Formulación Del Problema Primal Dual _(2_) [Sólo Lectura] [Modo de Compatibilidad]

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Luisa Fernanda Valencia.Luisa Fernanda Valencia.Luisa Fernanda Valencia.Luisa Fernanda Valencia.

Luisa Fernanda RodríguezLuisa Fernanda RodríguezLuisa Fernanda RodríguezLuisa Fernanda Rodríguez

Jesús Téllez.Jesús Téllez.Jesús Téllez.Jesús Téllez.

Fabián Cheque.Fabián Cheque.Fabián Cheque.Fabián Cheque.

� Son aplicaciones que se le hacen al Método Simplexcon el objetivo de garantizar la optimización de unproblema y a su vez para un mejor manejo del mismométodo.

� Por medio de este Método resolvemos problemaslineales que tiene mas restricciones que actividades.

� Primal: Modelo inicial del problema de programación.

� Dual: Modelo que se obtiene luego de hacer lasconversiones.

UNIVERSIDAD ECCI. UNIVERSIDAD ECCI. UNIVERSIDAD ECCI. UNIVERSIDAD ECCI. –––– PROGRAMACIÓN LÍNEAL.PROGRAMACIÓN LÍNEAL.PROGRAMACIÓN LÍNEAL.PROGRAMACIÓN LÍNEAL.

Dualidad.

Resulta de buscar relaciones que permitan obtenerinformación adicional de un problema de optimizacióngeneral. Esto traducido a Programación Lineal nosconduce a relaciones primal – dual.

Esta relación consiste en que todo problema deoptimización primal tiene un problema asociado dualcon numerosas propiedades que nos relacionan y nospermiten hacer un mejor análisis de los problemas.

La importancia de la Dualidad en el Primal es queestos me van a establecer la solución optima de unárea factible a su vez es importante ya que sitenemos en el Primal mas ecuaciones quevariables es frecuentemente mas fácil obtener lasolución del Dual ya que se requiere de menornumero de interacciones.

La relación entre el problema dual y suasociado, es decir, el problema originalllamado primal, presenta varias utilidades:

� Aporta elementos que aumentansustancialmente la comprensión de laProgramación Lineal (PL).

� El análisis de dualidad es una herramientaútil en la solución del problema de PL. (+)Restricciones (-) Variables.

� El Problema Dual tiene interpretaciones einformaciones importantes.

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� Si el primal es un problema de Maximización,el dual es un problema de Minimización.

� Los coeficientes de la función objetivo delprimal se convierten en las restriccionesconstantes de las ecuaciones del dual.

� Las restricciones de las ecuaciones del primalse convierten en los coeficientes de lafunción objetivo del dual.

� Los coeficientes de las variables del dual enlas ecuaciones restricciones son obtenidas


� Los coeficientes de las variables del dual enlas ecuaciones restricciones son obtenidassacando la transpuesta de la matriz decoeficientes del primo.

� Los signos de la desigualdad son invertidos.



Cuya respuesta es

X1 = 28,75X2 = 120S1 = 79.5S3 = 51.25

Función objetivo = 3310


Procedemos a resolver el problema dual

� Este paso se lleva a cabo teniendo en cuenta las relacionesque se expusieron en la definición de la dualidad. Ahora lasvariables en el dual las representaremos por "ʎ" ycorresponden a cada restricción.

�

� El modelo queda de la siguiente forma:

�

� ZMIN = 700ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4

�

� 16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 ≥ 40

� 2ʎ1 + 3ʎ2 + ʎ4 ≥ 18

� ʎ1;ʎ4 ≥ 0


� Ahora preparamos el modelo para ser resueltomediante Método Simplex, utilizaremos elprocedimiento en el cual la función objetivo esmultiplicada por (-1) y resolveremos el modelomediante maximización.

� ZMIN = 700ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4

� Lo que es igual

� (-Z)MAX = -700ʎ1 - 612ʎ2 - 80ʎ3 - 120ʎ4


� Ahora dado que los signos de las inecuacionesson mayor o igual procedemos a volverlasecuaciones agregando variables de exceso,recordemos que en este caso las variables deexceso se restan del lado izquierdo de laigualdad, por ende.

� 16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 + 0ʎ4 - 1S1 + 0S2 = 40

� 21ʎ1 + 3ʎ2 + 0ʎ3 + ʎ4 + 0S1 - 1S2 = 18

� ʎ1;ʎ4 ≥ 0


� Recordemos que el Método Simplex solo es posible por la formación de la matriz identidad, sin embargo en una matriz identidad no pueden ir coeficientes negativos, el cual es el caso, por ende recurriremos al artificio denominado "Método de la M grande" utilizando variables artificiales, las cuales siempre se suman.

� 16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 + 0ʎ4 - 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 ≥ 40

� 21ʎ1 + 3ʎ2 + 0ʎ3 + ʎ4 + 0S1 - 1S2 + 0A1 + 1A2 ≥ 18

� ʎ1;ʎ4 ≥ 0


� Ahora si observamos la matriz identidad formada por las variables artificiales, nuestra función objetivo es la siguiente (varía dada la incorporación de las nuevas variables).

� (-Z)MAX = -700ʎ1 - 612ʎ2 - 80ʎ3 - 120ʎ4 + 0S1 + 0S2 - MA1 - MA2


� Recordemos que el coeficiente de lasvariables de holgura y exceso es 0, ademásque los coeficientes de las variablesartificiales es M, donde M corresponde a unnúmero grande poco atractivo cuyo signo enla función objetivo depende del criterio de lamisma, dado que la función es maximizar elsigno es negativo. Dado que utilizaremosel Método Simplex y no un software para laresolución del modelo es necesario que Madquiera valor, en este caso será "-10000" unnúmero bastante grande en el problema.



Las iteraciones que utiliza el Método Simplex son las siguientes:

� Podemos observar que todos los Cj - Zj son menores o iguales a 0, por ende hemos llegado a la solución óptima del problema, sin embargo recordemos que la función objetivo fue alterada en su signo al principio, por ende se hace necesario regresarle su signo original a Zj y a la fila Cj - Zj.

� (-Z)max = -3310 * (-1)

� Zmax = 3310

� Podemos cotejar con la función objetivo del modelo primal y encontraremos que hallamos el mismo resultado.



Ahora se hace necesario interpretar los resultados de la tabla dualrespecto al modelo primal, y esta interpretación se realiza siguiendolos siguientes principios.

� La interpretación del tabulado final del modelo dual es la siguiente:



Ejercicio 1

Ejercicio 2

Determine el planteamiento dual al siguiente problema

Ejercicio 2


� Planteamiento ejercicio 1


� Planteamiento ejercicio 2

Un carpintero modesto fabrica dos tipos de mesas de madera. Cada mesa del tipo 1 necesita 4 horas de mecanizado primario (preparacion de piezas) y 4 horas de mecanizado secundario (ensamblado y barnizado). Analogamente, cada mesa del tipo 2 necesita 3 horas de mecanizado primario y 7 horas de mecanizado secundario.


Las disponibilidades diarias de mecanizados primario y secundario son respectivamente de 40 y 56 horas-maquina. La venta de una mesa del tipo 1 reporta un beneficio de 70 dolares, mientras que la venta de una mesa del tipo 2 de 90 dolares. El objeto de este problema es determinar el numero de mesas de cada tipo que han de producirse diariamente para maximizar elbeneficio obtenido.


� Primero ordenamos los datos en una tabla:


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