Matemáticas IV. Geometría Analítica Preparatoria Sur...

Matemáticas IV. Geometría Analítica

Preparatoria Sur UAQ.

Ing. Mariana Lujambio Chávez

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Apuntes Primer Parcial.

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Historia

• Prehistoria.

Actividades prácticas.

Formas geométricas a través de la naturaleza.

Historia de la geometría analítica.

Historia

• La luna llena, la superficie lisa de un lago, la rectitud de un rayo de luz existió antes que el hombre mismo y son objeto de observación desde el primer momento de la existencia del hombre.


Geometría como ciencia.

• surgió en las primeras civilizaciones:

• Los egipcios usaron en la construcción de sus pirámides ciertas proporciones entre sus lados, seguramente por razones estéticas.


Geometría como ciencia

• Los griegos estudiaron matemáticamente las proporciones entre los segmentos de distintos polígonos regulares.


Principales aportaciones de:

• Pitágoras

• Euclides

• Descartes


Geometría Analítica.

• Nace en la primera mitad del siglo XVII

• Establece un nexo entre las curvas del plano y las ecuaciones algebraicas con dos incógnitas.


Causa de:

• Mecánica contemporánea

• Astronomía

• Arte de la guerra

• Cuando kepler descubre que los planetas giran alrededor del Sol.


Padres de la GA

• René Descartes (1596-1570)- “Discurso del método” y “Geometría”

• Pierre Fermat (1601- 1665)


Definición de GA

• La GA es aquella parte de la matemática que aplicando el método de las coordenadas, estudia los objetos geométricos por medios algebraicos.


Segmento rectilíneo Dirigido

• Para fines de G.A. se añade al concepto de segmento rectilíneo la idea de sentido o

dirección.

A Origen o punto inicial

B Extremo o punto

final

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional

Segmento rectilíneo Dirigido

• Podemos obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B a A.

• Un segmento dirigido en un sentido se considera de longitud positiva, mientras que en el sentido puesto se considera de longitud negativa.

A Extremo o punto

final

B Origen o

punto inicial

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional

Sistema coordenado lineal o unidimensional

• O- punto fijo sobre la línea, llamado Origen. • 𝑂𝐴-longitud de medida (unidad de medida)=1 • 𝑂𝑃-longitud positiva, P corresponde al número positivo x.

• 𝑂𝑃′-longitud negativa, P corresponde al número negativo x’. • EJE- Recta X’X • El número real x correspondiente al punto P se llama

coordenada del punto P.

X’ X (x’) (x2)

P’ P2

(0)

O

(1)

A

(x1) (x)

P1 P

Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.

Distancia Dirigida.

• Es aquella que al medirla se establece un sentido entre sus puntos.

• La distancia dirigida de P1 a P2 es:


Distancia Dirigida.

• Y la distancia dirigida de P2 a P1 es:


Ejemplos.


División de un segmento en una razón dada.

• Sea el segmento definido por lo puntos P1 (x1) y P2 (x2), si P(x) es un punto sobre el segmento 𝑃1𝑃2 entonces P divide en los segmentos 𝑃1𝑃 y 𝑃𝑃2 en la razón r.



• Siendo 𝑃1𝑃 =x-x1 y 𝑃𝑃2 = x2-x por lo tanto:

• La coordenada del punto de división P es:


Ejercicios:

1

2


Ejercicios:

3


Punto medio

• Es aquel que divide un segmento en dos partes iguales. La coordenada del punto medio, Pm, del segmento definido por los puntos P1 (x1) y P2 (x2), se determina tomando la razón r=1.

• Se sustituye en :

• Se obtiene la coordenada del punto medio:


Ejercicios 1

2


EL problema de weber.

• Actividad

Sistema de coordenadas Bidimensional

El problema de Weber


Plano cartesiano

• Son dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen.

• Recta horizontal: eje X o eje de las abscisas.

• Recta vertical: eje Y o eje de las ordenadas.


Plano cartesiano

• El plano cartesiano presenta cuatro regiones llamadas “cuadrantes”.


Plano cartesiano

• A cada punto P se le asigna un par coordenado P(x,y).

P(x,y)


Localización de puntos.

• Para localizar un punto P(x,y) en el plano cartesiano:

• Tomar como referencia el origen.

• Se avanza tanto como lo indique el primer número correspondiente a las Xs (abscisa) hacia la derecha o izquierda según sea su signo.

• A partir de la nueva posición se avanza como lo indique el segundo número correspondiente a las Ys

(ordenadas) hacia arriba o abajo según sea su signo.


Ejemplo

• Grafica los siguientes puntos:

• A(-5,4)

• B(3,2)

• P(-2,0)

• Q(-1,-3)

• R(0,-4)

• S(5,-1)


Ejercicios


Repuestas


Distancia entre dos puntos

• Dados puntos del plano, la distancia que existe entre ellos es de la forma:


Distancia entre dos puntos ejercicios.


División de un segmento en una razón dada



• El signo de la razón indica si el punto de división se ubica entre los extremos del segmento o fuera de ellos sobre la misma recta.


Punto medio


Puntos de trisección de un segmento de recta


Ejercicios de clase. 1

2

3

4

5


Pendiente de una recta.

• Apuntes subidos al portal. (A1)


Ejercicios de clase 3


Condición de paralelismo


Condición de perpendicularidad


Ejercicios.


Ángulo entre rectas

Área de un triangulo


Área de un polígono


Ejercicios

1.

2.


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