018 −−−− s.a.: 442 21 ≥+ yy s.a.: 442 5321 =+−+ AH yyyy 323 21 ≥+ yy 323 6421 =+−+ AH yyyy 0, 21 ≥yy 0,,,,, 654321 ≥AAHH yyyyyy

Se puede comprobar con el Simplex que da la misma solución, pero el proceso es más largo por la introducción de variables de holgura y artificiales, de ahí el interés de la relación entre dual y primal (entre otras razones). Interesará pasar al dual cuando su resolución sea más fácil que la del primal. Así, podemos resolver el dual por el Simplex y deducir, sin ningún cálculo

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suplementario, la solución óptima del primal. Este caso se presentará cuando el primal incluya restricciones de mayor o igual para las cuales es preciso introducir variables de holgura y artificiales. Ejemplo: min 21 65 xx + max AA MxMxxx 6521 65 −−−− s.a.: 2025 21 ≥+ xx s.a.: 2025 5321 =+−+ AH xxxx 2483 21 ≥+ xx 2483 6421 =+−+ AH xxxx 0, 21 ≥xx 0,,,,, 654321 ≥AAHH xxxxxx

Si calculamos su dual: max 21 2420 yy + max 21 2420 yy + s.a.: 535 21 ≤+ yy s.a.: 535 321 =++ Hyyy 682 21 ≤+ yy 682 421 =++ Hyyy 0, 21 ≥yy 0,,, 4321 ≥HH yyyy

Se ve que es más fácil aplicar el Simplex al estándar del dual que al del primal. La última tabla es:

1y 2y Hy3 Hy4

1y 11/17 1 0 ----- ----- 2y 10/17 0 1 ----- ----- 0 0 -56/17 -30/17

Lo que realmente nos interesa es el valor de los costes en la tabla final, por eso dejamos sin rellenar huecos en esa tabla que no aportan nada a la solución que buscamos. Así:

=1710,

1711*Y ,

=1730,

1756*X , ( ) ( )

17460** == YgXf

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12.3. MÉTODO DUAL DEL SIMPLEX Supongamos el problema de la dieta (mezcla de alimentos más barata, satisfaciendo unos valores nutritivos necesarios): min nnxcxc ++ …11 s.a.: 11111 bxaxa nn ≥++ …

mnmnm bxaxa ≥++ …11 nixi ,,1,0 …=≥

Aquí, jx representa la cantidad del alimento j a precio jc y con una composición

ija de un cierto elemento nutritivo iN del cual hay un requerimiento de al menos

ib unidades.

Una posible interpretación del dual sería: supongamos que una empresa se plantea la posibilidad de fabricar un concentrado de cada uno de los elementos nutritivos que se requieren para la correcta alimentación, de modo que propondría que se ingirieran los concentrados directamente en lugar de los alimentos que contienen los elementos nutritivos, de modo que se satisfacieran las necesidades nutricionales igualmente. El problema que se plantearía la compañía consistiría en encontrar los precios unitarios myy ,,1 … para cada nutriente de forma que maximizara su beneficio, pero

teniendo en cuenta que al mismo tiempo este procedimiento debería ser competitivo con el usual en el que se aportan directamente los alimentos. Así, se debe maximizar mm ybyb ++ …11 .

Esta competitividad significa que la suma de los precios totales de los elementos nutritivos en las cantidades que intervienen en cada alimento deberá ser menor o a lo sumo igual que el precio o coste de este alimento. Así, para el alimento j-ésimo de coste jc , deberá verificarse jmmjj cyaya ≤++ …11 .

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Por último, el precio de cada unidad de nutriente iy debe ser positivo. Con todo

esto, planteamos el dual: max mm ybyb ++ …11 s.a.: 11111 cyaya mm ≤++ …

nmmnn cyaya ≤++ …11 miyi ,,1,0 …=≥

Podemos deducir fácilmente del estudio desarrollado en los apartados anteriores una de las aplicaciones inmediatas de la teoría de la dualidad: la resolución de problemas lineales con más restricciones que variables. Puesto que parte de la dificultad y el número de iteraciones del Simplex dependen del número de restricciones, resolveremos el primal si m < n, y el dual si m > n. Otra aplicación de la dualidad es la resolución de problemas lineales utilizando el Algoritmo Dual del Simplex, que consiste básicamente en aplicar el Simplex al problema dual, pero efectuando los cálculos sobre el primal. Lo explicamos a continuación. Para comenzar con el Simplex, si no es posible obtener una solución factible, se añaden tantas variables artificiales como sea necesario. El Método Dual del Simplex hace innecesario el empleo de dichas variables artificiales, pero necesita para comenzar a iterar una condición llamada de factibilidad dual, es decir, que todos los costes marginales jc sean negativos o nulos (en caso de máximo). Por

tanto, no siempre se podrá aplicar. Algoritmo. Paso 1: Partimos de una tabla en la que 0≤−= jjj zcc .

Paso 2: Si BX (solución básica) es tal que 0≥BX , estamos en la solución óptima.

PARAR.

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En otro caso, elegimos para que salga de la base la variable ix , cuya coordenada ( )

iBX es la más negativa.

Paso 3: Si todos los elementos ija de la fila correspondiente a la variable que sale

de la base son positivos o nulos, entonces el problema no tiene solución o tiene solución óptima no acotada.

Si al menos algún 0<ija , calculamos:

ik

kij

ij

j

nj ac

aac

min =

<∋=

0,,1 …

Si corresponde a la columna k-esima, entra en la base kx .

Paso 4: Pivotamos sobre ika , efectuando las operaciones precisas para que la

columna k tenga un 1 en el lugar i-ésimo y ceros en el resto. Volver al paso 2. Nótese que los problemas “ideales” para resolver mediante este algoritmo son aquellos de minimización que incluyen restricciones del tipo mayor o igual, y cuyas desigualdades contienen coeficientes positivos. Así, el problema de la dieta es un candidato para aplicarle este procedimiento. Ejemplo: min 321 543 xxx ++ max 321 543 xxx −−− s.a.: 532 321 ≥++ xxx s.a.: 532 321 −≤−−− xxx 622 321 ≥++ xxx 622 321 −≤−−− xxx 0,, 321 ≥xxx 0,, 321 ≥xxx

Introducimos las correspondientes variables de holgura para obtener la formulación estándar:

Programación Lineal para la Ingeniería Técnica

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max 321 543 xxx −−− s.a.: 532 4321 −=+−−− Hxxxx 622 5321 −=+−−− Hxxxx 0,,,, 54321 ≥HH xxxxx

La tabla inicial con la que comenzar a iterar, siguiendo los pasos del Algoritmo Dual del Simplex, es la siguiente:

1x 2x 3x Hx4 Hx5 Hx4 -5 -1 -2 -3 1 0 Hx5 -6 -2 -2 -1 0 1

-3 -4 -5 0 0 Puesto que jc j ∀≤ ,0 , sale de la base la variable cuya coordenada ( )

iBX es la más negativa, en este caso 65 −=x , y aplicamos el criterio de entrada, calculando:

23

15,

24,

23

=

−

−

−

−

−

−min

Así pues, entra en la base la variable 1x , siendo el elemento pivote 221 −=a .

Con todo esto, la siguiente tabla quedará como sigue:

1x 2x 3x Hx4 Hx5 Hx4 -2 0 -1 -5/2 1 -1/2 1x 3 1 1 1/2 0 -1/2 0 -1 -7/2 0 -3/2

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Seguimos teniendo que jc j ∀≤ ,0 , y ahora la variable básica con valor más negativo es 24 −=Hx (la única), por tanto es la que abandona la base.

Aplicamos el criterio de entrada calculando:

12123

,2527

,11

=

−

−

−

−

−

−min

que corresponde a la variable 2x , que entra en la base, siendo el elemento pivote el elemento 112 −=a .

Con todo esto, la siguiente tabla quedará como sigue:

1x 2x 3x Hx4 Hx5

2x 2 0 1 5/2 -1 1/2 1x 1 1 0 -2 1 -1 0 0 -1 -1 -1

Todas las variables básicas son positivas, por lo que el algoritmo termina con la solución óptima:

1*1 =x , 2*

2 =x , 0*3 =x , 11* =Z

Ejemplo: min 212 xxZ += max 212 xxZ −−=− s.a.: 33 21 ≥+ xx s.a.: 33 321 −=+−− Hxxx 634 21 ≥+ xx 634 421 −=+−− Hxxx 32 21 ≥+ xx 32 521 −=+−− Hxxx 0, 21 ≥xx 0,,,, 54321 ≥HHH xxxxx

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Una vez que hemos cambiando de signo, e introducido las correspondientes variables de holgura, la primera tabla será:

1x 2x Hx3 Hx4 Hx5 Hx3 -3 -3 -1 1 0 0 Hx4 -6 -4 -3 0 1 0 Hx5 -3 -1 -2 0 0 1 -2 -1 0 0 0

1x 2x Hx3 Hx4 Hx5 Hx3 -1 -5/3 0 1 -1/3 0 2x 2 4/3 1 0 -1/3 0 Hx5 1 5/3 0 0 -2/3 1 -2/3 0 0 -1/3 0

1x 2x Hx3 Hx4 Hx5

1x 3/5 1 0 -3/5 1/5 0 2x 6/5 0 1 4/5 -3/5 0 Hx5 0 0 0 1 -1 1

0 0 -2/5 -1/5 0 Todas las variables básicas son positivas, por tanto el algoritmo concluye con la solución óptima:

53*1 =x , 56*

2 =x , 512* =Z