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Uni VI-Conf 16: Detec. e Intr. Teoría Estimación
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Comunicaciones II
Conferencia 16: Probabilidad de error para señales en AWGN –Parte 1
UNIDAD VI: DETECCIÓN E INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN
Instructor: Israel M. Zamora, MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.
Universidad Nacional de Ingeniería
Universidad Nacional de Ingeniería
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Outline
• Detección• Problema de Detección• PDF condicional: Función Likelihood de
AWGN• Repaso: Teorema de Bayes
– Aplicando Bayes
• Regla de decisión• Probabilidad Máxima A Posteriori (MAP)• Detector MAP• Implementación de Receptor Óptimo• Detector Óptimo Implementado
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Outline
• Demodulador Vectorial Correlador• Canal Vectorial Gaussiano Equivalente• Implementación del Demodulador Correlador:
Filtro Acoplado• Demodulador de Filtro Acoplado• Región de decisión para AWGN
– Región de decisión para AWGN: 2 señales– Región de decisión para AWGN: 4 señales– Región de decisión para AWGN:8 señales
• Probabilidad de Error para señales en AWGN• Probabilidad Correcta para señales en AWGN
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Señal versus Vector
Forma de onda de señal
ji
2
ji
ji
N21
ji
ji
ss
sss
s
s
ss
ss
ss
:distancia (t)s(t)s :distancia
s :cuadrática Longitud (t)dts(t)s(t),s(t)sE :Energía
s:escalar Valor (t)dt(t)s(t)(t),s s:escalar Valor
s :Expansión (t)s(t) s:Expansión
δ :esortonormal vectores δ(t)(t) :esortonormal les seña
,...,, :base vectores (t)(t),..., (t), :base eñales s
0 :sortogonale vectores 0(t)s(t),s :sortogonale ñales se
ss :escalar producto (t)dt(t)ss(t)s(t),s :escalar producto
, :vectores (t) s(t), s: señales
ji
N
1j
2ij
T
0
2ii
2
ii
ij
T
0 jijiij
N
1jij
N
1jjiji
jkkjjkkj
N21
ij
T
0
N
1kjkikijij
jiji
i
Vector Geométrico
iNi2i1
N
1jjiji s,...,s,s (t)s(t)s
is
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Detección
mm TMR /log2
im
1-M0,1,..., im
Fuente deMensajes
CodificadorVectorial
Modulador
Sumidero deMensajes
DecodificadorVectorial
Demodulador
Un mensaje cada Tm segundos
),...,s,s(s iNii 21is ,...,M,i)t(si 21
im )t(si
Una señal cada TS segundos
Al canal físico
)t(n
n(t)(t)sr(t) i
)r,...,r,(r iNi2i1rm̂
Decisión:Muestra debe procurarmínima probabilidadde error ( corresponda a mi )m̂
r(t)
DETECTOR
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Receptor (Demodulador Vectorial)
• Demodulador vectorial:– Convierte las formas de ondas recibidas del canal en un conjunto
discreto de señales de decisión
• Detector:– Utiliza la salida del demodulador para tomar decisión sobre los
datos digitales transmitidos
)t(n)t(s)t(r ii Demodulador
vectorialdetector
Receptor
),...,r,r(r iNii 21irii mm ˆ
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Transmisión sobre un canal AWGN
)t(n)t(s)t(r ii
Tt0 n(t),(t)s(t)r recibida onda de Forma-
)t-δ(t2
N))n(tn(tE 0n(t)E
2N espectral densidad con n(t) gaussiano blanco Ruido-
Tt0 ,s moduladas señalesde Conjunto-
)mP()P(m ,1-M0,1,...,m ninformació de Símbolo-
(AWGN) Gaussiano Blanco Aditivo Canal El
ii
ji0
ji
0
M
0ii
iii
)t(
si
modulador
(t)si
n(t)
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Problema de Detección
• Dada el vector de observación r, tenemos que realizar un mapeo (decodificación) de r sobre un estimado
del símbolo transmitido mi, de tal manera que minimize la probabilidad de error en el proceso de toma de decisión.
• Si el símbolo mi ocurre con igual probabilidad (símbolos equiprobables) P(mi)=1/m, minimizar la probabilidad de error Pe es equivalente a maximizar la “Función de probabilidad” (Likelihood function).
• Para símbolos equiprobables el detector de “Máxima probabilidad” (Maximun likelihood detector) es el detector óptimo.
im̂
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iN
i
i
i
r
r
r
r2
1
,...,N,, jrij 21
ijjijjijijr snEsEnsErEμij
PDF condicional: Función Likelihood de AWGN
Se define:
20N
σijr
donde
son variables Gaussianas Independientes con:
Media:
y Varianza:
Además, rij y rik son no correlacionadas, por tanto, independientes y:
0, ikij rrCov Cuando jk
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PDF condicional: Función Likelihood de AWGN (Cont.)
,...,M, , isrN
πNmrfmRf
e:tenemos qu asi srN
πN
N
μr-
Nπσ
μr-
σπ
mrfm,...,R,RRΔ fmRf
i
N
imriMR
N
jijij
N
ijijN
j
ijijN
j r
N
jiijMRiNM,...,R,RRiMR
ii
ijrij
iiNi
211
exp
1exp
exp1
2exp
2
1
2
0
20
1
2
0
20
0
2
1 022
2
12
12121
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Repaso: Teorema de Bayes
FP F EPEP E FPFEP
Probabilidad Condicional:Para eventos dependientes Fj y E, tenemos:
Probabilidad Total:
Sean los eventos Fj, j=1,2,…,n particiones de un espacio muestra, y sea E un evento. Si todas las probabilidades a posteriori P(E|Fj), con j=1,2,…,n, de E y las probabilidades Fj son conocidas, entonces la probabilidad a priori de E puede obtenerse de:
j
n
1jj FP F EP P(E)
F1
F2
F4
F3
F5F7
F9
F8
Evento E
F E
FE
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Repaso: Teorema de Bayes
j
n
1jj
jjjj
j
FP F EP
FP F EP
EP
FP F EP E FP
Fórmula de Bayes, con la notación utilizada anteriormente:
Evento r
• Asumiendo que los valores coordenados de r puede tomar un número finito de valores, entoces, dado r, la probabilidad a posteriori que el símbolo mi fue transmitido es:
,...,M, i
,rP
m P mr P r mP
iimr
i r mi
i
21
m1
m2
m3
m4
m5
m6
Regiones de decisión de mi
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Aplicando Bayes
M1,2,...,i ,
f
mP m rf mP
iimr
i mi
i
rr
rr
• Alternativamente:
• Donde fr|m(r|mi) es la función likelihood que recién desarrollamos, la cual es la pdf de r (o la pdf conjunta de r1,r2,…,rN) dado que se se ha transmitido el mensaje mi.
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Probabilidad de Error:Se define como a probabilidad que un mensaje decodificado (en el receptor) no sea igual al mensaje que fue transmitido, es decir,
Reglas de Decisión
m̂
iie mm̂PmP
im
iiieic mm̂Pmm̂P-1mP1mP
La probabilidad correspondiente de que sea decodificado correctamente es, por tanto,
El detector óptimo escoge para minimizar , o equivalentemente, para maximizar .
ie mP ic mP
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Regla de Decisión: Probabilidad Máxima A Posteriori (MAP)
• La probabilidad de decisión correcta, dada la observación del vector r, es,
rr,ˆ rc imi mP m mP
• La probabilidad de error es como sigue:
• Así, el dispositivo de decisión óptimo observa el vector particular recibido r y la salida se escoge i=1,2,...,M para maximizar la probabilidad de decisión correcta. Esta cantidad es referida como la probabilidad a posteriori que caracteriza al canal vectorial.
imm ˆ
rr,ˆrˆ rc imiie mP -1 m mP,mmP 1
imm ˆ
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Detector MAP
• El detector MAP, “Máximo A Posteriori” (probabilidad):
• Se define como el detector que escoge el mi para maximizar la probabilidad a posteriori dado un vector recibido r. rr im mP
• 1ra. Regla de detección: MAP
• Que, usando Bayes, puede reescribirse como:
ik todo para mPmP simm kmimi rrˆ rr
r
r
r
r
r
r
r
r
f
mP m f
f
mP m f
kkimiimi
M1,2,...,i ,M1mP i
kkmiimi mP m fmP m f simmi
rrˆ rri
• Cuando los símbolos son equiprobables, el resultado coincide con la regla de decisión ML.
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Detector MAP (Cont.)
• Así, la regla de decisión ML es equivalente a la siguiente regla:
ik todo para mP mfmP mf simm kkmiimi rrˆ rr
• 2da. Regla de detección: Máximo Likelihood (ML)
• Recordando que:
2
0
2N
0im N1
expπNmfi ir srr
M1,2,...,i ,srN
1πNln
2mrfln
2
i0
0imr i
N
ik todo para -- simm22
i ki srsrˆ
• 3ra. Regla de detección: Máximo Likelihood (ML) bajo AWGN
La regla de decisión consiste en escoger un mensaje punto (forma vectorial) que es el mascercano a la señal punto recibida, la cual se satisface intuitivamente.
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Implementación de Receptor Óptimo
• De la 3ra. Regla del máximum AWGN ML, tendremos la siguiente estructura de receptor.
• La estructura de un receptor óptimo asume las condiciones indicadas para el receptor correlador (o su equivalente detector filtro acoplado, por lo que consideramos:
– (1) Símbolos fuentes equiprobables– (2) canal tipo AWGN
Ni ,...,r,rr rn(t) (t)sr(t) 21
M21 m,...,m,m
• Procedimiento de un receptor óptimo:
N
1j
2ij
N
1jijj
N
1j
2j
N
1j
2ijj ssr2rsr
2
isr
Paso 1:
desempeñado por un receptor correlador (o filtro acoplado)
Paso 2: m̂r observe que:
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Implementación de Receptor Óptimo (Cont.)
• Ya que los primeros términos de la ecuación anterior son comunes para cada i, 22
ki sr-sr-
que equivalente a:
N
1j
2kj
N
1jkjj
N
1j
2ij
N
1jijj s
21
sr s21
sr
iE kE
k
N
1jkjji
N
1jijj E
21
srE21
sr
substituyendo,
ik todo para E21
srE21
sr simm Fijar k
N
1jkjji
N
1jijji
ˆ
• 3ra. Regla de Máximo Likelihood (ML) con AWGN
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20
Seleccionael mayorde todos
Detector Óptimo Implementado
1s
r
*
N
1j*
2s
*
m̂ ri
Ms
N
1j
N
1j
2E1
2E2
2EM
1j
N
1jjsr
2j
N
1jjsr
Mj
N
1jjsr
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Detector
•El cómputo de los coeficientes rij de las señales recibida se obtiene a través de
un banco paralelo de integradores-multiplicadores. Cada combinación de integrador-multiplicador se refiere como un demodulador CORRELADOR.
Demodulador Vectorial Correlador
dt T
0
(t)1
(t)ri
X
dt T
0 X
(t)2
dt T
0 X
(t)N
ir
),...,r,r(r iNii 21ir
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M1,2,...,i N1
expπN
1mfmmf
por dada lcondiciona Gaussiana adprobabilid de densidad de función-
2N (t)nE varianzay 0,n(t)E media con nte,independie Gaussiano es n(t)-
n,...,n,n ,s,...,s,s ,r,...,r,r
0N/2
0
imiM
02
N21iNi2i1iNi2i1
ii
,srrR
nsr
irR
ii
2
Canal Vectorial Gaussiano Equivalente
dt T
0 (t)1
X
dt T
0 X
(t)2
dt T
0 X
(t)N
ir(t)1
X
X
(t)2
X
(t)N
im
n(t)
nsr ii
i2s
iNs
i1s
i2r
i1r
iNr
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•Un correlador puede ser implementado por un filtro acoplado. La componente del la forma de onda recibida r(t) junto a si i-ésima función base es equivalentemente a la convolución de la forma de onda r(t) con un filtro i(t-T) en el instante de muestreo de salida T.
Implementación del Demodulador Correlador: Filtro Acoplado
Ttj
Ttj- ij- ij
T
0 iij
t)(Tr(t)
τ)dτt-(T ) (τr)dτ (τ ) (τr(t)dt(t)rr
t)(T(t)r(t)Γ iii
t)(Tj iji r(t)Γ (t)ri
Tt (t)j
dt T
0 X(t)riijr
=(t)Γ i
•Este procedimiento es denominado demodulación de filtro acoplado, el cual está acoplado a las funciones bases correspondientes. ( Filtro+Muestreador)
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Demodulador de filtro acoplado
t)(T1
(t)ri
t)(T2
t)(TN
),...,r,r(r iNii 21iri2r
i1r
iNr
iji r(t)Γ Tt
La demodulación puede basarse en los filtros:
t)(T(t)h jj
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Región de decisión para AWGN
• En el caso de la regla MAP (Maximum A posteriori Probability), cada valor posible para un espacio observacional N-dimensional, se mapea a uno de M posibles mensajes transmitidos. Así, el vector espacial para r se particiona en M regiones correspondiente a las M posibles decisiones. Cada Región consiste de puntos los cuales son los mas cercanos al vector señal transmitido s. En otras palabras,
• Definición: (Región de Decisión)
En un canal AWGN, la región decisión usando MAP para cada símbolo mi, se define como:
ii
22
i
mm fija seentonces Z si
ki Z
ˆr
srsrr ki
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Región de decisión para AWGN: 2 señales
1
2
r
sksi
Zi
Zk
ii
22
i
mm fija seentonces Z si
ki Z
ˆr
srsrr ki
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Región de decisión para AWGN:4 señales
1
2
r
sk
si
Zi
Zk
ii
22
i
mm fija seentonces Z si
ki Z
ˆr
srsrr ki
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Región de decisión para AWGN:8 señales
1
2
r
sk
si Zi
Zk
ii
22
i
mm fija seentonces Z si
ki Z
ˆr
srsrr ki
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Probabilidad de Error para señales en AWGN
aplica. semáxima detección de MLregla la donde
mm m
AWGN) a (debido ik donde Z m :error Evento
ik
ki
ˆ
r
M
1iiie mZrP
M1
P :lesequiprobab símbolospara
iiie
i
mZPmP
:por determina seotransmitid es m
que dado error de adprobabilid la , vector observamos cuando Así
r
r
i
M
1iii
M
1iiiee
e
mPmZrPmPmPP
es ,P error, en símbolode promedio adprobabilid La
:Definición
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Probabilidad Correcta para señales en AWGN
error. de adprobabilid de cómputo el en usada entefrecuentem es
fórmula Esta transmite. sem mensaje símboloel que dado correcta
recepción de adprobabilid la representa ,mZPmP donde
mZPM1
1P1P
:tanto lo por es ,P símbolo,de correcta adprobabilid La
i
iiic
M
1iiiec
c
r
r
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