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Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 1/33

Álgebra LinealMa1010

Propiedades de los DeterminantesDepartamento de Matemáticas

Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo

Propiedades

En esta sección se hace una lista de laspropiedades más importantes de losdeterminantes. Para hacer una ilustración de lasmismas, ejemplificaremos con una matriz 3× 3pero aplican para matrices de cualquier orden.

1. Para cualquier matriz A, A y su transpuestatienen el mismo determinante:

|AT | = |A|

1. Para cualquier matriz A, A y su transpuestatienen el mismo determinante:

|AT | = |A|

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de susrenglones (o columnas) por una constantedistinta de cero, entonces |B| = k |A|.

a1 a2 a3

kb1 kb2 kb3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

kb1 kb2 kb3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a1 a2 ka3

b1 b2 kb3

c1 c2 kc3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

3. Si B se obtiene de A intercambiando dosrenglones (o columnas) cualesquiera|B| = −|A|.

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

b1 b2 b3

a1 a2 a3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

b1 b2 b3

a1 a2 a3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a3 a2 a1

b3 b2 b1

c3 c2 c1

4. Si B se obtiene de A sumando un múltiplo deun renglón (o columna) a otro renglón (ocolumna), entonces |B| = |A|.

a1 a2 a3

ka1 + b1 ka2 + b2 ka3 + b3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

ka1 + b1 ka2 + b2 ka3 + b3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a1 a2 ka2 + a3

b1 b2 kb2 + b3

c1 c2 kc2 + c3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

5. Si la matriz A es triangular (superior o inferior),su determinante es el producto de loselementos de la diagonal principal.

a11 .. ..

0 a22 ..

0 0 a33

= a11 a22 a33

6. Si A tiene un renglón (o columna) de ceros,entonces |A| = 0.

a1 a2 a3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

c1 c2 c3

a1 a2 0

b1 b2 0

c1 c2 0

7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que soniguales, entonces |A| = 0.

a1 a2 a3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

c1 c2 c3

a1 a2 a1

b1 b2 b1

c1 c2 c1

8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que sonmúltiplos entre sí, entonces |A| = 0.

a1 a2 a3

ka1 ka2 ka3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

ka1 ka2 ka3

c1 c2 c3

a1 a2 ka1

b1 b2 kb1

c1 c2 kc1

9. Si A es cualquier matriz de n× n y k escualquier escalar, entonces

|kA| = kn |A|

10. El determinante de un producto de matrices esel producto de los determinantes de losfactores.

|AB| = |A| |B|

|A1 A2 · · ·Am| = |A1| |A2| · · · |A3|

Teorema

Si A es invertible, entonces

|A−1| =1

Teorema

Si A es invertible, entonces

|A−1| =1

Demostraci onComo AA

−1 = I, tomando determinantes yaprovechando que el determinante de un productoes el producto de los determinantes se tiene

|A| ·∣

∣A−1∣

∣ = 1

de donde |A−1| = 1/ |A| �

Ejemplo

Obtenga el determinante de cada matriz:

1. A =

6 −5 −1

−2 −2 4

2. B =

−6 −6 6

3. C =

−6 1 6

5 5 −1

−10 −10 2

4. D =

−2 6 6

0 2 −4

0 0 −3

Ejemplo

Obtenga el determinante de cada matriz:

1. A =

6 −5 −1

−2 −2 4

2. B =

−6 −6 6

3. C =

−6 1 6

5 5 −1

−10 −10 2

4. D =

−2 6 6

0 2 −4

0 0 −3

Respuesta:■ |A| = 0, pues tiene un renglón de ceros.

■ |B| = 0, pues tiene una columna repetida (la primera y la segunda).

■ |C| = 0, pues un renglón es un múltiplo de otro (el 3 es -2 por el 2).

■ |D| = (−2)(2)(−3) = 12, pues es una matriz triangular.

Ejemplo

Si A y B son matrices 2× 2 tales que |A| = 4 y |B| = −1, calculelos determinantes de las matrices:1. BA

3. ABT

4. ATB

5. ATBA

6. −5ARespuesta:

Ejemplo

Si A y B son matrices 2× 2 tales que |A| = 4 y |B| = −1, calculelos determinantes de las matrices:1. BA

3. ABT

4. ATB

5. ATBA

6. −5ARespuesta:1) |BA| = |B| · |A| = (−1)(4) = −4,2) |AB| = |A| · |B| = −4,3) |AB

T | = |A| · |BT | = |A| · |B| = (4)(−1) = −4

4) |ATB| = |AT | · |B| = |A| · |B| = −4

5) |ATBA

−1| = |AT | · |B| · |A−1| = (4)(−1)(1/4) = −1

6) | − 5A| = (−5)2 · |A| = (25)(4) = 100 �

La adjunta de una matriz cuadrada

Sea A = [aij] una matriz n× n y sea Cij elcofactor de aij. A la matriz n× n cuyo elemento(i, j) es el cofactor Cij se le llama la matriz decofactores de A. A la transpuesta de la matriz decofactores de A se le llama la adjunta de A y se lesimboliza por adj(A):

adj(A) =

C11 C12 · · · C1n

C21 C22 · · · C2n

......

. . ....

Cn1 Cn2 · · · Cnn

Ejemplo

Determine la matriz adjunta de la matriz

2 0 −1

1 −2 1

−3 1 −3

Ejemplo

Determine la matriz adjunta de la matriz

2 0 −1

1 −2 1

−3 1 −3

Soluci on

Calculemos todos los cofactores posibles:

C11 = (−1)1+1

−2 1

1 −3

= 5, C12 = (−1)1+2

−3 −3

C13 = (−1)1+3

1 −2

−3 1

= −5, C21 = (−1)2+1

0 −1

1 −3

= −1

C22 = (−1)2+2

2 −1

−3 −3

= −9, C23 = (−1)2+3

−3 1

= −2

C31 = (−1)3+1

0 −1

−2 1

= −2, C32 = (−1)3+2

2 −1

= −3

C33 = (−1)3+3

1 −2

= −4

C22 = (−1)2+2

2 −1

−3 −3

= −9, C23 = (−1)2+3

−3 1

= −2

C31 = (−1)3+1

0 −1

−2 1

= −2, C32 = (−1)3+2

2 −1

= −3

C33 = (−1)3+3

1 −2

= −4

Por tanto

adj(A) =

5 0 −5

−1 −9 −2

−2 −3 −4

5 −1 −2

0 −9 −3

−5 −2 −4

Resultado clave 1

Teorema

Sea A una matriz n× n, entonces:

A · adj(A) = |A| In

Resultado clave 1

Teorema

Sea A una matriz n× n, entonces:

A · adj(A) = |A| In

Demostraci on

Considere el producto B = A · adj(A). El elemento (i, j) de B es:

bij = (renglón i de A) · (columna j de adj(A))

= [ai1 ai2 · · · ain]

= ai1Cj1 + ai2Cj2 + · · ·+ ainCjn

Existen dos casos sobre i y j:■ i = j: en este caso bij coincide con la expansión de |A| en el

renglón i.

renglón i.■ i 6= j: en este caso bij coincide con la expansión en el renglón j

de una matriz donde el renglón i de A ha sido reemplazado porrenglón j. Es decir, el determinante de una matriz que tiene unrenglón repetido. Por tanto, tal determinante debe ser cero y asípara i 6= j se tiene bij = 0.

Por tanto,

|A| si i = j

0 si i 6= j

Por tanto,

|A| si i = j

0 si i 6= j

A · adj(A) = |A| In �

El determinante: medida de invertibilidad

Teorema

Una matriz A es invertible si y sólo si |A| 6= 0.

El determinante: medida de invertibilidad

Teorema

Una matriz A es invertible si y sólo si |A| 6= 0.

Demostraci on

■ Si |A| 6= 0, por el teorema anterior A · adj(A) = |A| In. Haciendoálgebra con la expresión tenemos:

|A|adj(A)

de donde se deduce que A es invertible y que A−1 = 1

|A|adj(A).

■ Si A es invertible, entonces existe A−1 tal que AA

−1 = I.Tomando determinantes se tiene |A| · |A−1| = |I| = 1. Por tanto,|A| no puede ser cero �

Determinate y la unicidad de un sistema

Teorema

El sistema n× n consistente Ax = b: tieneinfinitas soluciones si y sólo si |A| = 0.

Teorema

El sistema n× n consistente Ax = b: tieneinfinitas soluciones si y sólo si |A| = 0.En particular: el sistema homogéneocuadrado Ax = 0 tiene una solución distintade 0 si y sólo si |A| = 0.

Teorema

El sistema n× n consistente Ax = b: tieneinfinitas soluciones si y sólo si |A| = 0.En particular: el sistema homogéneocuadrado Ax = 0 tiene una solución distintade 0 si y sólo si |A| = 0.

Demostraci onAx = b tiene infinitas soluciones ssi las columnasde A forman un conjunto linealmente dependientessi al aplicar rref a A queda al menos una variablelibre ssi al aplicar rref a A quedan menos de npivotes ssi A no es invertible ssi |A| = 0 �

Determinantes y dependencia lineal

Teorema

Las columnas de una matriz n× n A formanun conjunto linealmente dependiente si ysólo si |A| = 0. En particular, un conjunto den vectores en R

n es linealmente dependientesi y sólo si al formar con ellos una matriz y alobtener el determinante de esta se obtienecero.

Método práctico de cálculo

En la práctica para calcular el determinante de unamatriz se utiliza variante del el método deGauss-Jordan ( qué curioso,¿verdad?) La idea sebasa en el siguiente hecho: Si se aplica unaoperación elemental a una matriz A:

Aop−→ B

el determinante de A cambia de la siguientemanera:

1) Si Op es del tipo Ri ↔ Rj:

|A| = −|B|

1) Si Op es del tipo Ri ↔ Rj:

|A| = −|B|

Recuerde la regla: Un cambio de renglonescambia el signo del determinante .

2) Si Op es del tipo Ri ← cRi entonces

|A| =1

3) Si Op es del tipo Ri ← Ri + cRj entonces

det(A) = det(B)

3) Si Op es del tipo Ri ← Ri + cRj entonces

det(A) = det(B)

Recuerde la regla: Las operaciones deeliminación no cambian el determinante .

El método consiste en aplicar a la matriz sólo lasoperaciones de intercambio y eliminación paraconvertir la matriz original en una matrizescalonada.

El método consiste en aplicar a la matriz sólo lasoperaciones de intercambio y eliminación paraconvertir la matriz original en una matrizescalonada. El determinante de la última matrizserá simplemente el producto de los elementos dela diagonal principal.

El método consiste en aplicar a la matriz sólo lasoperaciones de intercambio y eliminación paraconvertir la matriz original en una matrizescalonada. El determinante de la última matrizserá simplemente el producto de los elementos dela diagonal principal. Cada cambio de renglónimplicará un cambio en el signo.

Ejemplo del método práctico

Ejemplo

Obtenga el determinante de la matriz

−5 −13 −12

SoluciónApliquemos el algoritmo de Eliminación Gaussiana:

A0 = A =

−5 −13 −12

R1↔R2−−−−→ A1 =

−5 −13 −12

SoluciónApliquemos el algoritmo de Eliminación Gaussiana:

A0 = A =

−5 −13 −12

R1↔R2−−−−→ A1 =

−5 −13 −12

Así |A| = − |A1|.

Continuando con el algoritmo de Gauss:

−5 −13 −12

R3←R3+5R1−−−−−−−−→ A2 =

0 −3 3

Continuando con el algoritmo de Gauss:

−5 −13 −12

R3←R3+5R1−−−−−−−−→ A2 =

0 −3 3

Así |A| = − |A1| = − |A2|.

Asimismo:

0 −3 3

R2↔R3−−−−→ A3 =

0 −3 3

Asimismo:

0 −3 3

R2↔R3−−−−→ A3 =

0 −3 3

Así |A| = − |A2| = − (−1) |A3| = |A3|.

Asimismo:

0 −3 3

R2↔R3−−−−→ A3 =

0 −3 3

Así |A| = − |A2| = − (−1) |A3| = |A3|. Como

|A3| =

0 −3 3

= (1) (−3) (4) = −12

Asimismo:

0 −3 3

R2↔R3−−−−→ A3 =

0 −3 3

Así |A| = − |A2| = − (−1) |A3| = |A3|. Como

|A3| =

0 −3 3

= (1) (−3) (4) = −12

tenemos |A| = −12 �

Ejemplo

Calcule |A|, si A con las operaciones:

1. R1 ↔ R4(intercambio)

2. R1 ← −6R1(escalamiento)

3. R3 ← R3 − 2R1(eliminación)

se convierte en la matriz escalonada:

5 5 −4 −5

0 −5 4 −5

0 0 3 4

0 0 0 −2

Ejemplo

Calcule |A|, si A con las operaciones:

2. R1 ← −6R1(escalamiento)

se convierte en la matriz escalonada:

5 5 −4 −5

0 −5 4 −5

0 0 3 4

0 0 0 −2

Soluci on Se tiene:

|A| = (−1) ·

· (1) · (−1) · (1) · |B| = −25�

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