3.3 Canal AWGN
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MAGISTER EN SISTEMAS DE TELECOMUNICACIONES
TEORIA DE TELECOMUNICACIONES
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TEMARIO
1. RUIDO EN CANALES AWGN.
2. MODELO DE CANAL VECTORIAL AWGN
3. DETECCIÓN OPTIMA EN CANALES AWGN
1. DETECTOR MAP
2. DETECTOR ML
4. PROBABILIDAD DE ERROR POR SÍMBOLO.
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1. RUIDO EN CANALES AWGN
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RUIDO EN CANALES AWGN
• La suposición de ruido blanco gaussiano es válidacuando modelamos el ruido térmico generado porlos equipos receptores analógicos.
• Su media es nula, y su autocorrelación y su DensidadEspectral de Potencia (DEP) vienen dadasrespectivamente por:
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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RUIDO EN CANALES AWGN
• Lo que significa que las muestras de ruidoestán incorreladas entre sí y que el ruido esestacionario en sentido amplio
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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2. MODELO DE CANAL VECTORIAL
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
� �
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
El demodulador en su conjunto posee la estructura:
Cada uno de los elementos �� se calcula como:
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
Donde:�� es la coordenada j-ésima del símbolo � que fue transmitido.
�� es la contribución del ruido gausiano introducido por el canal. 28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
• Todas las componentes �� pueden expresarse
de forma conjunta empleando notaciónvectorial como:
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
• Cada una de las componentes �� del ruido debe ser
considerada como una variable aleatoria. Dado queel proceso del que proviene, �(�) , es gausiano,tendrá una función de densidad de probabilidadgausiana. Su media puede calcularse como:
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
La covarianza entre dos componentes de ruido resulta:
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
• Conclusión:
Las N componentes de ruido son variables gausianas
incorrelacionadas de media nula y varianza�
�.
• Una variable aleatoria gausiana queda unívocamentedeterminada a partir de su media y varianza, lafunciónde densidad de probabilidad de cada �� es:
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
• Bajo estadística gausiana incorrelación implicaindependencia, la función de densidad deprobabilidad conjunta de � es:
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
• A partir de la función de densidad de probabilidad delruido podemos obtener la de la salida deldemodulador condicionada al símbolo transmitido, esdecir de �� = ��� + ��.
• La función de densidad de probabilidad de ��condicionada a �� (o, más concretamente, a que lacomponente j-ésima del símbolo transmitido, ��, tomeel valor ���) será gausiana de media ��� y varianza
�
�.
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
��|�(�|��)
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MODELO DE CANAL VECTORIAL
• El vector � definido como:
contiene toda la información relevante paradecidir qué símbolo fue el transmitido.
• Estrictamente, el vector � es un estadísticosuficiente para la detección.
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3. DETECCIÓN OPTIMA EN CANALES AWGN.
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MÁXIMA VEROSIMILITUD (ML)
• Con el criterio ML se cumple que:
1
'()
�*+
,�-,./
0
- >1
'()
�*+
,�-,.2
0
-
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR ML
• Si el valor de � en el receptor es el etiquetado como �3 se cumple:
El decisor ML ofrecerá como salida 45.
• Si el valor de � en el receptor es el etiquetado como �5, se cumple::
El decisor ML podrá ofrecer como salida 43 o 45.
• Si el valor de � en el receptor es el etiquetado como ��, se cumple:
y el decisor ML ofrecerá como salida 43.
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR ML
Conclusión 1:
• Para tomar una decisión se debe calcular el valorde cada una de las funciones 67 4� ��|�(�|��)para el valor de entrada al decisor � = �3.
• Este cálculo puede ser realizado antes detransmitir símbolo alguno para todos los posiblesvalores de la entrada q y asignar de forma directaa cada posible valor de la entrada un símbolo 4�determinado.
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR ML
• Cuando el valor de � sea menor que el etiquetado como �5 se cumple.
y asignar directamente como salida el símbolo 45.• De forma análoga:
y asignamos como salida el símbolo 43.
• Por lo tanto , en lugar de calcular las funciones 67 43 ��|�(�|�3) y67 45 ��|�(�|�5) para el valor de entrada correspondiente, sólo hayque comparar la entrada con �5: si es menor, el decisor MAP ofrecerácomo salida 45 y si es mayor, 43.
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR ML
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR ML
• El decisor ML se limita a escoger el símbolomás cercano al vector de entrada.
• Alternativamente, se puede decir que lasregiones de decisión 9� estarán formadas portodos los puntos que se encuentran más cercadel símbolo �� que de cualquier otro de laconstelación.
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR MAP
• Podemos concluir que el decisor ML:
– Es un decisor de mínima distancia euclídea.
– Se basa en una función de densidad de probabilidad gausianade la entrada al decisor, y esta función de densidad deprobabilidad viene dada por la naturaleza del ruido presenteen el canal.
• Desde el punto de vista de la realización práctica del decisor, elcálculo de distancias puede simplificarse debido a que enrealidad nos interesa en obtener la distancia del vector deentrada al símbolo que se encuentra a una distancia menor.
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR MAP
• Por lo tanto la ecuación 4.43 se reduce aencontrar:
• Donde:
��� es la energía del símbolo.
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR MAP
Realización del decisor de máxima verosimilitud empleandocorrelacionadores.
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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MÁXIMO A POSTERIORI (MAP)
• Con el criterio MAP se cumple que:
1
'()
�*+
,�-,./
0
- 67(4�) >1
'()
�*+
,�-,.2
0
- 67(4�)
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR MAP
• Al modificar las probabilidades a priori a67 45 = 267(43), el umbral de decisión seha trasladado de �5 a �=, que es el valor de �para el que se produce la igualdad.
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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4. PROBABILIDAD DE ERROR POR SÍMBOLO.
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PROBABILIDAD DE ERROR POR SÍMBOLO
• El decisor MAP proporciona una menorprobabilidad de error.
• La probabilidad de error indica la fiabilidad delsistema de comunicación.
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DECISOR BINARIO EN ESPACIO UNIDIMENSIONAL
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR BINARIO EN ESPACIO UNIDIMENSIONAL
• La región de decisión 93 estará formada portodos los valores de � más cercanos a �3 quea �5, es decir, por todos los valores de �
mayores que cero. Análogamente, la región dedecisión 95 estará formada por todos losvalores de � menores que cero. El umbral dedecisión es, por tanto, cero.
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR BINARIO EN ESPACIO UNIDIMENSIONAL
• Si suponemos que el símbolo transmitido es �3.La función de densidad de probabilidad de laentrada al receptor, ��|�(�|�3) es una gausianade media > y varianza
-
�.
• Para que se produzca un error de decisión el valorde entrada al decisor, �, ha de ser menor quecero. La probabilidad de ocurrencia de estesuceso (q < 0) es igual a la función de distribuciónde �|�3 en el umbral de decisión desde -∞ hasta0 de ��|�(�|�3).
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR BINARIO EN ESPACIO UNIDIMENSIONAL
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR BINARIO EN ESPACIO MULTIDIMENSIONAL
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
![Page 38: 3.3 Canal AWGN](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/55cf9292550346f57b9798bd/html5/thumbnails/38.jpg)
DECISOR M-ario EN ESPACIO UNIDIMENSIONAL
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
![Page 39: 3.3 Canal AWGN](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/55cf9292550346f57b9798bd/html5/thumbnails/39.jpg)
DECISOR M-ario EN ESPACIO MULTIDIMENSIONAL
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
![Page 40: 3.3 Canal AWGN](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/55cf9292550346f57b9798bd/html5/thumbnails/40.jpg)
DECISOR M-ario EN ESPACIO MULTIDIMENSIONAL
COTA SUPERIOR:
• Teorema: La probabilidad de error en un canalAWGN usando un detector ML viene acotada porla siguiente expresión:
• Donde:dmin es la distancia mínima entre dos símboloscualesquiera de la constelación.
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DECISOR M-ario EN ESPACIO MULTIDIMENSIONAL
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
![Page 42: 3.3 Canal AWGN](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/55cf9292550346f57b9798bd/html5/thumbnails/42.jpg)
DECISOR M-ario EN ESPACIO MULTIDIMENSIONAL
28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.
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DECISOR M-ario EN ESPACIO MULTIDIMENSIONAL
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DECISOR M-ario EN ESPACIO MULTIDIMENSIONAL
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