Post on 09-Dec-2015
description
UNITAT 1. LÍMITS DE FUNCIONS I CONTINUÏTAT
1. Límit d'una funció quan x tendeix a més infinit.La funció pot comportar-se de diverses maneres:
Límit finit. Definició
limx→+∞
f ( x )=l ↔ Podem aconseguir que f ( x ) estigui tan pròxim a l com vulguem donant-li
només a x valors prou grans.
Operacions amb límits finits
Límits infinits. Definicions
Alguns límits infinits
Operacions amb expressions infinites
Indeterminacions
2. Càlcul de límit quan x tendeix a més infinit.Quocient de polinomis
limx→∞
P(x )Q(x)
=∞∞INDETERMINACIÓ
Cas 1.
Si grau P(x )>¿grau Q(x )
limx→∞
P(x )Q(x)
=∞
Cas 2.
Si grau P ( x )<¿grau Q(x )
limx→∞
P(x )Q(x)
=0
Cas 3.
Si grau P ( x )=¿grau Q(x )
limx→∞
P(x )Q(x)
=ab
a és el coeficient del terme de major grau de P(x )
b és el coeficient del terme de major grau de Q(x )
limx→∞
6 x+52x−4
=62=3
Quocient d’altres expressions infinites
Diferència d’expressions infinites
Límit d’una potència
Límits relacionats amb el nombre e
Expressions del tipus (1)(+∞ ). Regla pràctica
3. Límit d'una funció quan x tendeix a menys infinit.Exemples
Càlcul de límits
Per calcular límits quan x→−∞, haurem de tenir en compte que:
limx→−∞
f (x )= limx→+∞
f (−x )
Exercici:
limx→∞
2−x−5 x2
3 x2+1
limx→∞
7 x−34 x2+2
limx→∞
√3 x2+5 x−9−¿√3 x2−x+1¿
limx→∞
√ x2+1−¿ x−2¿
limx→−∞
6 x4−5 x3+2x2−32x3−x2+2 x+7
limx→±∞
4 x4+x3−12 x2−3
limx→∞
x3−(x−2)3
x2−1
limx→±∞
12x2−36 x2+2x+7
limx→∞
√4 x 4+6 x2−¿2x2 ¿
limx→∞
3x2−5 x+2x+1
−6 x2−2
2 x−1
Resol els següents límits comprovant que són indeterminacions del tipus 1∞
limx→∞ (1+ 32 x )
5x
limx→∞ (1− 4
5x )2−3 x
limx→∞ ( 3 x+24 x+3 )
x2+31−x
limx→∞ ( 5 x+24+5 x )
3 x−1
limx→∞ ( 3x2+22 x+3 x2 )
x3
https://sites.google.com/site/matematiquespilarberenguer/1-batx-social/ud2-limits-de-funcions
http://cmapspublic2.ihmc.us/rid=1JHFGJ75R-HP6B4N-4WR/limits%20i%20continu%C3%AFtat.cmap
4. Límit d'una funció en un punt.
Límits laterals infinits
Límits laterals finits i Límit finit en un punt
5. Càlcul de límits d'una funció quan x tendeix a c.Casos immediats
Per calcular límit d’una funció en un punt és substituir el valor de la x pel número al que tendeix.
Indeterminacions del tipus (0)/(0)
Hem de descomposar els polinomis utilitzant preferentment la regla de Ruffini
Indeterminació k0
Hem de calcular els límits laterals
Es poden donar també altres indeterminacions com ara:
Indeterminacions del tipus (+∞ )−(+∞)
Indeterminacions del tipus (1)(+∞ )
Exercicis
1.
2. Resol aquests límits:
limx→2
2 x+3x−2
limx→−1
−x+5(x+1)2
limx→1
−6(x−1)3
6. Continuïtat en un punt.
f (x) és continua en x=a quan limx→a−¿ f ( x )= lim
x→a+¿ f ( x )=f (a)¿¿ ¿
¿
limx→a−¿ f (x)=¿ lim
x→ a+ ¿f (x) ≠ f (a)¿¿¿ ¿
¿
Exercicis:
1. Estudia la continuïtat de les següents funcions en el punt x=2
2. Estudia la continuïtat de la següent funció:
f ( x )=¿ {2 x+2 si x≤0¿ ¿¿¿3. Estudia la continuïtat de les següents funcions:
a) f ( x )= x+2x−3
b) f ( x )= x−x2
x2−1
4. Trobeu els punts de discontinuïtat de la funció f ( x )= x−2x2−7 x+10
i classifique-los.
5. Estudia la continuïtat de la següent funció:
f ( x )={ 1x si x≤1x si1<x<45 si x ≥4
6. Estudia la continuïtat de les funcions següents:
a)f ( x )={ 2 si x=1
x2−1x−1
si x≠1
b)
f ( x )={ 5 si x=3x2−2 x−3x−3
si x≠3
7.
8.
9. Troba els valors de a i b per tal que la funció següent sigui contínua:
2si13
21si2
1si32
xx
xabxx
xax
xf
10.Determina el valor de a i b perquè la funció següent sigui contínua:
f ( x )={ x−1 si x<2ax+1 si 2≤x<5x+b si x≥5
11. Determina el valor de a i b perquè es compleixi:
limx→2
x2+ax+bx2−4
=2
7. Teorema de Bolzano
Aquest teorema pot resultar molt intuïtiu ja que si tenim una funció contínua que en f(a) és negativa (per sota de l'eix de les x) i en f(b) és positiva (per sobre de l'eix de les x), o a l'inrevés, com la funció és contínua, han d'estar connectats els punts f(a) i f(b), de manera que la gràfica no tindrà més remei que creuar l'eix de les x, i per tant existirà un valor c en el seu interval de definició on f(c)=0.
Exercicis
1. Troba un interval d'amplitud menor que 2 en el qual l'equació següent tingui, almenys, una arrel real:
3x3 2x 7 0
2. Demostra que l'equació e3x 4x 2 0 té, almenys, una solució real en l'interval [0, 1].
3. Demostra que l'equació:
0123 27 xxx
té, almenys, una solució real. Determina un interval d'amplitud menor que 2 en el qual es trobi l'arrel.
4. Comprova que l’equació x3+4 x2−2x−8=0 té una solució en l’interval (1,2)
5. Digues si les següents equacions tenen alguna solució utilitzant el teorema de Bolzano.a) x2=1b) ex=3+ lnxc) x4+2 x=0
6. Utilitzant el teorema de Bolzano, raoneu que l'equació x3 + x = 5, té una arrel a l'interval (0,2).