LÍMITES 

INTRODUCCIÓN Analicemos la posible gráfica que generaría la función:

Para cualquier punto de x diferente de 1, se pueden utilizar varios procedimientos como el de asignar valores arbitrarios a x, para hallar los valores de f(x), pero en el punto x = 1, se hace un poco difícil el análisis de la gráfica, entonces para observar el real comportamiento de la gráfica de f(x), cerca del punto x = 1, consideramos dos grupos de valores de x.Uno de los grupos sería el conjunto de números que se aproximen a uno por la izquierda y el otro, el conjunto de números que se aproximen por la derecha.Para lo cual se crea una tabla de valores para los dos conjuntos de números: 

 Al localizar los puntos correspondientes se observa que la gráfica de f, es una parábola con un hueco en el punto (1, 2). Se puede concluir que aunque x no puede ser igual a 1 nos podemos acercar cuanto queramos a 1, y como resultado de este

acercamiento, f(x)se aproxima cada vez más a 2. Utilizando la notación de límites se dice entonces que el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 2, y se denota como:

Otra forma de resolver el límite:

es desarrollando el cociente:

Que es la forma algebraica y más práctica de resolver esta clase de límites. 

Desarrollando el ejercicio mediante una tabla de valores se llega a la misma respuesta. 

 DEFINICIÓN DE LÍMITE El límite de una función, se puede expresar mediante la norma de que si f(x), se aproxima a un único número L, cuando x se aproxima a c por ambos lados, decimos que el límitef(x) cuando x tiende a c es L, y se denota por la expresión:

                           Propiedades de los límites

 Es bueno recordar que el límite de una función f(x) cuando x tiende a c, no depende del valor de   f en el punto x = c. Pero si sucede que el límite coincide con   f(c), éste se puede evaluar por el método de sustitución directa, es decir:

                                                                Si se tiene un número real c y f (x) = g (x) con la condición de que x sea diferente de c, en un intervalo abierto que contenga a c. Si existe el límite de g(x) cuando x tiende a c, entonces el límite de f(x), también existe y será igual a:

                                                               

  

 

 Se ha visto anteriormente la forma algebraica de resolver límites de la cual se destacaba la manera sencilla de resolverlos, pues estos conceptos se pueden normalizar aplicando los siguientes pasos: 

Si el límite f(x) cuando x tiende a c, no es posible evaluarlo por el método de sustitución        directa, entonces se intenta hallar una función g,  que coincida con la función f,   para          todo x = c, es decir, elegir g de tal forma que su límite se pueda calcular por sustitución        directa. ·

 Aplicar la propiedad

        LÍMITES DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRIGONOMÉTRICAS Para desarrollar algunos límites algebraicos es necesario tener en cuenta ciertos límites básicos que están sujetos a la condición. Si b y c son números reales y n un entero positivo si c = 0, entonces:

 Propiedades de las operaciones básicas entre límites

 Si b y c son números reales, n un entero positivo, f y g funciones que se pueden resolver cuando x tiende a c, entonces se cumplen las siguientes propiedades: 

 

 

 

 

 

 

Límites con radicales 

  

  

Límites de funciones trigonométricas Igualmente para las funciones trigonométricas también se puede utilizar el cálculo por sustitución directa y si c es un número real, se tienen las propiedades para sus respectivos límites:

 Límites de funciones trigonométricas especiales

 

 

A medida que x se acerca a cero los valores de la función se aproximan cada vez más a 1, lo que quiere decir que:

 

 

 

 

Límite de la forma indeterminada       Ahora, al calcular el valor de:

                                                  Se observa, que en la expresión si se trata de reemplazar directamente el valor de x, resulta un límite de la forma indeterminada 0/0, y para tratar de eliminarla basta multiplicar el numerador y el denominador por la expresión conjugada del numerador.Veamos:

 Límite infinito

 Si se tiene la expresión:

Siendo f, una función que está definida, tanto por la derecha como por la izquierda en a, y posiblemente no esté definida en el mismo valor de a. Quiere decir que los valores que toma  , se pueden hacer demasiado grandes tomando x, lo suficientemente cercano al valor de a, con  . En el momento en que los valores que toma  , se hagan demasiado pequeños tomando x lo suficientemente cercano al valor de a, con  , entonces se tendrá la expresión:

 En forma genérica se tiene: 

 

 

 

Límite al infinito y de forma  Tomemos como ejemplo, una función cualquiera definida en el intervalo  , entonces se tiene que:

y significa que los valores de f(x) pueden acercarse en forma arbitraria al valor de M tomando valores negativos de x que pueden ser muy grandes o muy pequeños.Luego para una función  , racional: 

 

 

  

Límite de la forma indeterminada  

La manera de solucionar estos límites es convirtiendo la diferencia en una división por medio de los procedimientos del común denominador, factorizando algebraicamente o racionalizando, siendo este último el método más usado. 

 

CONTINUIDAD DE UN PUNTO Se puede afirmar que una función ¦(x)l es continua en un punto (número a) si cumple con las siguientes condiciones:

y similarmente sí una de las tres condiciones no se cumple para a, entonces diremos que la función f(x), es discontinua en el punto a. 

 

 

 

 

ASÍNTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES Se puede afirmar que, la recta correspondiente a,  x = c  es una  asíntota vertical de la curva y = f(x), si por lo menos una de las siguientes condiciones para el límite cuando x tiende c+ o c- se cumple:

Luego la recta x = c, es una asíntota horizontal de la curva      y = f(x) si:

 

 

 

 

Gráfica: