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MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES
UNT 2015
Presentado por:
FRANKLIN A. GUERRA PERÉZ
ELLIANA B. RIOFRIO MARTINEZ
LESLI K. VELASQUEZ SILVA
Docente Coordinador:
Apolinar Risco Zapata.
SEMESTRE 2015– II
Tumbes – Perú
2015
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBESFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CONTABILIDADRUMBO A LA ACREDITACIÓN
CURSO: MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES
“TRABAJO DE UNIDAD”
CICLO IV
MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES
1. PROBABILIDADES
La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las
Matemáticas que están en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda
aplicabilidad en todos los aspectos y ciencias, especialmente en las
Ciencias Sociales, puesto que aquellas variables que influyen en dichas
ciencias, económicas, demográficas, suelen tener carácter aleatorio, es
decir, no son deterministas, y se fundamentan en predicciones a partir de
datos conocidos. Todo aquello que implique predicción nos lleva al terreno
de la probabilidad.
1.1.Experimentos aleatorios
En todos los aspectos de la vida a veces nos encontramos con
acontecimientos predeterminados, es decir, tales que podemos decir el
resultado de dichos acontecimientos antes de que finalice o incluso de que
comience. Tal es el caso de:
1. Tirar una piedra desde un edificio (sabemos que se caerá).
2. Calentar un cazo de agua (sabemos que la temperatura sube).
3. Golpear una pelota (sabemos que se va a mover, e incluso
conociendo fuerzas que actúan etc., podemos conocer precisamente donde
caerá).
Tales acontecimientos o experimentos de los que podemos predecir el
resultado antes de que se realicen se denominan experimentos
deterministas.
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Sin embargo, analicemos otro tipo de experimentos, mucho más
interesantes desde el punto de vista matemático:
Imaginemos que lanzamos un dado al aire (normal, de 6 caras y no
trucado). ¿Podemos predecir el resultado que vamos a obtener?.
Evidentemente no. Este es un experimento que no es determinista. A este
tipo de experimentos, en los cuales no se puede predecir el resultado antes
de realizar el experimento se les denomina experimentos aleatorios.
Otros ejemplos de experimentos aleatorios pueden ser:
Tirar una moneda al aire y observar qué lado cae hacia arriba, rellenar una
quiniela de fútbol, jugar una partida de póker y, en general, cualquier juego
en el que intervenga el azar.
1.2.Definiciones básicas
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada
posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin
de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que
otro o relaciones parecidas. Con este fin, introduciremos algunas
definiciones.
EXPERIMENTO AL AZAR
Se dice que un experimento aleatorio (al azar) cuando se cumplen las
siguientes condiciones:
a) El experimento se puede repetir indefinidamente bajo análogas
condiciones, pudiéndose obtener resultados distintos en cada prueba.
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b) En cada prueba se obtiene un resultado que pertenece al conjunto de
todos los resultados posibles del experimento.
c) Antes de realizar una nueva prueba del experimento no se puede
predecir el resultado que se obtendrá.
d) La frecuencia relativa de cada resultado de un experimento aleatorio
tiende experimentalmente a aproximarse a un valor fijo, es decir,
aparece un modelo de regularidad estadística.
Ejemplos:
Lanzar una moneda al aire.
Abrir un libro al azar y anotar la página de la izquierda.
ESPACIO MUESTRAL
Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados simples
posibles de un experimento aleatorio. El espacio muestral lo designaremos
por E (o bien por la letra griega Ω). Cada elemento del espacio muestral E
lo llamaremos punto muestral.
Ejemplos:
1.- Lanzar una moneda al aire y anotar los resultados.
E= {cara(c), cruz (x)}
2.- Lanzar dos monedas al aire:
E= {cc, cx, xc, xx}
3.- Lanzar dos dados al aire y sumar los números que salen:
E= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
SUCESO ALEATORIO
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SUCESO ALEATORIO
Es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo:
Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3,
y otro, sacar 5.
UN 1ER EJEMPLO COMPLETO
Una bolsa contiene 6 bolas, las cuales 3 son blancas y 3 negras. Se extraen
sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b, b, b); (b, b, n); (b, n, b); (n, b, b); (b, n, n); (n, b, n); (n, n, b); (n, n,
n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b, b, b); (n, n, n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b, b, b); (b, b, n); (b, n, b); (n, b, b); (b, n, n); (n, b, n); (n, n,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b, b, n); (b, n, b); (n, b, b)}
UN 2DO EJEMPLO
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El departamento de selección de personal de una multinacional entrevista a
65 candidatos para un puesto de la empresa: 35 de ellos poseen experiencia
laboral y 40 disponen de un título universitario.
¿Cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que tenga experiencia
laboral y un título universitario?
A = experiencia laboral
B = título universitario
A ⋂ B = 10 (ya que 40 + 35 = 75 que sobre pasan en 10 a los 65
entrevistados)
Probabilidad (A ⋂ B) = 10/ 65 = 0.1538
1.3. También tenemos algunas reglas:
1.REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN DE PROBABILIDADES PARA EVENTOS NO
MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos
intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez
(al mismo tiempo), entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha
probabilidad:
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En donde:
El conectivo lógico “o” corresponde a la “unión” en la teoría de conjuntos
(o = ⋃).
El conectivo “y” corresponde a la “intersección” en la teoría de conjuntos
(y = ⋂).
El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de
conjuntos.
Ejemplo: Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52
cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de
sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.
Solución:
A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as
de corazón rojo. Las probabilidades son:
Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de
probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:
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REGLA PARTICULAR O ESPECIAL DE LA ADICIÓN DE PROBABILIDADES PARA EVENTOS
MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes (eventos no
intersecantes), es decir, si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la
del otro, no pueden ocurrir a la vez, o cuando no tienen ningún punto
muestral en común A ⋂ B = ⌀, entonces se aplica la siguiente regla para
calcular dicha probabilidad:
En donde:
El conectivo lógico “o” corresponde a la “unión” en la teoría de conjuntos
(o = ⋃).
El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de
conjuntos.
Ejemplo: En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué
probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada
con un número impar o con un número múltiplo de 4?
Solución:
Espacio muestral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(S) = 10
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A = número impar = {1, 3, 5, 7, 9}; B = numero múltiplo de 4 = {4,
8}
Resultados favorables = A ⋃ B = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
Aplicando la fórmula de la probabilidad teórica:
Aplicando la regla particular o especial de la adición de probabilidades para
eventos mutuamente excluyentes:
;
EJEMPLOS CON RESPECTO A LA CONTABILIDAD
1. En el colegio de contadores se escogido al azar a 60 de ellos. De los
que 28 tiene maestría, 18 tienen doctorado, 25 diplomados. También
se encontró que 10 tiene doctorado y maestría, 6 tienen diplomado y
doctorado y 14 tiene diplomado y maestría. Además 5 tienen las 3
especialidades.
a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC con maestría o
diplomado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC con doctorado o
diplomado?
c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC con maestría o
doctorado?
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d) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC con alguna de las 3
especialidades?
Solución:
A = {x/x CPC con Diplomado}; n (A) = 25
B = {x/x CPC con Doctorado}; n (B) = 18
C = {x/x CPC con Maestría}; n (C)= 28
a) A⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ C}; n(A⋂C) = 14
P (A⋃C) = 25/60 + 28/60 – 14/60
P (A⋃C) = 13/20 = 0.65 ⋍ 65%
b) A⋂B = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B}; n(A⋂B) = 6
P (A⋃B) = 25/60 + 18/60 – 6/60
P (A⋃B) = 37/60 = 0.62 ⋍ 62%
c) B⋂C = {x/x / x ∈ B ^ x ∈ C}; n(B⋂C) = 10
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10 1
7
9 5
9
60
Diplomado Dipl.
o Doctorado
Maestría Dipl.
o
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P (B⋃C) = 28/60 + 18/60 – 10/60
P (B⋃C) = 3/5 = 0.60 ⋍ 60%
d) A⋂B⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B ^ x ∈ C}; n(A⋂B⋂C) = 5
P(A⋃B⋃C) = 25/60 + 18/60 + 28/60 + 5/60 – 14/60 – 6/60 – 10/60
P(A⋃B⋂C) = 23/20 = 0.77 ⋍ 77%
2. En un grupo de 50 CPC, 20 laboran en el sector público, 25 en el
sector privado, 18 de manera independiente. Además 10 laboran en
el sector público y privado, 8 laboran en el sector público y de
manera independiente, 6 laboran en el sector privado y de manera
independiente. Y 2 laboran en el sector público, en el sector privado
y de manera independiente.
e) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC del sector público
o privado?
f) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC del sector público
o labora de manera independiente?
g) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC del sector privado
o labora de manera independiente?
h) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC del sector público,
sector privado y labora de manera independiente?
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Solución:
A = {x/x CPC del sector público}; n (A) = 20
B = {x/x CPC del sector privado}; n (B) = 25
C = {x/x CPC independiente}; n (C)= 18
e) A⋂B = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B}; n(A⋂C) = 10
P(A⋃C) = 20/50 + 25/50 – 10/50
P(A⋃C) = 7/10 = 0.7 ⋍ 70%
f) A⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ C}; n(A⋂C) = 8
P(A⋃C) = 20/50 + 18/50 – 8/50
P(A⋃C) = 3/5 = 0.6 ⋍ 60%
g) B⋂C = {x/x / x ∈ B ^ x ∈ C}; n(A⋂C) = 6
P(A⋃C) = 25/50 + 18/50 – 16/50
P(A⋃C) = 37/50 = 0.74 ⋍ 74%
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6 4
11
6 8
4
50
Independiente Privado
Publico
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h) A⋂B⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B ^ x ∈ C}; n(A⋂B⋂C) = 2
P(A⋃B⋃C) = 20/50 + 25/50 + 18/50 + 2/50 – 10/50 – 8/50 – 6/50
P(A⋃B⋂C) = 41/50 = 0.82 ⋍ 82%
3. En una empresa se presentaron 30 personas para ocupar las vacantes
de empleo disponibles, de las personas 10 son contadores, 12 son
economistas, 18 son administradores. Además 5 son contadores y
economistas, 6 son economistas y administradores, 6 son contadores
y administradores. Y 4 son contadores, economistas y
administradores.
i) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un contador o economista?
j) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un contador o
administrador?
k) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un economista o
administrador?
l) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un contador o economista o
administrador?
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Solución:
A = {x/x contadores}; n (A) = 10
B = {x/x economistas}; n (B) = 12
C = {x/x administradores}; n (C)= 18
a) A⋂B = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B}; n(A⋂C) = 5
P(A⋃C) = 10/30 + 12/30 – 5/50P(A⋃C) = 17/30 = 0.57 ⋍ 57%
b) A⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ C}; n(A⋂C) = 6
P(A⋃C) = 10/30 + 18/30 – 6/30P(A⋃C) = 11/15 = 0.73 ⋍ 73%
c) B⋂C = {x/x / x ∈ B ^ x ∈ C}; n(A⋂C) = 6
P(A⋃C) = 12/30 + 18/30 – 6/30P(A⋃C) = 4/5 = 0.8 ⋍ 80%
d) A⋂B⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B ^ x ∈ C}; n(A⋂B⋂C) = 4
P(A⋃B⋃C) = 10/30 + 12/30 + 18/30 – 5/30 – 6/30 – 6/30 + 4/30P(A⋃B⋂C) = 9/10 = 0.90 ⋍ 90%
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3 1
5
2 2
10
30
Contadores: 10Economistas: 12
Administradores: 18
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2.PROBABILIDAD CONDICIONAL
1. En una empresa, el 20 % de los trabajadores son mayores de 45 años,
el 8 % desempeña algún puesto directivo y el 6 % es mayor de 45
años y desempeña algún puesto directivo.
a) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene más de 45 años y no desempeña
ningún cargo directivo?
b) ¿Qué porcentaje de trabajadores no es directivo ni mayor de 45 años?
c) Si la empresa tiene 150 trabajadores, ¿cuántos son directivos y no tiene
más de 45 años?
Solución:
Se tienen las siguientes probabilidades:
P (mayor de 45 años) = P(+45) = 0,20 P(-45) = 0,80
P (ser directivo) = P(D) = 0,08
P (ser directivo y mayor de 45 años) = P (D⋂+45) = 0,06 P(D⋂-45) =
0,02
a) Por la probabilidad condicionada se tiene:
P (Directivo en el supuesto de ser mayor de 45 años) = P (D/45) = (P
(D/45))/P (45) = 0.06/0.20 = 0.30
En consecuencia:
P(no ser directivo en el supuesto de ser mayor de 45 años) = P(No D/+45)
= 1 - P(D/+45) = 1 - 0,30 = 0,70
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Por otra parte:
P (+45⋂No D) = P(+45) · P(No D/+45) = 0,20 · 0,70 = 0,14
El 14 % de los trabajadores de esa empresa tiene más de 45 años y no
es directivo.
b) Como antes:
P(Directivo en el supuesto de ser menor de 45 años) = P(D/-45 = (P(D/-
45)/P(-45) = 0.02/0.80 = 0.025
Luego:
P(No ser directivo en el supuesto de ser menor de 45 años) = P(No D/-45)
= 1 - 0,025 = 0,975
Por tanto:
P(No D⋂45) = P(-45⋂No D) = P(-45) · P(No D/-45) = 0,80 · 0,975 =
0,78
El 78 % de los trabajadores de esa empresa tiene menos de 45 años y
no es directivo.
c) Si la empresa tiene 150 trabajadores, como P(D⋂-45) = 0,02,
habría 150 · 0,02 = 3 directivos con no más de 45 años.
2. En el departamento de lácteos de un supermercado se encuentran
mezclados y a la venta 100 yogures de la marca A, 60 de la marca B
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y 40 de la marca C. La probabilidad de que un yogur esté caducado
es 0,01 para la marca A; 0,02 para la marca B y 0,03 para la marca
C. Un comprador elige un yogur al azar.
a) Calcular la probabilidad de que el yogur esté caducado.
b) Sabiendo que el yogur elegido está caducado, ¿cuál es la probabilidad
de que sea de la marca B?
Solución:
Con los datos del problema se puede construir la siguiente tabla.
Marca A Marca B Marca C TotalNúmero 100 60 40 200Probabilidad de estar
caducado 0,01 0,02 0,03Número esperado de
yogures en mal 100 · 0,01 = 1 60 · 0,02 = 1,2 40 · 0,03 = 1,2 3,6
Con esto, y como puede leerse directamente en la tabla:
a) P(un yogur esté caducado) = P(marca A)*P(caducado/marca A) +
P(marca B)*P(caducado/marca B) + P(marca C)*P(caducado/marca
C)
P(un yogur esté caducado) = 100/200*0.01 + 60/200*0.02 + 40/200*0.03 =
3.6/200 = 0.018
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b) P(marcaB/cadudado) =
(P(marcaB)*P(caducado/marcaB))/P(caducado) =
(60/200*0.02)/(3.6/200) = 1.2/3.6 = 1/3 = 0.33
3. El estudio sobre los créditos concedidos por un banco multinacional
el pasado año revela que el 42 % de dichos créditos se ha concedido
a clientes españoles, el 33% a clientes del resto de la Unión Europea
y el 25 % a clientes del resto del mundo. De esos créditos, los
créditos hipotecarios suponen, respectivamente, el 30 %, el 24 % y el
14 %. Elegido un cliente al azar que ha recibido un crédito, ¿cuál es
la probabilidad de que el crédito concedido no sea hipotecario?
Solución:
Si se denota por ES, UE y RM los sucesos “cliente español”, “del resto de
la Unión Europea”
y “del resto del mundo”, respectivamente; y por H el suceso “el crédito es
hipotecario” se tiene:
P(ES) = 0,42; P(UE) = 0,33; P(RM) = 0,25
Tenemos también las siguientes probabilidades condicionadas:
P(H/ES) = 0,30; P(H/UE) = 0,24; P(H/RM) = 0,14
Con esto:
P(H) = P(ES) · P(H/ES) + P(UE) · P(H/UE) + P(RM) · P(H/RM) = 0,42 ·
0,30 + 0,33 · 0,24 + 0,25 · 0,14 = 0,2402
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En consecuencia, la probabilidad de que el crédito concedido no sea
hipotecario es:
P(No H) = 1 - P(H) = 1 - 0,2402 = 0,7598
Nota: Puede convenir hacer un diagrama de árbol como el siguiente.
P(no H) = 0,42 · 0,70 + 0,33 · 0,76 + 0,25 · 0,86 = 0,7598
3.LEY DE MULTIPILCACION
1. Un lote contiene 20 artículos de los cuales 12 son
defectuosos y 8 no defectuosos son inspeccionados uno por
uno. Si los artículos son seleccionados al azar sin
reemplazamiento, calcular la probabilidad de que:
a) Los primeros dos artículos sean defectuosos
b) Entre los tres primeros artículos, dos sean buenos
c) El tercer artículo es defectuoso
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d) Si se tiene la siguiente regla: se acepta el lote de 20 artículos si al
observar 4 artículos máximo uno es defectuoso, calcular la
probabilidad de rechazar el lote.
Solución:
Sean los eventos:
,
a ) El evento de interés es y su probabilidad es
b) El evento de interés es y su
probabilidad es
c. El evento de interés
es y su
probabilidad es
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d. Como no se rechaza el lote cuando esxista defectuoso y defectuoso,
entonces
Luego
Rechazar Aceptar
4.PROBABILIDAD TOTAL
1. Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una
ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea
1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se
sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del
2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una
avería
c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una
avería?
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Solución:
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una
avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:
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c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una
avería?
Se debe calcular las tres probabilidades posteriores empleando el Teorema
de Bayes
La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:
La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:
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La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:
Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que
sea de la línea 1, ya que esta probabilidad
2. En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes
probabilidades de ser elegidas:
a) Amarilla: probabilidad del 50%.
b) Verde: probabilidad del 30%
c) Roja: probabilidad del 20%.
Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes
sorteos. Así, si la papeleta elegida es:
a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del
40%.
b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del
80%.
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Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el
que participes?:
1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades
suman 100%
2.- Aplicamos la fórmula:
Luego,
P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
3. Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60%
b) Juan, con una probabilidad del 30%
c) Luis, con una probabilidad del 10%
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el
sueldo es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
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En definitiva, ¿cuál es la probabilidad de que te suban el sueldo?:
1.- Los tres candidatos forman un sistema completo
2.- Aplicamos la fórmula:
P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%.
1.4DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS
A. DISTRIBUCION BINOMIAL
o Según el informe del profesor Augusto Burneo el 30% de los
alumnos del 4to ciclo de contabilidad desaprueban su curso
después de haberlo llevado con él.
Para una muestra aleatoria de 15 alumnos:
¿Cuál es la probabilidad de que ninguno salga desaprobado?
¿Cuál es la probabilidad de que 6 salgan desaprobados?
¿Cuál es la probabilidad de que a lo más sean 2 desaprobados?
¿Cuál es la probabilidad de que salgan desaprobados entre 1 y 3
(Inclusive)?
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Fórmulas a utilizar:
P(X) = C xN PX QN−X
DONDE C xN= N !
X ! (N−X )!
¿Cuál es la probabilidad de que ninguno salga desaprobado?
P (0) = C0150.30 0.715−0
C015= 15 !
0 ! (15−0) !=1
P (0) = 1∗1∗0.715=0.0047476 = 0.47%
- Interpretación: Probabilidad de que ninguno salga desaprobado es
del 0.47%
¿Cuál es la probabilidad de que 6 salgan desaprobados?
P(4) = C6150.36 0.715−6
C615= 15 !
6 ! (15−6)!=¿5005
P (4) = 5005∗0.36 0.79=¿ 0.1472 = 14.72%
- Interpretación: Probabilidad de que 6 salgan desaprobado es del
14.72%
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Datos
N: número de ensayos
P: probabilidad de aprobados
Q: desaprobados, complemento = (1-
p)
MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES
¿Cuál es la probabilidad de que a lo más sean 2 desaprobados?
Para x=0
P (0) = C0150.30 0.715−0
C015= 15 !
0 ! (15−0) !=1
P (0) = 1∗1∗0.715=0.0047476 = 0.47%
Para x=1
P (1) = C1150.31 0.715−1
C115= 15 !
1 !(15−1)!=15
P (1) = 15∗0.31∗0.714=¿ 0.0305 = 3.05%
Para x=2
P (2) = C (¿215)∗0.32∗0.715−2¿
C215= 15 !
2 !(15−2)!=¿105
P (2) = 105∗0.32∗0.713=¿ 0.0915 = 9.15%
Entonces: P(0) + P(1) + P(2) = 0.47 + 3.05 + 9.15 = 12.67% aprox.
- Interpretación: Probabilidad de que a lo más 2 salgan desaprobado
es del 12.67%
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MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES
¿Cuál es la probabilidad de que salgan desaprobados entre 1 y 2
(Inclusive)?
Ya tenemos los datos de P (1), P (2), solo basta sumarlos:
P (1) = 15∗0.31∗0.714=¿ 0.0305 = 3.05%
P (2) = 105∗0.32∗0.713=¿ 0.0915 = 9.15%
Entonces: P (1) + P (2) = 3.05 + 9.15 = 12.2%
- Interpretación: Probabilidad de que salgan desaprobado entre 1 y
2 es del 12.2%
B. DISTRIBUCION DE POISSON
o La probabilidad de que el señor Ricardo Flores gane las elecciones
regionales ha disminuido debido a que no sale a dialogar y
relacionarse con el pueblo y se estima que la probabilidad de que
gane votos es del 0.003.
¿Cuál es la probabilidad de que gane 5 votos al encuestar
3000 personas?
¿Cuál es la probabilidad de que gane 2 votos?
Solución:
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X = 5
λ = 9
P = 0.003
MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES
Fórmula: F(X)= ℮−λ∗λx
x !
λ=E(X)=N (P) = 3000(0.003) = 9
¿Cuál es la probabilidad de que gane 5 votos al encuestar
3000 personas?
F (5)= e−9∗95
5 !=¿0.0607 = 6.07%
- Interpretación: La probabilidad de que gane 5 votos al encuestar a
3000 personas es del 6.97%
¿Cuál es la probabilidad de que gane 2 votos?
F (2)= e−9∗92
2 !=¿0.0049 = 0.49%
- Interpretación: La probabilidad de que gane 2 votos es del 0.47%
C. DISTRIBUCION NORMAL
o En el examen de Contabilidad Superior la nota promedio fue 10 y la
varianza 25. ( = 5)
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya
nota sea≤ que 11?
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MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya
nota sea ≥ que 13.5?
Solución:
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya
nota sea≤ que 11?
P ( x≤ 11)=P ¿
P ( x≤ 11)=P (Z ≤11−10
5)
P ( x≤ 11)=P (Z ≤11−10
5)
P ( x≤ 11)=P (Z ≤15)
P ( x≤ 11)=P (Z ≤ 0.2)
P ( x≤ 11)=0.5793
- Interpretación: la probabilidad de seleccionar al azar un alumno
cuya nota sea≤ que 11 es del 57.93%
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya
nota sea ≥ que 10.5?
P ( x≤ 10.5 )=P ¿
P ( x≤ 10.5 )=P(Z ≤10.5−10
6)
P ( x≤ 10.5 )=P(Z ≤10.5−10
6)
P ( x≤ 10.5 )=P(Z ≤0.55
)
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MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES
P ( x≤ 10.5 )=P(Z ≤0.1)
P ( x≤ 10.5 )=0.5398
P ( x≥ 10.5 )=1−P(Z ≤ 0.1)
P ( x≥ 10.5 )=1−0.5398
P ( x≥ 10.5 )=0.4602
- Interpretación: la probabilidad de seleccionar al azar un alumno
cuya nota sea≥ que 10.5 es del 46.02%
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