Post on 03-Mar-2015
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:
Modelización numérica de Estructuras de Hormigón
Lección 3:
Modelización numérica de Estructuras de Hormigón mediante el M.E.F.
ESTRUCTURAS DE BARRASESTRUCTURAS DE BARRAS
Pedro Miguel Sosa
27/10/2010 1
Miguel A. Fernández PradaJuan Navarro Gregori
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
BREVE DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
IntroducciónTeoría de vigas:
- Planteamiento general
IntroducciónTeoría de vigas:
- Planteamiento general
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
Planteamiento general- Hipótesis de Euler-Bernouilli (EBT)
- Flexión recta- Flexión esviada y torsión
Planteamiento general- Hipótesis de Euler-Bernouilli (EBT)
- Flexión recta- Flexión esviada y torsión
LECCIÓN 3
RR
AS - Hipótesis de Timoshenko (TBT)
- Flexión recta- Equilibrio de una rebanada
- Hipótesis de Timoshenko (TBT)- Flexión recta
- Equilibrio de una rebanada
DE
BA
R - Flexión recta- Equilibrio longitudinal- Hipótesis Euler-Bernouilli (EBT)- Hipótesis de Timoshenko (TBT)
- Flexión recta- Equilibrio longitudinal- Hipótesis Euler-Bernouilli (EBT)- Hipótesis de Timoshenko (TBT)
TUR
AS
D Hipótesis de Timoshenko (TBT)- Corrección hipótesis de Timoshenko
Elementos finitos tipo barra (1D):- Características para hormigón armado
Hipótesis de Timoshenko (TBT)- Corrección hipótesis de Timoshenko
Elementos finitos tipo barra (1D):- Características para hormigón armado
STR
UC
T p g- Elemento barra de 7 gdl para estructuras de barras 2D- Elemento barra de 13 gdl para estructuras de barras 3D
p g- Elemento barra de 7 gdl para estructuras de barras 2D- Elemento barra de 13 gdl para estructuras de barras 3D
ES
27/10/2010 2
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
BREVE DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Cálculo seccional de elementos de hormigón armado y pretensadoPlanteamiento generalComportamiento no lineal de los materiales
Cálculo seccional de elementos de hormigón armado y pretensadoPlanteamiento generalComportamiento no lineal de los materiales
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
Secciones compuestasPretensadoPiezas hormigonadas en varias fases
Secciones compuestasPretensadoPiezas hormigonadas en varias fases
LECCIÓN 3
RR
AS
Estado de neutralizaciónDeformación de cada materialDeformación de neutralizaciónE f D f d i i
Estado de neutralizaciónDeformación de cada materialDeformación de neutralizaciónE f D f d i i
DE
BA
R Esfuerzos y DT en fase de servicioAnálisis diferidoIntegración numérica
Análisis no lineal: consideración de los efectos de segundo orden
Esfuerzos y DT en fase de servicioAnálisis diferidoIntegración numérica
Análisis no lineal: consideración de los efectos de segundo orden
TUR
AS
D Análisis no lineal: consideración de los efectos de segundo ordenAnálisis no lineal: consideración de los efectos de segundo orden
STR
UC
TES
27/10/2010 3
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
INTRODUCCIÓN
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
LECCIÓN 3
RR
AS
DE
BA
RTU
RA
S D
STR
UC
TES
27/10/2010 4
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
INTRODUCCIÓN
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
vu
zyx )(u
Campo de desplazamientos
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
wvzyx ),,(u
Discretización en elementos finitos: Nodos rLECCIÓN 3
RR
AS Interpolación: rNu
Elementos barra:
DE
BA
R Elementos barra:
Una dimensión es mayor que las otras dos
El elemento se concibe como: directriz + secciones
TUR
AS
D
La interpolación se realiza en dos pasos sucesivos
Paso 1: rNu es
STR
UC
T Desplaz.
directriz
Fun.interp.elemento
Paso 2: uNu rNNu es
ES
27/10/2010 5
Paso 2: ss uNu
Hipótesis cinemática
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Departamento:Ingeniería de laConstrucción
TEORÍA DE VIGASPlanteamiento General
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
)x()z,y()z,y,x( ss uNu y
z
Desplazamientos
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEFDesplaz.
directriz
Operador
cinemáticox
y
uv
w
wvu
u
LECCIÓN 3
RR
AS
)x()z,y()z,y,x( sT εSε Deformaciones de la sección
Ec. compatibilidad
Matriz de compatibilidad
DE
BA
R
)),,((),,( zyxzyx εσσ Ec. constitutivas
Ec equilibrio
Matriz de compatibilidad
εσD
RigidezTensiones
TUR
AS
D
Ls
Ts
L A
Ts
V
Ts
V
Ti dxdxdAdVdVW σεσSεσSεσε
Ec. equilibrio
STR
UC
T A
s dA)x( σSσ Esfuerzos de la sección
TA
dA εσσσSσ
ES
27/10/2010 6
A
T
A sA ss
A
s
ss dAdAdA SDS
εε
εσS
εσS
εεσD
Rigidez de la sección
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TEORÍA DE VIGASHipótesis de Euler-Bernouilli (EBT). Flexión recta
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Las secciones planas permanecen planas tras la deformación y ortogonales a la directriz
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF)(
)()(
xww
xzxuu yo
Desplazamientos
wu
u
s wu
)x( 0
0
u
01001 z
)z,y(sNLECCIÓN 3
RR
AS
)(xww o
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BA
R Deformaciones
y
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x
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UC
T
Esfuerzos
N 1
z
S
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Rigidez
ES
27/10/2010 7
Ax
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zMN
1
σ
A
TT
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2D
zz
zelas,s IESE
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xE xT
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TEORÍA DE VIGASHipótesis de Euler-Bernouilli (EBT). Flexión Esviada y Torsión
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización zxxvv
xyxzxuu
xo
zyo
)()()()()(
Desplazamientos
vu
u
wvu
0
0
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
yxxww xo
xo
)()()()(
xwo
y
w
y
xs
w)x(
0u
000100001z
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LECCIÓN 3
RR
AS
Deformacionesxvx
oz
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z 00100 y
DE
BA
R
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z
y
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yz
000000
01
ES
27/10/2010 8
0
yw
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yz )z,y(TS
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TEORÍA DE VIGASHipótesis de Euler-Bernouilli (EBT). Flexión Esviada y Torsión
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Esfuerzos
N
001
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF A
s dA)x( σSσ
A
xz
xy
x
x
z
ys dA
yz
MMM
)x(
yz-00000
σ
LECCIÓN 3
RR
AS
Rigidez
xxx
DE
BA
R
xz
xy
x
ε
xz
xy
x
σ
333231
232221
131211
DDDDDDDDD
xz
xy
xy
xy
x
xy
xz
x
xy
x
x
x
D
GG
E
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000000
D
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AS
D
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x
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STR
UC
T
A
Ts dASDSD
yyy
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elass IESESESEIESESESEAE
000
,D
ES
27/10/2010 9
z
yyy
IG000
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TEORÍA DE VIGASHipótesis de Timoshenko (TBT). Flexión recta
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Las secciones planas permanecen planas tras la deformación y NO ortogonales a la directriz
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF)(
)()(
xww
xzxuu yo
Desplazamientos
wu
u
s wu
)x( 0
0
u
01001 z
)z,y(sNLECCIÓN 3
RR
AS
)(xww o
Deformaciones
wuu
w
y
010
DE
BA
R
xz
y
ox
xz
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0
10001
00
0
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x
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TUR
AS
D
xz
x
ε
y
ox
s c
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10001
zS
STR
UC
T xz0 10
ES
27/10/2010 10
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TEORÍA DE VIGASHipótesis de Timoshenko (TBT). Flexión recta
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Esfuerzos
N 01
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
Axy
x
z
ys dAzVMN
x
10001
)(σ
xz
x
σ
LECCIÓN 3
RR
AS
Rigidez
DE
BA
R
As dADDzDDzDzDz
DDzD
12222
21
121111
D
2221
1211
DDDD
xzxz
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x
x
x
D
TUR
AS
D DDzD 222121
SEAE 0
xzx
E 0
STR
UC
T
AGIESESEAE
zz
z
elass
0000
,D
GE
elas 00
D
ES
27/10/2010 11
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Departamento:Ingeniería de laConstrucción
EQUILIBRIO DE UNA REBANADAFlexión recta
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización dNdM
dxqx
dxqz
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF 0
0
qdxdV
qdxdN
z
xdxdxdM
M
dxdxdN
N
M
NLECCIÓN 3
RR
AS 0V
dxdMdxdx
dxdxdV
V V
DE
BA
R
dx
TUR
AS
D
dxd
dxd
dx)x(d s
ss
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dd
STR
UC
T
dxd
dxd s
s
xx εε
ES
27/10/2010 12
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Departamento:Ingeniería de laConstrucción
EQUILIBRIO DE UNA REBANDAEquilibrio longitudinal
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
dxx
xx
xzx
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEFz
LECCIÓN 3
RR
AS 2v
DE
BA
R
0
dxbdzzxz
xz
dx
TUR
AS
D
dxbxz
dzbdxx
xx
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STR
UC
T
0
zxxzx
ES
27/10/2010 13
z
v
xxz dzb
xb 2
1
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
i l lá i li l
EQUILIBRIO DE UNA REBANADAHipótesis de Euler-Bernouilli (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
x xz
zcyxx 0
Material elástico-lineal
Deformaciones
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
xx E Ec. constitutivas
Gs IE
AE0
0D
Rigidez
LECCIÓN 3
RR
AS
Equilibrio longitudinal
GzIE0
DE
BA
R
)(12
zSIb
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b zGz
zz
vGz
zxz
q g
z
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1
TUR
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D
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STR
UC
T
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01
010
ES
27/10/2010 14
)()(
)( zSIzbG
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Gz
y
Gz
y IEx
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c 10
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
i ó d
EQUILIBRIO DE UNA REBANADAHipótesis de Euler-Bernouilli (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
x xz
zxcxzx yxx )()(),( 0
Hormigón armadoDeformaciones
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
)( xxx
E xT
x
Ec. constitutivas
LECCIÓN 3
RR
AS
xE
x T
x
cz
xE
xyx
Tx 0
iiAdAdAN )(
DE
BA
R
x
xN
x 011
0
DD
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isisiA xA x
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c
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AS
D
zsT
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Mx
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0
,
D
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UC
T
z
v
xxz dzb
xb 2
1 Equilibrio longitudinal
dxdx
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EzE2D
ES
27/10/2010 15)(zxz),( xzxxz g
A
TTsT EzEz 2,
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Departamento:Ingeniería de laConstrucción
i ó d
EQUILIBRIO DE UNA REBANADAHipótesis de Timoshenko (TBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
x
xzxz
yxx zxcxzx
0
0 )()(),(
Hormigón armado
Deformaciones
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF ),(),(
xzxxzxz
xzxxx
Ec. constitutivas
LECCIÓN 3
RR
AS
xD
xc
zx
Dx
xzyxx
0
120
11
xD
xD
xxzxx
1211
ddN
DE
BA
R xxxx
x
MxN
cx 00
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y
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0
0
D
TUR
AS
D
z
zs
z
ys
y
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xVx
M
x
xc 11
0
DD
As dADzDzDz
DDzD
12222
21
121111
D
STR
UC
T
1 z
DDzD 222121
ES
27/10/2010 16
),(12
, xzxxzxz
z
vx
rxz dzbxb
Desequilibrio longitudinal
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Departamento:Ingeniería de laConstrucción
i ó d
EQUILIBRIO DE UNA REBANADACorrección hipótesis de Timoshenko
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
x xz
zxcxzx yxx )()(),( 0
Hormigón armado
)()(),( 0 xzzxxz Deformaciones
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF ),(),(
xzxxzxz
xzxxx
0xz
Ec. constitutivas
LECCIÓN 3
RR
AS x
Dx
Dx
xzxx
1211
Dzc
DzD xzyxx
01211
011 )(
DE
BA
R xxxx 121111 )(
x
MxN
cx 00
TUR
AS
D
z
zs
z
ys
y
qV
xVx
M
x
xc 11
0
DD
STR
UC
T
?),( 1¿2
, xzxxzxz
z
vx
rxz dzbxb
ES
27/10/2010 17
La función de corrección de cortante (z) se tiene que calcular para que coincidan las tensiones tangenciales xzr y xz. Proceso Iterativo
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ELEMENTOS FINITOS TIPO BARRA (1D)Características para hormigón armado
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
FISURACIÓN : la deformación axial varia con el momento flector para esfuerzo axil constante
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF NM1
LECCIÓN 3
RR
AS
DE
BA
R
NM2>M1
TUR
AS
D N
STR
UC
T
M1 M2N N
ES
27/10/2010 18
01 cy1 02 cy2
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ELEMENTOS FINITOS TIPO BARRA (1D)Características para hormigón armado
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Continuidad en los giros : CONTINUIDAD C1
Debe haber continuidad en los giros para evitar singularidades en las
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
Debe haber continuidad en los giros para evitar singularidades en las curvaturas
Concentración de curvatura en el nodo por discontinuidad en el giroLECCIÓN 3
RR
AS
DE
BA
R
La continuidad en giros se logra considerando el giro como grado de libertad en los nodos
TUR
AS
D en los nodos
Por tanto, los gdl de cada nodo en los extremos serán: ux, uy, uz, x, y, z
STR
UC
T u1 u21 2
ES
27/10/2010 19
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ELEMENTO BARRA DE 7 GDL (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Funciones de forma
u
1
1
1
3
2
1
y
wu
rrr
1u 2u 3u1w 3w
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEFrNu s
y
s w
u
3
2
1
5
4
3 y
uu
rrr
r
21 2 3
1y 3y
LECCIÓN 3
RR
AS
s
321 0000 NNN
N
3
3
7
6
y
wrr
DE
BA
R
7564
321
000 NNNNN
231 3 N
TUR
AS
D
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12
2
1
N
N
2341
234
35
34
N
N
STR
UC
T
)1(21
3 N
18
4
23
236
L
LN
2 L
ES
27/10/2010 20
18
237 LN
22 LxL
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ELEMENTO BARRA DE 7 GDL (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Matriz de deformaciones: B
1u 2u 3u1w 3w
1
1
1
3
2
1
y
wu
rrr
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
uo
2
2
1y 3y
3
2
1
5
4
3 y
uu
rrr
r
LECCIÓN 3
RR
AS
2
2
xw
xc oy
oxs
εDeformación de la sección
3
3
7
6
y
wrr
DE
BA
R
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TUR
AS
D
7654
321
0000000BBBB
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6
STR
UC
T
4212
2
1
LB
LB
LB
BL
B
31
6
5
624
ES
27/10/2010 21
212
3 L
B
L
LB
L31
7
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ELEMENTO BARRA DE 7 GDL (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Deformaciones, tensiones de los materiales
1
uo
1u 2u 3u
1w 3w
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF o
c1
Def. de neutralización
2
2
xw
xc oy
oxs
ε
21y 3y
LECCIÓN 3
RR
AS )(1)( , z
czz nx
y
oxx
)(1)( , zzz nxx rB
rΒ zz 1)(
DE
BA
R rΒ zzx 1)(
c
))()(()(Def. no mecánicas
TUR
AS
D
p
))()(()( , zzz nmxxxx ecá cas
STR
UC
T s
N1
Esfuerzos asociados a la deformación de la sección
ES
27/10/2010 22
NyM
yA xs M
NdA
z
1σ
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ELEMENTO BARRA DE 7 GDL (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Fuerzas nodales internasf6
f1 f5f4
f2
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
f1
f7f3
LECCIÓN 3
RR
AS
xTT dVdVf
ff
1
4
3
2
int BσBf
DE
BA
R
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ES
27/10/2010 23
1
1int
2 dL
dxf sT
Ls
T σBσB
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ELEMENTO BARRA DE 7 GDL (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Matriz de rigidez
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
T dVz BBK 11
m
LECCIÓN 3
RR
AS
eVT dVzz
BBK 1
T dxdAz BBK 11
DE
BA
R
L AT dxdAz
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EzE1
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D
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UC
T
L sT
T
L sTT
T dL
dx BDBBDBK ,,2
ES
27/10/2010 24
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ELEMENTO BARRA DE 13 GDL (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización 11
N
oy
ox
uu
rr
1
1
2
1
Funciones de forma
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
3241
12
33
2
1
L
NN
N
z
y
ozu
rrr
1
1
1
5
4
3
LECCIÓN 3
RR
AS
21
18
6
532
4
N
NLN
ox
x
z
urrr
2
1
1
7
6
5
r
DE
BA
R 26
1
127
N
y
oz
oy
uu
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2
2
2
10
9
8
TUR
AS
D
18
3241
1132
10
93
8
NLN
NN
x
z
y
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2
2
2
12
11
10
STR
UC
T
218
12
N mur13
ES
27/10/2010 25
1113 N
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ELEMENTO BARRA DE 13 GDL (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Funciones de forma
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
o
ox
uu
LECCIÓN 3
RR
AS
x
oz
oy
uu
u
du
DE
BA
R
rNu dxdu
dxdu
ozy
oyz
TUR
AS
D rNu
0000000000 1371 NNN
dx
STR
UC
T
00000000000000000000000000000
10842
10842
NNNNNN
NNNNN
ES
27/10/2010 26
00000000000 126 NN
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ELEMENTO BARRA DE 13 GDL (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Matriz B
uddx
duox
o 2
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
dxuddx
ud
ccc
oy
oz
x
z
y
o
s
2
2
2
2
εDeformación de la sección
LECCIÓN 3
RR
AS
dxd
cx
x
DE
BA
R
000000000000000000
0000000000
7654
7654
321
BBBBBBBB
BBB
BrBε s
TUR
AS
D
1 212
LB
00000000000 98 BB
13
STR
UC
T
2
1
42122
LB
L
LB
LB
13
13
7
5
ES
27/10/2010 27 264
3
6
4
LBB
LB
LBB 1
98
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ELEMENTO BARRA DE 13 GDL (EBT)
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Deformaciones de los materiales
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
z
y
o
xz
xy
x
cc
yz
zy
000000
01
z
y
o
x
cczy1
LECCIÓN 3
RR
AS
xxz c
y
xxz
xy cyz
DE
BA
R
Relación constitutiva en cada punto de la sección
TUR
AS
D
nmn εεεσσ
σDεσσ
Tdd
STR
UC
T
εDσ T
εε T
ES
27/10/2010 28
Los términos de la matriz DT pueden ser función de las componentes de o de , pero son preferibles las que son función sólo de
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Planteamiento general
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
OBJETIVO: Obtener los esfuerzos (N,M) y la matriz constitutiva tangente (DTs) para una deformación dada de la sección (o, c)
OBJETIVO: Obtener los esfuerzos (N,M) y la matriz constitutiva tangente (DTs) para una deformación dada de la sección (o, c)
c
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF NM
c1
LECCIÓN 3
RR
AS
p
s
o
DE
BA
R
co
sε
M
NdA
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1σ
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AS
D
A
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T
AT
AT
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2)()(
)()(D
STR
UC
T DIFICULTADESComportamiento no lineal de los materiales, fisuración del hormigón
ES
27/10/2010 29
gSecciones compuestas, pretensado. Deformaciones diferidas (retracción, fluencia y relajación)
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Comportamiento no lineal de los materiales
óIngeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
EHE-08 (Art. 21)
Hormigón: diagrama tensión-deformación para cargas instantáneas
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEFE
1
2
:Con
para)2(1
c
cuccmc fk
k
LECCIÓN 3
RR
AS
cfc
m
Ecm
240
1
403434
0,20,1
:Con
cm
fc
fkk
ekcm
0.4·fcm
DE
BA
R
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c
c1
11
1
1
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1.31
10403434
ck
cu
cm
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Ekk
TUR
AS
D
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E (GPA) 28 58 30 89 32 90 34 69 37 81 40 48
STR
UC
T Ecm (GPA) 28.58 30.89 32.90 34.69 37.81 40.48
k 1.77 1.60 1.47 1.37 1.22 1.13
c1 0.0021 0.0023 0.0025 0.0026 0.0028 0.0030
0 0040 0 0037 0 0034 0 0031 0 0029 0 0030
ES
27/10/2010 30
cu1 0.0040 0.0037 0.0034 0.0031 0.0029 0.0030
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Comportamiento no lineal de los materiales
óIngeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
c
fcm
Hormigón: consideración del efecto tension-stiffening
m
Modelo gradual de descarga
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
cm
ctcendcctendc
cendcmctc f
,,
,,
LECCIÓN 3
RR
AS
cc1
fctmtension-stiffening
DE
BA
R
c
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TUR
AS
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STR
UC
T
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20
ES
27/10/2010 31
ccendct
s.min... Armadura más traccionada de la sección
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Comportamiento no lineal de los materiales
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Acero: diagrama tensión-deformaciónModelo bilineal
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
s
fyfymax=(1+a)·fy
El1LECCIÓN 3
RR
AS
s
-y-max
Es
1
1
DE
BA
R y max
-fy
TUR
AS
D -fymax=-(1+a)·fy
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STR
UC
T
yyslys
y
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0,05B 500 S
0.05
0,05
B 400 SD 0,124 0.20sE MPa 000.200
ES
27/10/2010 32
0,09B 500 SD 0.15
yyl
afEmax
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Comportamiento no lineal de los materiales
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Acero para armaduras activas: diagrama tensión-deformaciónModelo polinómico
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
fpk
p
LECCIÓN 3
RR
AS pE
0,002 pu
ppu
DE
BA
R 0,002 pu
Ef70
TUR
AS
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5
pk
p
p
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ppppkp
7,0f
823,0E
f7,0
Ef7,0
STR
UC
T
E (MPa)
Ep salvo justificación experimental (Art. 38.8 EHE-08.):
pkp
ES
27/10/2010 33
Ep (MPa)
200.000Alambres o barras
Cordones 190.000
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Secciones compuestas
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Los materiales son puestos en tensión antes de quedar adheridos estructuras pretensadas
Piezas hormigonadas en varias fases (viga prefabricada + losa in situ)
Los materiales son puestos en tensión antes de quedar adheridos estructuras pretensadas
Piezas hormigonadas en varias fases (viga prefabricada + losa in situ)
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
Piezas hormigonadas en varias fases (viga prefabricada + losa in situ) Piezas hormigonadas en varias fases (viga prefabricada + losa in situ)
Deformaciones en las secciones compuestasLECCIÓN 3
RR
AS
DE
BA
R
Ley no plana de d f i
TUR
AS
D deformaciones
STR
UC
T
Compresiones (+)
ES
27/10/2010 34Origen de deformaciones para todos los materiales
Tracciones (-)Compresiones (+)
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Pretensado
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Sección pretensada con armadura pretesaAntes de la transferencia
Sección pretensada con armadura pretesaAntes de la transferencia
Ley plana de deformaciones antes
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
Ley plana de deformaciones antes de la transferencia
Deformación de la armadura en la bancada
LECCIÓN 3
RR
AS
Origen de deformaciones
Origen de deformaciones para la armadura activa
DE
BA
R
Después de la transferenciaDespués de la transferencia
para el hormigón
TUR
AS
D
Ley plana de deformaciones después de la transferencia
D f ió d l d
STR
UC
T
O i d d f i
Deformación de la armadura después de la transferencia
ES
27/10/2010 35Origen de deformaciones para el hormigón
Origen de deformaciones para la armadura activa
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Pretensado
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Sección pretensada con armadura postesaEn el momento de la inyección
Sección pretensada con armadura postesaEn el momento de la inyección
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF Ley plana de deformaciones en el momento del tesado
LECCIÓN 3
RR
AS
Deformación de la armadura en el momento del tesado
DE
BA
R
Origen de deformaciones para la armadura activa
TUR
AS
D
Origen de deformaciones para el hormigón
para la armadura activa
STR
UC
TES
27/10/2010 36
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Piezas hormigonadas en dos fases
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Sección pretensada hormigonada en dos fasesEn el momento de la conexión
Sección pretensada hormigonada en dos fasesEn el momento de la conexión
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEFOrigen de deformaciones para el hormigón de la 2ª fase
2ª faseLECCIÓN 3
RR
AS
Ley plana de deformaciones en el momento de la conexión
D f ió d l d
2ª fase
DE
BA
R Deformación de la armadura en el momento de la conexión
1ª fase
TUR
AS
D
Origen de deformaciones para el hormigón de la 1ª fase
Origen de deformaciones para la armadura activa
STR
UC
T para el hormigón de la 1 fase
ES
27/10/2010 37
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Estado de neutralización
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Plano de deformaciones de referencia. Suele tomarse el estado en el cual uno de los hormigones tiene TENSIÓN nula.
Plano de deformaciones de referencia. Suele tomarse el estado en el cual uno de los hormigones tiene TENSIÓN nula.
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEFOrigen de deformaciones para el hormigón de la 2ª fase
2ª faseLECCIÓN 3
RR
AS ESTADO DE NEUTRALIZACïÓN
D f ió d li ió
2ª fase
DE
BA
R Deformación de neutralización de la armadura activa
1ª fase
TUR
AS
D
Origen de deformaciones para el hormigón de la 1ª fase
Origen de deformaciones para la armadura activa
STR
UC
T para el hormigón de la 1 fase
ES
27/10/2010 38
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Deformación de cada material
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
)(2, zcnDeformación de neutralización del hormigón de la losa
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEFOrigen de deformaciones para el hormigón de la 2ª fase
2ª faseLECCIÓN 3
RR
AS ESTADO DE NEUTRALIZACïÓN
D f ió d li ió
2ª fase
DE
BA
R Deformación de neutralización de la armadura activa
1ª faseip0
TUR
AS
D
Origen de deformaciones para el hormigón de la 1ª fase
Origen de deformaciones para la armadura activa
STR
UC
T para el hormigón de la 1 fase
)(1)( zzz o
Def. de neutralización
ES
27/10/2010 39
)(1)( zc
zz n
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Deformación de neutralización
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Sección pretensada con armaduras pretesas En el instante antes de la transferencia
Sección pretensada con armaduras pretesas En el instante antes de la transferencia
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
LECCIÓN 3
RR
AS Po
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DE
BA
R
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TUR
AS
D
P
Fuerza del cable en la bancada en el instante antes de la transferenciapn
on
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STR
UC
T
pp
opo AE
P
(Normalmente está en la rama elástica)
ES
27/10/2010 40
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Deformación de neutralización
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Sección pretensada con armaduras postesas Calcular la estructura para la situación correspondiente al instante
de la inyección
Sección pretensada con armaduras postesas Calcular la estructura para la situación correspondiente al instante
de la inyección
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
El cable se introduce como un sistema de fuerzas equivalente de resultante nula
El cable se introduce como un sistema de fuerzas equivalente de resultante nula
LECCIÓN 3
RR
AS
Sección neta
DE
BA
R
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TUR
AS
DST
RU
CT p cp
ES
27/10/2010 41
icpipipo ,,,
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Deformación de neutralización
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Sección hormigonada en dos fases Calcular la estructura para la situación correspondiente al instante
del hormigonado de la 2ª fase
Sección hormigonada en dos fases Calcular la estructura para la situación correspondiente al instante
del hormigonado de la 2ª fase
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
Sección resistente: 1º fase Cargas introducidas por el hormigón de la segunda fase Sección resistente: 1º fase Cargas introducidas por el hormigón de la segunda fase
LECCIÓN 3
RR
AS
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DE
BA
R
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TUR
AS
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ISA
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UC
T 1ª fase o111 ,, ISA
ES
27/10/2010 42
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Esfuerzos y DT para la fase de servicio
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
En cada sección se consideran los materiales con su deformación de neutralización y su comportamiento no lineal
En cada sección se consideran los materiales con su deformación de neutralización y su comportamiento no lineal
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LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
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LECCIÓN 3
RR
AS
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ES
27/10/2010 43
ps
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2121
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Esfuerzos y DT para la fase de servicio
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
En cada sección se consideran los materiales con su deformación de neutralización y su comportamiento no lineal
En cada sección se consideran los materiales con su deformación de neutralización y su comportamiento no lineal
)()(1
zzc
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
)()()(
)(1)( 2
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LECCIÓN 3
RR
AS
NM
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BA
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ES
27/10/2010 44
1 21 2
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Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Análisis diferido
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Planteamiento generalPlanteamiento general
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF)()( tct
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LECCIÓN 3
RR
AS
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UC
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o
o
ES
27/10/2010 45
ztctt
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oc
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Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Análisis diferido
C t i t dif id d l h i óIngeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Comportamiento diferido del hormigón:Ecuación constitutiva de la fibra
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF(ti)
(to)
(t)
(ti) (t,to)=(t)-(to)
LECCIÓN 3
RR
AS
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BA
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ES
27/10/2010 46)t,t()t,t(1
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método del coeficiente de envejecimiento
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
Ó
CÁLCULO SECCIONAL:Análisis diferido
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Comportamiento diferido del HORMIGÓN: Método análisis paso a paso
ntttt )(1)()(
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
ii
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ES
27/10/2010 47
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Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
Ó
CÁLCULO SECCIONAL:Análisis diferido
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización )()(1)()( tttttt
Comportamiento diferido del HORMIGÓN: Método del coeficiente de envejecimiento
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
))()(()28(
),(),(1)28()(),(
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c
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LECCIÓN 3
RR
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ES
27/10/2010 48
)28(cE
)()()( 0 ttt ccc
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Análisis diferido
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Comportamiento diferido de las ARMADURAS ACTIVAS:
Relajación
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF )(),( opopr ttt
a deformación constante
LECCIÓN 3
RR
AS
)(),( oporpr ttt
bajo deformación de fluencia y retracción
DE
BA
R
E
Relación D
TUR
AS
D prpopp vcE ppr
pT EE
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UC
T
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Relación
ES
27/10/2010 49
p
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Análisis diferido
ÓIngeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Comportamiento diferido de la SECCIÓN
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
ps
cc
nn
n
ipipi
n
jsisi
Ac
Ac AAdzbdzbN
1121
21
LECCIÓN 3
RR
AS
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cc
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IEIEdIEdIESESEdSEdSE
STR
UC
TES
27/10/2010 50
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Integración numérica
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
La obtención de los esfuerzos y los términos de la matriz DT requiere una “integración” a lo largo de la zona comprimida del hormigón:La obtención de los esfuerzos y los términos de la matriz DT requiere una “integración” a lo largo de la zona comprimida del hormigón:
TT dAσLSσ TT dASLDLSD
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
A i
sisiTccTT AEdAED )1,1(
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LECCIÓN 3
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AS
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ES
27/10/2010 51
cA
csr dAzyfyzI ),(
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Integración numérica
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Descomposición en fibrasDescomposición en fibras
n
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
cA
csr dAzyfyzI ),(
n
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LECCIÓN 3
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TES
27/10/2010 52
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Integración numérica
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Cuadratura de Gauss con puntos de integración fijosCuadratura de Gauss con puntos de integración fijos
csr dAzyfyzI ),(
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
cA
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27/10/2010 53
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Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Integración numérica
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Integración sobre la sección comprimida de hormigónSi la función f(y,z) es cilíndrica con generatriz paralela a la fibra neutra→se
eligen unos nuevos ejes y’,z’ de forma que el eje y’ sea paralelo a la fibra t
Si la función f(y,z) es cilíndrica con generatriz paralela a la fibra neutra→se eligen unos nuevos ejes y’,z’ de forma que el eje y’ sea paralelo a la fibra
t
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEFCambio de sistema de referencia ''' eer zyzy
neutra.neutra.
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'
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27/10/2010 54
y
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Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Integración numérica
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Integración sobre la sección comprimida de hormigón
y
z
y
z
cc
cc
cossensencos
'
'
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF0sencos' yzz ccc
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LECCIÓN 3
RR
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cossen' yzy ccc
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ES
27/10/2010 55
yo
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Integración numérica
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
z’dz’
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LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEFy’
gz )Todas las integrales son de la forma
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LECCIÓN 3
RR
AS
y
Aplicando el teorema de Green
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ES
27/10/2010 56
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
CÁLCULO SECCIONAL:Integración numérica
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Descomposición del contorno en n tramosSe pueden hacer coincidir o no con los lados del polígono que encierra el área de la sección
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
cc
dzzgsydzdyzgyI
s
A
s ')'(1
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En cada tramo se puede hacer el siguiente cambio de referenciaLECCIÓN 3
RR
AS
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En cada tramo se puede hacer el siguiente cambio de referencia
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Integrando por cuadratura de Gauss
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Integrando por cuadratura de Gauss
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UC
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'
ES
27/10/2010 57
j s1 )1(
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ANÁLISIS NO LNEAL:Consideración de los efectos de segundo orden
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Grandes desplazamientos:Se trata de considerar el equilibrio en la posición deformada Las coordenadas de los nodos se corrigen en cada iteración del proceso
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
de resolución del sistema de ecuaciones
a
LECCIÓN 3
RR
AS Nr
DE
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R
iii rpp 1
TUR
AS
DST
RU
CT
ES
27/10/2010 58
Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ANÁLISIS NO LNEAL:Consideración de los efectos de segundo orden
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización 21 dudu
Grandes deformaciones:Se trata de considerar los términos de segundo orden de las deformaciones
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEF
21
dxdu
dxdu ozox
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2
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LECCIÓN 3
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ES
27/10/2010 59
00000002L
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L
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Máster Oficial en:
Departamento:Ingeniería de laConstrucción
ANÁLISIS NO LNEAL:Consideración de los efectos de segundo orden
Ingeniería del Hormigón
Asignatura:Modelización
Grandes deformaciones:Corrección de la matriz de rigidez tangente
LECCIÓN 3
Modelización de Estructuras de Hormigón
mediante MEFa
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LECCIÓN 3
RR
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27/10/2010 60
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26656463
652
55453