PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUEstudios Generales Ciencias

Calculo 1Segunda Practica Calificada

(2008− 2)

Indicaciones

· Cada pregunta tiene un puntaje de 4 puntos.

· No esta permitido el uso de correctores lıquidos, libros, apuntes de clase ni calculadoras.

1. a) Sean f y g dos funciones definidas como

f (x) ={

x2 + 3, x ≤ 1x + 1, x > 1

g (x) ={

x2, x ≤ 12, x > 1.

Calcule, si existen, los siguientes lımites:

a.1) lımx→1

f (x)

a.2) lımx→1

(f (x) .g (x)).

b) Calcule lımx→0

f (x) si existe, donde la funcion f esta dada por

f (x) =3√

x + 1−√

x + 12x

.

2. a) Explique, usando la definicion el significado de:

lımx→2−

f (x) = 1.

b) Usando la definicion demostrar que:

lımx→1

(x2 − 5x + 6

)= 2.

3. a) Si

f (x) =

x3 − 3x− 2

x3 − 8, x 6= 2

3/4, x = 2.

¿Es cierto que lımx→2

f (x) = f (2)? Justifique.

b) Calcule el siguiente lımite, si existe

lımx→1

1− x

1−√

2−√

2− x.

1

4. Dada la funcion f definida por

f (x) ={

4− 5x, si x > 22x− 10, si x < 2.

a) Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmacion:

Si 0 < |x− 2| < 0, 02, entonces |f (x) + 6| < 110

.

b) Halle L ∈ R, si existe, tal que lımx→2

f (x) = L. Luego, usando la definicion de lımite,compruebe su resultado anterior e interprete graficamente.

5. a) Dadas las funciones

f (x) =

x2 − 2x, x < 4

5, x = 42x, x > 4.

y

g (x) =x2 − 4x− 2

, si x ∈ [−2, 3]− {2}.

Calcule, si existe, el valor de

E =lımx→2

(f ◦ g) (x)

lımx→1

(g ◦ f) (x).

b) En la siguiente proposicion:Supongamos que para un ∂ > 0 se cumple f (x) < g (x) para todo x ∈]a− ∂, a + ∂[\{a}entonces lım

x→af (x) < lım

x→ag (x).

Si es verdad, justifique y si es falso de un contraejemplo.

Prueba elaborada por los profesores del curso

Coordinador de Practicas: Prof. Roy Sanchez.

San Miguel, 18 de septiembre del 2008.

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