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Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 1/65

Álgebra LinealMa1010

Núcleo e Imagen de una Transformación LinealDepartamento de Matemáticas

ITESM

NucleoTecnologıa yNucleoInyectividadRangoNotaSuprayectividadResultado 1Nulidad y RangoResultado 2Ker y R contra SELEjemplo clave


Núcleo de una transformación lineal

Sea T : V → W una transformación lineal.




Sea T : V → W una transformación lineal.El núcleo T es el subconjunto formado portodos los vectores en V que se mapean acero en W .




Sea T : V → W una transformación lineal.El núcleo T es el subconjunto formado portodos los vectores en V que se mapean acero en W .

Ker(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0 ∈ W}



Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen un vector en el núcleo de latransformación de R3 en R3 definida como

T

x

y

z

=

−2x+ 3 z

−23x− 15 y − 18 z

−5x− 3 y − 3 z

dentro de las opciones:

1. v1 = (0, 0, 0)′

2. v2 = (12,−28, 8)′

3. v3 = (1,−2, 1)′

4. v4 = (3,−7, 2)′

5. v5 = (2,−4,−4)′

6. v6 = (9,−18,−15)′



Soluci on

Antes de pasar a la verificación, es conveniente observar que esposible encontrar una matriz A tal que T (x) = A · x. Es decir,aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una ciertamatriz A al vector x. Empecemos con la dimensión de A: como A

se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el número decolumnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es unvector de R3, entonces el número de renglones de A es 3. Sirequerimos que

−2x+ 3 z

−23x− 15 y − 18 z

−5x− 3 y − 3 z

=

x

y

z



No es difícil ver

−2x+ 3 z

−23x− 15 y − 18 z

−5x− 3 y − 3 z

=

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

x

y

z

es decir que

A =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3


El vector v1 está en el núcleo de T debido a que

T (v1) = Av1 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

0

0

0

=

0

0

0

= 0



T (v1) = Av1 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

0

0

0

=

0

0

0

= 0


T (v2) = Av2 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

12

−28

8

=

0

0

0

= 0



T (v1) = Av1 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

0

0

0

=

0

0

0

= 0


T (v2) = Av2 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

12

−28

8

=

0

0

0

= 0

El vector v3 no está en el núcleo de T debido a que

T (v3) = Av3 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

1

−2

1

=

1

−11

−2

6= 0




T (v4) = Av4 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

3

−7

2

=

0

0

0

= 0




T (v4) = Av4 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

3

−7

2

=

0

0

0

= 0


T (v5) = Av5 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

2

−4

−4

=

−16

86

14

6= 0




T (v4) = Av4 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

3

−7

2

=

0

0

0

= 0


T (v5) = Av5 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

2

−4

−4

=

−16

86

14

6= 0


T (v6) = Av6 =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

·

9

−18

−15

=

−63

−333

−54

6= 0�



Ejemplo

Determine el núcleo de la transformación de R3 enR3 definida como

T

x

y

z

=

−2 x+ 3 z

−23 x− 15 y − 18 z

−5 x− 3 y − 3 z



Ejemplo

Determine el núcleo de la transformación de R3 enR3 definida como

T

x

y

z

=

−2 x+ 3 z

−23 x− 15 y − 18 z

−5 x− 3 y − 3 z

Soluci onUn vector v = (a, b, c)′ pertenece al núcleo de T siT (v) = 0, es decir si:

T ((a, b, c)′) =

−2 a+ 3 c

−23 a− 15 b− 18 c

−5 a− 3 b− 3 c

= 0( en R3)



Por lo tanto, para pertenecer al núcleo debecumplirse

−2 a+ 3 c = 0

−23 a− 15 b− 18 c = 0

−5 a− 3 b− 3 c = 0




−2 a+ 3 c = 0

−23 a− 15 b− 18 c = 0

−5 a− 3 b− 3 c = 0

Reduciendo tenemos:

a− 3/2 c = 0

b+ 7/2 c = 0




−2 a+ 3 c = 0

−23 a− 15 b− 18 c = 0

−5 a− 3 b− 3 c = 0

Reduciendo tenemos:

a− 3/2 c = 0

b+ 7/2 c = 0

Es decir

a

b

c

=

3/2 c

−7/2 c

c

= c

3/2

−7/2

1



Observe que el núcleo de T en este caso es unespacio generado:

Ker(T ) = Gen

3/2

−7/2

1

Además, la dimensión de Ker(T ) es 1, lo cualcoincide con el número de columnas sin pivote enla reducida de A (La matriz que define a latransformación T ). Geométricamente en R3 estegenerado corresponde a la línea que pasa por elorigen y con vector de dirección (3/2,−7/2, 1)′ quees:

x

3/2=

y

−7/2=

z

1�



Ejemplo

Determine el núcleo de la transformación de R3 en R2 definidacomo

T

x

y

z

=

x+ y + z

2x+ 2 y + 2 z



Ejemplo

Determine el núcleo de la transformación de R3 en R2 definidacomo

T

x

y

z

=

x+ y + z

2x+ 2 y + 2 z

Soluci on

Un vector v = (a, b, c)′ pertenece al núcleo de T si T (v) = 0, esdecir si:

T (v) =

a+ b+ c

2 a+ 2 b+ 2 c

=

1 1 1

2 2 2

·

a

b

c

= 0 ( en R2)




a+ b+ c = 0

2 a+ 2 b+ 2 c = 0




a+ b+ c = 0

2 a+ 2 b+ 2 c = 0

Reduciendo tenemos:

a+ b+ c = 0




a+ b+ c = 0

2 a+ 2 b+ 2 c = 0

Reduciendo tenemos:

a+ b+ c = 0

Es decir

a

b

c

=

−b− c

b

c

= b

−1

1

0

+ c

−1

0

1



Es decir, que el núcleo de T en este caso es unespacio generado:

Ker(T ) = Gen

−1

1

0

,

−1

0

1

Además, la dimensión de Ker(T ) es 2, lo cualcorresponde al número de columnas sin pivote dela reducida de la matriz que define a T .Geométricamente, en R3 este generadocorresponde a un plano que pasa por el origen ycon vector normal n = u1 × u2 = (1, 1, 1)′ que es:

1 x+ 1 y + 1 z = x+ y + z = 0�



Ejemplo

Determine el núcleo de T : R3→R2.

T =

x

y

z

=

x− z

y + z



Ejemplo


T =

x

y

z

=

x− z

y + z

Soluci on

Sabemos que Ker(T ) es el conjunto de todos los vectoresv =< x, y, z >′ de R3 tal que T (v) = 0 (en R2):

T (v) =

x− z

y + z

=

1 0 −1

0 1 1

·

x

y

z

=

0

0



Para resolver el sistema

1 0 −1 0

0 1 1 0

→

1 0 −1 0

0 1 1 0

Cuya solución general es

x

y

z

= z

1

−1

1

De ahí que,

Ker(T ) =

z

−z

z

, z ∈ R

= Gen

1

−1

1

Vemos que la dimensión de Ker(T ) es 1, lo cual corresponde alnúmero de columnas sin pivote en la matriz que define a T .Geométricamente, en R3 esto corresonde a la recta

x

1=

y

−1=

z

1�



Ejemplo


T =

x

y

z

=

x− z

y + z

x− y



Ejemplo


T =

x

y

z

=

x− z

y + z

x− y

Soluci on

Sabemos que Ker(T ) es el conjunto de todos los vectoresv =< x, y, z >′ de R3 tal que T (v) = 0 (en R3):

T (v) =

x− z

y + z

x− y

=

1 0 −1

0 1 1

1 −1 0

·

x

y

z

=

0

0

0



Para resolver el sistema

1 0 −1 0

0 1 1 0

1 −1 0 0

→

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

El sistema tiene solución única y es 0. Por tanto,

Ker(T ) = {0}



Ejemplo

Indique la opción que describe adecuadamente al conjunto

B ={

< 0, 0, 3, 2 >′, < 0, 1, 0, 0 >′}

respecto al núcleo de la transformación de R4 en R4 definida como

T

x

y

z

w

=

3w − 2 z

3w − 2 z

12w − 8 z

15w − 10 z

=

0 0 −2 3

0 0 −2 3

0 0 −8 12

0 0 −10 15

x

y

z

w

A Es base para el núcleo.

B Está en el núcleo; pero no es LI ni no lo genera.

C Genera al núcleo pero no es LI.

D Está en el núcleo; es LI pero no lo genera.

E No es comparable con el núcleo.



Soluci on

Determinemos el núcleo de T :

0 0 −2 3 0

0 0 −2 3 0

0 0 −8 12 0

0 0 −10 15 0

rref−−→

0 0 1 −3/2 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Por lo tanto, los vectores del núcleo tienen la forma

x

y

z

w

= x

1

0

0

0

+ y

0

1

0

0

+ w

0

0

3/2

1

Es decir,

Ker(T ) = Gen

1

0

0

0

,

0

1

0

0

0

0

3/2

1



Comparemos ahora Gen{B} con Ker(T ):a) ¿Gen{B} ⊆ Ker(T )?

1 0 0 0 0

0 1 0 0 1

0 0 3/2 3 0

0 0 1 2 0

rref−−→

1 0 0 0 0

0 1 0 0 1

0 0 1 2 0

0 0 0 0 0

Concluimos que sí:Gen{B} ⊆ Ker(T ).b)¿Ker(T ) ⊆ Gen{B}?

0 0 1 0 0

0 1 0 1 0

3 0 0 0 3/2

2 0 0 0 1

rref−−→

1 0 0 0 1/2

0 1 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

Concluimos que no:Ker(T ) 6⊆ Gen{B}. De estos cálculos (los que

llevan B primero) también se deduce que: c) B es linealmente

independiente.



Por lo tanto, la opción correcta es D:■ está contenido en el núcleo (a)

■ no genera al núcleo (b); y

■ B es li (c) �



El núcleo de una matriz y la tecnología

Prácticamente la totalidad de los sistemascomputacionales que manejan matrices vienenacompañados de funciones para manejar el kernelde una matriz. En el caso de Maple la instrucciónnullspace(A) entrega una base para el núcleo dela transformación lineal T (X) = AX.Desafortunadamente, para la TI Voyage 200 noaparece un comando similar.



Inyectividad de transformaciones lineales

Una pregunta importante sobre funciones es si una función dada esinyectiva, o también dicho 1 a 1. Recuerde que una función esinyectiva si no hay dos elementos diferentes del dominio que tienenla misma evaluación. Es decir, es f es inyectiva si y sólo sif(x1) = f(x2) implica que x1 = x2. Este concepto en las funcioneslineales en espacios vectoriales tiene un comportamiento simple:f(x1 − x2) = 0 implica x1 − x2 = 0. Es decir:Teorema

Sea T : V → W una transformación lineal. T es inyectiva siy sólo si Ker(T ) = {0}.

Note que en los ejemplos anteriores, sólo la última función fue

inyectiva.



Notas

En resumen:■ Para ver si un vector está en el núcleo de una transformación

lineal se debe aplicar la transformación. El vector x está en elnúcleo de T si y sólo si T (x) = 0.

■ Determinar el núcleo de una transformación lineal equivale aencontrar la solución general de un SEL homogéneo.

■ Para determinar el núcleo de una transformación, debe encontrarla matriz que define a la transformación lineal y resolver [A|0].Hay dos alternativas: el sistema tiene sólución única o el sistematienen infinitas soluciones. En el caso de infinitas soluciones, lafórmula general muestra al núcleo como un espacio generadodonde el número columnas sin pivote es la dimensión del núcleocomo subespacio. En caso de tener solución única, el núcleo deT es el conjunto formado por el vector cero.

■ Para determinar si una transformación lineal es inyectiva, todaslas columnas de la reducida de la matriz que define a latransformación lineal deben de tener pivote.



El Rango de una transformación

Sea T : V → W una transformación lineal. Elrango o imagen de T es el conjunto de todas lasimágenes de T en W.

R(T ) = {w ∈ W |w = T (v) para algún v ∈ V }

Es decir, el rango es el subconjunto de W formadopor aquellos vectores que provienen de algúnvector de V .



Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen un vector en laimagen de la transformación de R3 en R3 definidacomo

T

x

y

z

=

2 x+ 5 y + z

8 x+ 12 y + 6 z

−4 x− 2 y − 4 z

dentro de las opciones:

1. v1 = (0, 0, 0)′

2. v2 = (2, 8,−4)′

3. v3 = (−23,−52, 6)′

4. v4 = (5, 12,−2)′

5. v5 = (−3, 1,−1)′



Soluci onEl vector v1 = (0, 0, 0)′ de R3 está en la imagen deT si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal queT ((a, b, c)′) = v1. Es decir, si es consistente elsistema

2 a+ 5 b+ c = 0

8 a+ 12 b+ 6 c = 0

−4 a− 2 b− 4 c = 0



Soluci onEl vector v1 = (0, 0, 0)′ de R3 está en la imagen deT si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal queT ((a, b, c)′) = v1. Es decir, si es consistente elsistema

2 a+ 5 b+ c = 0

8 a+ 12 b+ 6 c = 0

−4 a− 2 b− 4 c = 0

Pero este sistema por ser homogéno esconsistente. Por tanto el vector v1 sı está en laimagen de T .



El vector v2 = (2, 8,−4)′ de R3 está en la imagende T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal queT ((a, b, c)′) = v2. Es decir, si es consistente elsistema:

2 a+ 5 b+ c = 2

8 a+ 12 b+ 6 c = 8

−4 a− 2 b− 4 c = −4




2 a+ 5 b+ c = 2

8 a+ 12 b+ 6 c = 8

−4 a− 2 b− 4 c = −4

Al reducir la matriz aumentada se obtiene:

1 0 9/8 1

0 1 −1/4 0

0 0 0 0




2 a+ 5 b+ c = 2

8 a+ 12 b+ 6 c = 8

−4 a− 2 b− 4 c = −4


1 0 9/8 1

0 1 −1/4 0

0 0 0 0

por ser consistente el sistema, el vector v2 sı estáen la imagen de T .



El vector v3 = (−23,−52, 6)′ de R3 está en laimagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 talque T ((a, b, c)′) = v3. Es decir, si es consistente elsistema:

2 a+ 5 b+ c = −23

8 a+ 12 b+ 6 c = −52

−4 a− 2 b− 4 c = 6




2 a+ 5 b+ c = −23

8 a+ 12 b+ 6 c = −52

−4 a− 2 b− 4 c = 6


1 0 9/8 1

0 1 −1/4 −5

0 0 0 0



El vector v4 = (5, 12,−2)′ de R3 está en la imagende T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal queT ((a, b, c)′) = v4 es decir si es consistente elsistema:

2 a+ 5 b+ c = 5

8 a+ 12 b+ 6 c = 12

−4 a− 2 b− 4 c = −2




2 a+ 5 b+ c = 5

8 a+ 12 b+ 6 c = 12

−4 a− 2 b− 4 c = −2


1 0 9/8 0

0 1 −1/4 1

0 0 0 0



El vector v5 = (−3, 1,−1)′ de R3 de está en laimagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 talque T ((a, b, c)′) = v5 es decir si es consistente elsistema:

2 a+ 5 b+ c = −3

8 a+ 12 b+ 6 c = 1

−4 a− 2 b− 4 c = −1




2 a+ 5 b+ c = −3

8 a+ 12 b+ 6 c = 1

−4 a− 2 b− 4 c = −1


1 0 9/8 0

0 1 −1/4 0

0 0 0 1




2 a+ 5 b+ c = −3

8 a+ 12 b+ 6 c = 1

−4 a− 2 b− 4 c = −1


1 0 9/8 0

0 1 −1/4 0

0 0 0 1

por ser inconsistente el sistema, el vector v5 noestá en la imagen de T �



Ejemplo

Determine la imagen de la transformación lineal deR3 en R3 definida como

T

x

y

z

=

2 x+ 5 y + z

8 x+ 12 y + 6 z

−4 x− 2 y − 4 z



Soluci onEl vector v1 = (a, b, c)′ de R3 de está en la imagende T si existe un vector (x, y, z)′ en R3 tal queT ((x, y, z)′) = v′

1es decir si es consistente el

sistema2 x+ 5 y + z = a

8 x+ 12 y + 6 z = b

−4 x− 2 y − 4 z = c

Al formar la matriz aumentada y escalonar seobtiene:

2 5 1 a

0 −8 2 −4 a+ b

0 0 0 −2 a+ b+ c



Por tanto, (a, b, c)′ está en la imagen de T ssi el sistema anterior esconsistente ssi −2 a+ b+ c = 0. Esto ocurrirá si y sólo sia = 1/2 b+ 1/2 c. Es decir, (a, b, c)′ está en la imagen de T si y sólosi

a

b

c

=

1/2 b+ 1/2 c

b

c

= b

1/2

1

0

+ c

1/2

0

1

Por tanto,

R(T ) = Gen

1/2

1

0

,

1/2

0

1

Geométricamente, R(T ) es el plano 2 a− b− c = 0 (o

2x− y − z = 0) en R3�



Ejemplo

Determine la imagen de la transformación lineal deR3 en R4 definida como

T

x

y

z

=

x+ y + 2 z

x− y

−2 x+ y − z

x− y



Soluci on

El vector v = (a, b, c, d)′ de R4 está en la imagen de T si existe unvector (x, y, z)′ en R3 tal que T ((x, y, z)′) = v′. Es decir, si esconsistente el sistema

x+ y + 2 z = a

x− y = b

−2x+ y − z = c

x− y = c

ó

1 1 2 a

1 −1 0 b

−2 1 −1 c

1 −1 0 d

En este ejemplo ilustraremos el uso de una técnica más eficienteque la usada en el problema anterior. La idea es que manejaremossólo los coeficientes de a, b, c y d. De esta manera una expresiónen estas variables la podemos representar por medio de un vectorrenglón con cuatro componentes. Así

2 a+ 3 b− c+ 8 d se representa por (2, 3,−1, 8)

a se representa por (1, 0, 0, 0)

3 a− 3 b− 3 d se representa por (3,−3, 0,−3)

c se representa por (0, 0, 1, 0)



Con esta idea, el sistema cuya matriz nos interesa revisar nosqueda:

1 1 2 1 0 0 0

1 −1 0 0 1 0 0

−2 1 −1 0 0 1 0

1 −1 0 0 0 0 1

→

1 0 1 0 0 −1 −1

0 1 1 0 0 −1 −2

0 0 0 1 0 2 3

0 0 0 0 1 0 −1

Por tanto, la matriz aumentada representa un sistema consistente siy sólo si

a = −2 c− 3 d

b = d



Resumiendo, (a, b, c, d)′ está en la imagen de T si y sólo si

a

b

c

d

= c

−2

0

1

0

+ d

−3

1

0

1

para c y d escalares. Por tanto

R(T ) = Gen

−2

0

1

0

,

−3

1

0

1

�



NotaObserve que tanto Ker(T ) como R(T ) de unatransformación lineal T son conjuntos no vacíos




T (0V ) = 0W

implica que




T (0V ) = 0W

implica que■ 0V ∈ Ker(T ) y




T (0V ) = 0W

implica que■ 0V ∈ Ker(T ) y■ 0W ∈ R(T ).



Suprayectividad de transformaciones linealesUna pregunta importante sobre funciones es si una función dada essuprayectiva, o también dicho sobre. Recuerde que una función essuprayectiva si para todo elemento en el codominio hay unelemento en el dominio que bajo la función se transforma en él. Esdecir, es f es suprayectiva si y sólo si f(x) = a es consistente paratodo a en el codominio de f . en espacios vectoriales tiene uncomportamiento simple:Teorema

Sea T : V → W una transformación lineal y

B = {v1,v2, . . . ,vm}

un conjunto generador para V . T es suprayectiva si y sólo siGen(T (v1), T (v2), . . . , T (vm)) = W .

No que lo anterior implica que:

Si T es suprayectiva, entonces dim(V ) ≥ dim(W ).

En particular, si por ejemplo T : R3 → R4 es lineal, entonces T no

puede ser sobre!



Notas

En resumen:■ Para ver si un vector está en la imagen de una transformación

lineal se debe ver si un sistema es consistente.

■ Para determinar el rango de una transformación, debe encontrarla matriz que define a la transformación lineal y reducir [A|I]. Sitodo renglón tiene pivote la función es suprayectiva. Es decir,todo vector del codominio es imagen de un vector en el dominio.Si hay renglones sin pivote en la parte izquierda se debe forzar laconsistencia igualando a cero los elementos en la parte derechade la reducida. El rango entonces queda como un espaciogenerado, el cual es precisamente el espacio generado por lascolumnas. Su dimensión será el número de pivotes en lareducida de la matriz A.

■ Para determinar si una transformación lineal es suprayectiva,todos los renglones en la reducida de A deben de tener pivotes.



Núcleo e Imagen son subespacios

La propiedad fundamental del núcleo y delcontradominio es que ambos son espaciosvectoriales:




La propiedad fundamental del núcleo y delcontradominio es que ambos son espaciosvectoriales:Teorema





La propiedad fundamental del núcleo y delcontradominio es que ambos son espaciosvectoriales:Teorema

Sea T : V → W una transformación lineal.Entonces■ Ker(T ) es un subespacio de V .■ R(T ) es un subespacio de W .



Nulidad y Rango de una Transformación

Debido al resultado anterior el núcleo y la imagende una transformación lineal son espaciosvectoriales.




Debido al resultado anterior el núcleo y la imagende una transformación lineal son espaciosvectoriales. Como espacios vectoriales, ellostienen una dimensión asociada.




Debido al resultado anterior el núcleo y la imagende una transformación lineal son espaciosvectoriales. Como espacios vectoriales, ellostienen una dimensión asociada. Estasdimensiones tienen nombre específicos:




Debido al resultado anterior el núcleo y la imagende una transformación lineal son espaciosvectoriales. Como espacios vectoriales, ellostienen una dimensión asociada. Estasdimensiones tienen nombre específicos:Sea T : V → W una transformación lineal.■ La nulidad de T es la dimensión de Ker(T ).■ El rango de T es la dimensión de R(T ).



El siguiente resultado permite calcular fácilmentela nulidad y el rango de una transformaciónmatricial.



El siguiente resultado permite calcular fácilmentela nulidad y el rango de una transformaciónmatricial.Teorema





Sea T : V → W una transformación lineal.Suponga que T corresponde a latransformación matricial asociada a A.




Sea T : V → W una transformación lineal.Suponga que T corresponde a latransformación matricial asociada a A.Entonces:■ Ker(T ) = V(A) = Espacio nulo de A

■ R(T ) = C(A) = Espacio generado por lascolumnas de A

■ Nulidad(T ) = Nulidad(A) = Número decolumnas sin pivote en A reducida.

■ Rango(T ) = Rango(A) = Número decolumnas con pivote en A reducida.



Note que el resultado anterior indica que para cualquiertransformación lineal T : V → W ,

dim(V ) = dim(Ker(T )) + dim(R(T ))

dim(R(T )) ≤ dim(W )

Así por ejemplo:T : R4 → R3 lineal no puede ser inyectiva pues

4 = dim(Ker(T )) + dim(R(T )) ≤ dim(Ker(T )) + 3

por tanto, dim(Ker(T )) ≥ 1 probando que Ker(T )) 6= {0}.T : R4 → R8 lineal no puede ser sobre pues

4 = dim(Ker(T )) + dim(R(T ))

por tanto, dim(R(T )) ≤ 4 probando que R(T ) 6= R8



Ejemplo

Calcule las bases para el núcleo y la imagen ydetermine la nulidad y el rango de

T : R4 → R3, T ((x, y, z, w)′) = (x+ 3z, y − 2z, w)′



Ejemplo


T : R4 → R3, T ((x, y, z, w)′) = (x+ 3z, y − 2z, w)′

Soluci onDe acuerdo con el teorema previo, basta expresara T como transformación matricial y obtener lasbases para las columnas y el espacio nulo de sumatriz estándar A.



Ejemplo


T : R4 → R3, T ((x, y, z, w)′) = (x+ 3z, y − 2z, w)′

Soluci onDe acuerdo con el teorema previo, basta expresara T como transformación matricial y obtener lasbases para las columnas y el espacio nulo de sumatriz estándar A. A se expresa con

A =

1 0 3 0

0 1 −2 0

0 0 0 1



Como ya está en forma escalonada reducida poroperaciones de renglón, los vectores{(1, 0, 0)′, (0, 1, 0)′, (0, 0, 1)′} forman una base paraCol(A) = R(T ) = R3.



Como ya está en forma escalonada reducida poroperaciones de renglón, los vectores{(1, 0, 0)′, (0, 1, 0)′, (0, 0, 1)′} forman una base paraCol(A) = R(T ) = R3. Por otra parte,{(−3, 2, 1, 0)′} es una base para V (A) = Ker(T ).



Como ya está en forma escalonada reducida poroperaciones de renglón, los vectores{(1, 0, 0)′, (0, 1, 0)′, (0, 0, 1)′} forman una base paraCol(A) = R(T ) = R3. Por otra parte,{(−3, 2, 1, 0)′} es una base para V (A) = Ker(T ).De modo que el rango de T es 3 y la nulidad es 1.




Ker(T ) = {0} ⇔ Ax = 0 sólo tiene la solución trivial




Ker(T ) = {0} ⇔ Ax = 0 sólo tiene la solución trivial

y

R(T ) = Rm ⇔ las columnas de A generan a Rm�



Ejemplo

Resuelva la siguiente ecuación diferencial:

(−2 x− 1) y′(x) + 2 y(x) = 4 x2 + 4 x

pensando el lado izquierdo de la ecuación comouna transformación lineal de P2 en P3.



Soluci onDefinamos T de P2 en P3 por

T (p(x) = a x2 + b x+ c) = (−2 x− 1)p′(x) + 2 p(x)

= −2 a x2 − 2 a x− b+ 2 c



Soluci onDefinamos T de P2 en P3 por

T (p(x) = a x2 + b x+ c) = (−2 x− 1)p′(x) + 2 p(x)

= −2 a x2 − 2 a x− b+ 2 c

Viendo los polinomios como vectores tenemostenemos que la transformación anterior queda:

T

c

b

a

=

−b+ 2 c

−2 a

−2 a

0

=

2 −1 0

0 0 −2

0 0 −2

0 0 0

·

c

b

a



El problema de resolver la ED se transformaencontrar un p(x) que cumpla: T (p(x)) = 4 x2 + 4 x.Es decir, en encontrar (c, b, a)′ tal que

2 −1 0

0 0 −2

0 0 −2

0 0 0

·

c

b

a

=

0

4

4

0



El problema de resolver la ED se transformaencontrar un p(x) que cumpla: T (p(x)) = 4 x2 + 4 x.Es decir, en encontrar (c, b, a)′ tal que

2 −1 0

0 0 −2

0 0 −2

0 0 0

·

c

b

a

=

0

4

4

0

Formando la aumentada y reduciendo tenemos:

2 −1 0 0

0 0 −2 4

0 0 −2 4

0 0 0 0

→

1 −1/2 0 0

0 0 1 −2

0 0 0 0

0 0 0 0



Como el sistema es consistente, la primeraconclusión es que sı existe solución en P2.También vemos que hay infinitas soluciones lascuales podemos calcular:

c− 1/2b = 0

a = −2

→

c = 1/2b

b = b

a = −2

→

c

b

a

=

1/2b

b

−2




c− 1/2b = 0

a = −2

→

c = 1/2b

b = b

a = −2

→

c

b

a

=

1/2b

b

−2

Y separando vectores

c

b

a

=

0

0

−2

+ b

1/2

1

0




c− 1/2b = 0

a = −2

→

c = 1/2b

b = b

a = −2

→

c

b

a

=

1/2b

b

−2

Y separando vectores

c

b

a

=

0

0

−2

+ b

1/2

1

0

La solución general de la ED en P2 queda:

y(x) = −2 x2 + b (1/2 + x), b escalar libre�



SEL a través del kernel y el rango

Supongamos que estamos resolviendo el SEL Ax = b. Sidefinimos la transformación lineal TA(x) = Ax, entonces■ El sistema será consistente si y sólo si el vector b pertenece a la

imagen de T .

■ Si el SEL es consistente, entonces: el sistema tendrá soluciónúnica si y sólo si el núcleo de T se reduce al vector cero.

■ Si x1 y x2 son dos soluciones, entonces x1 − x2 pertenece alnúcleo de T . Por tanto: Si el sistema tiene soluciones infinitas,entonces la solución general tiene la forma

x = xp + c1 z1 + · · ·+ ck zk

donde xp es una solución particular y z1, . . . ,zk consituyen unconjunto generador para el núcleo.



Ejemplo clave

Ejemplo

Suponga que usted es maestro de álgebra lineal y le ha pedido asus alumnos que resuelvan el SEL:

1 2 1 1 1 1

−2 −4 2 10 1 −1

3 6 −3 −15 1 −1

−1 −2 1 5 0 0

1 2 1 1 −1 3

x1

x2

x3

x4

x5

x6

=

3

−7

13

−4

1

Analice las siguientes soluciones dadas por sus alumnos:



José dice que la solución general es:

x =

3

−1

1

0

0

0

+ c1 ·

2

1

−6

2

0

0

+ c2 ·

−5

1

2

−1

1

1

+ c3 ·

3

−1

−4

1

1

1

La solución particular de José es jp =< 3,−1, 1, 0, 0, 0 >′ y elgenerador de las soluciones al sistema homogéneo es:

jh =

2

1

−6

2

0

0

,

−5

1

2

−1

1

1

,

3

−1

−4

1

1

1


Revisemos sus respuestas:■ ¿Es jp solución al sistema original?

Por conveniencia hacemos: A · jp − b:

A · jp − b =

2

0

0

0

2

−

3

−7

13

−4

1

=

−1

7

−13

4

1

como no da el vector cero, concluimos que la solución particular dada por Joséno lo es.


■ ¿La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluciones al sistemahomogéneo asociado?Por conveniencia, con los vectores en jh formamos una matriz querepresentamos también por jh y realizamos el producto A · jh; como obtenemosuna matriz de ceros, concluimos que en la solución de José la fórmulaefectivamente da soluciones al sistema homogéneo. La pregunta que cabe ahoraes si acaso las da todas. Cuando aplicamos rref a A vemos que tiene 3columnas sin pivote, por tanto, la dimensión del espacio nulo de A es 3. Como alaplicar rref a la matriz jh tiene tres pivotes, concluimos que el conjunto jh eslinealmente independiente, está dentro del núcleo y tiene tres elementos; portanto, debe ser base para el núcleo. Por tanto, en la fórmula de José la parteasociada a la solución a la homogénea es adecuada.



María dice que la solución general es:

x =

7

0

−7

2

1

0

+ c1 ·

2

1

−6

2

0

0

+ c2 ·

−5

1

2

−1

1

1

+ c3 ·

12

−1

−10

4

−2

−2

La solución particular de María es mp =< 7, 0,−7, 2, 1, 0 >′ y elgenerador de las soluciones al sistema homogéneo es:

mh =

2

1

−6

2

0

,

−5

1

2

−1

1

,

12

−1

−10

4

−2


Revisemos sus respuestas:■ ¿Es mp solución al sistema original?

Por conveniencia hacemos: A ·mp − b: como sí da el vector cero, concluimosque la solución particular dada por María sí lo es.


■ ¿La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluciones al sistemahomogéneo asociado?Por conveniencia, con los vectores en mh formamos una matriz querepresentamos también por mh y realizamos el producto A ·mh; comoobtenemos una matriz de ceros, concluimos que en la solución de María lafórmula efectivamente da soluciones al sistema homogéneo. La pregunta quecabe ahora es si acaso las da todas. Cuando aplicamos rref a A vemos quetiene 3 columnas sin pivote, por tanto, la dimensión del espacio nulo de A es 3.Como al aplicar rref a la matriz mh tiene dos pivotes, concluimos que el conjuntomh es linealmente dependiente y está dentro del núcleo; por tanto, no puede serbase para el núcleo. Por tanto, en la fórmula de María la parte asociada a lasolución a la homogénea es incompleta.

■ Resumiendo; la fórmula de María no genera todas las soluciones al sistema.



Luis dice que la solución general es:

x =

−3

0

8

−3

1

0

+ c1 ·

2

1

−6

2

0

0

+ c2 ·

−5

1

2

−1

1

1

+ c3 ·

1

1

1

1

1

1

La solución particular de Luis es lp =< −3, 0, 8,−3, 1, 0 >′ y elgenerador de las soluciones al sistema homogéneo es:

lh =

2

1

−6

2

0

0

,

−5

1

2

−1

1

1

,

1

1

1

1

1

1


Revisemos sus respuestas:■ ¿Es lp solución al sistema original?

Por conveniencia hacemos: A · lp − b: como sí da el vector cero, concluimos quela solución particular dada por Luis sí lo es.


■ ¿La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluciones al sistemahomogéneo asociado?Por conveniencia, con los vectores en lh formamos una matriz querepresentamos también por lh y realizamos el producto A · lh;

A · lh =

0 0 7

0 0 6

0 0 −9

0 0 3

0 0 7

como obtenemos una matriz con dos primeras columnas de ceros y una terceraque no es de ceros, concluimos que en la solución de Luis la fórmula da algunassoluciones al sistema homogéneo (las que tienen c3 = 0) pero también da otrosvectores que no son solución (los que tienen c3 6= 0). Por tanto, la solución deLuis es parcialmente correcta y parcialmente incorrecta.



Carolina dice que la solución general es:

x =

−3

0

−1

0

1

0

+c1·

2

1

−6

2

0

0

+c2·

−5

1

2

−1

1

1

+c3·

3

−1

−4

1

1

1

+c4·

4

1

−4

2

−2

−2

La solución particular de Carolina es cp =< 3, 0,−1, 0, 1, 0 >′ y elgenerador de las soluciones al sistema homogéneo es:

ch =

2

1

−6

2

0

0

,

−5

1

2

−1

1

1

,

3

−1

4

1

1

1

,

4

1

−4

2

−2

−2


Revisemos sus respuestas:■ ¿Es cp solución al sistema original?

Por conveniencia hacemos: A · cp −b: como sí da el vector cero, concluimos quela solución particular dada por Carolina sí lo es.


■ ¿La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluciones al sistemahomogéneo asociado?Por conveniencia, con los vectores en ch formamos una matriz querepresentamos también por ch y realizamos el producto A · ch; obtenemos unamatriz con cuatro columnas de ceros. Esto nos indica que la fórmulacorrespondiente a sistema homogéneo entrega soluciones al sistemahomogéneo. Por otro lado, al aplicar rref a ch obtenemos tres pivotes y unacolumna sin pivote. Así el espacio generado en la fórmula de Carolinacorrespondiente a las soluciones a la homogénea tiene dimensión 3, lo queiguala la dimensión 3 previamente calculada. Esto nos lleva a concluir que segeneran todas las soluciones a la homogénea. Que se tenga una columna sinpivote indica que el vector que entró en tal columna es redundante en la solucióndada por Carolina.

■ Resumiendo; la fórmula de Carolina es correcta al generar todas las solucionesal sistema de ecuaciones, aunque el último vector puede omitirse sin pérdida.

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