INECUACIONESMag. Wilderd Alejandro Cabanillas Campos

DEFINICIÓN: Una inecuación es un enunciado que

incluye alguna de las relaciones de orden:

“mayor que” > ……………. 2x + 4 >3x – 9

“menor que”< ……………. 3(x+4) < 2x + 1

4

“mayor o igual que” …….. “menor o igual que” ……..

23 1 2x x 4 2 8m m

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INECUACIONES LINEALES

Son aquellas en las cuales la variable tiene grado uno.

Se resuelven con un procedimiento muy similar al de las ecuaciones lineales, es decir, dejando las variables a un lado y los números al otro, pasando a efectuar la operación contraria.

Se debe invertir la desigualdad si se pasa un número negativo a multiplicar o dividir.

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Desigualdad Notación Gráfica

a £ x £ b

a £ x < b

a < x £ b

a < x< b

[ a ; b ]x

[a ; b[x

]a ; b ]x

]a ; b [x

a

b

a

b

a

b

a

b

Intervalos

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4

Desigualdad Notación Gráfica

[ a ; [x

]- ; a]x

a

a

a

a

a ; [x ]

]- ; a[x

ax

ax

ax

ax

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UNIÓN E INTERSECCIÓN

-3 0 7

-3 0 7

AB

AB

Sean: A= ]-3; 7] y B = [0; [

AB

AB

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6

EJEMPLO:

4( 1) 2 8x x 4 4 2 8x x 4 2 8 4x x

2 12x12

2x

6x

, 6S

-6

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Es el conjunto de valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad.

Solución de la inecuación

Estrategia de resolución2x + 1 > 2 + (x - 3) Ejemplo: Resuelva:

Despeje la incógnita aplicando propiedades.

2x + 1 > 2 + x – 3 x > - 2

Represente gráficamente la solución.

-2

Exprese el C.S en forma de intervalo ;2.SC

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8

Ejemplo:

Resuelva:

Despeje la incógnita aplicando propiedades.

Represente gráficamente la solución.

Exprese el C.S en forma de intervalo

65

;.SC

6

51012

4246123

16

4

24

xx

xxxx

65

3

12

4

1

2 x

x

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Cuando en una inecuaciónse pasa a multiplicar o adividir un número negativoal otro lado, se debe invertirla desigualdad

CUIDADO

TENER PRESENTE:

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10

4x + 2 + 3 < 6 – 9 + 15x4x – 15x < 6 – 9 – 2 – 3 –11x < –8

x >

2 1 1 3 51

3 2 2

x x

2(2 1) 3 6 3(3 5 )

6 6

x x

8

11

8,

11S

811

EJEMPLO

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Sean las inecuaciones: 1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x > x + 2

SOLUCIONES:

1.- 2 + x ≥ 4 x ≥ 4 – 2 x ≥ 2Solución = [ 2, + ∞ )

2.- 2x < x -5 2x – x < - 5 x < - 5 Solución = ( - ∞, - 5 )

3.- x > x + 2 x - x > 2 0 > 2 FALSOSolución = Ø (Conjunto vacío)

EJEMPLO

Sea la inecuación: 2 – x x – 3

-------- – ----------- + 2 > x 5 6 SOLUCIÓN: 2 – x x – 3

-------- – ----------- + 2 > x 5 6

6(2 – x) – 5( x – 3 ) ----------------------------- + 2 > x

30

12 – 6x – 5x + 15 + 60 > 30x 87 > 41x x < 87/41

Solución = (- ∞ , 87/41)

EJEMPLO

Sean las inecuaciones:

x – 1 x ------------ + 2 < ------ 5 3

SOLUCIONES:

3.(x – 1) + 30 5.x ----------------------- < --------- 15 15

3.(x – 1) + 30 < 5.x 3.x – 3 + 30 < 5.x – 3 + 30 < 5.x – 3.x 27 < 2.x x > 13,5

Solución = ( 13,5 ; ∞ )

EJEMPLO

Inecuaciones Cuadráticas

Una inecuación de segundo grado con una incógnita es aquella desigualdad condicional que reducida a su más simple expresión tiene la forma

En cualquiera de los casos se debe tener en cuenta la solución de la ecuación

ProcedimientoLa solución de la inecuación depende del sentido de la desigualdad.

2 2

2 2

0 0

0 0 0

ax bx c ax bx c

ax bx c ax bx c a

2 0ax bx c

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INECUACIÓN CUADRÁTICA

( )( ) 0x a x b

Intervalo con signo negativo

a b

( )( ) 0x a x b

. = [ ; ]C S a b

Unión de intervalos señalados con signo

positivos

a b

. = ]- ;a] [ ; [C S b

Previa Factorización

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EJERCICIOSEncuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

2

2

2

2

2

2

2

2

) 6 0

) 13 2 3

) 3 2 0

) 4 4 0

) 5 4 2 0

) 4 4 0

) 13 2 3

) 3 6 0

a x x

b x x x

c x x

d x x

e x x

f x x

g x x x

h x x

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INECUACIONES SIMULTÁNEAS

Son aquellas en las cuales la variable está entre dos valores “a” y “b”

Ejemplo4 7x

4,7S -4 7

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EJEMPLO:

3x < 20 + x3x – x < 20 2x < 20

x < 10

12 3 20x x x

12 3x x

12 3x x 12 2x

6 x 6,10S 6 10

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3x+2 > 2x + 13x – 2x > 1 – 2 x > –1

3 2 2 1 6x x x

2 1 6x x 2 6 1x x

7x

1,S -7 -1

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20

EJEMPLO:

2 4 5 2x x x

2 4 5x x

2 5 4x x 9x

5 2x x 5 2x x 5 x

S -9 -5

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EJEMPLO:

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Encontrar el número entero X que cumple con la siguiente igualdad

𝑥𝑥+ 1 < 1219 < 𝑥+ 1𝑥+ 2 𝑥𝑥+ 1 < 1219

19𝑥< 12𝑥+ 12 7𝑥< 12 𝑥< 127

1219 < 𝑥+ 1𝑥+ 2 12𝑥+ 24 < 19𝑥+ 19 −7𝑥< −5

𝑥> 57 57 < 𝑥< 127 𝑥𝑒𝑠 1

1,7

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23

𝑥− 1− 3𝑥24 − 1− 𝑥45 > 2 𝑥− 2−3𝑥24 − 4−𝑥45 > 2

𝑥− 2− 3𝑥8 − 4− 𝑥20 > 2

SOLUCIÓN

∞

EJEMPLO: 40𝑥− 10+ 15𝑥− 8+ 2𝑥40 > 2

57𝑥 > 80+ 18

57𝑥> 98

𝑥> 9857

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Se desea contar cierto lote de vacunas contra la gripe AH1-N1, al hacerlo se conto de 4 en 4 no pudiendo completar 23 grupos, cuando se hizo de 9 en 9 se completo 10 grupos y quedo un sobrante ¿Cuántas vacunas tiene el lote?

SOLUCIÓN

X = número de vacunas

𝑥4 < 23 →𝑥< 92

𝑥= 91

EJEMPLO:

90 < 𝑥< 92

𝑥9 > 10 →𝑥> 90

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Rubí dispone de e32 soles para ir al cine con sus primas; si compra entradas de S/. 5:00 le falta dinero y si compra entradas de S/. 4:00 le sobra dinero ¿Cuál es el número de primas que invito Rubí?

SOLUCIÓN5𝑥> 32 Le falta dinero𝑥> 325 𝑥> 6,4 4𝑥< 32 Le sobra

dinero𝑥< 324 𝑥< 8

…….I

…….II

De I y II se deduce que debe ser un número entero 6,4 < 𝑥< 8 𝑥= 7 𝑥− 1 = 6

N° de primas es 6

Menos Rubí

OPCIONAL

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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

I Caso: valor absoluto “menor que” 0 tiene S

= Ejemplos:1.

2.

2 4 0x

S 23 6 4 0x x

S

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II Caso: valor absoluto “menor o igual que” 0

Tiene solución resolviendo la ecuación igual a cero porque no puede ser negativo.

Ejemplos:

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1. 3 5 0x

3 5 0x 3 5x

5

3x

5

3S

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29

2. 2 4 3 0x x

2 4 3 0x x

( 3)( 1) 0x x

3, 1x x

3, 1S

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III Caso: valor absoluto “mayor o igual que” 0

Tiene solución S = R

Esto significa que cualquier número real sirve para su solución, dado que siempre va a dar un resultado mayor o igual que 0

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31

EJEMPLOS:

1.2.

3 2 0x

S 24 8 1 0x x

S

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IV Caso: valor absoluto “mayor que” 0

Tiene solución

Esto significa que para cualquier número real se tiene una solución mayor que 0, pero deben eliminarse los valores donde se hace igual a cero.

/S x xanulaelvalorabsoluto

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EJEMPLOS:

1.

x + 2 = 0

x = – 2

2 0x

2S

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34

2.

2 4 5 0x x

2 4 5 0x x

5 1 0x x

5, 1x x

1,5S

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35

V Caso: valor absoluto “menor que” o “menor o igual que” un número negativo.

Tiene solución

Esto significa que ningún número hace posible que un valor absoluto sea negativo.

S

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EJEMPLOS:

1.2.

2 4 3x

S 24 8 7x

S

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VI Caso: valor absoluto “mayor que” o “mayor o igual que” un número negativo.

Tiene solución S = R

Esto significa que cualquier número real siempre tiene valor absoluto que no puede ser negativo.

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EJEMPLOS:

1. 2.

S = R S =

R

3 8 4x 2 9 1x

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VII Caso: valor absoluto “menor que” o “menor o igual que” un número positivo.

Se elimina el valor absoluto y se resuelven las inecuaciones simultáneas entre el negativo y el positivo.

La solución es un intervalo.

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EJEMPLOS:

1. 2 4 3x

3 2 4 3x

3 4 2 3 4x 7 2 1x

7 1

2 2x

-7/2 -1/2

7 1,

2 2S

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41

2. 1 2x

2 1 2x

2 1 2 1x

1 3x

-1 3

1,3S

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VIII Caso: valor absoluto “mayor que” o “mayor o igual que” un número positivo.

Se resuelven dos inecuaciones: una mayor que el positivo y otra menor que el negativo.

La solución son dos intervalos.

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EJEMPLOS:

1. 2 3 1x

2 3 1x

2 1 3x

2 2x 2

2x

1x

2 3 1x 2 1 3x

2 4x 4

2x

2x

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44

-2 -1

1x 2x

, 2 1,S U

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45

2. 6 9

23

x

6 92

32 3 2

2 2 3

2 1

1

2

x

x

x

x

x

6 92

32 3 2

2 2 3

2 5

5

2

x

x

x

x

x

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46

5

2x

1

2x

-5/2 -1/25 1

, ,2 2

S U

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47

RESUMEN:

< 0 < negativo negativo

S

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0 negativo > negativo

S

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49

S = números que lo hacen cero

0

S = R – números que lo hacen cero

> 0

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S = un intervalo

< positivo

positivo

Recuerde: se quita el valor absoluto y se resuelven las inecuaciones simultáneas entre el negativo y el positivo.

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S = dos intervalos

> positivo

positivo

Recuerde: Se resuelven dos inecuaciones independientes, mayor que el positivo y menor que el negativo.

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RESUELVE Y TRAZA LA GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN

| x - 2 | ≥ 3 < 4

| -2x + 2 | - 1 > 5

| x - 7 | ≤ 5 2 | -3x + 6 | + 8 >

1 | 2x | + 5 < 3

2

35 x

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