UNIVERSIDAD DE CORDOBA

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA

DE:

LUIS GUILLERMO PEREZ, GABRIEL JOSE GUTIERREZ, MARIO

ANDRES ARBELAEZ, DANIEL ELIAS TORREZ, OSCAR EMIRO OZUNA

TOPOLOGIA

LA TOPOLOGIA PRODUCTO SOBRE X x Y

Definicion. sean X e Y espacios topologicos. La topologa producto sobre X x Y es la

topologa que tiene como base la coleccion B de todos los conjuntos de la forma U x V ,donde U es un subconjunto abierto de X y V es un subconjunto abierto de Y .

Veamos que B es una base:i) Sea a x b en X x Y dado. Note que X x Y B pues X e Y son abiertos en susrespectivas topologas, luego, existe un elemento basico B tal que X x Y B, por lo tantoa x b B.ii) Sean U1 x V1, U2 x V2 en B y a x b en (U1 x V1) (U2 x V2), note que U1 y U2son abiertos en X y de igual forma V1 y V2 son abiertos en Y , de modo que U1 U2es abierto en X y V1 V2 es abierto en Y , luego (U1 U2) x (V1 V2) B, asa x b (U1 x V1) (U2 x V2) = (U1 U2) x (V1 V2).por lo anterior B es una base.Nota. Sean (X, Tx) y (Y, Ty) espacios topologicos. A sera que Tx x Ty es una topologasobre X x Y ?. Respuesta: No

Justificacion :

Considere el espacio topologico (R, T ), donde T es la topologa usualT x T = {u x v : u T y v T }. Notemos que- ((1, 2) (3, 5)) x ((1, 0) (3, 4)) T x T- (32 ,

72) x (2,

72) T x T

- (1, 2) x (3, 4) T x T . Pero (32 , 72) x (2, 72)) ((1, 2) x (3, 4)) / T .As T x T no es topologa, sin embargo ((32 , 72) x (2, 72)) ((1, 2) x (3, 4)) es abierto enR x R.

Teorema 1. Si B es una base para la topologa de X y C es una base para la toplogade Y , entonces la coleccion

D = {B x C : B B y C C}

es una base para la topologa sobre X x Y .

Demostracion. Veamos que D satisface las condiciones del lema 13.2i) Sea B x C D dado. como B B y C C entonces B es abierto en X y C abiertoen Y , de modo que B x C pertenece a la base de la topologa producto. As que B x C

es un abierto de la topologa producto, por lo tanto D es un subconjunto de la topologaproducto.

ii) Sean W abierto en la topologa producto X x Y y d W . De modo que existeU x V elemento basico de la topologa producto tal que d X x Y , as que existe b Xy c Y tal que d = (b x c). luego (b x c) U x V entonces b U y c V , comoU x V es un elemento basico de la topologa producto sobre X x Y , entonces U es abierto

en X y V es abierto en Y . por lo tanto U es la union arbitraria de abiertos de B y Ves la union arbitraria de elementos de C. Entonces existe B B y C C tal que b By c C.As (b x c) B x C D. de lo anterior se tiene que B U y C V lo cual implica que(B x C) U x V W , por lo tanto d = (b x c) B x C W donde B x C D.

Definicion. Sean pi1 : X x Y X definida por

pi1(x, y) = x

y pi2 : X x Y Y definida porpi2(x, y) = y

las aplicaciones pi1 y pi2 se denominan proyecciones de X x Y sobre su primer y segundo

factor, respectivamente.

Usamos la palabra sobreporque pi1 y pi2 son sobreyectivas ( a menos que uno de los

espacios X o Y sea vaco, en cuyo caso X x Y seria vaco y por tanto, no tendra sentido

hablar de ello)

Teorema 2. La coleccion

S = {pi11 (U)/U es abierto en X} {pi2 1(V ) / V es abierto en Y }

es una subbase para la topologa producto sobre X x Y .

Demostracion. Sea T la topologa producto en X x Y y T1 la topologa generado porla coleccion S. Notemos inicialmente lo siguiente:Si U es un subconjunto abierto de X, entonces el conjunto pi11 (u) es pi1(u) = U x V .

Ahora si V es abierto en Y , entonces pi12 (V ) = X x V , note que pi11 (U) y pi

12 (V ) son

abiertos en X x Y , siendo T , Tx, Ty, las topologas sobre X x Y respectivamente.Veamos que S = {pi11 (u) : U Tx}{pi12 (V ) : V Ty} es una subbase para una topologaen X x Y , ya que X Tx y pi1(X) = X x Y .mostremos que T = T donde T es la topologa generada por S.En efecto, notemos que S T . La interseccion finita de elementos de S estan en T( ya que T es topologa) y por lo tanto tambien la union arbitraria de interseccion finitade elementos de S estan en T , pues las uniones arbitrarias de intersecciones finitas deelementos de S son elementos de T . As T T .Ahora, sea U x V = (U x Y ) (X x V ) = pi11 (u) pi12 (V ) T , luego ya quepi11 (u) pi12 (V ) T , donde T es la base para T y T T , as se tiene queT T .Por tanto T = T