Matemáticas IV. Geometría Analítica

Preparatoria Sur UAQ.

Ing. Mariana Lujambio Chávez

marianalujcha@gmail.com

mariana_lujambio@hotmail.com

Apuntes Primer Parcial.

Historia

• Prehistoria.

Actividades prácticas.

Formas geométricas a través de la naturaleza.

Historia de la geometría analítica.

Historia

• La luna llena, la superficie lisa de un lago, la rectitud de un rayo de luz existió antes que el hombre mismo y son objeto de observación desde el primer momento de la existencia del hombre.

Historia de la geometría analítica.

Geometría como ciencia.

• surgió en las primeras civilizaciones:

• Los egipcios usaron en la construcción de sus pirámides ciertas proporciones entre sus lados, seguramente por razones estéticas.

Historia de la geometría analítica.

Geometría como ciencia

• Los griegos estudiaron matemáticamente las proporciones entre los segmentos de distintos polígonos regulares.

Historia de la geometría analítica.

Principales aportaciones de:

• Pitágoras

• Euclides

• Descartes

Historia de la geometría analítica.

Geometría Analítica.

• Nace en la primera mitad del siglo XVII

• Establece un nexo entre las curvas del plano y las ecuaciones algebraicas con dos incógnitas.

Historia de la geometría analítica.

Causa de:

• Mecánica contemporánea

• Astronomía

• Arte de la guerra

• Cuando kepler descubre que los planetas giran alrededor del Sol.

Historia de la geometría analítica.

Padres de la GA

• René Descartes (1596-1570)- “Discurso del método” y “Geometría”

• Pierre Fermat (1601- 1665)

Historia de la geometría analítica.

Definición de GA

• La GA es aquella parte de la matemática que aplicando el método de las coordenadas, estudia los objetos geométricos por medios algebraicos.

Historia de la geometría analítica.

Segmento rectilíneo Dirigido

• Para fines de G.A. se añade al concepto de segmento rectilíneo la idea de sentido o

dirección.

A Origen o punto inicial

B Extremo o punto

final

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional

Segmento rectilíneo Dirigido

• Podemos obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B a A.

• Un segmento dirigido en un sentido se considera de longitud positiva, mientras que en el sentido puesto se considera de longitud negativa.

A Extremo o punto

final

B Origen o

punto inicial

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional

Sistema coordenado lineal o unidimensional

• O- punto fijo sobre la línea, llamado Origen. • 𝑂𝐴-longitud de medida (unidad de medida)=1 • 𝑂𝑃-longitud positiva, P corresponde al número positivo x.

• 𝑂𝑃′-longitud negativa, P corresponde al número negativo x’. • EJE- Recta X’X • El número real x correspondiente al punto P se llama

coordenada del punto P.

X’ X (x’) (x2)

P’ P2

(0)

O

(1)

A

(x1) (x)

P1 P

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

Distancia Dirigida.

• Es aquella que al medirla se establece un sentido entre sus puntos.

• La distancia dirigida de P1 a P2 es:

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

Distancia Dirigida.

• Y la distancia dirigida de P2 a P1 es:

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

Ejemplos.

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

División de un segmento en una razón dada.

• Sea el segmento definido por lo puntos P1 (x1) y P2 (x2), si P(x) es un punto sobre el segmento 𝑃1𝑃2 entonces P divide en los segmentos 𝑃1𝑃 y 𝑃𝑃2 en la razón r.

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

División de un segmento en una razón dada.

• Siendo 𝑃1𝑃 =x-x1 y 𝑃𝑃2 = x2-x por lo tanto:

• La coordenada del punto de división P es:

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

Ejercicios:

1

2

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

Ejercicios:

3

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

Punto medio

• Es aquel que divide un segmento en dos partes iguales. La coordenada del punto medio, Pm, del segmento definido por los puntos P1 (x1) y P2 (x2), se determina tomando la razón r=1.

• Se sustituye en :

• Se obtiene la coordenada del punto medio:

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

Ejercicios 1

2

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

EL problema de weber.

• Actividad

Sistema de coordenadas Bidimensional

El problema de Weber

Sistema de coordenadas Bidimensional

Plano cartesiano

• Son dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen.

• Recta horizontal: eje X o eje de las abscisas.

• Recta vertical: eje Y o eje de las ordenadas.

Sistema de coordenadas Bidimensional

Plano cartesiano

• El plano cartesiano presenta cuatro regiones llamadas “cuadrantes”.

Sistema de coordenadas Bidimensional

Plano cartesiano

• A cada punto P se le asigna un par coordenado P(x,y).

P(x,y)

Sistema de coordenadas Bidimensional

Localización de puntos.

• Para localizar un punto P(x,y) en el plano cartesiano:

• Tomar como referencia el origen.

• Se avanza tanto como lo indique el primer número correspondiente a las Xs (abscisa) hacia la derecha o izquierda según sea su signo.

• A partir de la nueva posición se avanza como lo indique el segundo número correspondiente a las Ys

(ordenadas) hacia arriba o abajo según sea su signo.

Sistema de coordenadas Bidimensional

Ejemplo

• Grafica los siguientes puntos:

• A(-5,4)

• B(3,2)

• P(-2,0)

• Q(-1,-3)

• R(0,-4)

• S(5,-1)

Sistema de coordenadas Bidimensional

Ejemplo

• Grafica los siguientes puntos:

• A(-5,4)

• B(3,2)

• P(-2,0)

• Q(-1,-3)

• R(0,-4)

• S(5,-1)

Sistema de coordenadas Bidimensional

Ejercicios

Sistema de coordenadas Bidimensional

Repuestas

Sistema de coordenadas Bidimensional

Distancia entre dos puntos

• Dados puntos del plano, la distancia que existe entre ellos es de la forma:

Sistema de coordenadas Bidimensional

Distancia entre dos puntos ejercicios.

Sistema de coordenadas Bidimensional

División de un segmento en una razón dada

Sistema de coordenadas Bidimensional

División de un segmento en una razón dada

Sistema de coordenadas Bidimensional

División de un segmento en una razón dada.

• El signo de la razón indica si el punto de división se ubica entre los extremos del segmento o fuera de ellos sobre la misma recta.

Sistema de coordenadas Bidimensional

División de un segmento en una razón dada.

• El signo de la razón indica si el punto de división se ubica entre los extremos del segmento o fuera de ellos sobre la misma recta.

Sistema de coordenadas Bidimensional

Punto medio

Sistema de coordenadas Bidimensional

Puntos de trisección de un segmento de recta

Sistema de coordenadas Bidimensional

Ejercicios de clase. 1

2

3

4

5

Sistema de coordenadas Bidimensional

Pendiente de una recta.

• Apuntes subidos al portal. (A1)

Sistema de coordenadas Bidimensional

Ejercicios de clase 3

Sistema de coordenadas Bidimensional

Condición de paralelismo

Sistema de coordenadas Bidimensional

Condición de perpendicularidad

Sistema de coordenadas Bidimensional

Ejercicios.

Sistema de coordenadas Bidimensional

Ángulo entre rectas

Área de un triangulo

Sistema de coordenadas Bidimensional

Área de un triangulo

Sistema de coordenadas Bidimensional

Área de un polígono

Sistema de coordenadas Bidimensional

Ejercicios

1.

2.

Sistema de coordenadas Bidimensional