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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Profesoras: Margarita Ospina PulidoJeanneth Galeano Peñaloza
Universidad Nacional de Colombia Sede BogotáDepartamento de Matemáticas
15 de junio de 2009
MOP-JGP Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS BÁSICAS
Razones trigonométricas
Considere los triángulos rectángulos △ABC y △MNR contodos sus ángulos congruentes.
A B
C
M N
R
c
ba
mn
r
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Razones trigonométricas
Entonces △ABC ∼ △MNR, por lo tanto
am
=bn
=cr
De los cual se deduce que
ab
=mn
,cb
=rn
,ac
=mr
Por lo tanto las razones ab , c
b , ac NO dependen del
tamaño del triángulo.
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Razones trigonométricas
Las razones trigonométricas del ángulo A, considerando el△ABC, se definen como
sen A = cateto opuestohipotenusa csc A = hipotenusa
cateto opuesto
cos A = cateto adyacentehipotenusa sec A = hipotenusa
cateto adyacente
tan A = cateto opuestocateto adyacente cot A = cateto adyacente
cateto opuesto
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Razones trigonométricas
Ejercicio
Demuestre que
sen2 A + cos2 A = 1
tan A = sin Acos A
tan2 A + 1 = sec2 A
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Razones trigonométricas
En un triángulo rectángulo isósceles los ángulos no rectosdeben ser congruentes luego cada uno mide 45◦ Si tomamoscomo longitud de los catetos 1 el valor de la hipotenusa es
√2.
1
1
√2
45◦
45◦
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Las razones trigonométricas son:
sen 45◦ = cos 45◦ =
√2
2tan 45◦ = cot 45◦ = 1sec 45◦ = csc 45◦ =
√2
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Considere el triángulo equilátero de longitud de lado 2, al trazarsu altura se divide en dos triángulos rectángulos. Sus ángulosagudos miden 30◦ y 60◦ y los catetos 1 y
√3
1
22√
3
60◦ 60◦
30◦
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Las razones trigonométricas son:
sen 30◦ = cos 60◦ =12
sen 60◦ = cos 30◦ =
√3
2
tan 30◦ = cot 60◦ =
√3
3tan 60◦ = cot 30◦ =
√3
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Ejercicio
Encuentre las demás razones trigonométricas.
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Resolución de triángulos rectángulos
En un triángulo rectángulo podemos desconocer las longitudesde algunos de sus lados o la medida de sus ángulos, resolverel triángulo es encontrar la medida de todos sus lados y todossus ángulos.Se utiliza el teorema de Pitágoras y los valores de las"funciones"trigonométrias de ángulos de 0◦ a 90◦ queconocemos o que pueden ser halladas usando unacalculadora.
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Ejemplo 1
Consideremos el siguiente triángulo
12
a
bA
B
C
30◦
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Claramente ∡B mide 60◦.
sen 30◦ =a12
luego a = 12 sen 30◦ = 12(
12
)
= 6
cos 30◦ =b12
luego b = 12 cos 30◦ = 12
(√3
2
)
= 6√
3
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Ejercicios
1.Expresar x y y en términos de las razones trigonométricasde θ.
28
y
x
θ
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Ejercicios
2. Un árbol proyecta una sombra de 6 metros cuando el soltiene una inclinación de 60◦,cuál es la altura del árbol?
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Ejercicios
3. Una escalera de 8 metros se apoya en un edificio formandocon el suelo un ángulo de 70◦, qué altura alcanza? A quédistancia del edificio está su base?
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Para resolver cualquier triángulo, no necesariamenterectángulo, contamos con los dos siguientes teoremas:
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Razones trigonométricas
Ley del seno
En cualquier triángulo ABC con lados a, b, c se cumple que
sen Aa
=sen B
b=
sen Cc
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Razones trigonométricas
Ejercicio
En la figura se desea conocer la longitud del segmento BA.Dado que C = 112, 90◦, A = 31, 10◦ y b = 347, 6 pies.
B C
A
b=347,6
112,90◦
31,10◦
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Razones trigonométricas
Ley del coseno
En cualquier triángulo ABC con lados a, b y c se tiene
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
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Razones trigonométricas
Ejercicio
Resuelva el triángulo ABC si A = 42, 3◦, b = 12, 9 metros yc = 15, 4 metros.
A B
C
b=12,9m
42, 3◦
c=15,4m
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Radián
Un radián es la medida de un ángulo central que subtiende unarco de longitud r en una circunferencia de radio r .
r
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Radián
Observación
Puesto que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πrse tiene que
2πradianes = 360◦
A menudo se acostumbra a omitir la palabra radianes y seescribe simplemente
2π = 360◦
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Radián
Ejercicio
Expresar en radianes cada uno de los siguientes ángulos:0◦, 45◦, 30◦, 90◦, 135◦, 210◦
Expresar en grados cada uno de los siguientes ángulos:π
3 , 5π
4 , 5π
6 , 3π
2 , 11π
4 , 11π
6
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Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas se definen usando lacircunferencia unitaria
C1 = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
y la rectaR = {(1, t) ∈ R
2 : t ∈ R}como sigue:
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Funciones Trigonométricas
Si t es un número real y P(x , y) es el punto, en lacircunferencia unitaria C1, sobre el cual cae el punto (1, t)después de enrollar el segmento de recta (1, 0)(1, t) sobre C1,manteniendo fijo el punto (1, 0).
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Funciones Trigonométricas
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Funciones Trigonométricas
Entonces,
cos(t) = x
sen(t) = y
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Funciones Trigonométricas
En el caso en que t sea negativo el punto P(x , y) se obtienecomo se ilustra en la siguiente gráfica.
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Funciones Trigonométricas
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Funciones Trigonométricas
Podemos observar que
−1 ≤ cos(t) ≤ 1
−1 ≤ sen(t) ≤ 1
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Funciones Trigonométricas
Además, tenemos la identidad fundamental
cos2(t) + sen2(t) = 1.
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Aún más:
Si 0 < t <π
2entonces cos t > 0 y sen t > 0.
Siπ
2< t < π entonces cos t < 0 y sen t > 0.
Si π < t <3π
2entonces cos t < 0 y sen t < 0.
Si3π
2< t < 2π entonces cos t > 0 y sen t < 0.
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Ejercicio
Escriba el valor de sen t y cos t para t = 0;π
2;π;
3π
2; 2π.
Encuentre el valor de sen t y cos t para
t =5π
6;
5π
4;
11π
6;3π
4;7π
4;2π
3;4π
3;7π
6;5π
3.
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Como además, cada vez que se da una vuelta a lacircunferencia se vuelve sobre los mismos puntos, los valoresde las funciones trigonométricas se repiten y tenemos:
sen t = sen (t + 2π) y cos t = cos(t + 2π)
en general:
sen t = sen (t +2kπ) y cos t = cos(t +2kπ) para todo k entero.
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Definición
Una función f se dice PERIÓDICA DE PERÍODO a, si a es elmenor real positivo para el que se cumple:Si x está en el dominio de f entonces x + a también está en eldominio de f y además f (x) = f (x + a).
Ejemplo
Las funciones seno y coseno son funciones períodicas deperíodo 2π.
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y = sen x
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y = cos x
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Amplitud y desplazamiento de fase
Si y = a sen(bx + c) o y = a cos(bx + c) para números realesa, b y c diferentes de cero, entonces
La amplitud es |a|, el periodo es 2π
|b| y el desplazamientode fase es − c
b .
Se puede encontrar un intervalo que contengaexactamente un ciclo resolviendo la desigualdad
0 ≤ bx + c ≤ 2π.
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Amplitud y desplazamiento de fase
Si y = a sen(bx + c) o y = a cos(bx + c) para números realesa, b y c diferentes de cero, entonces
La amplitud es |a|, el periodo es 2π
|b| y el desplazamientode fase es − c
b .
Se puede encontrar un intervalo que contengaexactamente un ciclo resolviendo la desigualdad
0 ≤ bx + c ≤ 2π.
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Amplitud y desplazamiento de fase
Si y = a sen(bx + c) o y = a cos(bx + c) para números realesa, b y c diferentes de cero, entonces
La amplitud es |a|, el periodo es 2π
|b| y el desplazamientode fase es − c
b .
Se puede encontrar un intervalo que contengaexactamente un ciclo resolviendo la desigualdad
0 ≤ bx + c ≤ 2π.
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Gráficas
Ejercicio
Trace la gráfica de las siguientes funciones, encuentre dominio,rango, amplitud y desplazamiento de fase.
1 y = sen x + 22 y = 4 − cos x3 y = | cos 4x |4 y = 2 sen(x − π
4 )
5 y = |1 − 3 sen(2x − π)|
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Funciones Trigonométricas
A partir de las funciones seno y coseno definimos las otras:
tan(t) =sin(t)cos(t)
sec(t) =1
cos(t)
cot(t) =cos(t)sin(t)
csc(t) =1
sin(t)
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Ejercicio
Encontrar dominio y rango de éstas funciones trigonométricas.
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y = tan x
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y = cot x
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y = sec x
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y = csc x
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuación 4 cos t − 2 = 0.
4 cos t − 2 = 0
cos t =12
t =π
3,
5π
3,
7π
3, . . .
t =π
3+ 2kπ,
5π
3+ 2kπ, k ∈ Z
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuación 4 cos t − 2 = 0.
4 cos t − 2 = 0
cos t =12
t =π
3,
5π
3,
7π
3, . . .
t =π
3+ 2kπ,
5π
3+ 2kπ, k ∈ Z
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuación 4 cos t − 2 = 0.
4 cos t − 2 = 0
cos t =12
t =π
3,
5π
3,
7π
3, . . .
t =π
3+ 2kπ,
5π
3+ 2kπ, k ∈ Z
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuación 4 cos t − 2 = 0.
4 cos t − 2 = 0
cos t =12
t =π
3,
5π
3,
7π
3, . . .
t =π
3+ 2kπ,
5π
3+ 2kπ, k ∈ Z
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuación 4 cos t − 2 = 0.
4 cos t − 2 = 0
cos t =12
t =π
3,
5π
3,
7π
3, . . .
t =π
3+ 2kπ,
5π
3+ 2kπ, k ∈ Z
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuación√3 + 2 sen β = 0.
√3 + 2 sen β = 0
sen β = −√
32
β =4π
3,
5π
3,
10π
3,11π
3, . . .
t =4π
3+ 2kπ,
5π
3+ 2kπ, k ∈ Z
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuación√3 + 2 sen β = 0.
√3 + 2 sen β = 0
sen β = −√
32
β =4π
3,
5π
3,
10π
3,11π
3, . . .
t =4π
3+ 2kπ,
5π
3+ 2kπ, k ∈ Z
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuación√3 + 2 sen β = 0.
√3 + 2 sen β = 0
sen β = −√
32
β =4π
3,
5π
3,
10π
3,11π
3, . . .
t =4π
3+ 2kπ,
5π
3+ 2kπ, k ∈ Z
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuación√3 + 2 sen β = 0.
√3 + 2 sen β = 0
sen β = −√
32
β =4π
3,
5π
3,
10π
3,11π
3, . . .
t =4π
3+ 2kπ,
5π
3+ 2kπ, k ∈ Z
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuación√3 + 2 sen β = 0.
√3 + 2 sen β = 0
sen β = −√
32
β =4π
3,
5π
3,
10π
3,11π
3, . . .
t =4π
3+ 2kπ,
5π
3+ 2kπ, k ∈ Z
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]
2 − 8 cos2 t = 0
cos2 t =14
cos t = ±12
t =π
3, t =
2π
3, t =
4π
3, t =
5π
3
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]
2 − 8 cos2 t = 0
cos2 t =14
cos t = ±12
t =π
3, t =
2π
3, t =
4π
3, t =
5π
3
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]
2 − 8 cos2 t = 0
cos2 t =14
cos t = ±12
t =π
3, t =
2π
3, t =
4π
3, t =
5π
3
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]
2 − 8 cos2 t = 0
cos2 t =14
cos t = ±12
t =π
3, t =
2π
3, t =
4π
3, t =
5π
3
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]
sen x − cos x = 0
sen x = cos x
x =π
4, x =
5π
4
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]
sen x − cos x = 0
sen x = cos x
x =π
4, x =
5π
4
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]
sen x − cos x = 0
sen x = cos x
x =π
4, x =
5π
4
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuaciónsen 2x(csc 2x − 2) = 0 en el intervalo [0, 2π].
sen 2x(csc 2x − 2) = 0,
entoncessen 2x = 0 ∨ csc 2x − 2 = 0
sen 2x = 0
2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,
x = 0, x =π
2, x = π, x =
3π
2, x = 2π
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuaciónsen 2x(csc 2x − 2) = 0 en el intervalo [0, 2π].
sen 2x(csc 2x − 2) = 0,
entoncessen 2x = 0 ∨ csc 2x − 2 = 0
sen 2x = 0
2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,
x = 0, x =π
2, x = π, x =
3π
2, x = 2π
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuaciónsen 2x(csc 2x − 2) = 0 en el intervalo [0, 2π].
sen 2x(csc 2x − 2) = 0,
entoncessen 2x = 0 ∨ csc 2x − 2 = 0
sen 2x = 0
2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,
x = 0, x =π
2, x = π, x =
3π
2, x = 2π
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuaciónsen 2x(csc 2x − 2) = 0 en el intervalo [0, 2π].
sen 2x(csc 2x − 2) = 0,
entoncessen 2x = 0 ∨ csc 2x − 2 = 0
sen 2x = 0
2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,
x = 0, x =π
2, x = π, x =
3π
2, x = 2π
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Ecuaciones
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la ecuaciónsen 2x(csc 2x − 2) = 0 en el intervalo [0, 2π].
sen 2x(csc 2x − 2) = 0,
entoncessen 2x = 0 ∨ csc 2x − 2 = 0
sen 2x = 0
2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,
x = 0, x =π
2, x = π, x =
3π
2, x = 2π
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Ecuaciones
Ejemplo
csc 2x − 2 = 0
csc 2x = 2
sen 2x =12
2x =π
6, 2x =
5π
6, 2x =
13π
6, 2x =
17π
6
x =π
12, x =
5π
12, x =
13π
12, x =
17π
12
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Ecuaciones
Ejemplo
csc 2x − 2 = 0
csc 2x = 2
sen 2x =12
2x =π
6, 2x =
5π
6, 2x =
13π
6, 2x =
17π
6
x =π
12, x =
5π
12, x =
13π
12, x =
17π
12
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Ecuaciones
Ejemplo
csc 2x − 2 = 0
csc 2x = 2
sen 2x =12
2x =π
6, 2x =
5π
6, 2x =
13π
6, 2x =
17π
6
x =π
12, x =
5π
12, x =
13π
12, x =
17π
12
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Ecuaciones
Ejemplo
csc 2x − 2 = 0
csc 2x = 2
sen 2x =12
2x =π
6, 2x =
5π
6, 2x =
13π
6, 2x =
17π
6
x =π
12, x =
5π
12, x =
13π
12, x =
17π
12
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