Lugar de las raíces

El problema de control

( ) ( )( )( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G H

G H G H

KN s D sKG sT s

GK s H s D s D s KN s N s

Los polos de T(s) son funciones de K.

Los polos de T(s) no pueden conocerse sin factorizar el

denominador (ecuación característica) 1+KG(s)H(s)=0.

El problema de control

Definiendo el lugar de las raíces

( ) ( ) 1 1 (2 1)180 , 0, 1,

0

oKG s H s k k

K

El conjunto de puntos del plano s que satisfacen la

ecuación característica:

cuando el parámetro K varía entre 0 e se denomina el

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

1 ( ) ( ) 0KG s H s

( ) ( ) 1 ; 0

( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,o

K G s H s K

G s H s k k

Las condiciones de módulo y fase son:

Definiendo el lugar de las raíces

Las condiciones de módulo y fase son:

( ) ( ) 1 ; 0

( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,o

K G s H s K

G s H s k k

K desaparece de la ecuación del ángulo por ser un escalar positivo (no aporta nada a la fase).

Si un determinado valor de s0 satisface la condición angular

entonces existe un valor de K que satisfase la condición de módulo.

0 0

1

( ) ( )K

G s H s

Ejemplos del Lugar de las Raíces para sistemas simples

Reglas básicas para construir el lugar geométrico de las raíces

Regla 1) NÚMERO DE RAMAS: El número de ramas es igual al orden de la ecuación característica F(s) (número de polos a lazo cerrado).

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0G H G HF s KG s H s D s D s KN s N s

Regla 2) SIMETRÍA: El lugar de las raíces es simétrico respecto del eje real.

Regla 3) SEGMENTOS EN EL EJE REAL: Un segmento del eje real pertenece al lugar de las raices si está a la izquierda de un número impar de polos o ceros reales finitos.

Ejemplo: Los polos y ceros complejos conjugados no aportan a la fase del punto P1. Los polos y ceros reales a la izquierda tampoco aportan fase ya que el ángulo de cada uno es cero. Solo el polo real a la derecha de P1 aporta -180o , P1 pertenece al LR.

Regla 4) PUNTOS DE COMIENZO Y DE FINAL DE UNA RAMA: Las ramas comienzan para K=0 en los polos finitos de L(s)=G(s)H(s) y terminan para K= en los ceros finitos o

infinitos de L(s).

Regla 5) COMPORTAMIENTO EN EL INFINITO: Las ramas se aproximan asintóticamente a lineas rectas cuando el lugar se aproxima a infinito.. Las asíntotas interceptan el eje real en el centróide a con ángulos a

Re( ) Re( )a

polos ceros

polos ceros

(2 1), 0, 1,a

kk

polos ceros

Ejemplo del comportamiento en el infinito

, 03(2 1) (2 1), 1

4 15

, 23

a

kk k

kpolos ceros

k

Re( ) Re( ) ( 1 2 4) ( 3) 4

4 1 3a

polos ceros

polos ceros

Ejemplo del comportamiento en el infinito

4

3a

/ 3 , 0

, 1

5 / 3 , 2a

k

k

k

Regla 6) Conservación de la Suma de las Raíces del Sistema

1 1

n n

j jj j

p r

Si pj son los polos a lazo abierto (polos de L(s) incluyendo los polos en el origen) y rj son los polos a lazo cerrado (raíces de la ecuación característica F(s)=1+KL(s)), entonces se verifica la siguiente igualdad:

Esta ecuación nos dice que a medida que la ganancia K del sistema varía de cero a infinito, la suma de las raíces del sistema permanecen constante independientemente del valor que toma K.

Ejemplo de Conservación de la Suma de las Raíces del Sistema

Regla 7) PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL: En los puntos de ruptura, las ramas de lugar de las raíces forman un ángulo de 180o/n con respecto al eje real, donde n es el número de polos a lazo cerrado que arriban o parten del punto de ruptura. Para el caso normal de dos polos, los brazos forman un ángulo de 90o con respecto al eje real.

VER EJEMPLOS

PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL

PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL: Para el caso normal de dos polos, los brazos forman un ángulo de 90o con respecto al eje real.

PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL: Para el caso normal de dos polos, los brazos forman un ángulo de 90o con respecto al eje real.

Ejemplo de punto de ruptura en el eje real

Los puntos de ruptura se pueden determinar de dos maneras:

1 ) Encontrando las raíces de: 0 0dK dL

óds ds

1 1

1 1m n

i ii iz p2 ) Resolviendo la ecuación:

PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL

1 1

1 1m n

i ii iz p

211 1 1 1

11 26 61 03 5 1

.45

2 3.28

2

2

( 8 15)( ) ( )

3 2

K s sKG s H s

s s2

2

3 2

8 15

s sK

s s

2

2 2

11 26 610

( 8 15)

dK

ds

21.

11 26 6.2

13

045

8

Ejemplo

Regla 8) CRUCES DE LAS RAMAS POR EL EJE IMAGINARIO jω: El lugar de las raíces cruza el eje imaginario en los puntos donde : Para encontrar los puntos de cruze por jω se puede utilizar el criterio de Routh-Hurwitz.

( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,oG s H s k k

Regla 9) ANGULOS DE SALIDA O LLEGADA: Desde un polo o un cero de L(s) se puede determinar el ángulo de salida o llegada respectivamente al suponer un punto s1 que está muy próximo al polo o cero y aplicar la condición de fase:

1 1 1 11 1

( ) ( ) ( ) ( ) (2 1)180

0, 1,

m no

i ji j

G s H s s z s p k

k

ANGULOS DE SALIDA O LLEGADA

ANGULOS DE SALIDA O LLEGADA

Regla 10) Calibrado del lugar de las raíces: Todo punto del lugar de las raíces satisface las condiciones de módulo y fase. La ganancia K en cualquier punto del lugar de las raices es:

( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,oG s H s k k

1

( ) ( )

módulode los polosK

G s H s módulode los ceros

clear, clc,close all

sys=zpk([-3],[0 -1 -2 -4],1)

rlocus(sys,0:.005:150)

axis([-5 2 -2.5 2.5 ])

Aprender a utilizar el comando rlocus de Matlab

clear, clc,close all

sys=zpk([-3],[0 -1 -2 -4],1)

rlocus(sys,0:.005:150)

axis([-5 2 -2.5 2.5 ])

[k,poles] = rlocfind(sys)

Aprender a utilizar el comando rlocfind de Matlab