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Líneas y Planos en el Espacio Álgebra Lineal - p. 1/34

Álgebra LinealMa1010

Líneas y Planos en el EspacioDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionEcuacion de laRectaEcuacion de unPlanoEcuacion Estandarde un Plano


Introducción

Los conjuntos solución a un sistema deecuaciones lineales cuando tienen soluciones infinitastienen una versión geométrica interesante yconocida.



Introducción

Los conjuntos solución a un sistema deecuaciones lineales cuando tienen soluciones infinitastienen una versión geométrica interesante yconocida. En el caso de sistemas con dosvariables, los conjuntos solución infinitos sonlíneas rectas.



Introducción

Los conjuntos solución a un sistema deecuaciones lineales cuando tienen soluciones infinitastienen una versión geométrica interesante yconocida. En el caso de sistemas con dosvariables, los conjuntos solución infinitos sonlíneas rectas. En el caso de sistemas con tresvariables, los conjuntos solución infinitos sonrectas o planos en el espacio.



Introducción

Los conjuntos solución a un sistema deecuaciones lineales cuando tienen soluciones infinitastienen una versión geométrica interesante yconocida. En el caso de sistemas con dosvariables, los conjuntos solución infinitos sonlíneas rectas. En el caso de sistemas con tresvariables, los conjuntos solución infinitos sonrectas o planos en el espacio. En esta secciónveremos las rectas y los planos en el espacio porsu relación que tienen con los sistemas deecuaciones lineales. Un objetivo secundario esagregarlos al conocimiento propio de las áreas deIngeniería.



Ecuación paramétrica de la recta

La ecuación paramétrica de la recta que pasa porel punto P (xo, yo, zo) y que es paralela al vector dedirección n =< a, b, c > es:

x = p + t n

donde t es el parámetro de la ecuación.



Ecuación paramétrica de la recta

La ecuación paramétrica de la recta que pasa porel punto P (xo, yo, zo) y que es paralela al vector dedirección n =< a, b, c > es:

x = p + t n

donde t es el parámetro de la ecuación. Estaecuación también puede escribirse en función desus componentes

x = xo + t a

y = yo + t b

z = zo + t c



000

5

10

NL

t*NP

5

P+t*N

Figura 1: Línea en el Espacio



Ejemplo

Determine la ecuación de la recta que pasa por elpunto P (1, 2,−3) y que tiene direcciónn =< 5, 7,−4 >.



Ejemplo

Determine la ecuación de la recta que pasa por elpunto P (1, 2,−3) y que tiene direcciónn =< 5, 7,−4 >.Soluci on

x =< x, y, z >=< 1, 2,−3 > +t < 5, 7,−4 >



Ejemplo

Determine la ecuación de la recta que pasa por elpunto P (1, 2,−3) y que tiene direcciónn =< 5, 7,−4 >.Soluci on

x =< x, y, z >=< 1, 2,−3 > +t < 5, 7,−4 >

De donde la ecuación paramétrica en función delas componentes queda:

x = 1 + t (5) = 1 + 5 t

y = 2 + t (7) = 2 + 7 t

z = −3 + t (−4) = −3− 4 t



Si intentamos despejar de cada una de lasigualdades anteriores el parámetro t obtenemos:

t =x− 1

5

t =y − 2

7

t =z + 3

−4

Como el valor de t es el mismo, obtenemos:

x− 1

5=

y − 2

7=

z + 3

−4



Ejemplo

Determine la recta que pasa por los puntosP (1, 2,−3) y Q(3, 2, 3).



Ejemplo

Determine la recta que pasa por los puntosP (1, 2,−3) y Q(3, 2, 3).Soluci onEn este caso no se proporciona el vector dedirección, pero lo podemos calcular fácilmentedebido a que la recta debe tener dirección ~PQ, asíla dirección de la recta es:

n = Q− P =< 3− 1, 2− 2, 3− (−3) >=< 2, 0, 6 > .



Ejemplo

Determine la recta que pasa por los puntosP (1, 2,−3) y Q(3, 2, 3).Soluci onEn este caso no se proporciona el vector dedirección, pero lo podemos calcular fácilmentedebido a que la recta debe tener dirección ~PQ, asíla dirección de la recta es:

n = Q− P =< 3− 1, 2− 2, 3− (−3) >=< 2, 0, 6 > .

Y por consiguiente, la ecuación paramétricaqueda:

x =< x, y, z >=< 1, 2,−3 > +t < 2, 0, 6 >



x = 1 + t (2) = 1 + 2 t

y = 2 + t (0) = 2

z = −3 + t (6) = −3 + 6 t

Para obtener las ecuaciones simétricas,observamos que no es posible despejar t de lasegunda ecuación quedando solamente:

t =x− 1

2y = 2

t =z + 3

6



De donde las ecuaciones simétricas se describencomo:

x− 1

2=

z + 3

6, y = 2�



Ejemplo

Diga si el punto P (13,−14, 13) pertenece a la recta:

x = −2 + 3 t, y = 1− 3 t, z = 3 + 2 t



Ejemplo

Diga si el punto P (13,−14, 13) pertenece a la recta:

x = −2 + 3 t, y = 1− 3 t, z = 3 + 2 t

Soluci on

Una forma de resolverlo es mediante el uso de las ecuacionessimétricas de la línea reacta, que en este caso queda:

x+ 2

3=

y − 1

−3=

z − 3

2

Hacemos la sustitución de las coordenadas del punto:

13 + 2

3= 5,

−14− 1

−3= 5,

13− 3

2= 5

como las tres cantidades son iguales, el punto pertenece a la recta.



Otra alternativa de solución consiste en determinar si existe un valorde t que cumpla las ecuaciones de la recta si el punto se sustituye:

13 = −2 + 3 t → 3 t = 15 → t = 5

−14 = 1− 3 t → −3 t = −15 → t = 5

13 = 3 + 2 t → 2 t = 10 → t = 5

como el valor de t es el mismo, el punto pertenece a la recta �



Ejemplo

Indique si se intersectan las rectas

L1 : x = 1− 2 t, y = −3 t, z = −2 + 3 t

L2 : x = −1 + 5 t, y = −3 + 4 t, z = 1 + 5 t

En caso de intersección en un sólo punto, determínelo.



Ejemplo

Indique si se intersectan las rectas

L1 : x = 1− 2 t, y = −3 t, z = −2 + 3 t

L2 : x = −1 + 5 t, y = −3 + 4 t, z = 1 + 5 t

En caso de intersección en un sólo punto, determínelo.Soluci on

En una primera solución trabajemos con el sistema formado por lasecuaciones simétricas:

L1 :x− 1

−2=

y − 0

−3=

z + 2

3

L2 :x+ 1

5=

y + 3

4=

z − 1

5



Para cada línea, convertimos sus ecuaciones simétricas en dosecuaciones:

L1 :x− 1

−2=

y − 0

−3y

y − 0

−3=

z + 2

3

L2 :x+ 1

5=

y + 3

4y

y + 3

4=

z − 1

5



Para cada línea, convertimos sus ecuaciones simétricas en dosecuaciones:

L1 :x− 1

−2=

y − 0

−3y

y − 0

−3=

z + 2

3

L2 :x+ 1

5=

y + 3

4y

y + 3

4=

z − 1

5

Ahora resolvamos el sistema formado por estas 4 ecuacioneslineales. Para ello, escribimos cada una en su forma canónica:

x−1

−2= y−0

−3→ −

1

2x+ 1

3y = −

1

2

y−0

−3= z+2

3→ −

1

3y −

1

3z = 2

3

x+1

5= y+3

4→

1

5x−

1

4y = −

11

20

y+3

4= z−1

5→

1

4y −

1

5z = −

19

20



Formando la aumentado y reduciendo obtenemos:

0 −1/3 −1/3 2/3

−1/2 1/3 0 −1/2

1/5 −1/4 0 11/20

0 1/4 −1/5 −19/20

→

1 0 0 −1

0 1 0 −3

0 0 1 1

0 0 0 0

Como el sistema es consistente, las rectas se intersectan. Comotiene solución única, la intersección consta exactamente de unpunto, el cual es P (−1,−3, 1).



Utilizamos la forma vectorial paramétrica en cada recta ydiferenciamos los parámetros de las líneas para tener:

L1 : < x, y, z >= < 1, 0,−2 > +t1 < −2,−3, 3 >

L2 : < x, y, z >= < −1,−3, 1 > +t2 < 5, 4, 5 >



Utilizamos la forma vectorial paramétrica en cada recta ydiferenciamos los parámetros de las líneas para tener:

L1 : < x, y, z >= < 1, 0,−2 > +t1 < −2,−3, 3 >

L2 : < x, y, z >= < −1,−3, 1 > +t2 < 5, 4, 5 >

Para encontrar la intersección igualamos los vectores < x, y, z > ybuscamos determinar consistencia para t1 y t2:

< 1, 0,−2 > +t1 < −2,−3, 3 >=< −1,−3, 1 > +t2 < 5, 4, 5 >

de donde

t1 < −2,−3, 3 > +t2 < −5,−4,−5 >=< −2,−3, 3 >



Formando la aumentada y reduciendo tenemos:

−2 −5 −2

−3 −4 −3

3 −5 3

→

1 0 1

0 1 0

0 0 0

Como el sistema es consistente, las rectas se intersectan. Comotiene solución única t1 = 1 y t2 = 0 las rectas se intersectan en unpunto, el cual es

< x, y, z > = < 1, 0,−2 > +t1 < −2,−3, 3 >

= < 1, 0,−2 > +1 < −2,−3, 3 >

= < −1,−3, 1 > �



Ejemplo

Respecto al conjunto de R3 formado por lassoluciones a

2 x− 2 y + 3 z = 7

4 x− 4 y + 5 z = 11

6 x− 6 y + 9 z = 21

¿Qué se puede decir?



Ejemplo


2 x− 2 y + 3 z = 7

4 x− 4 y + 5 z = 11

6 x− 6 y + 9 z = 21

¿Qué se puede decir?Soluci onFormando la matriz aumentada y reduciéndolaobtenemos:

2 −2 3 7

4 −4 5 11

6 −6 9 21

→

1 −1 0 −1

0 0 1 3

0 0 0 0



Si convertimos cada renglón no cero en ecuacióny despejamos las variables delanteras obtenemos:

x = −1 + y

z = 3




x = −1 + y

z = 3

Que en forma vectorial queda:

x

y

z

=

−1

0

3

+ y

1

1

0




x = −1 + y

z = 3


x

y

z

=

−1

0

3

+ y

1

1

0

La cual es la ecuación de una línea en formaparamétrica con vector de dirección < 1, 1, 0 > �



Ejemplo

Encuentre el coseno del ángulo que forman laslíneas

L1 : < x, y, z >= < 3, 1, 4 > +t < 0, 1,−3 >

L2 : < x, y, z >= < 3,−1, 10 > +t2 < 0, 5, 2 >

Acciones■ Aunque no se usa en la determinación ángulo,

compruebe que las líneas se intersectan. Elconcepto del ángulo entre las líneas sólo aplicaa líneas que se intersectan.

■ El ángulo de intersección de dos rectas es elángulo entre los vectores de dirección. Utilice lafórmula que da directamente el coseno delángulo entre vectores que hace referencia alproducto punto.



Ejemplo

Indique si los puntos P (1, 1,−2), Q(2,−3, 1) yR(1, 3,−2) son colineales.Acciones■ Determine la línea que pasa por los dos

primeros. La forma conveniente en este casoson las ecuaciones simétricas.

■ Tome el tercer punto y vea si satisface laecuación encontrada: son colineales si el tercerpunto satisface la ecuación de la línea que pasapor los dos primeros. La definición precisa paraque un conjunto de puntos sea colineal es queexista una recta que los contiene.



Ecuación de un plano: Forma paramétrica

Considere un punto en el espacio Po(x0, y0, z0) ydos vectores de dirección v1 =< a1, b1, c1 > yv2 =< a2, b2, c2 >;




Considere un punto en el espacio Po(x0, y0, z0) ydos vectores de dirección v1 =< a1, b1, c1 > yv2 =< a2, b2, c2 >; un punto cualquiera P (x, y, z)pertenece al plano que pasa por Po y que tienedirección dada por los vectores v1 y v2 si existenescalares t y s tales que

P = Po + tv1 + sv2




Considere un punto en el espacio Po(x0, y0, z0) ydos vectores de dirección v1 =< a1, b1, c1 > yv2 =< a2, b2, c2 >; un punto cualquiera P (x, y, z)pertenece al plano que pasa por Po y que tienedirección dada por los vectores v1 y v2 si existenescalares t y s tales que

P = Po + tv1 + sv2

Esta relación se transforma en:

x = xo + a1t+ a2s

y = yo + b1t+ b2s

z = zo + c1t+ c2s



Estas ecuaciones se conocen como lasecuaciones paramétricas del plano.



Estas ecuaciones se conocen como lasecuaciones paramétricas del plano. Es importanteseñalar que en caso que los vectores v1 y v2

tengan la misma dirección entonces lo que setiene es una línea recta.



Estas ecuaciones se conocen como lasecuaciones paramétricas del plano. Es importanteseñalar que en caso que los vectores v1 y v2

tengan la misma dirección entonces lo que setiene es una línea recta. Por otro lado, si t = s laecuaciones también representan una línea.



Ecuación Estándar de un Plano

La ecuación estándar de un plano en R3 es de laforma:

a (x− x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0

Los datos necesarios para determinar un planoson un punto P (xo, yo, zo) que pertenezca al mismoy un vector perpendicular, o también conocidocomo vector normal al plano n =< a, b, c >.



x 0.5 00

y

z

PN

Figura 2: Plano en el Espacio



Ejemplo

Determine el plano que pasa por el puntoP (1, 1,−3) y que tiene como vector normaln =< 1,−2, 3 >



Ejemplo

Determine el plano que pasa por el puntoP (1, 1,−3) y que tiene como vector normaln =< 1,−2, 3 >

Soluci onSustituyendo en la ecuación del plano:

(1)(x− 1) + (−2)(y − 1) + 3(z − (−3)) = 0

o simplificando:

x− 2 y + 3 z = −10�



De las ecuaciones paramétricas se puede obtenerla forma estándar del plano eliminando losparámetros t y s para ello se forma el sistema:

a1t+ a2s = x− xo

b1t+ b2s = y − yo

c1t+ c2s = z − zo

se reduce y se aplica la condición de consistencia.



Ejemplo

Determine el plano que pasa por los puntosP (1, 1,−3), Q(1, 2,−1) y R(0, 1, 2).



Ejemplo


Soluci onEn nuestro caso tomaremosv1 = PQ =< 1− 1, 2− 1,−1− (−3) >=< 0, 1, 2 > yv2 = PR =< 0− 1, 1− 1, 2− (−3) >=< −1, 0, 1 >



Ejemplo


Soluci onEn nuestro caso tomaremosv1 = PQ =< 1− 1, 2− 1,−1− (−3) >=< 0, 1, 2 > yv2 = PR =< 0− 1, 1− 1, 2− (−3) >=< −1, 0, 1 >

y por tanto las ecuaciones paramétricas quedan:

x = +1 + (0)t+ (−1)s

y = +1 + (1)t+ (0)s

z = −3 + (2)t+ (1)s



Encontrando la ecuación estándar:

0 −1 x− 1

1 0 y − 1

2 1 z + 3




0 −1 x− 1

1 0 y − 1

2 1 z + 3

→

1 0 y − 1

0 −1 x− 1

0 0 z + 4− 2 y + x




0 −1 x− 1

1 0 y − 1

2 1 z + 3

→

1 0 y − 1

0 −1 x− 1

0 0 z + 4− 2 y + x

El sistema es consistente si y solamente si

x− 2y + z + 4 = 0

Esta última relación es la ecuación estándar delplano.



Otra alternativa para hacer el ejercicio anterior escalcular el vector normal al plano

n = ~PQ× ~PR




n = ~PQ× ~PR

n =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

0 1 2

−1 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1 i− 2 j+ 1k




n = ~PQ× ~PR

n =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

0 1 2

−1 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1 i− 2 j+ 1k

Por tanton =< 1,−2, 1 >




n = ~PQ× ~PR

n =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

0 1 2

−1 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1 i− 2 j+ 1k

Por tanton =< 1,−2, 1 >

Y la ecuación del plano queda:

1(x− 1)− 2(y − 1) + 1(z − (−3)) = 0�



Ejemplo

Indique si los siguientes planos se intersectan:

P1 : −4 x+ 4 y − z = 4

P2 : −x− 2 y + z = 16

Acciones■ Forme un sistema con las dos ecuaciones de los

planos.■ Resuelva el sistema formado: Los planos se

intersectan si y sólo si el sistema es consistente.(No importa si hay solución única o infinitas, sóloimporta la consistencia).



Ejemplo

Determine la ecuación del plano que consiste de todos los puntosque son equidistantes a los puntos R(1, 2,−1) y a S(0, 3, 1).Acciones

■ Tome un punto cualquiera del plano P (x, y, z).

■ Encuentre la fórmula de la distancia d1 de P a R y la fórmula dela distancia d2 de P a S.

■ Iguale las distancias (éste es el concepto de equidistantes).

■ Eleve al cuadrado ambos miembros de la igualdad; estocancelará raíces cuadradas.

■ Desarrolle los cuadrados en ambos miembros. Al pasar lasvariables al lado derecho deberán cancelarse los cuadrados deellas y quedará una ecuación lineal en x y y z que corresponde ala ecuación del plano.



Ejemplo

Indique si los puntos P (1, 1,−2), Q(2,−3, 1), R(1, 3,−2) yS(1,−2, 3) son coplanares.Acciones

■ Determine plano que pasa por los tres primeros. La formaconveniente en este caso es la forma estándar.

■ Tome el cuarto punto y vea si satisface la ecuación encontrada:son coplanares si y sólo si el cuarto punto satisface la ecuacióndel plano que pasa por los tres primeros. La definición precisapara que un conjunto de puntos sea coplanar es que exista unplano que los contiene.



Ejemplo


x+ 3 y − z = −1

−x− 3 y + z = 1

2 x+ 6 y − 2 z = −2

3 x+ 9 y − 3 z = −3

¿Qué se puede decir?



Ejemplo


x+ 3 y − z = −1

−x− 3 y + z = 1

2 x+ 6 y − 2 z = −2

3 x+ 9 y − 3 z = −3

¿Qué se puede decir?Soluci on

1 3 −1 −1

−1 −3 1 1

2 6 −2 −2

3 9 −3 −3

→

1 3 −1 −1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0



La renglón que no es cero representa la ecuación de un plano en elespacio:

1x+ 3y +−1z = −1




1x+ 3y +−1z = −1

Para obtener ecuaciones paramétricas del mismo, despejamos lavariable delantera:

x = −1− 3y + z




1x+ 3y +−1z = −1


x = −1− 3y + z


x

y

z

=

−1

0

0

+ y

−3

1

0

+ z

1

0

1




1x+ 3y +−1z = −1


x = −1− 3y + z


x

y

z

=

−1

0

0

+ y

−3

1

0

+ z

1

0

1

Cambiando de nombre las variables:

x

y

z

=

−1

0

0

+ t

−3

1

0

+ s

1

0

1

�

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