Post on 08-Jan-2016
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Sesin 4
18
Clculo de lmites Indeterminados (0/0)
Caso1
Cuando las funciones que intervienen en los lmites son
algebraicas
Ejemplo 1. Calcular 7
492
7
x
xlimx
Solucin
7
492
7
x
x
xlim
=
14777
77
7
x
xlim
x
xx
xlim
Ejemplo 2. Calcular 12
1
1
x
x
xlim
Solucin
12
1
1
x
x
xlim
= 111
1
xx
x
xlim
= 2
1
1
1
1
xxlim
Ejemplo 3. Calcular 1
13
1
x
xlimx
Solucin
31
1
1
11
1
1
1
33 2133 23
3
1
3
1
xx
lim
xxx
xlim
x
xlim
xxx
Sesin 4
19
Ejemplo 4. Calcular 4
24
2
34
2
x
xxlimx
Solucin
114
1212128
22
12632
4
2423
22
34
2
xx
xxxxlim
x
xxlim
xx
Ejemplo 5. Calcular x
xxlim
x
4
12
16
Solucin
734
34
1616
xlim
x
xxlim
xx.
Teorema 1. (Lmite Notable)
nx-
xlim
n
x
1
1
1 (*)
Ejemplo 6. Calcular 1
210
1
x
xxlimx
Solucin
Adecuando el lmite al lmite notable (*), tenemos
1
210
1
x
xxlimx = 1
1
1
1
1
11
1
10
1
10
1
x
xlim
x
xlim
x
xxlim
xxx
Sesin 4
20
Por lo tanto 1
210
1
x
xxlimx =10+1=11
Ejemplo 7. Calcular 1
65lim
61
1
x
xx/
x
Solucin
Adecuando el lmite al lmite notable (*), tenemos
1
65lim
61
1
x
xx/
x=
1
15
1
1
1
551
1
61
1
61
1 x
xlim
x
xlim
x
xxlim
x
/
x
/
x
Por lo tanto 6
315
6
1
1
6561
1
x
xxlim
/
x .
2.2.2 Caso trigonomtrico
Cuando las funciones que intervienen en estos lmites son
funciones trigonomtricas
Lmite Notable: 1
0
x
xSenlimx
TABLA DE EQUIVALENCIAS: cuando x0
1
110
1
x
xlimx
=10
11
1
1
x
xlimx
6
1
1
161
1
x
xlim
/
x
=10
11
1
1
x
xlimx
Sesin 4
21
senx x
tanx x
arcsenx x
arctanx x
1-cosx 2
2x
Ejemplo 8. Calcular x
xtanlimx
3
0
Solucin
Como tan3x= xCos
xSen
3
3
, entonces x
xtanlimx
3
0 =xCos.x
xSenlimx 3
3
0
Multiplicando por 3, tanto al numerador como al denominador,
para obtener el lmite notable x
xSenlimx 3
3
0 , resulta: xCos.x
xSenlimx 3
3
0
=x Cos.x
x Senlimx 33
33
0=
xCoslimx 3
3
0 =3. Por lo tanto x
xtanlimx
3
0 = 3.
Ejemplo 9. Calcular x
Cosxlimx
1
0
Solucin
x
Cosxlimx
1
0 =
Cosxx
CosxCosx
xlim
1
11
0= = Cosxx
xCoslimx
1
12
0 = Cosxx
Senx.Senx lim
Cosxx
xSenlim
xx
11 0
2
0
= 0
2
0
10
Cosx
xSenlimx
Ejemplo 10. Calcular xSen
xlimx
2
0
Sesin 4
22
Solucin
xSen
xlimx
2
0 =
000
xxlim
x
xSen
xlimx
Ejemplo 11. Calcular xcot.xCscxlim
x222
0
Solucin
x cot.xCsc xlimx
222
0 = xx TanSen
xlimx 22
2
0=
4
1
2
2
24
2lim
0
x Tan
x.
x Sen
x
x
Por lo tanto
xcot.xCscxlimx
222
0 = 4
1
.
Ejemplo 12. Calcular xtan
xtanlimx 5
3
0
Solucin
xtan
xtanlimx 5
3
0 = x
xtan
x
xtan
limx 5
3
0
=
5
3
5
55
3
33
0
x
xtan
x
xtan
xlim
Ejemplo 13. Calcular 2
1
2
x-
x-Senlim
x
Solucin
Haciendo y = x- 2
x = y + 2
Sesin 4
23
2
1
2
- x
- xSenlim
x
= y
- )
(ySen
limy
12
0
= y
Cosy-
Sen
yCosSen
limy
122
0
= y
Cosy-limy
1
0 = y
-ylimy 2
2
0 =
020
-ylimy
2.2.3 Caso exponencial y logartmico
Cuando las funciones que intervienen en estos lmites son funciones exponenciales y logartmicas.
ax 1 + xlna ln(1+x) x si x 0.
Ejemplo 14. Calcular xx
xx
x 56
24lim
0
Solucin
Aplicando la equivalencia:
414 lnxx
212 lnxx
616 lnxx
515 lnxx
resulta
5
6
2
56
24
05161
2141
0ln
ln
)lnlnx(
)lnlnx(
xlim
)lnx(lnx
)lnx(lnxlimx
Ejemplo 15. Calcular x
xsen x -
limx
12
0
Solucin
Aplicando la equivalencia para x4 y senx,, resulta:
x
ln-x x-
xlim
x
xsen x -
limx
121
0
12
0
x
)ln-x(lim
x
21
0
2ln1
Lista de ejercicios Calcular los siguientes lmites:
1. 115
17
0
x
x
xlim
2.
x
xxlnlimx
1
0
4.
1
12
1
x
xlnlimx
5. 1
2121
1
x
xlim
x
x
Sesin 4
24
3. x
lim
xx
x
289
0
6.
x
44lim
xx
0x
2.3. Lmites laterales
Ejemplo 1. Analizar la aproximacin de
1
11
x , x
, x xf(x) cerca de x=1
Solucin Usando la siguiente tabla de valores.
x1 f(x)
0.8 -0.8 1.5 2.5
0.9 -0.9 1.1 2.1
0.99 -0.99 1.001 2.001
0.999 -0.999 1.0001 2.0001
Definicin 1. (Lmite por derecha) Interpretacin grfica
Lmite por la derecha a lmite por izquierda de a
Definicin 2. ( Lmite por Izquierda )
Ejemplo 2. Sea
03
0
x,
x,|x|f(x)
Hallar los lmites laterales de f(x) en x prximo a 0.
Solucin
En forma equivalente
03
0
0
, x
x, x
x, x
f(x)
Se tiene 11
f(x)limx
y 21
f(x)lim`x
3
x -x
Fig. 5
Fig. 7
L
L +
f(x)
x a a +
Fig. 6
a a-
L-
L
f(x)
x
f
Sesin 4
25
De donde sus lmites laterales son 0
0
f(x)limx
y 00
f(x)limx
Ejemplo 3. Sea
21
21
x,x
x,x
x
f(x)
Hallar los lmites laterales de f(x) en x prximo a 2.
Solucin
Sus lmites laterales son:
Para x2, 2
11
22
x
x-limf(x)lim
xx
Teorema. 1 (( Existencia del Lmite )
El f(x)ax
lim
existe y es igual a L Lf(x)ax
limf(x)ax
lim
La Fig. 9 que sigue da una comprensin complementaria de los lmites laterales y el lmite.
-4 1 4
Vemos que:
f(x)x
limf(x)x
lim
44
, entonces f(x)lim x 4
no existe
f(x)x
limf(x)x
lim
11
, entonces f(x)xlim
1 existe
f(x)x
limf(x)x
lim
44
, entonces f(x)xlim
4 no existe
1
2
1/2
-1
Fig. 8
Fig. 9