Post on 23-Jan-2016
MATEMATICA I
Lógica Matemticas
Prof Rubén Millán
millan_ruben@yahoo.com
Lógica
La lógica proposicional usa reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado.
1. ENUNCIADO: oración o frase que expresa alguna idea (afirmaciones, negaciones,¿?,¡ !, saludos, emociones, etc) .
2. ENUNCIADO ABIERTO: enunciado que contiene variables o letras y no tiene la propiedad de ser verdadero o falso.
Ejm:
“ Pare inmediatamente!” “¿15 y 18 tienen la misma cantidad de divisores?”.“ En realidad, no sé a qué se refiere”.
Ejm:
5x+1=0 a-b =b-a6y-4>20
3. PROPOSICIÓN LÓGICA: enunciado que puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambas a la vez .
Ejm:
1+4=5 .
2 es un número primo.
15 es múltiplo de 2 .
Todo número real tiene raíz cuadrada.
Todos los números que terminan en cero son divisibles por cinco. V
V
V
F
F
¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones?
Explica por qué sí son proposiciones y por qué las otras no lo son.
1)“ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”. 2)“ 2 es divisor de 15”.3) “ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”.4)“Todo número entero es positivo”5) “ x + 3 es un entero positivo”.6)“ Tranquilícese”.
Notación Para denotar o representar las proposiciones se
usan letras minúsculas: p, q, r, s, ...
p: El 5 es un entero par.
q: Los números naturales son positivos.
r: 2+5 < 8-1.
s: “Un decenio tiene 10 años”
4. PROPOSICIÓN SIMPLE O ATOMICA: proposición lógica que consta de un solo sujeto y predicado (Variables proposicionales).
5. PROPOSICIÓN COMPUESTA O MOLECULAR: proposición lógica compuesta de dos o más proposiciones simples.
Ejm:
3 divide a 6. 12 es un número par.1 es un número natural.
Ejm:
3 divide a 6 y 12 es un número par. 12 es un número par entonces tiene mitad.
OPERADORES LÓGICOSY , PERO Conjunción
O Disyunción
SI … ENTONCES Condicional
SI Y SÓLO SI Bicondicional
NO, NO ES CIERTO QUE Negación ~
Tablas de Verdad
p q p q
V V
V F
F V
F F
1. Conjunción: su valor de verdad es verdadero solamente si ambas proposiciones son verdaderas, en los demás casos será falso.
V
F
F
F
2. Disyunción: su valor de verdad es falso solamente si ambas proposiciones son falsas, en los demás casos será verdadero.
p q p q
V V
V F
F V
F FF
V
V
V
3. Condicional: su valor de verdad es falso solamente si de una verdad se llega a una falsedad, en los demás casos será verdadero.
p q p q
V V
V F
F V
F F
F
V
V
V
4. Bicondicional: su valor de verdad es verdadero solamente si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en los demás casos será falso.
p q p q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V
5. La Negación: simplemente cambia el valor de verdad.
p p
V
F
~
F
V
Construcción de tablas de verdad
¿Cuántas filas tiene la tabla?
–1 proposición 2 valores (V o F)–2 proposiciones 4 valores de verdad–3 proposiciones 8 valores de verdad–.........–n proposiciones 2n valores de verdad.
Fórmula lógica• Es una combinación de proposiciones mediante
los operadores lógicos.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q
F
V
F
V
~ P q~F
F
V
F
Ejemplo: p q~
Contingencia(combinación entre verdaderos y falsos)
Ejemplo: p p~
p p
V F
F V
~ p p~
V
V
Tautología (todos son verdaderos)
Ejemplo: p p ~
p p
V F
F V
~ p p~
F
F
Contradicción (todos son
falsos)
LEYES DE LA LOGICA PROPOSICIONAL:
1. Ley de Involución (doble negación): ~ (~p) ≡ p2. La idempotencia: a) p ٧ p ≡ p; b) p ٨ p ≡ p;3. Leyes conmutativas: a) p ٧ q ≡ q ٧
p b) p ٨ q ≡ q ٨
p c) p ↔ q ≡ q ↔
p
4. Leyes asociativas: a) (p ٧ q) ٧ r ≡ p ٧ (q ٧ r) b) (p ٨ q) ٨ r ≡ p ٨ (q ٨ r) c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)
5. Leyes distributivas: a) r ٧ (p ٨ q) ≡ (r ٧ p) ٨ (r ٧ q) b) r ٨ (p ٧ q) ≡ (r ٨ p) ٧ (r ٨ q) c) p → (q ٧ r) ≡ (p → q) ٧ (p → r) d) p → (q ٨ r) ≡ (p → q) ٨ (p → r)
6. Leyes de Morgan:
a) ~ (p ٧ q) ≡ (~p ٨ ~q) b) ~ (p ٨ q) ≡ (~p ٧ ~q)
7. Leyes del Condicional: a) p → q ≡ ~p ٧ q b) ~ (p → q) ≡ p ٨ ~q
8. Leyes del Bicondicional: a) p ↔ q ≡ (p → q) ٨ (q → p) b) p ↔ q ≡ (p ٨ q) ٧ (~p ٨ ~q)
9. Leyes de la Absorción: a) p ٨ (p ٧ q) ≡ p b) p ٨ (~p ٧ q) ≡ p ٨ q c) p ٧ (p ٨ q) ≡ p d) p ٧ (~p ٨ q) ≡ p ٧ q
10. Leyes de Transposición: a) (p → q) ≡ (~q → ~p) b) (p ↔ q) ≡ (~q ↔ ~p)
11. Ley de Exportación: (p ٨ q) → r ≡ p → (q → r)
12. Formas normales:• Para la Conjunción: V ٨ V ≡ V; V ٨ P ≡ P; F ٨ P ≡
F• Para la Disyunción: F ٧ F ≡ F; F ٧ P ≡ P; V ٧ P ≡
V
13. Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología:
P ٨ C = C; C ٧ T = T; P ٧ T = T; C ٨ T = C
donde: T= Tautología (Verdad),
C = Contradicción (Falso), P = Esquema Molecular
Cualquiera
SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES
La simplificación de una proposición, o dicho de otra manera, la simplificación de una expresión lógica consiste en reducir la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas.
La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una expresión lógica equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresión lógica irreducible.
A través de la simplificación podemos también demostrar una equivalencia lógica sin usar tablas de verdad.
Simplificar la expresión:
[(p p) q] [~q (r q)] [p (p ~q)] Recuerde Ubicar la ley que utiliza
[(~p p) q] [~q (r q)] [~p (p ~q)] Impla. Material
[(~p p) q] [~q (r q)] [(~p p) ~q] Asociativa
(v q) [~q (r q)] (v ~q) Complemento
v [~q (r q)] v Dominancia
v v [~q (r q)] Asociativa
v [~q (r q)] Idempotencia
~q (r q) Elemento Neutro
(~q r) (~q q) Distributiva
(~q r) v Complemento
~q r Elemento Neutro