Post on 30-Jul-2015
1oLista de exercıcios de calculo C
1. Calcule
∫∫D
f(x, y) dxdy, se:
(a) f(x, y) = x2y3 e R = [0, 1]× [0, 1]
(b) f(x, y) = (x+ y)2(x2 − y2) e R = [0, 1]× [0, 1]
(c) f(x, y) = x2 + 4 e R = [0, 2]× [0, 3]
(d) f(x, y) =x2
y2 + 1e R = [−1, 1]× [−1, 1]
(e) f(x, y) = exy(x2 + y2) e R = [−1, 3]× [−2, 1]
(f) f(x, y) = 2x+ k2y e R = [−2, 2]× [−1, 1]
(g) f(x, y) = x2 − y2 e R = [1, 2]× [−1, 1]
2. Calcule o volume do limitado superiormente pelo grafico da funcaoz = f(x, y) e inferiormente pelo retangulo dado.
(a) z =√
9− y2 e R = [0, 4]× [0, 2]
(b) z = x2 + y2 e R = [−2, 2]× [−3, 3]
(c) z = acos(x) + bsen(2y) e R = [0, π2]× [0, π
2]
(d) z = xsen(y) e R = [0, π]× [0, π]
3. Calcule as integrais a seguir sabendo que regiao D e limitadas pelascurvas dadas:
(a)
∫∫D
y dxdy, y = 2x2 − 2 e y = x2 + x
(b)
∫∫D
xy dxdy,x2
a2+y2
b2= 1 e x, y ≥ 0
(c)
∫∫D
ydxdy
1 + x2, y = x2 e y = 1
(d)
∫∫D
y dxdy, y = 2x2 − 2 e y = x2 + x
(e)
∫∫D
ex+y dxdy, y = 0, y = x− 1, x = 1 e x = 0
(f)
∫∫D
xcos(y) dxdy, y = 0, y = x2 e y = 1
(g)
∫∫D
(x2 + 2y) dxdy, y = 2x2 e y = x2 + 1
1
(h)
∫∫D
sen(y)
ydxdy, y = x, y = 1, x = 0 e x = 1
(i)
∫∫D
cos(y3) dxdy, y =√
(x), y = 2 e x = 0
4. Determine o volume do solido limitado por z = 2x + 1, x = y2 ex− y = 2.
5. Calcule o volume do solido que esta acima do plano xy e e limitado porz = x2 + 4y2 e x2 + 4y2 = 4.
6. Calcule o volume do solido pela intersecao dos cilindros x2 + y2 = a2 ex2 + z2 = a2.
7. Considere a aplicacao definida por
x = uv e y = v − u
(a) Determine a imagem D do plano xy do retangulo R no plano uvde vertices (0, 1), (1, 1), (1, 2) e (0, 2).
(b) Calcule a area de D.
8. Utilizando a mudanca de variaveis x = u+ v e y = u− v, calcule:∫ 1
0
[∫ 1
0
(x2 + y2)dx
]dy
9. Utilizando a mudanca de variaveis x+ y = u e x− y = v, calcule:∫∫D
(x+ y)2(x− y)2)dxdy,
Onde D e limitado pelo triangulo de vertices (1, 0), (2, 1) e (0, 1).
10. Utilizando a mudanca de variaveis u = x− y e v = x+ y, calcule:∫∫D
(x2 − y2)sen2(x+ y)dxdy,
Onde D = {(x, y)/− π ≤ x+ y ≤ π,−π ≤ x− y ≤ π} .
11. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas
(a)
∫∫D
e(x2+y2)dxdy, D = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}.
2
(b)
∫∫D
ln(x2+y2)dxdy, D = {(x, y)/x > 0, y > 0, a2 ≤ x2+y2 ≤ b2}.
(c)
∫∫D
sen√
(x2 + y2)√(x2 + y2)
dxdy, ondeD e limitada pelas curvas x2+y2 =
π2
4e x2 + y2 = π2.
12. Mostre usando a integral dupla que o volume de uma esfera de raio a
e V =4πa3
3.
13. Mostre usando a integral dupla que area da regiao limitada pela curvax2 + (y − 1)2 = a2 e πa2.
14. Determine o centro de massa da lamina plana R, no plano xy e densi-dade dada f :
(a) R e limitada por x2+y2 = 1 no primeiro quadrante e f(x, y) = xy.
(b) R e limitada por y = x e y = x2 e f(x, y) = x2 + y2.
15. Calcule o valor medio da funcao f(x, y) = x2 + y2 na regiao R dadapor R = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 4}.
16. Calcule o valor medio da funcao f(x, y) = ln(x2 +y2) na regiao R dadapor R = {(x, y)/1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
17. Calcule as seguinte integrais triplas:
(a)
∫∫∫W
zdxdydz, onde W e a regiao do primeiro octante limitada
pelos planos y = 0, z = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 e o cilindrox2 + z2 = 4.
(b)
∫∫∫W
xy2z3dxdydz, onde W e a regiao do primeiro octante limi-
tada pela superfıcie z = xy e os planos y = x, x = 1 e z = 0.
(c)
∫∫∫W
zdxdydz, onde W e a regiao limitada pelas superfıcies z =√x2 + y2, y = x2, z = 0 e y = 1.
(d)
∫∫∫W
ycos(x+z)dxdydz, onde W e primeira regiao limitada pelo
cilindro x = y2 e os planos x+ y = π2
e z = 0.
18. Calcule o volume dos solidos W descrito abaixo.
3
(a) W e limitado pelo cone z =√x2 + y2 e o paraboloide z = x2 +y2.
(b) W e limitado pelas superfıcies z = 8− x2 − y2 e z = x2 + 3y2.
(c) W e limitado pelas superfıcies z = 4−x2−y2 e z = y, esta situadono interior do cilindro x2 + y2 = 1 e z ≤ 0.
19. Calcule as integrais a seguir, usando o teorema de mudanca de variaveis.
(a)
∫∫∫W
zdxdydz, onde W = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥
0, x2 + y2 ≥ 1
4}.
(b)
∫∫∫W
xyzdxdydz, onde W = {(x, y, z) ∈ R3/x2
a2+y2
b2+z2
c2≤
1, x ≥, y ≥ 0, z ≥ 0}.
(c)
∫∫∫W
zdxdydz, onde W e o solido limitado pelas superfıcies z =√x2 + y2, z =
√3(x2 + y2) e z2 + x2 + y2 = 4.
(d)
∫∫∫W
dxdydz
x2 + y2 + z2dxdydz, onde W = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 +
z2 ≤ 2y, z ≥√x2 + y2, y ≥ x, x ≥ 0}.
(e)
∫∫∫W
xdxdydz, onde W = {(x, y, z) ∈ R3/4 ≤ x2 + y2 + z2 ≤
9, z ≥ 0, x ≥ 0}.
(f)
∫∫∫W
dxdydz
z2, onde W e o solido limitado pelas superfıcies z =√
x2 + y2, z =√
1− x2 − y2 e z =√
4− x2 − y2.
20. Calcule
∫∫∫W
√x2 + y2 + z2dxdydz, onde W e o solido limitado supe-
riormente pela esfera x2 + y2 + (z − 12)2 = 1
4e inferiormente pelo cone
z =√x2 + y2.
21. Determine o volume do solido limitado por z = 9 − x2 − y2 e z =1 + x2 + y2.
22. Sabendo que a densidade em cada ponto de um solido W e dada por
f(x, y, z) =1
x2 + y2 + z2, determine a massa de W quando
W = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 ≤ 9, x2 + y2 + z2 ≥ 2y}.
4