TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014

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16 de febrero de 2014

Ecuaciones

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ECUACION

def. Una igualdad en la cual al menos una de las expresiones esalgebraica recibe el nombre de ecuacion.

Ejemplo:3x = 1

9x + 2 = 5− 3x

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ECUACION LINEAL

Este tipo de ecuaciones son las que contienen una sola incognitade grado 1, se escriben generalmente de la siguiente forma:

ax + c = 0; a, c ∈ R

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SOLUCION DE UNA ECUACION

Es el valor o valores de la incognita que al ser sustituidos en laecuacion la transforman en una igualdad numerica verdadera.Resolvamos el siguiente ejemplo:

x− (2x + 1) = 8− (3x + 3)x− 2x− 1 = 8− 3x− 3−x− 1 = 5− 3x

−x− 1 + 3x = 5− 3x + 3x−1 + 2x = 5

−1 + 1 + 2x = 5 + 12x = 6x = 6

2x = 3

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CONJUNTO SOLUCION

Al conjunto S de todas las soluciones de la ecuacion se le llamaconjunto solucion. En el ejemplo anterior tenemos que el valorde x que es solucion es 3

∴ S = {3}

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CONJUNTO SOLUCION

Podemos verificar facilmente que el valor obtenido es,efectivamente, una solucion:

2(3)=66=6

Obtenemos una igualdad numerica verdadera. Tomemos 5 yproblemos si es solucion:

2(5)=6 ; 10=6

Se obtiene una igualdad falsa, por lo tanto 5 no pertenece a S

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NOTAS:

1 Las ecuaciones de primer grado con una incognita tienenuna o ninguna solucion.

2 A las soluciones de una ecuacion se les llama tambienraıces de la ecuacion.

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Resolvamos mas ecuaciones lineales

1 15x− 10 = 6x− (x + 2) + (−x + 3)

2 (5− 3x)− (−4x + 6) = (8x + 11)− 3x− 6

3 30x− (−x + 6) + (−5 + 4) = 5x + 6− 8 + 3x

4 −3(2x + 7) + (−5x + 6)− 8(1− 2x)− (x− 3) = 0

5 (x− 2)2 − (3− x)2 = 1

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ECUACIONES CUADRATICAS

Unas ninas muy precoces,al cuadrado se elevaron.

Y como eran muy audacespor dos se multiplicaron.

Que ya eran muchas sintierony por eso se restaron

doce veces lo que fueron.

Las que al principio empezaroncon esto se contentaron

y treinta y dos ahora son.Ahora quiero que me digassin miedo y sin compasion

A¿Cuantas eran al principiode este juego jugueton?.

Alejandro Bravo,Margarita Espinosa.

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ECUACIONES CUADRATICAS

def. Una ecuacion cuadratica o de segundo grado en unavariable con coeficientes reales es una ecuacion que puedeescribirse como:

ax2 + bx + c = 0;a, b, c ∈ R, a 6= 0

Ejemplo:

x2 − 6x− 3 = 0donde a=1 , b=-6 , c=-3

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ECUACIONES CUADRATICAS

Para resolver una ecuacion de este tipo requeriremos de losmetodos de factorizacion estudiados previamente,principalmente inspeccion, completar cuadrados o la formulageneral que veremos a continuacion:

Formula General:−b±

√4

2aDiscriminante: 4 = b2 − 4ac

donde :

1 Si 4 > 0, ecuacion tiene dos soluciones reales.

2 Si 4 = 0, ecuacion tiene una solucion real.

3 Si 4 < 0, ecuacion no tiene soluciones reales.

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Resolvamos las siguientes ecuaciones:

1 x2 − x− 6 = 0

2 x2 + 7x = 18

3 2x2 = 2x− 12

4 5(x2 + 1) = 8x

5 3t2 −√

15t + 2 = 0

6 3x2 + 3√

2x = 4

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ECUACIONES DE GRADO MAYOR A 2

Para hallar las soluciones de este tipo de ecuaciones podemosutilizar los siguientes metodos de factorizacion principalmente:factor comun, agrupamiento y division sintetica. Veamos elsiguiente ejemplo:

x3 − 7x + 6 = 0

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Resolvamos mas ejemplos:

1 x4 − 10x2 + 9 = 0

2 x2(3x2 + 2) = 4(x2 − 3) + 13

3 x6 = x3 + 12

4 x5 + 2x4 − 10x3 − 20x2 + 9x + 18 = 0

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ECUACIONES RACIONALES

En este tipo de ecuaciones encontramos expresiones algebraicasracionales, utilicemos el siguiente ejemplo para comprendercomo se resuelven:

x− 1

2+

x− 2

4= 1 +

x

34(x− 1) + 2(x− 2)

8=

3 + x

36x− 8

8=

3 + x

33(6x− 8) = 8(3 + x)18x− 24 = 24 + 8x

10x = 48

x =24

5

S =

{24

5

}

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistemas de ecuaciones lineales en las incognitas x, yo sistema 2X2 es una expresion de la forma:{

ax− by = ecx− dy = f

donde a, b, c, d, e, f ∈ R.Una solucion del sistema es una par ordenado (x0, y0);x0, y0 ∈ R, que satisface ambas ecuaciones simultaneamente.Estudiaremos cuatro metodos para resolver sistemas deecuaciones: igualacion, suma y resta, sustitucion ymediante una grafica.

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IGUALACION

Resuelva el siguiente sistema:{2x + 3y = 15x + 4y = 2

1) Se despeja la variable x en ambas ecuaciones:

x =1− 3y

2

x =2− 4y

5

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IGUALACION

2)Luego, igualamos ambas expresiones:

1− 3y

2=

2− 4y

55(1− 3y) = 2(2− 4y)

5− 15y = 4− 8y5− 4 = −8x + 15y

1 = 7y

y =1

7

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IGUALACION

3)Luego se sustituye el valor de y en cualquiera de lasexpresiones anteriores:

5x + 4(17) = 25x + 4

7 = 25x = 2− 4

75x = 10

7x = 2

7

S =

{(2

7,1

7

)}

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Sustitucion{2x + 3y = 15x + 4y = 2(?)

1)Se despeja X en cualquiera de las dos expresiones.

x =1− 3y

2(♠)

2)Sustituimos el valor de x en (?)

5

(1− 3y

2

)+ 4y = 2

y =1

7

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Sustitucion

3)Sustituimos el valor de y en (♠):

y =1− 31

7

2=

2

7

∴ S =

{(2

7,1

7

)}

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SUMA Y RESTA{2x + 3y = 15x + 4y = 2{

(2x + 3y = 1)5(5x + 4y = 2)− 2{10x + 15y = 5−10x− 8y = −4

7y = 1

y =1

7

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SUMA Y RESTA

Sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones delsistema inicial:

2x + 3

(1

7

)= 1

x =2

7

∴ S =

{(2

7,1

7

)}

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LENGUAJE MATEMATICO

La suma de 10 y x: 10 + x

La mitad de un numero:x

22 mas que a: a + 2

La diferencia de dos numeros: x− yEl producto de dos numeros: xy

El cociente de dos numeros:x

yEl doble de un numero: 2aEl triple de un numero: 3a

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LENGUAJE MATEMATICO

Traduzcamos las siguientes frases:

1 Un numero disminuido en 16:

2 Un tercio de w:

3 El cociente de 25 entre un numero:

4 Luis tiene 4 helados mas que Marıa:

5 El total de dıas en x horas

6 Dos veces t menos nueve:

7 La suma de dos numeros es 81:

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LENGUAJE MATEMATICO

Saber realizar este tipo de traduccion nos ayuda a la resolucionde problemas. Ejemplo:

El padre tiene 51 anos, el hijo tiene 9 anos.A¿Al cabo decuantos anos sera la edad del padre 8 veces la edad del hijo?

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EJERCICIOS