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Mat. ANDRÉS YNOÑÁN JIMÉNEZ
MATEMÁTICA BÁSICA
ECUACIONES POLINÓMICAS
ECUACIONES
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PRESENTACIÓN
El curso de Matemática Básica pertenece al plan de estudios de la escuela de Ingeniería Civil de
la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo, estos apuntes se han redactado para
complementar las clases de la primera parte de la asignatura mencionada, de manera que se
logre profundizar en los aspectos teóricos; para el mejor aprovechamiento de las clases, se
recomienda dar una lectura al tema correspondiente antes de las mismas.
Deseándoles éxitos en su carrera de futuros ingenieros, quedo a vuestra disposición para
cualquier crítica, sugerencia, comentario que deseen hacer sobre este material.
EL AUTOR
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ÍNDICE
PRESENTACIÓN………………………………………………………………………..2
ÍNDICE…………………………………………………………………………………….3
ÍNDICE DE FIGURAS …………………………………………………………………..5
LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS………………………………………….6
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………7
CAPÍTULO I: EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
1.1. Los enteros y los números racionales………………………………………...8
1.2. Los Números Reales………………….………………………………………...9
1.3. Orden…………………………………….……………………………………….10
1.4. Expresiones decimales………………………………………………………...11
1.5. Valor Absoluto…………………………..……………………………………….12
1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS……….………………………………………...14
CAPÍTULO II: NÚMEROS COMPLEJOS
2.1. Operaciones Racionales con Números Complejos………………………….17
2.2. Representación Geométrica…………………………………………………….20
2.3. Operaciones con Números Complejos en Forma Polar……………………..22
2.4. Extracción de raíces de un número Complejo……………………………...24
2.5. Raíces n-ésimas de la unidad………………………………………………...28
2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS…………………………………………………..30
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CAPÍTULO III: ECUACIONES POLINÓMICAS
3.1. Ecuaciones…………………..…………………………………………………….34
3.2. Ecuación Lineal………………..…………………………………………………..35
3.3. Ecuación cuadrática……….………………………………………………………36
3.4. Polinomios…………….…………………………………………………………….39
3.5. Raíces Racionales de un polinomio con coeficientes enteros……………….42
3.6 EJERCICIOS PROPUESTOS…………………………………………………….51
REFERENCIAS…………………………………………………………………….........59
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ÍNDICE DE FIGURAS
1. Diagrama de Argand……………………………………………………………..17
2. Conjugado de un número complejo……………………………………………19
3. Coordenadas polares de un número complejo……………………………….20
4. Raíces cúbicas de la unidad…………………………………………………….28
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LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS
: y
: o
: entonces
: si, y sólo si
: para todo
: existe algún
! : existe un único
: es equivalente a
: es subconjunto de
: intersección
: unión
: por lo tanto
: valor absoluto, ó modulo.
1i : unidad imaginaria
)Re(z : parte real de z
)Im(z : parte imaginaria de z
R : Números reales.
C : Números complejos
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INTRODUCCIÓN
En la formación en ingeniería, la Matemática desempeña un rol capital, y el sostén de la estructura
de conocimientos a adquirir lo constituye la Matemática Básica.
Si bien el presente trabajo está basado en las clases que el autor impartió durante los semestres
2010-I y 2011-I en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Católica Santo Toribio de
Mogrovejo, se ha profundizado en algunos temas (que por falta de tiempo no se llegan a cubrir)
con el propósito de fundamentar más la teoría y que sirvan de fuente de consulta no sólo durante
el semestre en curso sino para ulteriores necesidades; ya que a lo largo de su carrera, los
estudiantes siempre encuentran algunos vacíos.
El tema central del trabajo son las Ecuaciones Polinómicas, cuya importancia estriba en que toda
ecuación algebraica puede transformarse en una de éstas. Lo mismo se aplica para las
inecuaciones que pueden reducirse a comparar una expresión algebraica con cero. Pues bien el
problema consiste en hallar los ceros de un polinomio con coeficientes racionales; aunque en
muchos problemas, los coeficientes son obtenidos por medio de mediciones, por tanto tendrán
que aproximarse a números racionales.
Se ha pretendido que la teoría presentada sea suficiente para abordar este problema y se ha
ilustrado con numerosos ejemplos tratando de sistematizar el procedimiento, combinando en un
mismo problema hasta tres recursos para hacerlo más eficiente; a ello contribuyen la Regla de
Descartes y los límites o cotas de las raíces para restringir a un intervalo la localización de esas
raíces, descartando las que caen fuera de esos límites y reduciendo el número de ensayos para
comprobar si son o no raíces racionales.
El material consta de tres capítulos. El primero trata del conjunto de los números reales dotado
con una estructura de campo y una relación de orden. El segundo, del conjunto de los números
complejos, base para el estudio de las ecuaciones Polinómicas, enfatizando en la extracción de
raíces y analizando las raíces n-ésimas de la unidad. El tercer capítulo trata de las ecuaciones
Polinómicas, donde el Teorema de las raíces racionales no proporciona las “otras raíces”; en
realidad, este problema no es sencillo, se incluye la Regla de Descartes y la acotación de raíces,
que son temas no muy tratados, pero que no son restrictivos respecto a la naturaleza de los
coeficientes y a las raíces del polinomio, y valen, por tanto, para analizar cualesquiera de éstos.
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CAPÍTULO I
EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Lord Kelvin afirmaba: “Cuando aquello de lo que se está hablando puede medirse y expresarse
con números, se sabe algo acerca del mismo; pero cuando no puede medirse, cuando no puede
expresarse en números, el conocimiento es de calidad pobre e insatisfactorio.”
Con esta frase Kelvin quiso destacar que los sistemas numéricos son herramientas indispensables
para comprender el mundo en que vivimos.
Se podría preguntar si contamos con un sistema numérico adecuado para satisfacer las
demandas del mundo donde nos desarrollamos.
Los conjuntos N de los números naturales, Z (del alemán zahlen) de los números enteros y Q de
los números racionales, proporcionan medios para el establecimiento de modelos en muchas
áreas de razonamiento cuantitativo como el contar, comparar, ordenar, medir codificar, etc. Si
tenemos en cuenta que N Z Q, podría pensarse que los números racionales son lo último en
sistemas numéricos, sin embargo son insuficientes para medir todas las longitudes, por lo que hay
que introducir los números irracionales I. La unión de Q e I forma el conjunto de los números
reales que se denota con R, es decir, R=Q I.
El conjunto R de los números reales representa un paso importante en el desarrollo de los
conceptos y métodos cuantitativos, siendo lo suficientemente rico para satisfacer nuestras
necesidades así como para describir y realizar razonamientos acerca de procesos de
aproximación.
1.1. Los enteros y los números racionales.
Los números más simples son los números naturales 1, 2, 3, 4, 5,6,...
Con ellos podemos contar nuestros libros, nuestros amigos, nuestro dinero; si agregamos sus inversos aditivos y el cero, obtenemos los enteros:
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
Cuando tratamos de medir longitudes, pesos o voltajes, los enteros son inadecuados. Están
demasiado espaciados para dar la suficiente precisión. Llegamos a considerar los cocientes
(razones) de los enteros, como números, tales como
1
14,
3
15,
2
17,
4
19,
7
6,
5
4
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Los números que se pueden escribir en la forma nm
, donde m y n son enteros y 0n , se
llaman números racionales.
¿Sirven los números racionales para medir todas las longitudes? No. Este
sorprendente hecho fue descubierto por los antiguos griegos, demostraron que a pesar de
que 2 mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen longitudes
unitarias, no puede escribirse como cociente de dos enteros. Por tanto, 2 es un irracional
(no racional). También lo son ,2,5,3 3
.
1.2. Los Números Reales
Considérese al conjunto de todos los números (racionales e irracionales) que pueden
medir longitudes, junto con sus inversos aditivos y el cero. Esos números se llaman
números reales.
Las cuatro operaciones aritméticas: Dados dos números reales x , y podemos
sumarlos o multiplicarlos para obtener dos nuevos números reales yx y yx. .La
adición y la multiplicación tienen las siguientes propiedades de campo.
PROPIEDADES DE CAMPO
1. Conmutativas. xyyx yxxy
2. Asociativas. zyxzyx )()( zxyyzx )()(
3. Distributiva. xzxyzyx )(
4. Elementos Neutros. Hay dos números distintos, 0 y 1, que satisfacen las identidades
xx 0 y xx 1.
5. Inversos. Cada número tiene un inverso aditivo (opuesto), x , que satisface
0)( xx
Además, cada número x , excepto cero, tiene un inverso multiplicativo (recíproco), 1x , que satisface
1. 1 xx .
La sustracción y la división se definen por:
)( yxyx y
1. yxy
x
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PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN : “En cualquier proposición concerniente a los números reales,
todo número real puede ser reemplazado por su igual sin alterar el valor veritativo de tal
proposición”
Como ejemplo, para los casos de adición y multiplicación se tiene
Si a=b y c=d, entonces a+c=b+d
Si a=b y c=d, entonces ac=bd
TEOREMA: Sean a y b números reales, entonces:
000 baab
1.3. Orden. Los números reales distintos de cero se separan en forma adecuada en dos
conjuntos disjuntos –Los números reales positivos y los números reales negativos.
Esto permite introducir la relación de orden < (“es menor que”) mediante
Se acepta que yx y xy significan lo mismo.
Entonces, si –3<-1, también –1>-3.
La correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos sobre una recta
puede ser utilizada para ilustrar geométricamente la relación de orden <. La relación
yx establece que al graficar en una recta, el número x se encuentra a la izquierda
del número y.
PROPIEDADES DE ORDEN
1. Tricotomía. Si x y y son números, se cumple una y sólo una de las siguientes
propiedades:
yx o yx o yx
2. Transitividad. yx y zy zx
3. Aditiva. zyzxyx
4. Multiplicativa. Si 0z y yzxzyx
Si 0z y yzxzyx
Obsérvese que R, provisto de una relación de igualdad (=); dos operaciones: adición y
multiplicación; y una relación de orden ya no es un simple conjunto, sino lo que se conoce
como el sistema de los números reales.
xyyx es positivo
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1.4. Expresiones decimales.
Todo número racional admite representación decimal que puede obtenerse mediante el
algoritmo de la división. Por ejemplo
...181818.1
11
13
...6666,13
5
375,08
3
También los números irracionales pueden expresarse como decimales. Por ejemplo
...7320508,13
...41421356,12
...14159265,3
La representación decimal de un número racional o bien es finita o se repite en ciclos
regulares hasta infinito. Un decimal finito puede ser considerado como uno en el que
se repiten ceros como en ...375000,0375,0
8
3
Por tanto, todo número racional puede escribirse como un decimal periódico. Es un
hecho notable que el inverso también es cierto. Todo decimal periódico representa
un número racional. Esto es obvio en el caso de un decimal finito (por ejemplo,
2,135= 1000
2135
).
EJEMPLO. Los decimales periódicos son racionales. Demuestre que
...167167167,0x y ...2434343,0y
Representan sendos números racionales.
Solución: Restamos x de 1000x para después despejar x.
1000x=167,167167...
x= 0,167167...
999x=167
999
167x
- 12 -
En forma similar,
990
241
99
1,24
24,1=99y
..0,2434343. =y
...24,3434343=100y
y
En general, el primer paso consiste en multiplicar un decimal periódico z por m10 si
los decimales que se repiten en cada ciclo constan de m dígitos.
Las representaciones decimales de números irracionales no se repiten en ciclos.
Recíprocamente, un decimal no periódico debe representar un número irracional. Por
ejemplo,
0,101001000100001...
2,010011000111...
1,20878877888777...
representan números irracionales.
R
Números racionales Q
(decimales periódicos)
Números irracionales I
(decimales no periódicos)
1.5. Valor Absoluto.
Definición Sea Ra . El valor absoluto de un número real a se denota por a y se define
0
00
0
aaa
aa
aaa
Ejemplos:
1. 1212
2. 4)4(4
3. 12)21(21
, pues 021
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PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
1. baab
2. b
a
b
a
3. baba Desigualdad triangular
Interpretación Geométrica Una de las mejores formas de pensar en el valor absoluto
consiste en hacerlo como distancia (no dirigida). En particular, a
es la distancia entre a y
el origen. En forma semejante, ax
es la distancia entre x y a .
44 44
-4 0 4
532)2(3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
xaax
a x
Definición La distancia entre dos puntos P y Q cuyas coordenadas son a y b
respectivamente se define por
baQPd ),(
EJEMPLOS
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1. Determina la distancia entre los puntos P y Q cuyas coordenadas son –2 y 5
respectivamente.
7752),( QPd
Calcula ),( PQd y compara el resultado anterior.
2. ¿Cuáles son los puntos que se encuentran a 3 unidades del punto Q cuya coordenada es
5?
Sea x la coordenada de los puntos que verifica tal condición.
Se sabe que 5),( xQPd
y esta distancia es de 3 unidades, es decir 35 x
Por definición de valor absoluto esta ecuación admite dos posibilidades:
8
35
x
x
ó 2
35
x
x
Gráficamente se trata de encontrar los puntos que distan 3 unidades del punto Q.
3 3
x 5 x
Es fácil identificar cuáles son esos números, 2 y 8 son los únicos números que distan 3
unidades del número 5.
3. Determina el conjunto de puntos que equidistan del punto 3 en menos de 2 unidades. Solución: Sean x las coordenadas de los puntos que satisfacen la condición dada,
51232232),( xxxQPd
Los números reales que verifican tal condición se encuentran en el intervalo 5;1 .
1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Simplifique
a) )95(2)136(34
b)
5
1
3
1
2
1
5
2
3
1
c) 625,04
3
d) )11
25(572,0
- 15 -
e) 98,0
7
51
f)
8
7
4
3
2
18
7
4
3
2
1
g)
4
32
21
h) 333 16242
i)
2
22
5
2
1
j)
...0666,2...111,3
10
9...0555,0...666,05,0
k)
n
11...
6
11
5
11
4
11
3
11
l) 85072
2
2. ¿Cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles irracionales?
4 375,0
21
231
2523
25
3.
Es la suma de dos números irracionales, necesariamente irracional?
4. Cambie los decimales periódicos por una razón entre enteros 0,123123123... 0,217171717... 2,56565656... 0,39999999... 3,2272727...
5. Encuentre un número racional entre 37
17
y 111
52.
6. ¿Cuál es el cociente de dividir la fracción decimal periódica 1,0111..., entre la fracción decimal periódica 0,0909...?
7. Halle el valor de 12
12
8. Halla lo que le falta a la mitad de del triple de los 4/7 de la octava parte de 28/3 para ser igual al doble de las 2/5 partes de la cuarta parte de 35.
9. Determina el valor de 26,3691,0
10. Determina las coordenadas de los puntos que se encuentran a 5 unidades del punto Q cuya coordenada es –3.
11. Encuentra el conjunto de todos los puntos que distan a lo más en 2 unidades del punto Q cuya coordenada es 5
12. Encuentra el conjunto de todos los puntos que distan por lo menos 2 unidades del punto Q cuya coordenada es 5
13. Las edades de los alumnos de una clase oscilan entre 16 años 2 meses y 18 años 7meses. Determina un intervalo en el que estén contenidas estas edades (en meses); asimismo encuentra un intervalo en el que estén las edades de sus padres, suponiendo que éstos tienen el doble de meses de vida que sus hijos.
16
CAPÍTULO II
NÚMEROS COMPLEJOS
Las extensiones graduales de los sistemas de números permiten realizar las
operaciones racionales involucrando números y también la nueva operación de extraer
la raíz de un número positivo. Sin embargo no todas las operaciones pueden llevarse a
cabo en el dominio de los números reales. Por ejemplo es imposible extraer la raíz
cuadrada de un número negativo.
Mientras que la ecuación 012 x es resuelta en el dominio de Q: 1x , y la
ecuación 022 x es resuelta en el dominio de R: 2x , la ecuación 012 x
no tiene raíces reales. Así, ecuaciones aparentemente similares de grado dos,
01y ,01 22 xx resultan ser extremadamente diferentes en cuanto a sus
propiedades: una tiene dos soluciones, la otra no tiene solución! Esta situación puede
ser rectificada introduciendo un nuevo tipo de los así llamados números complejos que
extienden el conjunto de los números reales (así como el conjunto de números
racionales extiende el conjunto de los enteros, etcétera).
Introduciendo el símbolo i , llamado unidad imaginaria, que satisface la ecuación
012 x :
1 o 01 22 ii
Considerando el conjunto de todos los binomios de la forma
bia
donde ba , son números reales arbitrarios, conviniendo en llevar a cabo las
operaciones de adición, sustracción y multiplicación de estos binomios de acuerdo con
las reglas ordinarias del álgebra con la única condición adicional:
1. 2 iii
El conjunto 1,,/ 2 iRbabiaC es llamado el conjunto de los números
complejos. Con respecto al número complejo biaz , el número a se llama la parte
real de z y se denota a=Re(z), y el número b se llama la parte imaginaria de z y se
denota por b=Im( z ). El número complejo bia puede también ser representado por
el par ordenado ),( ba y ploteado como un punto en un plano (llamado plano de
Argand), a éste número complejo se le llama el afijo del punto. Como cada punto del
plano se determina completamente por el radio vector de este punto, a cada número
complejo le corresponde un vector determinado, situado en el plano y que va del
origen al punto que corresponde al número complejo. De esta manera, los números
complejos pueden representarse tanto por puntos como por vectores. Así el número
complejo ii .10 es identificado con el punto (0,1) y con el vector unitario en la
17
dirección del eje Y. En el plano de Argand el eje X es llamado eje real y el eje Y, eje
imaginario.
Dos números complejos bia y dic son iguales si dbca y . Para los
números complejos no existen los conceptos de “mayor” y ”menor” .
Los números reales son considerados como un caso especial de los números
complejos. Esto significa que si la parte imaginaria de un número complejo es 0, en
lugar de iaz 0 se escribe az y no se distinguirá entre este número complejo y
el número real a . En particular, un número complejo es igual a cero si y sólo sí sus
partes real e imaginaria son iguales a cero; 000 babia
Un número complejo en el que la parte real es cero puede también ser escrito como
biz y es llamado un número imaginario puro. El término “número imaginario” es
ordinariamente usado para señalar que el número complejo biaz no es real, esto
es, que tiene una parte imaginaria no nula 0b .
Fig. 1. Plano de Argand
2.1) Operaciones Racionales con Números Complejos.
La suma y la diferencia de dos números complejos se definen sumando o
sustraendo sus partes real e imaginarias
idbcadicbia
idbcadicbia
)()()()(
)()()()(
Por ejemplo: iiii 65)71()41()74()1(
El producto de números complejos es definido de modo que las leyes conmutativas y
distributivas usuales se verifican:
ibcadbdac
bdibciadiac
dicbidicadicbia
)()(
))(()())((
2
18
EJEMPLO 1.
i
ii
iiiii
1113
)1(15652
)52(3)52)(1()52)(31(
El producto de dos o más factores puede ser encontrado por multiplicación sucesiva.
Las potencias naturales de un número complejo, por ejemplo 32 )( ,)( biabia y en
general nbia )( pueden ser encontradas por medio de fórmulas para el cuadrado de
una suma, el cubo de una suma y, generalmente, por el teorema del binomio. Es
entonces conveniente hacer uso de la regla general para elevar la unidad imaginaria i
a cualquier potencia entera positiva. Puesto que:
1 , ,1 432 iiii
Y después: kkn ii 4
EJEMPLO: Encuentre (a) 98 i , (b) 259i .
(a) 98=4(24)+2, entonces 1298 ii
(b) 259=4(64)+3, y así iii 3259
EJEMPLO: Calcular 3)32( i .
Usando la fórmula para el cubo de una suma:
iiiiiii 94627543682754368)32( 323 .
Complejo conjugado Del número biaz , es biaz _
Obviamente zz
El producto de dos números complejos conjugados es un número real no negativo:
22_
))(( babiabiazz
El número zbazz 22_
es llamado el módulo del número complejo bia . El
módulo de un número complejo es su distancia al origen.
19
La división de números complejos es muy similar a la racionalización del denominador
de una expresión racional. Para encontrar el cociente de dos números complejos se
multiplica numerador y denominador ( 0 ) por el conjugado del denominador. El
procedimiento siempre funciona: 2
_
_
_
w
wz
ww
wz
w
z , 0w . En particular
2
_
_
_
1
w
w
ww
w
w
EJEMPLO 2. i
i
52
31
ii
i
i
i
i
i
i
29
11
29
13
52
1113
52
52.
52
31
52
3122
La interpretación geométrica del complejo conjugado es mostrado en la figura 2: _
z es
la reflexión de z con respecto al eje real.
Figura 2. Conjugado de un número complejo
PROPIEDADES DE LA CONJUGADA:
1. zz _
2. wzwz
3. wzzw
20
4. w
z
w
z
En conclusión, todas las operaciones racionales, excepto la división por cero puede
ser llevada a cabo con números complejos y el resultado es siempre un número
complejo. Por lo tanto los números complejos forman un campo numérico llamado el
campo de los números complejos. La diferencia esencial que presenta con relación
al campo de los números reales consiste en que no es ordenado. En efecto, si fuera
ordenado, con 0i , caben dos posibilidades: 0 0 iói .
En el primer caso, 010.0. 2 iiii , lo que es absurdo.
En el segundo caso, 010.0.0 2 iiiii , lo que también es absurdo.
2.2) Representación Geométrica.
Para obtener el vector que representa la suma o la diferencia de dos o varios números
se deben sumar o restar los vectores que representan estos números según las reglas
de las operaciones con los vectores como la regla del paralelogramo o de la poligonal.
FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA. La expresión de un número complejo
biaz se llama forma algebraica o binómica; si en lugar de las coordenadas
cartesianas del punto que representa al número complejo ),( ba , se introducen sus
coordenadas polares ),( r con 0r , se tienen las relaciones sen ,cos rbra ;
como en la figura 3.
Figura 3. Coordenadas polares de un número complejo
Por tanto irrbiaz )sen(cos , así se puede escribir cualquier número
complejo en la forma:
)sen(cos irz
donde 22 bazr y a
btan
NOTACIONES ALTERNATIVAS:
irerrcisisenr )(cos
21
El ángulo es llamado el argumento de z y se escribe )arg( z . Note que )arg( z
no es único; cualesquiera dos argumentos de z difieren en un entero múltiplo de 2 .
NOTA. Para dos números conjugados se cumple que son simétricos con respecto al
eje real, sus módulos son iguales y sus argumentos se diferencian en el signo.
EJEMPLO 3. Escribir los siguientes números en forma polar (o trigonométrica).
(a) iz 1 (b) iw 3 (c) i3 (d) -10
SOLUCIÓN:
(a) 211 22 zr y 1tan , así se puede tomar 4 .
Por lo tanto la forma polar es
44cos2
isenz
(b) 213 wr y 3/1tan . Puesto que w está en el cuarto cuadrante,
se toma 6
66cos2
isenw
(c) 3r , puesto que el afijo está en el eje Y, 2/ .
22cos33
iseni
(d) 10r , por estar en la parte negativa del eje X,
isen cos1010
EJEMPLO 4: Escribir las expresiones binomias y trigonométricas de los seis afijos
que ocupan los vértices de un exágono regular de lado 4. El primer vértice coincide
con el origen y el primer lado coincide con el eje real.
22
SOLUCIÓN: Se sugiere hacer un diagrama del exágono, los seis afijos son:
1. 0+0i 0(cos0°+isen0°)=0cis0°
2. 4+0i 4(cos0°+isen0°)
3. i326 )3030(cos34 isen
4. i344 )6060(cos8 isen = 608
5. i340 )9090(cos34 isen
6. i322 )120120(cos4 isen
2.3) Operaciones con Números Complejos en Forma Polar
La forma polar de los números complejos da una idea para multiplicar y dividir.
Sean: )(cos )(cos 22221111 isenrzisenrz dos números complejos
escritos en forma polar. Entonces
)()cos(
)coscos()cos(cos
))(cos(cos
212121
2121212121
22112121
isenrr
sensenisensenrr
isenisenrrzz
Esta fórmula dice que para multiplicar dos números complejos se multiplican los
módulos y se suman los argumentos. Geométricamente el vector que representa el
producto 21zz se obtiene haciendo girar el primer vector un ángulo igual al
argumento del segundo, en sentido anti horario, y alargándolo después por el
módulo del segundo vector. En particular, al multiplicar un número z por i , el
vector que representa al número z gira un ángulo 2/ sin alterar su longitud.
Un argumento similar muestra que para dividir dos números complejos se dividen
los módulos y se restan los argumentos. Geométricamente el vector que
23
representa el cociente 21 / zz , se obtiene haciendo girar al vector que representa al
número 1z el ángulo )arg( 2z en sentido horario, contrayéndolo después 2z veces.
0 )()cos( 22121
2
1
2
1 zisenr
r
z
z
En particular, tomando zzz 21 y 1 , (y por lo tanto 21 y 0 ), se tiene:
)(cos11
)(cos isenrz
isenrz , que se ilustra en la figura.
EJEMPLO 5: Encuentre el producto de los números i1 y i3 en forma polar.
SOLUCIÓN: Se tiene:
44cos21
iseni
66cos23
iseni
1212cos22
6464cos22)3)(1(
isen
isenii
24
El uso iterado de la fórmula para el producto muestra como calcular potencias de
un número complejo.
)33(cos y
)22(cos entonces
)(cos Si
323
22
isenrzzz
isenrz
isenrz
TEOREMA.(de De Moivre´s) Si )(cos isenrz y n es un entero positivo,
entonces:
)sen(cos)(cos ninrisenrz nnn
Para elevar a la enésima potencia de un número complejo, se eleva a la enésima
potencia el módulo y se multiplica el argumento por n . En notación compacta:
nrzrz nn ciscis
EJEMPLO 6: 215cis243)215215(cos243)4343(cos35
isenisen .
El teorema también es válido para potencias enteras negativas: )cis(- nrz nn
Si el número estuviera dado en su forma algebraica o binómica, se escribe primero
en su forma polar y se eleva a la potencia necesaria usando De Moivre´s. Esta
relación es muy importante su efectividad en la resolución de diversos problemas.
EJEMPLO 7: Hallar sen2y 2cos en términos de cosy sen
SOLUCIÓN. Por De Moivre´s: isen22cos)sen(cos 2 i
Desarrollando el primer miembro:
)sencos2(sencossensencos2cos)sen(cos 222222 iiii .
Igualando las partes reales e imaginarias:
cossen2sen2y sencos2cos 22
2.4) Extracción de raíces de un número Complejo.
El teorema de De Moivre´s puede ser usado para encontrar las n raíces de un
número complejo. Una n-raíz del número complejo z es un número complejo
w tal que zwn .
Escribiendo estos dos números en forma polar como:
)(cosy )(cos isenrzisensw
25
Usando De Moivre´s: )(cos)sen(cos isenrninsn
nn rsrs /1
sennn seny coscos
Puesto que el seno y el coseno tienen periodo 2 se sigue que:
n
kkn
22
Así
n
kisen
n
krw n 22
cos/1
Puesto que esta expresión da diferentes valores de w para k=0, 1, 2, …, n-1,
se tiene lo siguiente:
RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO: Sea )(cos isenrz y sea n un
entero positivo. Entonces z tiene las n raíces distintas:
n
kisen
n
krw n
k
22cos/1 , k=0, 1, 2, …, n-1
Note que cada una de las n raíces de z tiene módulo n
k rw /1 . Así todas las
n raíces de z caen en una circunferencia de radio nr /1 en el plano complejo.
También, puesto que los argumentos de cada raíz enésima sucesiva excede al
argumento de la raíz previa por n/2 , las n raíces de z están igualmente
espaciadas sobre esta circunferencia.
EJEMPLOS:
1. Encontrar todos los valores de las raíces (a) 4 16 , (b) 3 27 .
Solución. (a) En forma polar el número complejo -16 es:
)(cos1616 isen
Usando la fórmula con n=4:
4
2
4
2cos1616 44 k
isenk
wk , para k=0, 1, 2 y 3:
26
)1(24
7
4
7cos2
)1(24
5
4
5cos2
)1(24
3
4
3cos2
)1(244
cos2
3
2
1
0
iisenw
iisenw
iisenw
iisenw
(b) )00(cos2727 isen , con n=3 la fórmula da:
iw
iw
w
kisen
kwk
2
3
2
13
2
3
2
13
3
3
2
3
2cos327
2
1
0
3
2. Encuentre las seis raíces de -8 y grafíquelas
SOLUCIÓN: )(cos88 isen , aplicando la fórmula con n=6
6
2
6
2cos8 6/1 k
isenk
wk , para k=0,1,2,3,4,5 se tiene:
iisenw
iisenw
iisenw
iisenw
iisenw
iisenw
2
1
2
32
6
11
6
11cos8
22
3
2
3cos8
2
1
2
32
6
7
6
7cos8
2
1
2
32
6
5
6
5cos8
222
cos8
2
1
2
32
66cos8
6/1
5
6/1
4
6/1
3
6/1
2
6/1
1
6/1
0
27
3. Calcular 34 27 (b) , 388)a( ii
SOLUCION:
(a) calculando 16)38()8( 22 r ,
3
4240 ,3
8
38tan
IIIC
Así: 240240cos16388 iseni , entonces para n=4,
k=0,1,2,3.
)9060()9060cos(24
360240
4
360240cos16 4/1 kisenk
kisen
kwk
iisenw
iisenw
iisenw
iisenw
3330330cos2
31240240cos2
3150150cos2
316060cos2
3
2
1
0
(b) )9090(cos2727 iseni , con n=3, y haciendo variar k=0, 1, 2.
)12030()12030cos(3)3
36090
3
36090(cos27 3/1 kisenk
kisen
kwk
iisenw
iisenw
iisenw
3270270cos3
2
3
2
33150150cos3
2
3
2
333030cos3
2
1
0
28
2.5) Raíces n-ésimas de la unidad.
Las soluciones de la ecuación 1nx , donde Zn , se llaman las raíces n-
ésimas de la unidad y están dadas por:
)/2(22cos nki
k en
kisen
n
kw
, k=0, 1, 2,…, n-1.
Si hacemos )/2(22
cos nien
isenn
w , entonces, puesto que
k
k ww las
n raíces de la unidad son: 132
0 ,...,,,,1 nwwwww ; esto significa que todas las
raíces de la unidad son expresadas como potencias de 1ww , es decir, 1w
genera todas las n-ésimas raíces de la unidad, de aquí que 1w recibe el
nombre de raíz primitiva de la unidad de orden n. Geométricamente estas
raíces representan los n vértices de un polígono regular inscrito en una
circunferencia de radio unidad con centro en el origen.
PROPIEDAD: La suma de las n raíces de la unidad es cero:
0...1 132 nwwww
EJEMPLO 1: Resolver 013 x
Solución: 2,1,0 ),3/2()2()2(13/133 kkciskcisxkcisxx
10 00 wcisw
icisw
icisw
2
3
2
1)3/4(
2
3
2
1)3/2(
2
Fig. 4. Raíces cúbicas de la unidad
29
CONSECUENCIAS:
1. Los afijos de las raíces cúbicas de la unidad son los vértices de un
triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio unitario. Fig. 4.
2. 12 ww
3. Se comprueba fácilmente que: 2
2 ww , es decir una raíz es el
cuadrado de la otra, sin considerar la solución 10 w .
4. 01 2 ww
5. 13 w , lo que implica que: 13 kw .
El ejemplo también se pudo resolver como ecuación algebraica por factorización:
0)1)(1(01 23 xxxx
01 01 2 xxx
La segunda es una ecuación cuadrática y la fórmula cuadrática arroja las mismas
soluciones que las encontradas.
EJEMPLO 2: Si 01 2 ww , hallar )1)(1)(1)(1)(1( 5432 wwwww .
Solución. Multiplicando la ecuación por 01w ,
)1.(0)1)(1( 2 wwww
013 w
13 w
En este caso, 13 w , lo cual no implica que 1w , puesto que se impuso la
condición: 1w , en este caso 1w cumple con la última ecuación pero no con la
original, ya que se tendría que 0111 2 (absurdo). Esta es una solución
“extraña” que aparece cuando se multiplica por una cantidad (en este caso 1w si
no se hubiera impuesto la condición) que es igual a cero; he ahí la razón por la que
se condiciona que el factor a multiplicar ambos lados de una ecuación sea distinto
de cero.
Ahora bien 1w no es solución de 01 2 ww , pero la siguiente relación
13 w , que se dedujo, es válida y reglas de la potenciación son válidas también,
por tanto: 254 , wwww , reemplazando en:
30
)1)(1)(1)(1)(1( 5432 wwwww
se tiene:
2
2
)0)((2
)1)(0(2
)1)(1(2
)2)(21)(21(
)2()1()1(
)1)(1)(11)(1)(1(
3
2
22
4222
422
222
22
w
ww
wwww
wwwwww
wwww
ww
wwww
Otra forma de resolver el ejercicio es utilizar el carácter cíclico o circular de las
soluciones. Se deduce de la relación 01 2 ww
ww
ww
wwwwww
2
2
2332
1
1
10
Reemplazando en: )1)(1)(1)(1)(1( 5432 wwwww , resulta
22
))()(2(
)1)(1)(11)((
3
23
22
w
www
wwww
2.6) EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Calcular: 32012239 ,,, iiii
2) Realice las siguientes operaciones:
a) )23)(32()23)(32( iiii
b) i
i
i
i
3
35
2
4
c) ii
4
1
4
1
31
d) i
ii
i
ii
3
)3)(1(
3
)3)(1(
e)
ii
2
12
3) Ubique en el plano complejo los afijos de los siguientes números:
iiiiii 4 ,32 ,4 ,21 ,3 ,42 ,3 ,23
4) Dados los números iwiviz 21 ,3 ,32 .
Hallar:
v
zwvwz Im ),Re(
5) Efectuar lo indicado para los números iwiviz 53 ,43
1 ,32 :
(a) vz 3 , (b) vw
z , (c) wz
6) Resuelva y justifique por qué hay más de una solución
ii
in
n
nn
1!1!16
!!
7) Calcular n: ii n 32)1(
8) Encontrar un valor para la expresión: 52 iii
9) Escriba los siguientes números complejos en su forma polar:
111sen111cos ,48cos48sen ,31 ,2 ,3 ,5 ,6 ,22 ,22 iiiiiiii
10) Efectúe:
(a) )37sen37(cos4).12sen12(cos2 ii
(b) )7
sen7
).(cos5
sen5
(cos3
ii
(c) )40sen40(cos24
1).31sen31(cos8).19sen19(cos6 iii
(d) i
i
1
232
32
11) Calcular:(a)
10
1
31
i
i, (b)
)44(cos128)1515(cos2
)1212(cos8)2323(cos47
25
isenisen
isenisenE
(c) 20)1( i , (d) 862 i , (e)
60
2
3
2
1
i , (f) 3)1( i
12) Efectuar la potencia en forma algebraica y trigonométrica:
6
2
31
i
13) Si iw )13()13( , donde 12
5)32arctan( . Hallar )Re( 12w
14) Sean los números complejos:
44cos )15(cos15 21
isenzisenz
izisenz2
2
2
2
44cos 43
Calcule: 1
2
4
3
2
41 )(
z
z
z
zz
Por la forma polar.
15) Indicar el argumento principal e interpretar geométricamente:
E=1+cos20°+isen20°
16) Calcular:
Z donde ,
)1(
)1(2
ni
iE
n
n
17) Uno de los vértices de un octógono regular coincide con el afijo del complejo
15215cos2 isenz . Hallar los vértices restantes (o una fórmula que
permita calcularlos).
18) Utilizando la fórmula de De Moivre´s demostrar lo siguiente:
xxxx
xxxx
23
32
sencos3cos3cos
sensencos33sen
19) Calcular la primera raíz de 4 81
20) Determinar y representar gráficamente las raíces que se indican:
(a) 6 1 , (b) 3 8 , (c) 3 i , (d) 4 1 i , (e) 3 22 i , (f) 3 3 i
33
21) Sabiendo que los complejos 2,,1 ww satisfacen la relación 13 x , verificar:
4)1)(1( ,)1( 2242 w-ww-w ww
22) Reducir:
100
0
kzk
i ,
100
1
k
k
iz
23) Calcular 4z ; siendo Raisensen
az
,
24) Sabiendo que n=3k, demostrar que:
22
3
2
1
2
3
2
1
nn
ii
34
CAPÍTULO III
ECUACIONES POLINÓMICAS
Las cantidades algebraicas (números o letras) que están unidas entre sí por los signos
de las operaciones algebraicas )etc , :, , ,( y por los signos del orden de sucesión
de estas operaciones (signos de agrupación) se llaman expresiones algebraicas. La
igualdad de dos expresiones algebraicas que es válida para cualesquiera valores que
se asignen a sus variables se llama identidad, y si la igualdad sólo es válida para
algunos valores, se llama ecuación.
Transformar una identidad es obtener una expresión algebraica de otra, idénticamente
igual a ella; la cual puede realizarse de diferentes maneras, según sea el fin de la
transformación. Por ejemplo, el dar a la expresión una forma más reducida y cómoda
para el reemplazo de sus valores numéricos o para las transformaciones posteriores:
reducción a una forma cómoda para la solución de ecuaciones, el cálculo de
logaritmos, etc.
Una ecuación se llama algebraica, si sus dos miembros son expresiones algebraicas
(racionales o irracionales). Uno de ellos puede ser constante.
El capítulo trata con énfasis las ecuaciones polinómicas, cuya importancia estriba en
que toda ecuación algebraica mediante transformaciones puede ser llevada a una
ecuación de la forma 0)( xP , que tiene las mismas raíces que la dada (y,
posiblemente, algunas extrañas). Aquí el primer miembro es un polinomio. Por
ejemplo, la ecuación
x
x
x
xx 31
)2(3
61 2
Se transforma sucesivamente del siguiente modo:
032472058620024
32472058020025)6(
182056
18153636
)3)(2(3)2(361
234
23422
22
2222
2
xxxx
xxxxxxx
xxxx
xxxxxxxx
xxxxxxx
3.1.- Ecuaciones en una variable.
Sea E(x) una expresión algebraica, a la igualdad E(x)=0 o a cualquier otra que se
pueda reducir a ella se le llama ecuación. Por ejemplo, si 123)( 2 xxxE .
Entonces 123 2 xx =0 es una ecuación.
35
El valor real , se llamará raíz ó solución ó cero de E(x)=0, si y sólo si E( )=0, así
por ejemplo se tiene que una raíz (un cero) de 123 2 xx es –1.
Conjunto solución de una ecuación es aquel cuyos elementos son todas las raíces
(ceros) de ella. Para nuestra ecuación 123 2 xx =0, su conjunto solución es CS={-
1;1/3}.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Por ejemplo las
ecuaciones x + 3=4 y 25)12(3 xx son equivalentes, pues ambas
tienen CS={1}.
Si una ecuación tiene CS= se dice que ésta es incompatible, de lo contrario la
ecuación es compatible. Será indeterminada, si es una identidad (la igualdad es siempre verdadera) de lo contrario se llamará ecuación determinada. Así
xx 22 =0, CS={0;2} EC. COMPATIBLE DETERMINADA
01
x, CS= EC. INCOMPATIBLE (IG. IMPOSIBLE)
1
11
2
x
xx CS=R-{-1} EC. COMPATIBLE INDETERMINADA
3.2. Ecuación lineal.
Es toda igualdad de la forma 0bax , con 0a ; o que se puede reducir a ella.
Tiene una única raíz o solución a
bx .
Ejemplos
1. Resolver: 1
23
12
xx
Solución:
78
87
6324
63)12(2
x
x
xx
xx
2. Resolver: )7)(3(1186)53)(14()2)(1( yyyyyyy
Solución:
36
1318
234
23418
231361131811
231441186517122
)214(1186)51712(2
22
222
222
y
y
yyyy
yyyyyyy
yyyyyyy
3. Al tratar de resolver 2x+8=3x-5-x, resulta un absurdo 0=-13, lo cual es falso
independientemente del valor de x, por lo tanto CS=
4. Resolver xx
4
2
32
1
Solución:
102
15 ;0 x
xx
5. La siguiente ecuación
01
x no tiene solución, pues como ;0x entonces
010.101
xx
Absurdo
3.3 Ecuación cuadrática.
Es toda igualdad que se puede reducir a la forma general:
;02 cbxax con 0a
Ejemplos:
1. 542 2 xx =0
2. 043 2 xx
3. 055 2 x
Métodos de Solución :
Por Factorización. Se basa en el Teorema 000 baab
Resuelva 06136 2 xx
Solución:
37
0)32)(23(6136 2 xxxx 023 x 032 x
32x
23x
CS={2/3;3/2}
Por la fórmula cuadrática. Se basa en el método de completar cuadrados y
permite obtener en forma inmediata las soluciones
a
bx
2
donde acb 42 es el discriminante de la ecuación 02 cbxax
Resolver 01282 xx
En este caso 12,8,1 cba
Aplicando la fórmula
2
48
2
168
2
48648
)1(2
)12)(1(4)8()8( 2
x
x
22
486
2
48
xx
CS={2,6}
EL MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS
Dada la Ecuación 0762 xx
miembros) ambosen 9 suma (se 9796
76
2
2
xx
xx
Nótese que, 22 )3(96 xxx
Luego 16)3( 2 x
38
43 x
43 43 xx
resultando 7 1 xx
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Sean 21, xx las raíces de una ecuación cuadrática, se cumple:
a
bxx 21
y a
cxx 21.
NATURALEZA DE LAS RAÍCES
Si 0 , tiene dos raíces reales diferentes.
Si 0 , sólo tiene una raíz real.
Si 0 , tiene dos raíces complejas conjugadas.
Ejemplo. Sin resolver las ecuaciones dadas, analiza la naturaleza de sus raíces.
a) 0622 xx
En este caso 020)6)(1(4)2( 2 , en este caso la ecuación tiene dos
raíces complejas conjugadas (no tiene raíces reales)
b) 012815 2 xx
0784)12)(15(4)8( 2 , entonces la ecuación tiene dos raíces reales y
diferentes.
c) Realiza el mismo análisis con las siguientes ecuaciones
1. 09124 2 xx 2. 012 xx
FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CONOCIENDO SUS RAÍCES
Sean 21, xx sus raíces, entonces una ecuación cuadrática es:
0))(( 21 xxxx.
39
De aquí 0)( 2121
2 xxxxxx 0)(2 raícesxraícesx
Por ejemplo, si 73 21 xx son tales raíces, entonces una ecuación será:
021102 xx
3.4. Polinomios.
La expresión
n
i
i
i
n
n
n
n xaaxaxaxaxa0
01
2
2
1
1 ... es llamada
polinomio de grado n en la variable x , si el coeficiente principal 0na ,
RaZn i ;0 , 0a es llamado término independiente.
Un polinomio de grado cero es cualquier constante diferente de cero.
El número cero (0) es un polinomio cuyo grado no está definido.
NOTACIÓN: )( ),( xQxP .
Ejemplo 132)( 2 xxxP es un polinomio de segundo grado.
Evaluación:
Para 31)2(32.2)2( ,2 2 Px
Para 01)1(31.2)1( ,1 2 Px El polinomio )(xP se anula para 1x
(se hace cero), 1x es una RAÍZ o un CERO del polinomio.
Para 61)1(3)1(2)1( ,1 2 Px
Para 012/3)4/1(2)2/1( ,2/1 Px , 2/1x es otro CERO del
polinomio.
Dependiendo de su grado, un polinomio puede tener varias raíces, una o
ninguna. Expresando )(xP en su forma factorizada
)1)(12(132)( 2 xxxxxP se puede advertir: dónde se anulará?
La respuesta es obvia: Existe una relación entre la factorización de un
polinomio y el cálculo de sus raíces.
NOTA: 1)( 2 xxP no tiene raíces (reales)
40
RxxP
x
Rxx
;0)(
011
;0
2
2
TEOREMA DEL RESTO. El residuo R de dividir )(xP entre ax , es )(aPR
Ejemplo Si 132)( 2 xxxP , al dividir entre 1x , 6)1( PR
Verificando por Ruffini
2 -3 1
-1 -2 5
2 -5 6
DEFINICIÓN: Se llaman “raíces” de un polinomio )(xP a aquellos valores
0xx que hacen CERO a )(xP ; i.e. 0)( 0 xP
También se les llama CEROS de )(xP , y son las soluciones de la ecuación
0)( xP
TEOREMA DEL FACTOR. ax es un factor de )(xP si y sólo si ax es
una RAÍZ de )(xP [ 0)( aP ]
Ejercicio Demuestre que 3x es un factor del polinomio 60232 23 xxx ,
y hallar los otros factores.
OBSERVACIÓN. Existe una manera práctica de comprobar si 1x es una
raíz de 0)( xP , lo será si la suma de coeficientes del polinomio es cero.
Puesto que para que 1x sea raíz, 0)1( P
NÚMERO DE RAÍCES DE UN POLINOMIO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA. Un polinomio de una variable
con coeficientes reales tiene tantas raíces como el grado del mismo, siempre y
cuando se recuenten adecuadamente las raíces múltiples y las complejas
(siempre aparecen conjugadas) posibles.
TEOREMA. Todo polinomio con coeficientes reales puede ser escrito como
una constante real multiplicada por un producto de factores lineales y de
factores cuadráticos irreducibles, todos ellos con coeficientes reales.
41
Ejemplo. Sabiendo que 55)( 23 xxxxP tiene a 5 como una raíz,
entonces por la división sintética )1)(5(55 223 xxxxx se advierte
que las otras dos raíces son ii y
Otra factorización del polinomio es ))()(5()1)(5( 2 ixixxxx donde
todos los factores son lineales pero los coeficientes ya no son reales.
REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES
Verifiquemos el siguiente resultado: Las raíces de la ecuación 0)( xP son
obtenidas de las raíces de 0)( xP cambiándoles de signo. Por ejemplo es
fácil comprobar que el polinomio
242636)( 234 xxxxxP tiene las raíces 1, -2, 3 y 4. Mientras que
242636)( 234 xxxxxP tiene las raíces -1, 2, -3 y -4.
ENUNCIADO DE LA REGLA
El número de raíces positivas ( n ) es igual al número de variaciones de signo
en los coeficientes de )(xP , ó es menor que esta cantidad en un número par.
El número de raíces negativas ( n ) es igual al número de variaciones de signo
en los coeficientes de )( xP , ó es menor que esta cantidad en un número par.
El polinomio con coeficientes reales debe estar ordenado para analizar las
variaciones de signo de sus coeficientes.
Ejemplo:
)segura es negativa raíz una( 1 242636)(
1 ó 3 242636)(
234
234
nxxxxxP
nxxxxxP
Ya se vio que )(xP tiene tiene exactamente tres raíces positivas y una raíz
negativa.
En general, el número de raíces complejas ( cn ) de un polinomio de grado n es
)( nnnnc
Ejemplo:
)segura es negativa raíz una( 1 201072)(
0 ó 2 201072)(
23
23
nxxxxP
nxxxxP
42
OBSERVACIONES:
a) La razón de disminuir en número par es por incluir las raíces complejas
que siempre aparecen en pares conjugados.
b) Si los coeficientes de un polinomio )(xP son reales y positivos, la
ecuación 0)( xP no tiene raíces positivas: 0 n .
c) Si los coeficientes de un polinomio completo y ordenado )(xP alternan
su signo, entonces la ecuación 0)( xP no tiene raíces negativas.
Ejemplo: Probar que la ecuación 01034 34 xxx tiene exactamente
dos raíces complejas.
Solución:
1 134)(
1 1034)(
34
34
nxxxxP
nxxxxP
2)(4 nnnc
3.5. Raíces Racionales de un polinomio con coeficientes enteros.
TEOREMA. Dado un polinomio )(xP de grado n, con coeficientes enteros, tal
que 0na y 00 a . Si )(xP tiene una raíz racional q
px , tal que p y q
son PESI (no tienen divisores comunes), entonces:
p es divisor del término independiente 0a
q es divisor del coeficiente principal na
En notación simbólica el Teorema se expresa así:
1),MCD( 0
..
0
qapaqpqpP n
Corolario. Si 1na , todas las raíces racionales son enteras.
Para resolver ecuaciones polinómicas, se empleará el método de Ruffini con el
objetivo de factorizar el polinomio, eligiendo las posibles raíces racionales
según el teorema, serán raíces aquellas cuyo residuo sea cero. Intentar con
todas las candidatas a raíces puede demandar mucho trabajo, la regla de los
signos de Descartes será útil y el número de raíces posibles irá disminuyendo
en cada aplicación de Ruffini, para ello se hará un breve análisis después de
efectuar cada división, hay que considerar que las raíces pueden repetirse, por
43
lo que a veces se debe intentar con cada valor posible más de una vez. Se
recomienda factorizar por Ruffini hasta que el cociente quede de grado dos,
puesto que como cuadrática ya se tiene el análisis completo de sus soluciones.
Después de factorizar el polinomio, las soluciones son inmediatas y resultan de
igualar cada factor a cero, según el teorema que establece:
000 baab
Se aclara que el teorema sólo proporciona las raíces racionales de un
polinomio con coeficientes enteros; pero al haber más números irracionales
que racionales, “en cierto sentido”, en general para resolver una ecuación
polinómica se deberán hacer aproximaciones numéricas –que no es el tema a
tratar aquí. Un caso excepcional es el de la ecuación cuadrática, para la que
hay una fórmula que expresa sus dos soluciones.
EJEMPLOS:
1) Resolver: 0211108 23 xxx
Solución: 1 ,211108)( 23 nxxxxP
0 ó 2 ,211108)( 23 nxxxxP
)8
1,
4
1,
2
1,2,1(
,)8,4,2,1( ,)2,1(
q
p
qp
Se ve que con seguridad existe una única raíz positiva y una vez
obtenida, se analizará la según la expresión resultante.
Debido a que la suma de coeficientes 02-11-10-8 , el valor 1 no es
raíz, intentando con el valor entero 2, se obtiene por Ruffini:
8 -10 -11 -2
2 16 12 2
8 6 1 0
el cociente es un polinomio cuadrático (cuyas raíces no son positivas:
0 n ), fácilmente factorizable por aspa:
)12)(14(168 2 xxxx .
44
Se tiene entonces
1/2- 1/4,- 2,CS
0)12)(14)(2(
0211108 23
xxx
xxx
2) Determinar si existen raíces racionales de 13)( 2 xxxP .
SOLUCIÓN: Dado que 13)( 2 xxxP , 0n , ó también debido a
que se intercalan los signos de los coeficientes del polinomio.
Entonces 0 ó 2 n .
,1 ,1 qp
10 q
pn , si fuera el caso tendría que ser raíz doble, lo cual es
falso puesto que el polinomio no es un cuadrado perfecto; por tanto las
raíces serán: o irracionales, o complejas, y no tendrá raíces racionales.
En este caso por ser la ecuación de segundo grado, el signo del
discriminante 0>5 asegura que deben ser dos raíces reales, la
fórmula cuadrática reporta las 2 soluciones irracionales.
3) Resolver 03
1012
3
19 23 xxx
SOLUCIÓN: El teorema exige que los coeficientes sean enteros.
Transformando la ecuación (multiplicando por 3) resulta la equivalente:
01036193 23 xxx
0 ,1036193)(
1 ó 3 ,1036193)(
23
23
nxxxxP
nxxxxP
Se podía deducir que no tiene raíces negativas porque los signos del
polinomio )(xP se alternan.
3
10,
3
5,
3
2,
3
1,10,5,2,10
,)3,1( ,)10,5,2,1(
q
pn
qp
Ninguno de los valores enteros anula el polinomio, intentando con 1/3,
45
3 -19 36 -10
1/3 1 -6 10
3 -18 30 0
resulta el cociente: 30183 2 xx , que es cuadrático, con 0 n . Se
tiene:
0)106(3
13
0)30183(3
1
01036193
2
2
23
xxx
xxx
xxx
Los ceros del segundo factor los da la fórmula cuadrática:
ix
32
46
i-3 i,3 1/3,CS
4) Analizar las soluciones de 06131592 234 xxxx
SOLUCIÓN: En la ecuación 0)( xP , se puede ver que 0 n
0 ó 2 ó 4 ,6131592)( 234 nxxxxxP
2
3,
2
1,6,3,2,10
,)2,1( ,)6,3,2,1(
q
pn
qp
2 9 15 13 6
-1 -2 -7 -8 -5
2 7 8 5 1
1x es una cota superior (ya que todos los coeficientes del cociente
y el residuo son positivos), las posibles raíces se reducen a las
siguientes
2
3,6,3,2
q
p
46
2 9 15 13 6
-2 -4 -10 -10 -6
2 5 5 3 0
Puede suceder que la raíz encontrada sea múltiple, para ello se sigue
intentando dividir por este mismo valor, este no es el caso, para este
ejemplo, ya que según el cociente obtenido, el conjunto de posibles
raíces racionales se reduce a
2
3,3
q
p
Al intentar con el valor -3, no cumple;
2 5 5 3
-3/2 -3 -3 -3
2 2 2 0
Por lo que:
0)222(2
3)2(
06131592
2
234
xxxx
xxxx
Las soluciones de la ecuación cuadrática son Ri
x
2
312,1
La ecuación polinómica tiene 2 soluciones reales: 2/3,2 , y las dos
soluciones complejas conjugadas mostradas.
5) Analizar los ceros de 03131917164 2345 xxxxx
SOLUCIÓN:
1 ó 3 ó 5 ,03131917164)( 2345 nxxxxxxP
Y por la alternancia de los signos de los coeficientes del polinomio completo,
4
3,
2
3,
4
1,
2
1,3 ,10
q
pn
47
4 -16 17 -19 13 -3
3 12 -12 15 -12 3
4 -4 5 -4 1 0
Según los coeficientes del cociente, se reduce el espectro de
posibilidades, y las raíces se buscaran dentro del conjunto:
,4
1,
2
10
q
pn
4 -4 5 -4 1
1/2 2 -1 2 -1
4 -2 4 -2 0
1/2 2 0 2
4 0 4 0
Luego:
i, -i
xxx
xxxxx
1/2, 3,CS
0)44(2
1)3(
03131917164
2
2
2345
6) Resolver: 03552 234 xxxx
SOLUCIÓN:
1 ,3552)(
1 ó 3 ,3552)(
234
234
nxxxxxP
nxxxxxP
Con la seguridad que hay una raíz negativa, ésta se buscará dentro del
conjunto,
)
2
3,
2
1,3 ,1(
q
p, puesto que -1 no cumple:
48
2 5 -1 5 -3
-3 -6 3 -6 3
2 -1 2 -1 0
1/2 1 0 1
2 0 2 0
Siendo -3 una raíz; y de los coeficientes obtenidos, en la división
respectiva, además de que ya no habrán raíces negativas, se deduce
que la única raíz racional posible es ½, y al hacer la división, se
comprueba que efectivamente lo es; en todos estos ejemplos se aprecia
que el conjunto de posibles ceros va disminuyendo con cada paso
dado, evitándose hacer las comprobaciones con todos los valores que
arroja el teorema, he ahí la importancia de la teoría.
Finalmente la ecuación queda factorizada así:
0)22(2
1)3(
03552
2
234
xxx
xxxx
Cuya solución es: i, -i 1/2, 3,-CS
7) Analizar los ceros de 042 2356 xxxx
SOLUCIÓN: Antes de aplicar la regla de Descartes, se separan las
raíces nulas: 0)42(42 3422356 xxxxxxxx
0420 342 xxxx
Trabajando con la segunda ecuación, sea 42)( 34 xxxxP
1 ,42)(
1 ,42)(
34
34
nxxxxP
nxxxxP
El número de raíces complejas de )(xP será 2)(4 nnnc .
Las raíces racionales (enteras por ser el polinomio mónico) se
encuentran dentro del conjunto )4,2,1( . Puesto que 1 no es, se
ensaya con 2, advirtiendo que el polinomio )(xP no es completo.
49
1 -1 0 -2 -4
2 2 2 4 4
1 1 2 2 0
Las posibilidades se reducen, debido al resultado de los coeficientes de
la división, al conjunto 2,1
1 1 2 2
-1 -1 0 -2
1 0 2 0
La ecuación se ha transformado en:
0)2)(1)(2(
042
22
2356
xxxx
xxxx
ii 2,21,- 2, 0,CS
8) Analizar los ceros del polinomio 143)( 34 xxxP
SOLUCIÓN: La suma se coeficientes es cero, por tanto 1 es una raíz.
3 -4 0 0 1
1 3 -1 -1 -1
3 -1 -1 -1 0
1 3 2 1
3 2 1 0
De la tercera fila se observa que la suma de coeficientes es cero
nuevamente, por eso nuevamente 1 es raíz, resultando:
0)123()1(
0143
22
34
xxx
xx
El segundo factor es una cuadrática con discriminante negativo, por lo
que, el polinomio presenta una raíz doble 1x y dos raíces complejas.
50
Habiendo ejemplificado bastante, para evitar el engorroso trabajo de ensayar con las
posibles raíces racionales, a continuación se presenta un método para decidir cuándo
detener la búsqueda de raíces mayores o menores que la raíz que acaba de
comprobarse, lo que aunado a las técnicas expuestas hará más eficiente el trabajo.
LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR. Sea )(xP un polinomio con coeficientes reales
con coeficiente principal positivo. Si 01 k y los términos del tercer renglón de la
división sintética de )(xP entre 1kx son todos positivos o cero, entonces 1k es un
límite superior de las raíces reales de )(xP . Si 02 k y los términos del tercer renglón
de la división sintética de )(xP entre 2kx alternan de signo, entonces 2k es un
límite inferior de las raíces reales de )(xP .
Por ejemplo analizando el polinomio 1212582)( 234 xxxxxP , 1 ó 3n ;
1 ,1212582)( 234 nxxxxxP
)2
3,
2
1,12,6,4,3,2,1(
,)2,1( ,)12,6,4,3,2,1(
q
p
qp
Comprobando si 4 es una raíz:
2 -8 5 12 -12
4 8 0 20 128
2 0 5 32 116
Los elementos del último renglón verifican la condición, luego 4 es un límite superior,
el conjunto de posibles valores positivos se reduce a
2
3,
2
1,3,2,1 . Ensayando con -2:
2 -8 5 12 -12
-2 -4 24 -58 92
2 -12 29 -46 80
Por alternarse los signos del tercer renglón, -2 es una cota inferior; y las posibles
raíces negativas pertenecen al conjunto 2/3,2/1,1 . Al intentar con cada uno de
51
estos valores, ninguno da residuo cero, por lo que la raíz negativa será irracional. De
entre las positivas, 1 no es raíz, intentando con 2, se tiene:
2 -8 5 12 -12
2 4 -8 -6 12
2 -4 -3 6 0
2 4 0 -6
2 0 -3 0
Resultando: )32()2(1212582 22234 xxxxxx
Cuyas raíces:
2
3,
2
3 2,CS verifican Descartes, 3 n , 1 n , aunque la
raíz negativa es irracional y entre las positivas hay dos racionales (puesto que 2x
es de multiplicidad 2) y una irracional. Este ejemplo ilustra el hecho que los límites o
cotas de las raíces reales reducen el espectro de posibles raíces racionales.
3.6. EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Resuelva las siguientes ecuaciones
a) 12-(5x-4)=3x-(4x+1)-x
b) 332
4
12
xx
x
c) )72)(3()5)(12( xxxx
d) 2
3
22
xx
x
2) Resuelva las ecuaciones siguientes
a) (x-35)(x+8)=0
b) (2x+5)(3x-7)=(3x-7)(4x-9)
c) (x+3)(x-3)=16
52
3) Resuelva
a) 0134 2 xx
b) 020100 2 xx
c) 0212 2 xx
d) 0473 2 xx
e) 0400)3(48 2 x
4) Resolver
a) 4
1
225
1
2
1
xx
b) 3
1
1
xx
c) x
x
2
32
5) Dada la ecuación 022 2 nxx , Rn
a) ¿Cuál es el discriminante de la ecuación?
b) ¿Qué valor debe darse a n para que la ecuación admita una
sola raíz (doble)?
6) a) Si una de las raíces de la ecuación 062 xx es 2, determina la
otra raíz.
b) ¿Encuentre en la ecuación 07222 xx para que una de sus
raíces sea 3
1
?
7) Fórmese sendas ecuaciones cuadráticas si sus raíces son:
a) 3 ;5 21 xx
b) 0 ;1 21 xx
c) 53 ;53 21 xx
53
8) Si un cuerpo cambia de velocidad inicial 0v a una velocidad final fv
en
un tiempo t ; su aceleración a se calcula por t
vva
f 0
. Encuentre
fórmulas para la velocidad final, velocidad inicial y el tiempo.
9) En la siguiente fórmula V
KTP
2
, K es una constante, P es presión, T
es tiempo y V es volumen.
a) Despeja el volumen.
b) Despeja el tiempo.
c) Halla el valor de K si para T=5 y V=4, P=25
10) Un científico descubre una fórmula para calcular la fuerza F aplicada
durante un tiempo t necesaria para abrir un hoyo de área A y de masa
m, la cual es 2t
AKm
, donde K es una constante.
a) Si para m=10, A=81 y t=3 se encuentra que F=20, hallar el valor de
dicha constante.
b) Despeja A.
c) Despeja t.
11) Hallar los valores indicados del polinomio dado, por dos métodos:
usando Ruffini y usando el teorema del resto.
)), P(P(-xxxxxP 32 ;7232)( 234
12) Considere 1517)( 23 xxxxP . Determine si cada uno de los
números 2 y -5 son ceros del polinomio
13) Encuentre los ceros y sus multiplicidades respectivas de los
polinomios dados:
a) )2)(2)(1)(1()( xxxxxg
b) 1892)( 23 xxxxf
c) 45-4)( 24 xxxf
d) 23 )1)(4()5()( xxxxf
e) 32 )9()( xxf
54
f) 22 )65()( xxxf
14) Una piedra arrojada hacia abajo, con una velocidad inicial de 34.3 m/s
recorre una distancia de s metros, donde ttts 3.349.4)( 2 , donde t
está en segundos. Si una piedra es lanzada hacia abajo con esa
velocidad inicial desde una altura de 294 m , en cuanto tiempo la piedra
golpeará el suelo.
15) Use el cero dado para obtener los otros ceros del polinomio
1845285 23 xxx , un cero es -3/5
16) Probar que )2(y )1( xx son factores del polinomio:
12872)( 234 xxxxxP . Hallar los factores restantes.
17) Probar que 1-x22 2345 xxxx es divisible por:
a) 12 x
b) 2)1( x
c) 3)1( x
18) Divida para determinar si )3(y )1( xx son factores de:
652 23 xxx
19) Una viga descansa sobre dos puntos A y B y tiene una carga aplicada
concentrada en su centro. Sea y = la deflexión, en pies, de la viga a una
distancia de x pies de A. Bajo ciertas condiciones, esta deflexión es
dada por xxy14
1
13
1 3 .
Encuentre los ceros del polinomio en el intervalo [0;2].
55
20) Encuentre un polinomio de tercer grado, que tenga los siguientes
ceros: 1, 3i, y -3i
21) Encuentre un polinomio de grado 5 con -1 como un cero de
multiplicidad 3; 4 como un cero de multiplicidad 1, y 0 como un cero de
multiplicidad 1.
22) Suponga que un polinomio de grado 6 con coeficientes racionales tiene
3-1y ,2 ,52 ii como tres de sus ceros, encuentre los restantes.
23) Encuentre un polinomio de grado mínimo con coeficientes racionales
que tenga a i21 ay 2-1 como dos de sus ceros.
24) Analizar el polinomio xxx 526 26 según la regla de descartes.
25) Indicar todas las posibilidades respecto a la naturaleza de las raíces de
la ecuación siguiente, por medio de la regla de descartes.
a) 09232 246 xxx
b) 016 x
c) 015 x
d) 08464 4679 xxxx
26) Demostrar que la ecuación 08x23 45 xx tiene por lo menos
dos raíces complejas y por lo menos una raíz negativa, pero ninguna
raíz positiva.
27) Demostrar que la ecuación 06924 2367 xxxx tiene por lo
menos cuatro raíces complejas y por lo menos una raíz positiva, pero
ninguna raíz negativa.
28) Demostrar que la ecuación 08452 246 xxx tiene exactamente
cuatro raíces complejas.
29) Enumere todos los posibles ceros racionales del polinomio:
a) 832)( 34 xxxxP
b) 65310)( 614 xxxxP
30) Qué dice la regla de los signos de Descartes acerca del número de
ceros positivos, y negativos del polinomio.
a) 4526 27 xxx
56
b) 3523)( 2418 pppppF
c) 168)( 3710 zzzzzg
31) Considere 3452)( 23 xxxxf . Encuentre las soluciones de cada
ecuación: (a) 0)( xf , (b) 0)1( xf , (c) 0)2( xf , (d) 0)2( xf
32) Use el teorema de los ceros racionales y la ecuación 0124 x para
mostrar que 4 12 es irracional.
33) Resolver las siguientes ecuaciones polinómicas, haciendo uso de los
recursos dados en el presente capítulo.
a) 021220196 234567 xxxxxx
b) 06752 234 xxxx
c) 090274 23 xxx
d) 092 24 xx
e) 02414132 234 xxxx
f) 0310144 23 xxx
g) 018453444 2345 xxxxx
h) 2
3-2
6
11
3
2
3
5 234 xxxx
i) 012323236 234 xxxx
j) 030418182 2345 xxxxx
k) 063562356 234 xxxx
34) El momento flexor de una viga está dado por
dddddM 322.152.21.0)( 234 ,
donde d es la distancia uno de los extremos de la viga. Encuentre los
valores de d , donde el momento flexor es cero. (Sug. Elimine los
decimales multiplicando por 10).
57
REFERENCIAS
A. Libros
[1] L. Leithold, “Álgebra Superior”. México: CECSA, 1985.
[2] J. Stewart, “Calculus, concepts and context”. 4a ed. Thomson, 2009.
[3] V. V. Zaitsev, V. V. Ryzhkov, and M. I. Skanavi, “Elementary mathematics”. Moscú:
Mir, 1978
G. Manuales
[4] Bell Telephone Laboratories Technical Staff, Transmission System for
Communications, Bell Telephone Laboratories, 1995.
H. Apuntes de clases
[ 5] “Complementos de Álgebra”, M. Samper. Apuntes Esquemáticos. Universidad de
Piura, 1986.
[ 6] “Biomatemática”, J.A. Ynoñán. Notas de clase, Escuela preuniversitaria de
Medicina-USAT, Setiembre del 2007.