Lógicomat. c 9 inecuaciones-2012
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INECUACIONESMag. Wilderd Alejandro Cabanillas Campos
DEFINICIÓN: Una inecuación es un enunciado que
incluye alguna de las relaciones de orden:
“mayor que” > ……………. 2x + 4 >3x – 9
“menor que”< ……………. 3(x+4) < 2x + 1
4
“mayor o igual que” …….. “menor o igual que” ……..
23 1 2x x 4 2 8m m
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INECUACIONES LINEALES
Son aquellas en las cuales la variable tiene grado uno.
Se resuelven con un procedimiento muy similar al de las ecuaciones lineales, es decir, dejando las variables a un lado y los números al otro, pasando a efectuar la operación contraria.
Se debe invertir la desigualdad si se pasa un número negativo a multiplicar o dividir.
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Desigualdad Notación Gráfica
a £ x £ b
a £ x < b
a < x £ b
a < x< b
[ a ; b ]x
[a ; b[x
]a ; b ]x
]a ; b [x
a
b
a
b
a
b
a
b
Intervalos
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Desigualdad Notación Gráfica
[ a ; [x
]- ; a]x
a
a
a
a
a ; [x ]
]- ; a[x
ax
ax
ax
ax
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UNIÓN E INTERSECCIÓN
-3 0 7
-3 0 7
AB
AB
Sean: A= ]-3; 7] y B = [0; [
AB
AB
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EJEMPLO:
4( 1) 2 8x x 4 4 2 8x x 4 2 8 4x x
2 12x12
2x
6x
, 6S
-6
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Es el conjunto de valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad.
Solución de la inecuación
Estrategia de resolución2x + 1 > 2 + (x - 3) Ejemplo: Resuelva:
Despeje la incógnita aplicando propiedades.
2x + 1 > 2 + x – 3 x > - 2
Represente gráficamente la solución.
-2
Exprese el C.S en forma de intervalo ;2.SC
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Ejemplo:
Resuelva:
Despeje la incógnita aplicando propiedades.
Represente gráficamente la solución.
Exprese el C.S en forma de intervalo
65
;.SC
6
51012
4246123
16
4
24
xx
xxxx
65
3
12
4
1
2 x
x
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Cuando en una inecuaciónse pasa a multiplicar o adividir un número negativoal otro lado, se debe invertirla desigualdad
CUIDADO
TENER PRESENTE:
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4x + 2 + 3 < 6 – 9 + 15x4x – 15x < 6 – 9 – 2 – 3 –11x < –8
x >
2 1 1 3 51
3 2 2
x x
2(2 1) 3 6 3(3 5 )
6 6
x x
8
11
8,
11S
811
EJEMPLO
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Sean las inecuaciones: 1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x > x + 2
SOLUCIONES:
1.- 2 + x ≥ 4 x ≥ 4 – 2 x ≥ 2Solución = [ 2, + ∞ )
2.- 2x < x -5 2x – x < - 5 x < - 5 Solución = ( - ∞, - 5 )
3.- x > x + 2 x - x > 2 0 > 2 FALSOSolución = Ø (Conjunto vacío)
EJEMPLO
Sea la inecuación: 2 – x x – 3
-------- – ----------- + 2 > x 5 6 SOLUCIÓN: 2 – x x – 3
-------- – ----------- + 2 > x 5 6
6(2 – x) – 5( x – 3 ) ----------------------------- + 2 > x
30
12 – 6x – 5x + 15 + 60 > 30x 87 > 41x x < 87/41
Solución = (- ∞ , 87/41)
EJEMPLO
Sean las inecuaciones:
x – 1 x ------------ + 2 < ------ 5 3
SOLUCIONES:
3.(x – 1) + 30 5.x ----------------------- < --------- 15 15
3.(x – 1) + 30 < 5.x 3.x – 3 + 30 < 5.x – 3 + 30 < 5.x – 3.x 27 < 2.x x > 13,5
Solución = ( 13,5 ; ∞ )
EJEMPLO
Inecuaciones Cuadráticas
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es aquella desigualdad condicional que reducida a su más simple expresión tiene la forma
En cualquiera de los casos se debe tener en cuenta la solución de la ecuación
ProcedimientoLa solución de la inecuación depende del sentido de la desigualdad.
2 2
2 2
0 0
0 0 0
ax bx c ax bx c
ax bx c ax bx c a
2 0ax bx c
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INECUACIÓN CUADRÁTICA
( )( ) 0x a x b
Intervalo con signo negativo
a b
( )( ) 0x a x b
. = [ ; ]C S a b
Unión de intervalos señalados con signo
positivos
a b
. = ]- ;a] [ ; [C S b
Previa Factorización
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EJERCICIOSEncuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
2
2
2
2
2
2
2
2
) 6 0
) 13 2 3
) 3 2 0
) 4 4 0
) 5 4 2 0
) 4 4 0
) 13 2 3
) 3 6 0
a x x
b x x x
c x x
d x x
e x x
f x x
g x x x
h x x
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INECUACIONES SIMULTÁNEAS
Son aquellas en las cuales la variable está entre dos valores “a” y “b”
Ejemplo4 7x
4,7S -4 7
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EJEMPLO:
3x < 20 + x3x – x < 20 2x < 20
x < 10
12 3 20x x x
12 3x x
12 3x x 12 2x
6 x 6,10S 6 10
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3x+2 > 2x + 13x – 2x > 1 – 2 x > –1
3 2 2 1 6x x x
2 1 6x x 2 6 1x x
7x
1,S -7 -1
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20
EJEMPLO:
2 4 5 2x x x
2 4 5x x
2 5 4x x 9x
5 2x x 5 2x x 5 x
S -9 -5
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EJEMPLO:
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Encontrar el número entero X que cumple con la siguiente igualdad
𝑥𝑥+ 1 < 1219 < 𝑥+ 1𝑥+ 2 𝑥𝑥+ 1 < 1219
19𝑥< 12𝑥+ 12 7𝑥< 12 𝑥< 127
1219 < 𝑥+ 1𝑥+ 2 12𝑥+ 24 < 19𝑥+ 19 −7𝑥< −5
𝑥> 57 57 < 𝑥< 127 𝑥𝑒𝑠 1
1,7
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𝑥− 1− 3𝑥24 − 1− 𝑥45 > 2 𝑥− 2−3𝑥24 − 4−𝑥45 > 2
𝑥− 2− 3𝑥8 − 4− 𝑥20 > 2
SOLUCIÓN
∞
EJEMPLO: 40𝑥− 10+ 15𝑥− 8+ 2𝑥40 > 2
57𝑥 > 80+ 18
57𝑥> 98
𝑥> 9857
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Se desea contar cierto lote de vacunas contra la gripe AH1-N1, al hacerlo se conto de 4 en 4 no pudiendo completar 23 grupos, cuando se hizo de 9 en 9 se completo 10 grupos y quedo un sobrante ¿Cuántas vacunas tiene el lote?
SOLUCIÓN
X = número de vacunas
𝑥4 < 23 →𝑥< 92
𝑥= 91
EJEMPLO:
90 < 𝑥< 92
𝑥9 > 10 →𝑥> 90
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Rubí dispone de e32 soles para ir al cine con sus primas; si compra entradas de S/. 5:00 le falta dinero y si compra entradas de S/. 4:00 le sobra dinero ¿Cuál es el número de primas que invito Rubí?
SOLUCIÓN5𝑥> 32 Le falta dinero𝑥> 325 𝑥> 6,4 4𝑥< 32 Le sobra
dinero𝑥< 324 𝑥< 8
…….I
…….II
De I y II se deduce que debe ser un número entero 6,4 < 𝑥< 8 𝑥= 7 𝑥− 1 = 6
N° de primas es 6
Menos Rubí
OPCIONAL
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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
I Caso: valor absoluto “menor que” 0 tiene S
= Ejemplos:1.
2.
2 4 0x
S 23 6 4 0x x
S
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II Caso: valor absoluto “menor o igual que” 0
Tiene solución resolviendo la ecuación igual a cero porque no puede ser negativo.
Ejemplos:
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1. 3 5 0x
3 5 0x 3 5x
5
3x
5
3S
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2. 2 4 3 0x x
2 4 3 0x x
( 3)( 1) 0x x
3, 1x x
3, 1S
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III Caso: valor absoluto “mayor o igual que” 0
Tiene solución S = R
Esto significa que cualquier número real sirve para su solución, dado que siempre va a dar un resultado mayor o igual que 0
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EJEMPLOS:
1.2.
3 2 0x
S 24 8 1 0x x
S
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IV Caso: valor absoluto “mayor que” 0
Tiene solución
Esto significa que para cualquier número real se tiene una solución mayor que 0, pero deben eliminarse los valores donde se hace igual a cero.
/S x xanulaelvalorabsoluto
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EJEMPLOS:
1.
x + 2 = 0
x = – 2
2 0x
2S
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2.
2 4 5 0x x
2 4 5 0x x
5 1 0x x
5, 1x x
1,5S
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V Caso: valor absoluto “menor que” o “menor o igual que” un número negativo.
Tiene solución
Esto significa que ningún número hace posible que un valor absoluto sea negativo.
S
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EJEMPLOS:
1.2.
2 4 3x
S 24 8 7x
S
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VI Caso: valor absoluto “mayor que” o “mayor o igual que” un número negativo.
Tiene solución S = R
Esto significa que cualquier número real siempre tiene valor absoluto que no puede ser negativo.
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EJEMPLOS:
1. 2.
S = R S =
R
3 8 4x 2 9 1x
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VII Caso: valor absoluto “menor que” o “menor o igual que” un número positivo.
Se elimina el valor absoluto y se resuelven las inecuaciones simultáneas entre el negativo y el positivo.
La solución es un intervalo.
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EJEMPLOS:
1. 2 4 3x
3 2 4 3x
3 4 2 3 4x 7 2 1x
7 1
2 2x
-7/2 -1/2
7 1,
2 2S
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2. 1 2x
2 1 2x
2 1 2 1x
1 3x
-1 3
1,3S
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VIII Caso: valor absoluto “mayor que” o “mayor o igual que” un número positivo.
Se resuelven dos inecuaciones: una mayor que el positivo y otra menor que el negativo.
La solución son dos intervalos.
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EJEMPLOS:
1. 2 3 1x
2 3 1x
2 1 3x
2 2x 2
2x
1x
2 3 1x 2 1 3x
2 4x 4
2x
2x
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-2 -1
1x 2x
, 2 1,S U
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45
2. 6 9
23
x
6 92
32 3 2
2 2 3
2 1
1
2
x
x
x
x
x
6 92
32 3 2
2 2 3
2 5
5
2
x
x
x
x
x
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46
5
2x
1
2x
-5/2 -1/25 1
, ,2 2
S U
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RESUMEN:
< 0 < negativo negativo
S
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0 negativo > negativo
S
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S = números que lo hacen cero
0
S = R – números que lo hacen cero
> 0
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S = un intervalo
< positivo
positivo
Recuerde: se quita el valor absoluto y se resuelven las inecuaciones simultáneas entre el negativo y el positivo.
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S = dos intervalos
> positivo
positivo
Recuerde: Se resuelven dos inecuaciones independientes, mayor que el positivo y menor que el negativo.
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RESUELVE Y TRAZA LA GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN
| x - 2 | ≥ 3 < 4
| -2x + 2 | - 1 > 5
| x - 7 | ≤ 5 2 | -3x + 6 | + 8 >
1 | 2x | + 5 < 3
2
35 x
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