L04_Barras_2007

Máster Oficial en:

Departamento:Ingeniería de laConstrucción

Ingeniería del Hormigón

Asignatura:

Modelización numérica de Estructuras de Hormigón

Lección 3:

Modelización numérica de Estructuras de Hormigón mediante el M.E.F.

ESTRUCTURAS DE BARRASESTRUCTURAS DE BARRAS

Pedro Miguel Sosa

27/10/2010 1

Miguel A. Fernández PradaJuan Navarro Gregori

Máster Oficial en:


BREVE DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO


Asignatura:Modelización

IntroducciónTeoría de vigas:

- Planteamiento general

IntroducciónTeoría de vigas:

- Planteamiento general

LECCIÓN 3

Modelización de Estructuras de Hormigón

mediante MEF

Planteamiento general- Hipótesis de Euler-Bernouilli (EBT)

- Flexión recta- Flexión esviada y torsión

Planteamiento general- Hipótesis de Euler-Bernouilli (EBT)

- Flexión recta- Flexión esviada y torsión

LECCIÓN 3

RR

AS - Hipótesis de Timoshenko (TBT)

- Flexión recta- Equilibrio de una rebanada

- Hipótesis de Timoshenko (TBT)- Flexión recta

- Equilibrio de una rebanada

DE

BA

R - Flexión recta- Equilibrio longitudinal- Hipótesis Euler-Bernouilli (EBT)- Hipótesis de Timoshenko (TBT)

- Flexión recta- Equilibrio longitudinal- Hipótesis Euler-Bernouilli (EBT)- Hipótesis de Timoshenko (TBT)

TUR

AS

D Hipótesis de Timoshenko (TBT)- Corrección hipótesis de Timoshenko

Elementos finitos tipo barra (1D):- Características para hormigón armado

Hipótesis de Timoshenko (TBT)- Corrección hipótesis de Timoshenko

Elementos finitos tipo barra (1D):- Características para hormigón armado

STR

UC

T p g- Elemento barra de 7 gdl para estructuras de barras 2D- Elemento barra de 13 gdl para estructuras de barras 3D

p g- Elemento barra de 7 gdl para estructuras de barras 2D- Elemento barra de 13 gdl para estructuras de barras 3D

ES

27/10/2010 2

Máster Oficial en:


BREVE DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO



Cálculo seccional de elementos de hormigón armado y pretensadoPlanteamiento generalComportamiento no lineal de los materiales

Cálculo seccional de elementos de hormigón armado y pretensadoPlanteamiento generalComportamiento no lineal de los materiales

LECCIÓN 3


mediante MEF

Secciones compuestasPretensadoPiezas hormigonadas en varias fases

Secciones compuestasPretensadoPiezas hormigonadas en varias fases

LECCIÓN 3

RR

AS

Estado de neutralizaciónDeformación de cada materialDeformación de neutralizaciónE f D f d i i

Estado de neutralizaciónDeformación de cada materialDeformación de neutralizaciónE f D f d i i

DE

BA

R Esfuerzos y DT en fase de servicioAnálisis diferidoIntegración numérica

Análisis no lineal: consideración de los efectos de segundo orden

Esfuerzos y DT en fase de servicioAnálisis diferidoIntegración numérica

Análisis no lineal: consideración de los efectos de segundo orden

TUR

AS

D Análisis no lineal: consideración de los efectos de segundo ordenAnálisis no lineal: consideración de los efectos de segundo orden

STR

UC

TES

27/10/2010 3

Máster Oficial en:


INTRODUCCIÓN



LECCIÓN 3


mediante MEF

LECCIÓN 3

RR

AS

DE

BA

RTU

RA

S D

STR

UC

TES

27/10/2010 4

Máster Oficial en:


INTRODUCCIÓN



vu

zyx )(u

Campo de desplazamientos

LECCIÓN 3


mediante MEF

wvzyx ),,(u

Discretización en elementos finitos: Nodos rLECCIÓN 3

RR

AS Interpolación: rNu

Elementos barra:

DE

BA

R Elementos barra:

Una dimensión es mayor que las otras dos

El elemento se concibe como: directriz + secciones

TUR

AS

D

La interpolación se realiza en dos pasos sucesivos

Paso 1: rNu es

STR

UC

T Desplaz.

directriz

Fun.interp.elemento

Paso 2: uNu rNNu es

ES

27/10/2010 5

Paso 2: ss uNu

Hipótesis cinemática

Máster Oficial en:


TEORÍA DE VIGASPlanteamiento General



)x()z,y()z,y,x( ss uNu y

z

Desplazamientos

LECCIÓN 3


mediante MEFDesplaz.

directriz

Operador

cinemáticox

y

uv

w

wvu

u

LECCIÓN 3

RR

AS

)x()z,y()z,y,x( sT εSε Deformaciones de la sección

Ec. compatibilidad

Matriz de compatibilidad

DE

BA

R

)),,((),,( zyxzyx εσσ Ec. constitutivas

Ec equilibrio

Matriz de compatibilidad

εσD

RigidezTensiones

TUR

AS

D

Ls

Ts

L A

Ts

V

Ts

V

Ti dxdxdAdVdVW σεσSεσSεσε

Ec. equilibrio

STR

UC

T A

s dA)x( σSσ Esfuerzos de la sección

TA

dA εσσσSσ

ES

27/10/2010 6

A

T

A sA ss

A

s

ss dAdAdA SDS

εε

εσS

εσS

εεσD

Rigidez de la sección

Máster Oficial en:


TEORÍA DE VIGASHipótesis de Euler-Bernouilli (EBT). Flexión recta



Las secciones planas permanecen planas tras la deformación y ortogonales a la directriz

LECCIÓN 3


mediante MEF)(

)()(

xww

xzxuu yo

Desplazamientos

wu

u

s wu

)x( 0

0

u

01001 z

)z,y(sNLECCIÓN 3

RR

AS

)(xww o

xwo

y

w

y

010

DE

BA

R Deformaciones

y

oxx c

z

1

x

uoox

x

zx

uxu yo

x

0

yv

y

TUR

AS

D

x

xc yy

1

S0

0

xw

xw

zu

xv

yu

oyxz

xy

0

0

yw

zvzw

yz

z

xε

y

oxs c

ε

STR

UC

T

Esfuerzos

N 1

z

S

TT EzE SEAE

Rigidez

ES

27/10/2010 7

Ax

ys dA

zMN

1

σ

A

TT

TTs dA

EzEzEzE

2D

zz

zelas,s IESE

SEAED

xE xT

Máster Oficial en:


TEORÍA DE VIGASHipótesis de Euler-Bernouilli (EBT). Flexión Esviada y Torsión


Asignatura:Modelización zxxvv

xyxzxuu

xo

zyo

)()()()()(

Desplazamientos

vu

u

wvu

0

0

LECCIÓN 3


mediante MEF

yxxww xo

xo

)()()()(

xwo

y

w

y

xs

w)x(

0u

000100001z

yz)z,y(sN

LECCIÓN 3

RR

AS

Deformacionesxvx

oz

xuo

z 00100 y

DE

BA

R

zzvvux

yx

zx

uxu

xxozxy

zyox

x

x

ccc

z

y

x

z

y

ox

s

ε

xz

xy

x

ε

xz

xy

x

σ

TUR

AS

D

0

v

yx

yxx

wxw

zu

zx

zxxxy

xxoyxz

zxy

ox

xx

STR

UC

T

0

0

wvzwy

z

y

x

z

y

ox

xz

xy

x

ccc

yz

yz

000000

01

ES

27/10/2010 8

0

yw

zv

yz )z,y(TS

Máster Oficial en:


TEORÍA DE VIGASHipótesis de Euler-Bernouilli (EBT). Flexión Esviada y Torsión



Esfuerzos

N

001

LECCIÓN 3


mediante MEF A

s dA)x( σSσ

A

xz

xy

x

x

z

ys dA

yz

MMM

)x(

yz-00000

σ

LECCIÓN 3

RR

AS

Rigidez

xxx

DE

BA

R

xz

xy

x

ε

xz

xy

x

σ

333231

232221

131211

DDDDDDDDD

xz

xy

xy

xy

x

xy

xz

x

xy

x

x

x

D

GG

E

elas

000000

D

TUR

AS

D

xz

xz

xy

xz

x

xz

STR

UC

T

A

Ts dASDSD

yyy

yzz

yz

elass IESESESEIESESESEAE

000

,D

ES

27/10/2010 9

z

yyy

IG000

Máster Oficial en:


TEORÍA DE VIGASHipótesis de Timoshenko (TBT). Flexión recta



Las secciones planas permanecen planas tras la deformación y NO ortogonales a la directriz

LECCIÓN 3


mediante MEF)(

)()(

xww

xzxuu yo

Desplazamientos

wu

u

s wu

)x( 0

0

u

01001 z

)z,y(sNLECCIÓN 3

RR

AS

)(xww o

Deformaciones

wuu

w

y

010

DE

BA

R

xz

y

ox

xz

x cz

0

10001

00

0

xzo

yxz

yxoo

x

dxw

xw

zu

czx

wzx

uxu

TUR

AS

D

xz

x

ε

y

ox

s c

ε

10001

zS

STR

UC

T xz0 10

ES

27/10/2010 10

Máster Oficial en:


TEORÍA DE VIGASHipótesis de Timoshenko (TBT). Flexión recta



Esfuerzos

N 01

LECCIÓN 3


mediante MEF

Axy

x

z

ys dAzVMN

x

10001

)(σ

xz

x

σ

LECCIÓN 3

RR

AS

Rigidez

DE

BA

R

As dADDzDDzDzDz

DDzD

12222

21

121111

D

2221

1211

DDDD

xzxz

xz

x

x

x

D

TUR

AS

D DDzD 222121

SEAE 0

xzx

E 0

STR

UC

T

AGIESESEAE

zz

z

elass

0000

,D

GE

elas 00

D

ES

27/10/2010 11

Máster Oficial en:


EQUILIBRIO DE UNA REBANADAFlexión recta


Asignatura:Modelización dNdM

dxqx

dxqz

LECCIÓN 3


mediante MEF 0

0

qdxdV

qdxdN

z

xdxdxdM

M

dxdxdN

N

M

NLECCIÓN 3

RR

AS 0V

dxdMdxdx

dxdxdV

V V

DE

BA

R

dx

TUR

AS

D

dxd

dxd

dx)x(d s

ss

s

ss εDεεσσ

dd

STR

UC

T

dxd

dxd s

s

xx εε

ES

27/10/2010 12

Máster Oficial en:


EQUILIBRIO DE UNA REBANDAEquilibrio longitudinal



dxx

xx

xzx

LECCIÓN 3


mediante MEFz

LECCIÓN 3

RR

AS 2v

DE

BA

R

0

dxbdzzxz

xz

dx

TUR

AS

D

dxbxz

dzbdxx

xx

dzbx

STR

UC

T

0

zxxzx

ES

27/10/2010 13

z

v

xxz dzb

xb 2

1

Máster Oficial en:


i l lá i li l

EQUILIBRIO DE UNA REBANADAHipótesis de Euler-Bernouilli (EBT)



x xz

zcyxx 0

Material elástico-lineal

Deformaciones

LECCIÓN 3


mediante MEF

xx E Ec. constitutivas

Gs IE

AE0

0D

Rigidez

LECCIÓN 3

RR

AS

Equilibrio longitudinal

GzIE0

DE

BA

R

)(12

zSIb

VdzbzIV

b zGz

zz

vGz

zxz

q g

z

v

xxz dzb

xb 2

1

TUR

AS

D

zx

c

xE

xyxx 0 z

IV

x Gz

zx

STR

UC

T

xss

s

)(1 σDε

zVMxN

AEcx

01

010

ES

27/10/2010 14

)()(

)( zSIzbG

Vz zG

zxz

z

xx s

Gz

y

Gz

y IEx

MIEx

c 10

Máster Oficial en:


i ó d

EQUILIBRIO DE UNA REBANADAHipótesis de Euler-Bernouilli (EBT)



x xz

zxcxzx yxx )()(),( 0

Hormigón armadoDeformaciones

LECCIÓN 3


mediante MEF

)( xxx

E xT

x

Ec. constitutivas

LECCIÓN 3

RR

AS

xE

x T

x

cz

xE

xyx

Tx 0

iiAdAdAN )(

DE

BA

R

x

xN

x 011

0

DD

isisisiA xA xy

isisiA xA x

zAdAzdAzM

AdAdAN

c

c

)(

)(

TUR

AS

D

zsT

ysT

y Vx

Mx

xcx 1

,1, DD

dcdxd

dMdxdN

ysT

y

0

,

D

STR

UC

T

z

v

xxz dzb

xb 2

1 Equilibrio longitudinal

dxdx

TTsT dA

EzE2D

ES

27/10/2010 15)(zxz),( xzxxz g

A

TTsT EzEz 2,

Máster Oficial en:


i ó d

EQUILIBRIO DE UNA REBANADAHipótesis de Timoshenko (TBT)



x

xzxz

yxx zxcxzx

0

0 )()(),(

Hormigón armado

Deformaciones

LECCIÓN 3


mediante MEF ),(),(

xzxxzxz

xzxxx

Ec. constitutivas

LECCIÓN 3

RR

AS

xD

xc

zx

Dx

xzyxx

0

120

11

xD

xD

xxzxx

1211

ddN

DE

BA

R xxxx

x

MxN

cx 00

xz

y

x

s

z

y

ddcd

dVdMdN

0

0

D

TUR

AS

D

z

zs

z

ys

y

qV

xVx

M

x

xc 11

0

DD

As dADzDzDz

DDzD

12222

21

121111

D

STR

UC

T

1 z

DDzD 222121

ES

27/10/2010 16

),(12

, xzxxzxz

z

vx

rxz dzbxb

Desequilibrio longitudinal

Máster Oficial en:


i ó d

EQUILIBRIO DE UNA REBANADACorrección hipótesis de Timoshenko



x xz

zxcxzx yxx )()(),( 0

Hormigón armado

)()(),( 0 xzzxxz Deformaciones

LECCIÓN 3


mediante MEF ),(),(

xzxxzxz

xzxxx

0xz

Ec. constitutivas

LECCIÓN 3

RR

AS x

Dx

Dx

xzxx

1211

Dzc

DzD xzyxx

01211

011 )(

DE

BA

R xxxx 121111 )(

x

MxN

cx 00

TUR

AS

D

z

zs

z

ys

y

qV

xVx

M

x

xc 11

0

DD

STR

UC

T

?),( 1¿2

, xzxxzxz

z

vx

rxz dzbxb

ES

27/10/2010 17

La función de corrección de cortante (z) se tiene que calcular para que coincidan las tensiones tangenciales xzr y xz. Proceso Iterativo

Máster Oficial en:


ELEMENTOS FINITOS TIPO BARRA (1D)Características para hormigón armado



FISURACIÓN : la deformación axial varia con el momento flector para esfuerzo axil constante

LECCIÓN 3


mediante MEF NM1

LECCIÓN 3

RR

AS

DE

BA

R

NM2>M1

TUR

AS

D N

STR

UC

T

M1 M2N N

ES

27/10/2010 18

01 cy1 02 cy2

Máster Oficial en:


ELEMENTOS FINITOS TIPO BARRA (1D)Características para hormigón armado



Continuidad en los giros : CONTINUIDAD C1

Debe haber continuidad en los giros para evitar singularidades en las

LECCIÓN 3


mediante MEF

Debe haber continuidad en los giros para evitar singularidades en las curvaturas

Concentración de curvatura en el nodo por discontinuidad en el giroLECCIÓN 3

RR

AS

DE

BA

R

La continuidad en giros se logra considerando el giro como grado de libertad en los nodos

TUR

AS

D en los nodos

Por tanto, los gdl de cada nodo en los extremos serán: ux, uy, uz, x, y, z

STR

UC

T u1 u21 2

ES

27/10/2010 19

Máster Oficial en:


ELEMENTO BARRA DE 7 GDL (EBT)



Funciones de forma

u

1

1

1

3

2

1

y

wu

rrr

1u 2u 3u1w 3w

LECCIÓN 3


mediante MEFrNu s

y

s w

u

3

2

1

5

4

3 y

uu

rrr

r

21 2 3

1y 3y

LECCIÓN 3

RR

AS

s

321 0000 NNN

N

3

3

7

6

y

wrr

DE

BA

R

7564

321

000 NNNNN

231 3 N

TUR

AS

D

)1)(1(

12

2

1

N

N

2341

234

35

34

N

N

STR

UC

T

)1(21

3 N

18

4

23

236

L

LN

2 L

ES

27/10/2010 20

18

237 LN

22 LxL

Máster Oficial en:





Matriz de deformaciones: B

1u 2u 3u1w 3w

1

1

1

3

2

1

y

wu

rrr

LECCIÓN 3


mediante MEF

uo

2

2

1y 3y

3

2

1

5

4

3 y

uu

rrr

r

LECCIÓN 3

RR

AS

2

2

xw

xc oy

oxs

εDeformación de la sección

3

3

7

6

y

wrr

DE

BA

R

rBε s

TUR

AS

D

7654

321

0000000BBBB

BBBB

6

STR

UC

T

4212

2

1

LB

LB

LB

BL

B

31

6

5

624

ES

27/10/2010 21

212

3 L

B

L

LB

L31

7

Máster Oficial en:





Deformaciones, tensiones de los materiales

1

uo

1u 2u 3u

1w 3w

LECCIÓN 3


mediante MEF o

c1

Def. de neutralización

2

2

xw

xc oy

oxs

ε

21y 3y

LECCIÓN 3

RR

AS )(1)( , z

czz nx

y

oxx

)(1)( , zzz nxx rB

rΒ zz 1)(

DE

BA

R rΒ zzx 1)(

c

))()(()(Def. no mecánicas

TUR

AS

D

p

))()(()( , zzz nmxxxx ecá cas

STR

UC

T s

N1

Esfuerzos asociados a la deformación de la sección

ES

27/10/2010 22

NyM

yA xs M

NdA

z

1σ

Máster Oficial en:





Fuerzas nodales internasf6

f1 f5f4

f2

LECCIÓN 3


mediante MEF

f1

f7f3

LECCIÓN 3

RR

AS

xTT dVdVf

ff

1

4

3

2

int BσBf

DE

BA

R

ee V xV z

ffff

6

5

4int

TUR

AS

D f7

L A xT dxdA

z

1int Bf

STR

UC

T z

yA xs M

NdA

z

1σ

ES

27/10/2010 23

1

1int

2 dL

dxf sT

Ls

T σBσB

Máster Oficial en:





Matriz de rigidez

LECCIÓN 3


mediante MEF

T dVz BBK 11

m

LECCIÓN 3

RR

AS

eVT dVzz

BBK 1

T dxdAz BBK 11

DE

BA

R

L AT dxdAz

zBBK 1

EzE1

TUR

AS

D

ATT

TT

AsT dAEzEzEzE

dAzz 2, 11

D

STR

UC

T

L sT

T

L sTT

T dL

dx BDBBDBK ,,2

ES

27/10/2010 24

Máster Oficial en:




Asignatura:Modelización 11

N

oy

ox

uu

rr

1

1

2

1

Funciones de forma

LECCIÓN 3


mediante MEF

3241

12

33

2

1

L

NN

N

z

y

ozu

rrr

1

1

1

5

4

3

LECCIÓN 3

RR

AS

21

18

6

532

4

N

NLN

ox

x

z

urrr

2

1

1

7

6

5

r

DE

BA

R 26

1

127

N

y

oz

oy

uu

rrr

2

2

2

10

9

8

TUR

AS

D

18

3241

1132

10

93

8

NLN

NN

x

z

y

urrr

2

2

2

12

11

10

STR

UC

T

218

12

N mur13

ES

27/10/2010 25

1113 N

Máster Oficial en:





Funciones de forma

LECCIÓN 3


mediante MEF

o

ox

uu

LECCIÓN 3

RR

AS

x

oz

oy

uu

u

du

DE

BA

R

rNu dxdu

dxdu

ozy

oyz

TUR

AS

D rNu

0000000000 1371 NNN

dx

STR

UC

T

00000000000000000000000000000

10842

10842

NNNNNN

NNNNN

ES

27/10/2010 26

00000000000 126 NN

Máster Oficial en:





Matriz B

uddx

duox

o 2

LECCIÓN 3


mediante MEF

dxuddx

ud

ccc

oy

oz

x

z

y

o

s

2

2

2

2

εDeformación de la sección

LECCIÓN 3

RR

AS

dxd

cx

x

DE

BA

R

000000000000000000

0000000000

7654

7654

321

BBBBBBBB

BBB

BrBε s

TUR

AS

D

1 212

LB

00000000000 98 BB

13

STR

UC

T

2

1

42122

LB

L

LB

LB

13

13

7

5

ES

27/10/2010 27 264

3

6

4

LBB

LB

LBB 1

98

Máster Oficial en:





Deformaciones de los materiales

LECCIÓN 3


mediante MEF

z

y

o

xz

xy

x

cc

yz

zy

000000

01

z

y

o

x

cczy1

LECCIÓN 3

RR

AS

xxz c

y

xxz

xy cyz

DE

BA

R

Relación constitutiva en cada punto de la sección

TUR

AS

D

nmn εεεσσ

σDεσσ

Tdd

STR

UC

T

εDσ T

εε T

ES

27/10/2010 28

Los términos de la matriz DT pueden ser función de las componentes de o de , pero son preferibles las que son función sólo de

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Planteamiento general



OBJETIVO: Obtener los esfuerzos (N,M) y la matriz constitutiva tangente (DTs) para una deformación dada de la sección (o, c)

OBJETIVO: Obtener los esfuerzos (N,M) y la matriz constitutiva tangente (DTs) para una deformación dada de la sección (o, c)

c

LECCIÓN 3


mediante MEF NM

c1

LECCIÓN 3

RR

AS

p

s

o

DE

BA

R

co

sε

M

NdA

zAs

1σ

dAEdAE )()(

TUR

AS

D

A

TA

T

AT

AT

TsdAzzEdAzzE

dAzzEdAzE

2)()(

)()(D

STR

UC

T DIFICULTADESComportamiento no lineal de los materiales, fisuración del hormigón

ES

27/10/2010 29

gSecciones compuestas, pretensado. Deformaciones diferidas (retracción, fluencia y relajación)

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Comportamiento no lineal de los materiales

óIngeniería del Hormigón


EHE-08 (Art. 21)

Hormigón: diagrama tensión-deformación para cargas instantáneas

LECCIÓN 3


mediante MEFE

1

2

:Con

para)2(1

c

cuccmc fk

k

LECCIÓN 3

RR

AS

cfc

m

Ecm

240

1

403434

0,20,1

:Con

cm

fc

fkk

ekcm

0.4·fcm

DE

BA

R

cu1

c

c1

11

1

1

21

1.31

10403434

ck

cu

cm

cmc

e

Ekk

TUR

AS

D

fck (MPa) 30 40 50 60 80 100

E (GPA) 28 58 30 89 32 90 34 69 37 81 40 48

STR

UC

T Ecm (GPA) 28.58 30.89 32.90 34.69 37.81 40.48

k 1.77 1.60 1.47 1.37 1.22 1.13

c1 0.0021 0.0023 0.0025 0.0026 0.0028 0.0030

0 0040 0 0037 0 0034 0 0031 0 0029 0 0030

ES

27/10/2010 30

cu1 0.0040 0.0037 0.0034 0.0031 0.0029 0.0030

Máster Oficial en:



óIngeniería del Hormigón


c

fcm

Hormigón: consideración del efecto tension-stiffening

m

Modelo gradual de descarga

LECCIÓN 3


mediante MEF

cm

ctcendcctendc

cendcmctc f

,,

,,

LECCIÓN 3

RR

AS

cc1

fctmtension-stiffening

DE

BA

R

c

s

yend,c E

f y a igual eNormalment última. ndeformació

f

TUR

AS

D c

fct,km=0ci

mctct E

f ,

y si

STR

UC

T

m>1

m=1

m=•

ymin,s

ymin,smin,sy

y

m si10

si

20

ES

27/10/2010 31

ccendct

s.min... Armadura más traccionada de la sección

Máster Oficial en:





Acero: diagrama tensión-deformaciónModelo bilineal

LECCIÓN 3


mediante MEF

s

fyfymax=(1+a)·fy

El1LECCIÓN 3

RR

AS

s

-y-max

Es

1

1

DE

BA

R y max

-fy

TUR

AS

D -fymax=-(1+a)·fy

ysss fE s máxAcero a

STR

UC

T

yyslys

y

fEf s )( B 400 S 0,08

0,05B 500 S

0.05

0,05

B 400 SD 0,124 0.20sE MPa 000.200

ES

27/10/2010 32

0,09B 500 SD 0.15

yyl

afEmax

Máster Oficial en:





Acero para armaduras activas: diagrama tensión-deformaciónModelo polinómico

LECCIÓN 3


mediante MEF

fpk

p

LECCIÓN 3

RR

AS pE

0,002 pu

ppu

DE

BA

R 0,002 pu

Ef70

TUR

AS

D

5

pk

p

p

pppkp

ppppkp

7,0f

823,0E

f7,0

Ef7,0

STR

UC

T

E (MPa)

Ep salvo justificación experimental (Art. 38.8 EHE-08.):

pkp

ES

27/10/2010 33

Ep (MPa)

200.000Alambres o barras

Cordones 190.000

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Secciones compuestas



Los materiales son puestos en tensión antes de quedar adheridos estructuras pretensadas

Piezas hormigonadas en varias fases (viga prefabricada + losa in situ)

Los materiales son puestos en tensión antes de quedar adheridos estructuras pretensadas

Piezas hormigonadas en varias fases (viga prefabricada + losa in situ)

LECCIÓN 3


mediante MEF

Piezas hormigonadas en varias fases (viga prefabricada + losa in situ) Piezas hormigonadas en varias fases (viga prefabricada + losa in situ)

Deformaciones en las secciones compuestasLECCIÓN 3

RR

AS

DE

BA

R

Ley no plana de d f i

TUR

AS

D deformaciones

STR

UC

T

Compresiones (+)

ES

27/10/2010 34Origen de deformaciones para todos los materiales

Tracciones (-)Compresiones (+)

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Pretensado



Sección pretensada con armadura pretesaAntes de la transferencia

Sección pretensada con armadura pretesaAntes de la transferencia

Ley plana de deformaciones antes

LECCIÓN 3


mediante MEF

Ley plana de deformaciones antes de la transferencia

Deformación de la armadura en la bancada

LECCIÓN 3

RR

AS

Origen de deformaciones

Origen de deformaciones para la armadura activa

DE

BA

R

Después de la transferenciaDespués de la transferencia

para el hormigón

TUR

AS

D

Ley plana de deformaciones después de la transferencia

D f ió d l d

STR

UC

T

O i d d f i

Deformación de la armadura después de la transferencia

ES

27/10/2010 35Origen de deformaciones para el hormigón


Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Pretensado



Sección pretensada con armadura postesaEn el momento de la inyección

Sección pretensada con armadura postesaEn el momento de la inyección

LECCIÓN 3


mediante MEF Ley plana de deformaciones en el momento del tesado

LECCIÓN 3

RR

AS

Deformación de la armadura en el momento del tesado

DE

BA

R


TUR

AS

D

Origen de deformaciones para el hormigón

para la armadura activa

STR

UC

TES

27/10/2010 36

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Piezas hormigonadas en dos fases



Sección pretensada hormigonada en dos fasesEn el momento de la conexión

Sección pretensada hormigonada en dos fasesEn el momento de la conexión

LECCIÓN 3


mediante MEFOrigen de deformaciones para el hormigón de la 2ª fase

2ª faseLECCIÓN 3

RR

AS

Ley plana de deformaciones en el momento de la conexión

D f ió d l d

2ª fase

DE

BA

R Deformación de la armadura en el momento de la conexión

1ª fase

TUR

AS

D

Origen de deformaciones para el hormigón de la 1ª fase


STR

UC

T para el hormigón de la 1 fase

ES

27/10/2010 37

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Estado de neutralización



Plano de deformaciones de referencia. Suele tomarse el estado en el cual uno de los hormigones tiene TENSIÓN nula.

Plano de deformaciones de referencia. Suele tomarse el estado en el cual uno de los hormigones tiene TENSIÓN nula.

LECCIÓN 3



2ª faseLECCIÓN 3

RR

AS ESTADO DE NEUTRALIZACïÓN

D f ió d li ió

2ª fase

DE

BA

R Deformación de neutralización de la armadura activa

1ª fase

TUR

AS

D



STR

UC


ES

27/10/2010 38

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Deformación de cada material



)(2, zcnDeformación de neutralización del hormigón de la losa

LECCIÓN 3



2ª faseLECCIÓN 3

RR

AS ESTADO DE NEUTRALIZACïÓN

D f ió d li ió

2ª fase

DE

BA

R Deformación de neutralización de la armadura activa

1ª faseip0

TUR

AS

D



STR

UC


)(1)( zzz o

Def. de neutralización

ES

27/10/2010 39

)(1)( zc

zz n

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Deformación de neutralización



Sección pretensada con armaduras pretesas En el instante antes de la transferencia

Sección pretensada con armaduras pretesas En el instante antes de la transferencia

LECCIÓN 3


mediante MEF

LECCIÓN 3

RR

AS Po

zppo

DE

BA

R

on PP

TUR

AS

D

P

Fuerza del cable en la bancada en el instante antes de la transferenciapn

on

ze

STR

UC

T

pp

opo AE

P

(Normalmente está en la rama elástica)

ES

27/10/2010 40

Máster Oficial en:





Sección pretensada con armaduras postesas Calcular la estructura para la situación correspondiente al instante

de la inyección

Sección pretensada con armaduras postesas Calcular la estructura para la situación correspondiente al instante

de la inyección

LECCIÓN 3


mediante MEF

El cable se introduce como un sistema de fuerzas equivalente de resultante nula

El cable se introduce como un sistema de fuerzas equivalente de resultante nula

LECCIÓN 3

RR

AS

Sección neta

DE

BA

R

spiicpese z εrBεrr 1,

TUR

AS

DST

RU

CT p cp

ES

27/10/2010 41

icpipipo ,,,

Máster Oficial en:





Sección hormigonada en dos fases Calcular la estructura para la situación correspondiente al instante

del hormigonado de la 2ª fase

Sección hormigonada en dos fases Calcular la estructura para la situación correspondiente al instante

del hormigonado de la 2ª fase

LECCIÓN 3


mediante MEF

Sección resistente: 1º fase Cargas introducidas por el hormigón de la segunda fase Sección resistente: 1º fase Cargas introducidas por el hormigón de la segunda fase

LECCIÓN 3

RR

AS

scnese zz εrBεrr 1)(2,

DE

BA

R

2cn222 ,, ISA2ª fase

TUR

AS

D 2,cn

c

ISA

222 ,,

STR

UC

T 1ª fase o111 ,, ISA

ES

27/10/2010 42

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Esfuerzos y DT para la fase de servicio



En cada sección se consideran los materiales con su deformación de neutralización y su comportamiento no lineal


)()(1

zzc

LECCIÓN 3


mediante MEF

)()()(

)(1)( 2

zzz

zzz

pi

sj

cnsese

εrBεrr

LECCIÓN 3

RR

AS

NM

2c

c

2c

(z)2,cn

DE

BA

R N

s

1c

ppi sj

o

1c

TUR

AS

D s0p

s dA

zMN 1

σ

STR

UC

T

ps

cc

n

i

pipi

n

j

sisiA

cA

c AAdzbdzbN11

2121

A zM

ES

27/10/2010 43

ps

cc

n

i

pipipi

n

j

sisisiA

cA

c

j

zAzAdzzbdzzbM11

2121

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Esfuerzos y DT para la fase de servicio





)()(1

zzc

LECCIÓN 3


mediante MEF

)()()(

)(1)( 2

zzz

zzz

pi

sj

cnsese

εrBεrr

LECCIÓN 3

RR

AS

NM

2c

c

2c

(z)2,cn

DE

BA

R N

s

1c

ppi sj

o

1c

TUR

AS

D

A

TA

T dAzzEdAzE )()(

s0p

STR

UC

T

A

TA

T

AATs

dAzzEdAzzE 2)()(D

s ps p n nn n

ES

27/10/2010 44

1 21 2

1 21 2

1 121

1 121

1 121

1 121

c c

s p

c c

s p

c cc c

A A

n n

pipiTsisiTTcTcA A

n n

pipiTsisiTTcTc

A ApipiTsisiTTcTc

A ApipiTsisiTTcTc

Ts

IEIEdIEdIESESEdSEdSE

SESEdSEdSEAEAEdAEdAED

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Análisis diferido



Planteamiento generalPlanteamiento general

LECCIÓN 3


mediante MEF)()( tct

)x(to )( otx 1v M(to)

LECCIÓN 3

RR

AS

)(),( ooo tct

co ,

DE

BA

R

)(tx)(tx 1v M(t)

TUR

AS

D

tcto ,

STR

UC

T

ctctc

tt

o

oooo

sos

coc

tttt

s

c

MtMtMNtNtN

o

o

ES

27/10/2010 45

ztctt

ztctt

oc

cnoc

Máster Oficial en:



C t i t dif id d l h i óIngeniería del Hormigón


Comportamiento diferido del hormigón:Ecuación constitutiva de la fibra

LECCIÓN 3


mediante MEF(ti)

(to)

(t)

(ti) (t,to)=(t)-(to)

LECCIÓN 3

RR

AS

)t()t()t()t( to t

(to)

tti

DE

BA

R

)t()t,t(1)t()t,t()t(

E)t()t,t(

)t(E)t(

E)t()t,t(

)t(E)t()t,t(

i

nio

oo

28,c

11

1c

1

28,c

oo

oc

oo,c

TUR

AS

D

t

t

oo

ooc d

Et

EEttt

tEttt )(),(

)(1)(),(

)()(),(

2828,

)t(E)t(EE

)t,t()t(E i

1i 28,cic28,co

oc

STR

UC

T t cccoc o EEEtE )()( 28,28,

)t(E)t,t(

o*c

oSimplificación:

método del

ES

27/10/2010 46)t,t()t,t(1

)t(E)t(Eoo

oco

*c

método del coeficiente de envejecimiento

Máster Oficial en:


Ó




Comportamiento diferido del HORMIGÓN: Método análisis paso a paso

ntttt )(1)()(

LECCIÓN 3


mediante MEF

ii

c

i

icc

oo

oc

ooc t

Ett

tEEttt

tEttt

1 28,28,, )(),(

)(1)(),(

)()(),(

t )(tLECCIÓN 3

RR

AS

28,111

1)(1

)(),()()(),()(

)( c

oo

oc

oocsc

ttE

ttttEtttt

t )()()( 101 ttt 1t

0t )( 0t

DE

BA

R

28,

1

1

),()(

1c

o

c Ett

tE

)()()( 1011

1

12222 )(),(

)(1)(),(

)()(),()( o

oo

ocsc tE

tttEE

ttttEtttt

TUR

AS

D

28,

12

2

128,128,

222

2),(

)(1

)()(

),()(

),()()(

cc

ccco

ococsc

Ett

tE

EtEEtEt2t )()()( 212 ttt

STR

UC

T

nt )()()( 1 nnn ttt

1

1 28,28,)(),(

)(1)(),(

)()(),()(

)(

n

ii

c

in

icc

oon

oc

ooncsnc

n

tE

tttEE

ttttE

tttt

t

ES

27/10/2010 47

n )()()( 1 nnn

28,

1

2

),()(

1)(

c

nn

c

n

Ett

tE

Máster Oficial en:


Ó



Asignatura:Modelización )()(1)()( tttttt

Comportamiento diferido del HORMIGÓN: Método del coeficiente de envejecimiento

LECCIÓN 3


mediante MEF

))()(()28(

),(),(1)28()(),(

)()()()( occ

c

oo

c

oco

oc

occsc tt

Etttt

Ettt

tEttt

LECCIÓN 3

RR

AS

adjc

c

c

oco

oc

occsc EE

ttttEttt

,)28()(),(

)()()()(

En el instante t

DE

BA

R j,

)()()()(

oc

ococsoc tE

ttt En el instante to

TUR

AS

D

adjc

c

c

ocoocsoc EE

tttttzc,)28(

)(),(),(

STR

UC

T

)28()(),(),(,

ocoocsoadjcc E

tttttzcE adjcT EE ,

ES

27/10/2010 48

)28(cE

)()()( 0 ttt ccc

Máster Oficial en:





Comportamiento diferido de las ARMADURAS ACTIVAS:

Relajación

LECCIÓN 3


mediante MEF )(),( opopr ttt

a deformación constante

LECCIÓN 3

RR

AS

)(),( oporpr ttt

bajo deformación de fluencia y retracción

DE

BA

R

E

Relación D

TUR

AS

D prpopp vcE ppr

pT EE

STR

UC

T

prpnpopp vtctEt )()()(

Relación

ES

27/10/2010 49

p

Máster Oficial en:



ÓIngeniería del Hormigón


Comportamiento diferido de la SECCIÓN

LECCIÓN 3


mediante MEF

ps

cc

nn

n

ipipi

n

jsisi

Ac

Ac AAdzbdzbN

1121

21

LECCIÓN 3

RR

AS

ps

cc

n

ipipipi

n

jsisisi

Ac

Ac zAzAdzzbdzzbM

1121

21

DE

BA

R

1 21 2 1 121

1 121

c c

s p

c c

s p

nnA A

n n

pipiTsisiTTcTcA A

n n

pipiTsisiTTcTc

Ts

SESEdSEdSEAEAEdAEdAED

TUR

AS

D

1 21 2 1 121

1 121

c c

s p

c c

s p

A A

n n

pipiTsisiTTcTcA A

n n

pipiTsisiTTcTc

Ts

IEIEdIEdIESESEdSEdSE

STR

UC

TES

27/10/2010 50

Máster Oficial en:


CÁLCULO SECCIONAL:Integración numérica



La obtención de los esfuerzos y los términos de la matriz DT requiere una “integración” a lo largo de la zona comprimida del hormigón:La obtención de los esfuerzos y los términos de la matriz DT requiere una “integración” a lo largo de la zona comprimida del hormigón:

TT dAσLSσ TT dASLDLSD

LECCIÓN 3


mediante MEF

A i

sisiTccTT AEdAED )1,1(

As dAσLSσ 1

A TTs dASLDLSD 11

LECCIÓN 3

RR

AS

cA isisicc AdAN

AzdAzM

cA i

AyEdAyED )31(

cA isisisiTccTT AzEdAzED )2,1(

DE

BA

R

cA isisisiccy AzdAzM

sisisiccz AydAyM

cA isisisiTccTT AyEdAyED )3,1(

cA isisisiTccTT AzEdAzED 22)2,2(

TUR

AS

D cA i

sisisiccz yy c

cA isisisisiTccTT AyzEdAyzED )3,2(

sisisiTccTT AyEdAyED 22)3,3(

STR

UC

T cA i

ES

27/10/2010 51

cA

csr dAzyfyzI ),(

Máster Oficial en:





Descomposición en fibrasDescomposición en fibras

n

LECCIÓN 3


mediante MEF

cA

csr dAzyfyzI ),(

n

iiii

si

ri AzyfyzI

1),(

LECCIÓN 3

RR

AS

DE

BA

RTU

RA

S D

STR

UC

TES

27/10/2010 52

Máster Oficial en:





Cuadratura de Gauss con puntos de integración fijosCuadratura de Gauss con puntos de integración fijos

csr dAzyfyzI ),(

LECCIÓN 3


mediante MEF

cA

cyy ),(

zL

=11LECCIÓN 3

RR

AS

=1

1

= -1

1

2

1 2

DE

BA

R yL

= -1

34 34

TUR

AS

D

12

82,(

i

i

x zy

Nzy

x

STR

UC

T

i jn n

hJI )(

18x

ES

27/10/2010 53

i j

jiji hJwwI1 1

),(

Máster Oficial en:





Integración sobre la sección comprimida de hormigónSi la función f(y,z) es cilíndrica con generatriz paralela a la fibra neutra→se

eligen unos nuevos ejes y’,z’ de forma que el eje y’ sea paralelo a la fibra t

Si la función f(y,z) es cilíndrica con generatriz paralela a la fibra neutra→se eligen unos nuevos ejes y’,z’ de forma que el eje y’ sea paralelo a la fibra

t

LECCIÓN 3


mediante MEFCambio de sistema de referencia ''' eer zyzy

neutra.neutra.

ee

sencos

'

sencos

''LECCIÓN 3

RR

AS

y

zo

y

zozyo c

czy

cc

zyyczccossensencos

''

ee

cossen

cossen'' zyzy

DE

BA

R

z’

gz’)

z yy cc cossen

'

'''y

zo c

czy

TUR

AS

D

y’

gz )P

r

y

STR

UC

T y

y

ES

27/10/2010 54

y

z

y

z

cc

cc

cossensencos

'

'

Máster Oficial en:





Integración sobre la sección comprimida de hormigón

y

z

y

z

cc

cc

cossensencos

'

'

LECCIÓN 3


mediante MEF0sencos' yzz ccc

cossen' yzy ccc

yy

y

z

cc

tan

LECCIÓN 3

RR

AS

cossen' yzy ccc

'

cosy

y

cc

DE

BA

R

z’

gz’)

z'

siny

z

cc

TUR

AS

D

ccy’

gz )P

r

22' yzy ccc

STR

UC

T zcc

yccz

y

y

y

z ''

'y

'' zcyo

y

ES

27/10/2010 55

yo

Máster Oficial en:





z’dz’

gz’)T d l i l d l f

)'()'()( ' zzcyo

)'()'()( ' zzcEEE TyoTTT

LECCIÓN 3


mediante MEFy’

gz )Todas las integrales son de la forma

cA

s dzdyzgyI '')'('

LECCIÓN 3

RR

AS

y

Aplicando el teorema de Green

dyNdzMdzdyNM ''''

''

DE

BA

R

cc

c

zyA

''

)'(''

)'(1

' 1

zgyyMzg

syM s

s

TUR

AS

D

0N

dzzgsydzdyzgyI

s

A

s ')'(1

''')'('1

STR

UC

T cc sA 1

ES

27/10/2010 56

Máster Oficial en:





Descomposición del contorno en n tramosSe pueden hacer coincidir o no con los lados del polígono que encierra el área de la sección

LECCIÓN 3


mediante MEF

cc

dzzgsydzdyzgyI

s

A

s ')'(1

''')'('1

En cada tramo se puede hacer el siguiente cambio de referenciaLECCIÓN 3

RR

AS

2''

2''' 11 iiii zzzzz

En cada tramo se puede hacer el siguiente cambio de referencia

DE

BA

R

z’

h)

ntramos

j

jjs

dzz

hs

yI1

1

1

1,2,1

2''

)(1)('

Integrando por cuadratura de Gauss

TUR

AS

D

z’

y’()

ntramos

jii

ng

i

si

jj whys

zzI

1 1

11,2, )()(')1(2

''y’

Integrando por cuadratura de Gauss

STR

UC

T Si los tramos son pequeños:

ntramos

js

jj zgzy

sz

I 1 )'()'(')1(

'

ES

27/10/2010 57

j s1 )1(

Máster Oficial en:


ANÁLISIS NO LNEAL:Consideración de los efectos de segundo orden



Grandes desplazamientos:Se trata de considerar el equilibrio en la posición deformada Las coordenadas de los nodos se corrigen en cada iteración del proceso

LECCIÓN 3


mediante MEF

de resolución del sistema de ecuaciones

a

LECCIÓN 3

RR

AS Nr

DE

BA

R

iii rpp 1

TUR

AS

DST

RU

CT

ES

27/10/2010 58

Máster Oficial en:




Asignatura:Modelización 21 dudu

Grandes deformaciones:Se trata de considerar los términos de segundo orden de las deformaciones

LECCIÓN 3


mediante MEF

21

dxdu

dxdu ozox

o

rBrBrBε

Lo

ozox

os dx

du

ddx

du

21 2

2

a

LECCIÓN 3

RR

AS

Lo

ozs dx

dxudc

02

2

2

Nr

0000000

6543

721

NNNNNNN

N

DE

BA

R

rrN

rrN

000:),2(0000:),1(

6543

721

NNNNuNNNu

oz

ox

TUR

AS

D

2:),2(21:),1(

rNrN

dxd

dxd

o

NNrNNrrN

B

:),2(

)2(2:)2(:)2(2:),2(1 2

TTTTd

STR

UC

T rNrrNNrrrB

0),(

:),2(2

0

:),2(:),2(

02 2

2 TTL LLdx

0000000000

:),2(2 65432

NNNNL

TTL NrB

ES

27/10/2010 59

00000002L

0:),2(:),2(2

2NN

rB T

L

L

Máster Oficial en:





Grandes deformaciones:Corrección de la matriz de rigidez tangente

LECCIÓN 3


mediante MEFa

TBεσ

e V

Teeiii

e

dVFΨ σBT

LECCIÓN 3

RR

AS

Nr

e Ve

TL

eie V

eeTTeei

e Ve

eei

e Ve

Teeii

dVddVd

dVddVdd

ee

ee

rσr

BTrΒDBT

rσr

BTrrε

εσBT

DE

BA

R

jGj

Tej

V

Tei

Tej

VeT

Teei

e VGe

Te

TL

eie

GeTeeT

Teei

drdVNdV

dVddVde

TGGTTΒDBT

rTσr

BTrTΒDBT

TUR

AS

D

jGjTijGj

j e

TejLeTeei

j e Ve V

drKdr

ee

TKKT

STR

UC

T

GGNNσr

B

N

NNNNNNNNNNNNNN

NL

NL

TTTL 0000000

0000000000000

2:),2(:),2(2 64542

443

6353432

3

22

ES

27/10/2010 60

r

NNNNNNNNNNNNNN

LL

0000000000000

26656463

652

55453

L04_Barras_2007

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