HABLEMOS DE PROBABILIDAD

JORGE MARTINEZ COLLANTES

PROFESOR PENSIONADO

UNIVERSIDAD NACIONAL

Ganaremos el partido con Bolivia el próximo viernes?

Cree que vamos a ganar el partido con Bolivia el viernes?

Qué tan probable es ganemos el partido con Bolivia el próximo viernes?

Cuál es la probabilidad de que ganemos el partido con Bolivia el próximo viernes?

CONTENIDO

• Aproximaciones al concepto de probabilidad Enfoque subjetivo Enfoque frecuentista Enfoque axiomático • Definiciones básicas

• Propiedades de una probabilidad

• Cálculo de una probabilidad

DETERMINISTICO - ALEATORIO

OBSERVACION O EXPERIMENTO

Resultado (Suceso)

Determinístico

Aleatorio

ENFOQUE SUBJETIVO

Medida de la incertidumbre de un suceso basada en experiencias previas

• Personal

• Depende de la información disponible

• No generalizable

• No definible en suceso no repetibles

• Es interpretable

ENFOQUE FRECUENTISTA

• Experiento (E) Resultado (A)

• Se repite 𝑛 veces

• A ocurre 𝑛𝐴 veces (Frecuencia de A)

• 𝑓𝐴 =𝑛𝐴

𝑛 Frecuencia relativa de A

• lim𝑛→∞

𝑓𝐴 = 𝑝 Probabilidad de A Bernoulli (1713)

• 𝑃 𝐴 = 𝑝

ENFOQUE FRECUENTISTA

• Problemas

Si no es posible la repetición infinita del experimento

Sucesos inciertos que solo ocurrirán una vez

Falta de homogeneidad en el sistema observado

Círculo vicioso en las demostraciones formales

ENFOQUE AXIOMATICO

Bohlman (1901) Kolmogorov(1933)

• Espacio muestral 𝑆 conjunto de todos los resultados de un experimento aleatotio

• Evento 𝐴 un subconjunto del espacio muestral 𝑆 (Subconjunto de resultados)

• Se dice que un evento 𝐴 ocurre si al realizar el experimento 𝐸 se obtiene un resultado 𝑎 y ocurre que este resultado es elemento de 𝐴.

• Si el resultado 𝑎 no es elemento de 𝐴 se dice que no ocurre 𝐴. Lo que ocurre es 𝐴′ el complemento de 𝐴

• Dos eventos 𝐴 𝑦 𝐵 son mutuamente excluyentes si no tienen resultados del experimento en común, es decir 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

EJEMPLO

𝑆 = 1,2, …… . , 31

Día del mes

𝐴 = 2,4,6,8, …… , 30

Dia par

20

Un día cualquiera

Ocurre A

𝐴′ = 1,2,3, …… , 31

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

La probabilidad de un evento 𝐴, de un espacio muestral 𝑆, es un número 𝑃(𝐴) que cumple las siguientes condiciones:

• 𝑃 𝐴 ≥ 0

• 𝑃 𝑆 = 1

• Si 𝐴 𝑦 𝐵 son eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra 𝐴 𝑜 𝐵 es

• 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

• 𝑃 ∅ = 0

• Si 𝐴 𝑦 𝐵 son dos eventos tales que 𝐴 está contenido en 𝐵 , 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)

• Como ∅ ⊂ 𝐴 ⊂ 𝑆 entonces 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

• Si 𝑃 𝐴 = 0 el evento es “imposible” y si 𝑃 𝐴 = 1 el evento es “seguro”

• 𝑃 𝐴′ = 1 − 𝑃(𝐴)

• Si 𝐴 𝑦 𝐵 son dos eventos cualquiera 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

0 0,5 1

P(A)

GENERALIZACION

Sean 𝐴1, 𝐴2, … . , 𝐴𝑘 eventos tales que son mutuamente excluyentes de dos en dos (dos eventos no

pueden ocurrir al mismo tiempo) la probabilidad de ocurra alguno de ellos es

𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯∪ 𝐴𝑘 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + ⋯+ 𝑃(𝐴𝑘)

CALCULO DE UNA PROBABILIDAD

• Espacio muestral finito

• 𝑆 = 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑚

• 𝑆 = 𝑠1 ∪ 𝑠2 ∪ ⋯∪ 𝑠𝑚

• 𝑃 𝑆 = 𝑃 𝑠1 + 𝑃 𝑠2 + ⋯+ 𝑃 𝑠𝑚

• 𝑃 𝑠1 + 𝑃 𝑠2 + ⋯+ 𝑃 𝑠𝑚 = 1

• Si todos los resultados tienen igual probabilidad 𝑝, se tiene que 𝑚𝑝 = 1

• 𝑝 =1

𝑚

CALCULO DE UNA PROBABILIDAD

• A= 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑘

• 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝑠1 + 𝑃 𝑠2 + ⋯+ 𝑃 𝑠𝑘

• 𝑃 𝐴 = 𝑘𝑝

• 𝑃 𝐴 =𝑘

𝑚

• 𝑃 𝐴 =𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑆

CALCULO DE UNA PROBABILIDAD

Si alguien considera que es tres veces más probable que Colombia le gane a Bolivia y dos veces más

probable que queden empatados, cuáles son las probabilidades de cada resultado?

• 𝑆 = 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎, 𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑖𝑎, 𝐸𝑚𝑝𝑎𝑡𝑒

• 𝑃 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎 = 𝑝

• 𝑃 𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑖𝑎 =𝑝

3

• 𝑃 𝐸𝑚𝑝𝑎𝑡𝑒 =𝑝

2

• Entonces 𝑃 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎 + 𝑃 𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑖𝑎 + 𝑃 𝐸𝑚𝑝𝑎𝑡𝑒 = 1

• . 𝑝 +𝑝

3+

𝑝

2= 1

11

6𝑝 = 1 𝑝 =

6

11 𝑃 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎 = 0,55 𝑃 𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑖𝑎 = 0,18 𝑃 𝐸𝑚𝑝𝑎𝑡𝑒 = 0,27

CALCULO DE UNA PROBABILIDAD

• Cuál es la probabilidad de ganarse el Baloto?

• 𝑚 =455

=1∗2∗3∗⋯∗45

(1∗2∗3∗⋯∗40)(1∗=2∗3∗4∗5)= 1.221,759

• 𝑘 = 1

• 𝑃 𝐵𝐴𝐿𝑂𝑇𝑂‼‼! =1

1,221,759= 0,00000082 ??????

CALCULO DE UNA PROBABILIDAD

• Cual es la probabilidad de que al seleccionar un punto en un círculo este quede más cerca del la circunferencia que del centro?

• Evento C (Más cerca del borde que del centro)

• 𝑃 𝐶 =𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐶)

𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑆)

R

CALCULO DE UNA PROBABILIDAD

• 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆 = 𝜋𝑅2

• 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐶 = 𝜋𝑅2 − 𝜋𝑅

2

2=

3

4𝜋𝑅2

• 𝑃 𝐶 =3

4𝜋𝑅2

3

4𝜋𝑅2

=3

4

ESTIMACION DE UNA PROBABILIDAD

• Se repite 𝑛 veces el Experimento

• Se cuenta cuantas veces ocurre A 𝑛𝐴

• 𝑝 =𝑛𝐴

𝑛

• Esta estimación tiene variabilidad

• Esta mide con la desviación estándar 𝑝(1−𝑝)

𝑛

• La estimación con una “confibiliadad” del 95% es aproximadamente 𝑝 ± 2𝑝 (1−𝑝 )

𝑛

ESTIMACION DE UNA PROBABILIDAD

𝑛 = 100 𝑛 = 200 𝑛 = 400

𝑛𝐴 = 60 𝑛𝐴 = 120 𝑛𝐴 = 240

𝑝 = 0,6 𝑝 = 0,6 𝑝 = 0,6

Estimación 0,6 ± 2 0,049 = 0,6 ± 0.098 0,6 ± 0,069 0,6 ± 0,049

ESTIMACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA

• 𝑛 = 𝑧2 𝑝(1−𝑝)

𝑒2

PROBABILIDAD CONDICIONADA

• Sea 𝐵 un evento tal que 𝑃 𝐵 > 0

• 𝑃 𝐴 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝐵 =𝑃(𝐴 𝑦 𝐵)

𝑃(𝐵)

• 𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝐵 𝑃(𝐵)

EVENTOS INDEPENDIETES

• Dos eventos A y B son independientes si

• 𝑃 𝐴 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝐵 = 𝑃 𝐴

• 𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵

Rural Urbano Total

Alto 111 129 240

Bajo 231 123 354

Total 342 252 594

𝑃 𝐴𝐿𝑇𝑂 =

P(ALTO y RURAL)=

𝑃 𝐴𝐿𝑇𝑂 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑈𝑅𝐴𝐿 =

CALCULO DE PROBABILIDADES

• P(ALTO)=240

594= 0,40

• 𝑃 𝐴𝐿𝑇𝑂 𝑦 𝑅𝑈𝑅𝐴𝐿 =111

594= 0,187

• 𝑃 𝑅𝑈𝑅𝐴𝐿 =342

594=0,576

• 𝑃(𝐴𝐿𝑇𝑂 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑈𝑅𝐴𝐿)=0,187

0,576=

111

342= 0,325

• P(ALTO)*P(RURAL)=0,40*0,576=0,23

MUCHAS GRACIAS