MATEMATICA I

Lógica Matemticas

Prof Rubén Millán

millan_ruben@yahoo.com

Lógica

La lógica proposicional usa reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado.

1. ENUNCIADO: oración o frase que expresa alguna idea (afirmaciones, negaciones,¿?,¡ !, saludos, emociones, etc) .

2. ENUNCIADO ABIERTO: enunciado que contiene variables o letras y no tiene la propiedad de ser verdadero o falso.

Ejm:

“ Pare inmediatamente!” “¿15 y 18 tienen la misma cantidad de divisores?”.“ En realidad, no sé a qué se refiere”.

Ejm:

5x+1=0 a-b =b-a6y-4>20

3. PROPOSICIÓN LÓGICA: enunciado que puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambas a la vez .

Ejm:

1+4=5 .

2 es un número primo.

15 es múltiplo de 2 .

Todo número real tiene raíz cuadrada.

Todos los números que terminan en cero son divisibles por cinco. V

V

V

F

F

¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones?

Explica por qué sí son proposiciones y por qué las otras no lo son.

1)“ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”. 2)“ 2 es divisor de 15”.3) “ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”.4)“Todo número entero es positivo”5) “ x + 3 es un entero positivo”.6)“ Tranquilícese”.

Notación Para denotar o representar las proposiciones se

usan letras minúsculas: p, q, r, s, ...

p: El 5 es un entero par.

q: Los números naturales son positivos.

r: 2+5 < 8-1.

s: “Un decenio tiene 10 años”

4. PROPOSICIÓN SIMPLE O ATOMICA: proposición lógica que consta de un solo sujeto y predicado (Variables proposicionales).

5. PROPOSICIÓN COMPUESTA O MOLECULAR: proposición lógica compuesta de dos o más proposiciones simples.

Ejm:

3 divide a 6. 12 es un número par.1 es un número natural.

Ejm:

3 divide a 6 y 12 es un número par. 12 es un número par entonces tiene mitad.

OPERADORES LÓGICOSY , PERO Conjunción

O Disyunción

SI … ENTONCES Condicional

SI Y SÓLO SI Bicondicional

NO, NO ES CIERTO QUE Negación ~

Tablas de Verdad

p q p q

V V

V F

F V

F F

1. Conjunción: su valor de verdad es verdadero solamente si ambas proposiciones son verdaderas, en los demás casos será falso.

V

F

F

F

2. Disyunción: su valor de verdad es falso solamente si ambas proposiciones son falsas, en los demás casos será verdadero.

p q p q

V V

V F

F V

F FF

V

V

V

3. Condicional: su valor de verdad es falso solamente si de una verdad se llega a una falsedad, en los demás casos será verdadero.

p q p q

V V

V F

F V

F F

F

V

V

V

4. Bicondicional: su valor de verdad es verdadero solamente si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en los demás casos será falso.

p q p q

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

5. La Negación: simplemente cambia el valor de verdad.

p p

V

F

~

F

V

Construcción de tablas de verdad

¿Cuántas filas tiene la tabla?

–1 proposición 2 valores (V o F)–2 proposiciones 4 valores de verdad–3 proposiciones 8 valores de verdad–.........–n proposiciones 2n valores de verdad.

Fórmula lógica• Es una combinación de proposiciones mediante

los operadores lógicos.

p

V

V

F

F

q

V

F

V

F

q

F

V

F

V

~ P q~F

F

V

F

Ejemplo: p q~

Contingencia(combinación entre verdaderos y falsos)

Ejemplo: p p~

p p

V F

F V

~ p p~

V

V

Tautología (todos son verdaderos)

Ejemplo: p p ~

p p

V F

F V

~ p p~

F

F

Contradicción (todos son

falsos)

LEYES DE LA LOGICA PROPOSICIONAL:

1. Ley de Involución (doble negación): ~ (~p) ≡ p2. La idempotencia: a) p ٧ p ≡ p; b) p ٨ p ≡ p;3. Leyes conmutativas: a) p ٧ q ≡ q ٧

p b) p ٨ q ≡ q ٨

p c) p ↔ q ≡ q ↔

p

4. Leyes asociativas: a) (p ٧ q) ٧ r ≡ p ٧ (q ٧ r) b) (p ٨ q) ٨ r ≡ p ٨ (q ٨ r) c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)

5. Leyes distributivas: a) r ٧ (p ٨ q) ≡ (r ٧ p) ٨ (r ٧ q) b) r ٨ (p ٧ q) ≡ (r ٨ p) ٧ (r ٨ q) c) p → (q ٧ r) ≡ (p → q) ٧ (p → r) d) p → (q ٨ r) ≡ (p → q) ٨ (p → r)

6. Leyes de Morgan:

a) ~ (p ٧ q) ≡ (~p ٨ ~q) b) ~ (p ٨ q) ≡ (~p ٧ ~q)

7. Leyes del Condicional: a) p → q ≡ ~p ٧ q b) ~ (p → q) ≡ p ٨ ~q

8. Leyes del Bicondicional: a) p ↔ q ≡ (p → q) ٨ (q → p) b) p ↔ q ≡ (p ٨ q) ٧ (~p ٨ ~q)

9. Leyes de la Absorción: a) p ٨ (p ٧ q) ≡ p b) p ٨ (~p ٧ q) ≡ p ٨ q c) p ٧ (p ٨ q) ≡ p d) p ٧ (~p ٨ q) ≡ p ٧ q

10. Leyes de Transposición: a) (p → q) ≡ (~q → ~p) b) (p ↔ q) ≡ (~q ↔ ~p)

11. Ley de Exportación: (p ٨ q) → r ≡ p → (q → r)

12. Formas normales:• Para la Conjunción: V ٨ V ≡ V; V ٨ P ≡ P; F ٨ P ≡

F• Para la Disyunción: F ٧ F ≡ F; F ٧ P ≡ P; V ٧ P ≡

V

13. Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología:

P ٨ C = C; C ٧ T = T; P ٧ T = T; C ٨ T = C

donde: T= Tautología (Verdad),

C = Contradicción (Falso), P = Esquema Molecular

Cualquiera

SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES

La simplificación de una proposición, o dicho de otra manera, la simplificación de una expresión lógica consiste en reducir la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas.

La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una expresión lógica equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresión lógica irreducible.

A través de la simplificación podemos también demostrar una equivalencia lógica sin usar tablas de verdad.

Simplificar la expresión:

[(p p) q] [~q (r q)] [p (p ~q)] Recuerde Ubicar la ley que utiliza

[(~p p) q] [~q (r q)] [~p (p ~q)] Impla. Material

[(~p p) q] [~q (r q)] [(~p p) ~q] Asociativa

(v q) [~q (r q)] (v ~q) Complemento

v [~q (r q)] v Dominancia

v v [~q (r q)] Asociativa

v [~q (r q)] Idempotencia

~q (r q) Elemento Neutro

(~q r) (~q q) Distributiva

(~q r) v Complemento

~q r Elemento Neutro