Límites y continuidad

Cálculo 1

Límites de funciones

Analicemos la función: 112

xx

xf

La función está definida para toda x diferente de 1.

Podemos simplificar la función de la siguiente manera:

1

111

112

x

xxx

xx

xf x 1

x

y

1

1

–1

0

112

xx

xfy

2

x

y

1

1

–1

0

y = x + 1

2

Valores de x menores y mayores 1que 1

0.9

1.1

0.99

1.01

0.999

1.001

0.999999

1.000001

1.9

2.1

1.99

2.01

1.999

2.001

1.999999

2.000001

1112

x

xx

xf x 1

Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

211

lim2lim2

11

xx

oxfxx

Definición informal de límiteSea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe

Lxfx

10

lim

x

y

1

1

–1

0

11

)2

xx

xfa

2

x

y

1

1

–1

0

1) xxhc

2

x

y

1

1

–1

0

1,1

1,11

)

2

x

xxx

xgb

2

Comportamientos asociados a la no existencia de un limite

Funciones sin límite en un punto

0,1

0,0)

x

xya

La función salta

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

y

0,0

0,1

)x

xxyb

Crece demasiado

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0,1

sen

0,0)

xx

xyc

Oscila demasiado

Ejercicio

1

1

2 3

y = g(x)

y

x

xgx 1lim

Encontrar

xgx 2lim

xgx 3lim

Tarea

Haga una tabla con los valores de g(x) en los puntos –5.9, –5.99, –5.999, ... y para –6.1, –6.01, –6.001, ... ¿Cual es el limx–6 g(x)?

124

62

xx

xxg

Calculo Analítico de Limites

Teorema #1

Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son números reales)

1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M

2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M

3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M

4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL

por una constante

5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M 0

6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

Límites de Polinomios

Teorema #2

Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución

Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces

limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0

Teorema #3

Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero.

Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces

limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Ejercicios

Eliminación de denominador cero

Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.

xxxx

x

2

2

1

2lim

hh

h

22lim

0

Límites por un ladoDefinición informal de límite por la izquierda y límite por la derecha

Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos

Lxfax

lim

Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos

Mxfax

lim

Límites por un lado y bilateralesUna función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:

Limx c f (x) = L Limx c– f (x) = L y Limx c+ f (x) = L

Ejemplo

1lim0

xfx

existennoxfyxfxx 00limlim

0lim1

xfx

1lim1

xfx

existenoxfx 1lim

1lim2

xfx

1lim2

xfx

1lim2

xfx

23limlimlim333

fxfxfxfxxx

1lim4

xfx

existennoxfyxfxx 44limlim

1 2 3 4

1

2

0

y

x

y = f (x)

Tarea #12¿cuáles límites son verdaderos y cuales son falsos?

1lim1

xfx

0lim0

xfx

1lim0

xfx

xfxfxx

00

limlim

existexfx

0

lim 0lim0

xfx

1lim0

xfx

1lim1

xfx

0lim1

xfx

2lim2

xfx

existenoxfx

1

lim 2lim2

xfx

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Límites infinitosSi el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.

xfcx

lim

Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.

xfcx

lim

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Ejemplos

xx

1lim

0

x

y

xx

1lim

0

y = 1/x

-6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -1 0 1 2 3

11

lim1 xx

11

lim1 xx

x

y

y = 1/(x – 1)

0

5

10

15

20

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

20

1lim

xx

20

1lim

xx

2

1x

y

0

5

10

15

20

25

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

y

23 3

1lim

xx

23 3

1lim

xx

23

1

xy

Límites de funciones racionales

0

22

lim22

2lim

42

lim2

2

22

2

2

xx

xxx

xx

xxx

41

21

lim22

2lim

42

lim2222

xxxx

xx

xxx

223

lim43

lim222 xx

xxx

xx

223

lim43

lim222 xx

xxx

xx

existenoxx

xxx

xx

223

lim43

lim222

223232 2

1lim

2

2lim

2

2lim

xx

x

x

xxxx

ContinuidadContinuidad en un punto

Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si

cfxfcx

lim

Ejemplos

1

1

0

y

x

y = f(x)

1

0

y

x

y = f(x)

1

0 x

y = f(x)

y = f(x)

y

x

2

0

5

10

15

20

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

2

1

xxfy

Tipos de discontinuidades

xy Discontinuidad escalonada

xseny

1 Discontinuidad oscilante

21

x

y Discontinuidad infinita

2

22

x

xy Discontinuidad removible

Continuidad en los extremosUna función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si

afxfax

lim

Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si

bfxfbx

lim

y = f(x)

a c b

Criterio de continuidad

Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes:

1. f(c) existe (c está en el dominio de f)

2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc)

3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)

Ejemplo

1 2 3 4

1

2

0

y

x

y = f (x)

Continua

Discontinua

Reglas de continuidadTeorema 6

Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son continuas en:

1. f + g y f – g

2. f g

3. kf, donde k es cualquier número

4. f/g (si g(c) ≠ 0)

5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son enteros)

Continuidad de polinomiosTeorema 7

Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero.

25

20x4

xxxg

xfxr

Ejemplo:

Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2.

La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.

Continuidad de la composición

Teorema 8

Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c.

f g

g ° f

f (c) g(f (c))Continua en c Continua en f(c)

Continua en c

Ejemplos

1033

2 xx

xy

211 2x

xy

xx

ycos

2

xsenx

y 2

4

11

Tarea #14

1

1

20

Diga si la función es continua y porque en x = –1 , 0, 1 y 2.

¿En qué puntos son continuas las siguientes funciones?

341

2 xx

xy xsenxy 1 1

tan2

x

xxya) b) c)

-1

Extensión continua en un punto

Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se puede definir una función F(x) usando la regla

f(x) si x está en el dominio de fF(x) =

L si x = c

Ejemplo:

4

62

2

xxx

xf

Se puede simplificar en:

2

32232

46

2

2

xx

xxxx

xxx

xf

Que es continua en x = 2