GUÍA DE LECTURA

TODOS DE FIESTA

CON EL NÚMERO

PI

El número Pi y Arquímedes como nunca te los habían contado

En todo el mundo, el 14 de marzo se celebra el día del número ∏:un número misterioso y fascinante, presente en muchísimas

situaciones de la vida cotidiana. Ya los babilonios y los egipcios habían estudiado la aproximación al número ∏, pero fue el genial Arquímedes, hace más de dos mil años, quien inventó un método

muy innovador para calcular sus infinitas cifras decimales.Este libro nos cuenta la historia de Arquímedes y de sus alucinantes

invenciones, que se entrecruzan con las vidas de otros ilustres personajes de la Antigüedad y con explicaciones curiosas que

desvelan la importancia de los descubrimientos y de los teoremas fundamentales. Además, se incluyen originales juegos y actividades

para celebrar esta fiesta de las matemáticas.

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GUÍA DE LECTURA

Por: José Luis GonzáLez

Profesor de matemáticas (Colegio Nuestra Señora del Prado) y de didáctica de las matemáticas (Universidad de Castilla-La Mancha)

«No pretendamos que las cosas cambiensi siempre hacemos lo mismo.»

—Albert Einstein

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Introducción

Homenaje a un gran amigo

Queridos/as amigos/as:

Hoy es un día maravilloso para celebrar un encuentro entre colegas que compartimos el arte de enseñar y la hermo-sa tarea de educación matemática.Alrededor de mi cabeza gira una nubecilla de palabras: conciencia, natural, esencia, sencillez, intuición, emoción, pa-sión, alegría, fiesta, creatividad, valores, animación…Y pienso que las matemáticas se aprenden de las manos a la cabeza, de lo concreto a lo abstracto, empezando por palpar el mundo que nos rodea, por dibujarlo des-pués, y así poco a poco va creciendo el matemático que llevamos dentro.Y entiendo que el triángulo matemáticas-creatividad-valores es un todo integrado en torno a la animación, capaz de estimular en los aprendices la conciencia de su ser matemático, favorecer sus procesos de inteli-gencia creadora y mejorar sus relaciones con el mun-do y con los seres que lo habitan.Y quiero que sintamos juntos la emoción de la aventura por los paisajes del universo matemático, poniéndonos en la piel de los aprendices, en un ambiente festivo de alegría y bullicio, al experimentar con las medidas, los números, las formas, las proporciones y los equili-brios.

Un fuerte abrazo y números cordiales.

Pedro Buendía Abril,animador matemático

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La lectura

Para saber si nuestros alumnos han leído el libro y con qué grado de profundización lo han hecho, se propone un cuestionario formado por 43 preguntas tipo test. (El número de preguntas que debe contener la prueba se deja a criterio del profesor.)

1. ¿En qué notación la fecha 14 de marzo presenta la secuencia de números 314?a) Españolab) Anglosajonac) Hindú

2. El número Pi tiene principio, pero…a) no tiene finb) es periódicoc) no sabemos cuál es

3. ¿Cuál es el símbolo del número Pi?a) αb)c) π

4. ¿Por qué?a) Por conveniob) Porque es la letra griega que corresponde a

nuestra Pc) Porque lo decidieron los matemáticos de la an-

tigua Grecia

5. ¿Cuál fue el problema que dio lugar al descubri-miento del número Pi?a) La construcción de cabañas

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b) El cálculo del perímetro del círculoc) La longitud de los cordeles

6. Físico estadounidense al que se le ocurrió dedicar el día 14 de marzo a Pi:a) George Gamowb) Carl Gaussc) Larry Shaw

7. ¿En qué año el presidente Obama proclamó el 14 de marzo fecha oficial para festejar a Pi?a) 2009b) 2010c) 2011

8. ¿Quién inventó un sistema para mandar el agua de abajo hacia arriba?a) Arquímedesb) Pitágorasc) Hipatia

9. ¿Qué significa «¡Eureka!»?a) ¡Está bien!b) ¡Gracias!c) ¡Lo encontré!

10. Característica de las figuras cóncavas:a) Al menos dos de sus puntos se hallan unidos

por un segmento que no está todo él dentro de la figura

b) Al ser atravesada por una recta, puede cortarla en tres o más puntos

c) Las dos

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11. Casi todos los peces poseen una vejiga interior que contiene aire, excepto…a) el tiburónb) la ballenac) el delfín

12. «En un plano, la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo mide 180º.» ¿Quién enunció este teorema?a) Euclidesb) Arquímedesc) Pitágoras

13. ¿Qué nombre reciben las geometrías esféricas y elípticas?a) Geometrías no euclidianasb) Geometrías no planasc) Geometrías esféricas

14. ¿Cuántos libros escribió Euclides para explicar con precisión y rigor toda la geometría conocida hasta entonces?a) 11b) 12c) 13

15. ¿Qué significa Stomachion?a) Dolor de barrigab) Dolor de cabezac) Sin dolor

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16. ¿Qué hizo Pitágoras a los dioses, para darles las gracias por su teorema?a) Sacrificó 200 vacasb) Sacrificó 100 bueyesc) Hizo oración durante una semana

17. El récord de memorizar y recitar decimales del nú-mero Pi lo ostenta el chino Lu Chao. ¿Sabrías decir cuántas cifras recuerda?a) Más de 60.000b) Más de 70.000c) Más de 80.000

18. Si a lo largo del diámetro de una tarta ponemos 10 bolitas de praliné, ¿cuántas harán falta, aproxima-damente, para decorar el contorno?a) 20b) 31c) 42

19. ¿Cuántas cifras decimales del número Pi calculó el matemático alemán Ludolf Van Ceulen (siglo xvi)?a) 35b) 40c) 45

20. ¿Cuántas veces se deben duplicar los lados de un hexágono, para obtener 2 cifras decimales exactas del número Pi?a) 4b) 5c) 6

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21. ¿Quién midió por primera vez el meridiano te-rrestre?a) Arquímedesb) Pitágorasc) Eratóstenes

22. Nombre que recibe la norma según la cual todos los viajeros que atracaban en el puerto de Alejan-dría debían pagar un tributo especial, donando a la biblioteca las obras que poseían y recibiendo a cambio una copia:a) Impuesto navalb) Ley de bibliotecasc) Ley del fondo de las naves

23. ¿De qué murió Eratóstenes?a) De aburrimientob) De un ataque al corazónc) De viruela

24. Nombre de la carta en la que aparece la primera definición de Pi:a) Diámetro del Solb) Medida de la Tierrac) Medida del círculo

25. Cuando no podían medir las distancias desplazán-dose al lugar, los antiguos idearon un sistema para medir ángulos, llamado…a) Trigonometríab) Geometríac) Angulometría

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26. ¿Qué nombre recibe la espiral de la concha del ca-racol?a) Espiral de Arquímedesb) Escalera de caracolc) Espiral logarítmica

27. Completa la siguiente frase: «Todo círculo es equi-valente a un triángulo que tiene como base la cir-cunferencia y como altura…».a) el diámetrob) Pic) el radio

28. En el año 1650 a.C., el escriba Ahmes obtuvo el área de un círculo de diámetro 9 partiendo de la hi-pótesis de que ere equivalente a un cuadrado de lado…a) 7b) 8c) 9

29. Reducir una figura geométrica a un cuadrado la convierte automáticamente en…a) mensurableb) inconmensurablec) trascendente

30. ¿Cuál fue la primera figura geométrica en ser so-metida al tratamiento de la cuadratura?a) El círculob) El rectánguloc) El pentágono

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31. ¿Qué figuras geométricas se pueden cuadrar?a) Todas las de contorno rectilíneob) Todas las que sean planasc) Todas menos la esfera

32. ¿De qué tipo son los triángulos inscritos en una se-micircunferencia?a) Equiláterosb) Isóscelesc) Rectángulos

33. ¿En qué obra de Virgilio se descubre una cualidad especial del círculo?d) La Eneidaa) La Odiseab) El Catón

34. ¿Cuál es la figura que a igualdad de perímetro en-cierra la máxima superficie?a) El hexágonob) El cuadradoc) El círculo

35. ¿Qué dos ciudades se entrelazan trágicamente con la vida de Arquímedes?a) Grecia y Romab) Roma y Siracusac) Roma y Cartago

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36. ¿Qué relación existe entre el volumen del cilindro y la esfera?a) La esfera ocupa 2/3 de espacio de un cilindro

cuya altura y diámetro son iguales al diámetro de la esfera

b) La esfera ocupa 10 veces el espacio de un cilin-dro cuya altura y diámetro son iguales al diá-metro de la esfera

c) La esfera ocupa 3 veces el espacio de un cilin-dro cuya altura y diámetro son iguales al diá-metro de la esfera

37. ¿Qué se puso sobre la tumba de Arquímedes?a) Una esfera inscrita en un cilindrob) Un cilindro inscrito en una esferac) Un círculo inscrito en un cilindro

38. ¿En qué ciudad se encuentra el museo en homena-je a Arquímedes?a) Greciab) Romac) Siracusa

39. ¿Quién descubrió la fórmula del volumen del cono?a) Eudoxob) Arquímedesc) Pitágoras

40. ¿Qué forma debe tener un vegetal o una fruta para ahorrar en el envoltorio?a) Esféricab) Cilíndricac) Da igual

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41. Completa la siguiente frase de Arquímedes: «¡Dad-me un punto de apoyo y…a) moveré el mundo!b) buscaré el equilibrio!c) podré levantarme!»

42. ¿En qué era experto Herón de Alejandría?a) En físicab) En mecánicac) En geometría práctica y mecánica

43. ¿Cómo se llama el premio más prestigioso de ma-temáticas?a) Medalla Fieldsb) Premio Nobelc) Premio de la RSME

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Pi en el cine y la televisión

El número Pi ha aparecido varias veces en la pequeña y gran pantalla. Aquí van algunos ejemplos:

• Pi, fe en el caos. Darren Aronofsky (USA, 1998).

• Universo matemático: «Historias de Pi».• Alfred Hitchcock utiliza el símbolo de Pi para repre-

sentar a una organización de espionaje.• También aparecen referencias en series televisivas

como en Futurama o en Los Simpsons.

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Actividades

Lospersonajes

Aquí tienes una lista con algunos de los personajes que aparecen en Todos de fiesta con el número pi:

Arquímedes Tales Ludolf van Ceulen

Pitágoras Ahmes Zhang Heng

Eratóstenes Hipócrates Herón

Euclides Eudoxo Hipaso de Metaponto

Actividad 1. ¿A cuántos de estos personajes conocías antes de leer el libro?

Actividad 2. Ordénalos cronológicamente, empezando por el más joven y acabando por el más viejo.

Actividad 3. Busca algunas aportaciones más de cada uno de ellos.

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LasquecontienenaPi

Actividad 4. Como has podido observar, el número Pi contiene una cantidad infinita de cifras decimales. ¿Sabes qué nombre reciben estos números? Busca otros números a los que les suceda lo mismo.

Actividad 5. Investiga sobre el número de cifras deci-males que se han descubierto hasta hoy.

Actividad 6. Son numerosos los poemas que se le han dedicado al número Pi. Te mostramos uno de ellos:

El número Pi es digno de admiracióntres coma uno cuatro unotodas sus cifras siguientes también son inicialescinco nueve dos, porque nunca se termina.No permite abarcarlo con la mirada seis cinco tres cincocon un cálculo ocho nuevecon la imaginación siete nueveo en broma tres dos tres, es decir, por comparacióncuatro seis con cualquier otra cosados seis cuatro tres en el mundo.La más larga serpiente después de varios metros se interrumpeigualmente, aunque un poco más tarde, hacen las serpientes fabulosas.El cortejo de cifras que forman el número Pino se detiene en el margen de un folio,es capaz de prolongarse por la mesa, a través del aire,a través del muro, de una hoja, del nido de un pájaro,de las nubes, directamente al cieloa través de la total hinchazón e inmensidad del cielo.¡Oh qué corta es la cola del cometa, como la de un ratón!¡Qué frágil el rayo de la estrella que se encorva en cualquier espacio!

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Pero aquí dos tres quince trescientos noventami número de teléfono la talla de tu camisaaño mil novecientos setenta y tres sexto pisonúmero de habitantes sesenta y cinco décimosla medida de la cadera dos dedos la charada y el códigoen la que mi ruiseñor vuela y cantay pide un comportamiento tranquilotambién transcurren la tierra y el cielopero no el número Pi, este no,él es todavía un buen cincono es un ocho cualquierani el último sietemetiendo prisa, oh, metiendo prisa a la perezosa eternidadpara la permanencia.

Este poema fue compuesto por una Premio Nobel de Literatura. ¿Quién es?

Actividad 7. Existen numerosas formas de calcular el valor de Pi. Una de ellas es el experimento propuesto por el Conde de Buffon. Investiga en qué consiste.

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Actividad 8. Son numerosas las aproximaciones que se han dado del número Pi a lo largo de la historia. Te proponemos que busques las siguientes:

La Biblia (1 Reyes 7, 23) =

Egipto, Papiro de Ahmes 1650 a.C. =

Babilonia, Tablilla de Susa 1600 a.C. =

India, Bandhayana 500 a.C. =

Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) =

China, Liu Hui 260 d.C. =

Tsu Chung Chih 480 d.C. =

Persia, Al-Kashi 1429 =

Francia, Franciscus Vieta (1540-1603) =

Actividad 9. El 31 de enero de 1979 nació un niño autis-ta que es capaz de recitar 22.500 decimales del núme-ro Pi. ¿Podrías averiguar cómo se llama?

Actividad 10. Utiliza las fórmulas de Arquímedes para calcular C768 e I768. ¿Cuántos decimales tienen en común?

Actividad 11. Lo egipcios usaban como aproximación

del número π la fracción 256/81. Si tomas el número Pi

como 3,1416. Investiga y calcula:a) El error relativo de la aproximaciónb) El error relativo al calcular el área de un círculo

de radio 3 cm

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Actividad 12. Experimentando con π. Construye un círculo de papel y mide la distancia del centro al borde. Enrolla un trozo de cuerda alrededor del borde del círculo. Desenróllalo después y mídelo. Divide la se-gunda medida entre la primera. ¿Cuál es el resultado obtenido? Repite el experimento con círculos de distin-tos tamaños, ¿qué observas?

Actividad 13. Dados cuatro círculos de radio 1 y cen-tros en los vértices de un cuadrado, ¿cuál de los si-guientes números aproxima mejor el área sombreada de la figura?

(a) 0.82 (b) 0.84 (c) 0.86 (d) 0.88

Actividad 14. Busca el nombre del matemático alemán del siglo xix qué demostró que el número Pi tiene infi-nitas cifras decimales.

Actividad 15. Comprueba de qué forma experimenta el área de la esfera.

1) Materiales: bola de corcho, clavos y cuerda2) Clava un clavo en el centro del círculo máximo

que se obtiene al partir la bola por la mitad3) Enrolla la cuerda alrededor del clavo, forman-

do una espiral sobre el círculo, hasta que este quede completamente cubierto

4) Clava un clavo en el polo de la media bola y reali-za la operación anterior hasta cubrir por entero la superficie

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5) Compara las longitudes de los trozos de cuer-da. ¿Qué relación observas?

Actividad 16. Si consideras π = 3,14, ¿sabrías decir cuál de estas dos figuras tiene mayor superficie? (El perí-metro de ambas es 3 m.)

Actividad 17. Como has leído, Arquímedes estableció el volumen de una esfera, relacionándolo con el de un cilindro. Bonaventura Cavalieri, matemático italiano, fue conocido por sus métodos para resolver proble-mas de áreas y volúmenes. Visita el siguiente enlace y deduce cuál es el volumen de le esfera.http://www.matematicasvisuales.com/html/historia/cavalieri/cavalieriesfera.html

LasquenocontienenaPi

Actividad 18. Arquímedes se había dado cuenta de que «un cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje de abajo hacia arriba equivalente al peso del volumen del líquido desalojado». Compruébalo con el experi-mento que encontrarás en: http://iespoetaclaudio.centros.educa.jcyl.es/sitio/index.cgi?wid_item=1133&wid_seccion=19

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Actividad 19. Cóncavo y convexo, ¿te atreves a jugar?http://www.mundoprimaria.com/juegos-matematicas/juego-concavos-y-convexos/

Actividad 20. Un hexágono regular se puede dividir en 6 triángulos equiláteros iguales. ¿Cómo son los 5 trián-gulos en los que se puede dividir un pentágono? ¿Cuánto miden sus ángulos?

Actividad 21. El Tangram es un puzle de origen chino. Se obtiene dividiendo apropiadamente un cuadrado en 7 figuras geométricas planas: 5 triángulos rectángu-los isósceles, 1 cuadrado y 1 romboide.Con las piezas del Tangram puedes formar muchas fi-guras de cuatro lados: rectángulos, cuadrados, trape-cios, romboides... Además puede hacerse utilizando todas las piezas o varias.– Forma un rectángulo con el triángulo mediano y los

dos pequeños.– Ahora forma otro rectángulo con las mismas pie-

zas, más el cuadrado.– Ahora utiliza también el romboide para formar otro

rectángulo.– Intenta formar todos los rectángulos que puedas sin

utilizar todas las piezas.

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– Vamos a transformar polígonos de cuatro lados en rectángulos.

– Intenta hacer un rectángulo con todas las piezas del Tangram.

Actividad 22. Usa la Criba de Eratóstenes para escribir los números primos entre 1 y 200. Puedes ayudarte de: http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_158_g_1_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Actividad 23. Utiliza el Teorema de Tales para calcular la altura del edificio.

Actividad 24. Representa 8 en la recta real, ayudán-dote del Teorema de Pitágoras.

Actividad 25. ¿Cuánto debe medir el lado de un cubo cuyo volumen es 2 cm3? ¿Es posible hacerlo utilizando solo regla y compás? ¿Por qué?

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Actividad 26. En el libro aparece uno de los métodos de demostración que utilizan los matemáticos, llama-do «reducción al absurdo». ¿Podrías buscar más?

Actividad 27. Calcula la base y la altura del rectángulo que se obtiene de un triángulo isósceles, sabiendo que el lado igual mide 6 cm y su área 12 cm2.

Actividad 28. ¿Cuáles son los polígonos con que se pueden construir teselados? Para descubrirlo realiza las siguientes actividades:

• Recorta varios triángulos equiláteros iguales

• De la misma manera, recorta cuadrados, pentágonos, hexágonos y octógonos. Recuerda que todos deben ser polígonos regulares

• Utiliza hojas blancas. Pega en una de ellas los trián-gulos tratando de cubrir todo el plano

• Repite la misma operación para polígonos regula-res de 8 lados

• Ahora responde: ¿cuáles son los polígonos que se pueden usar para hacer teselados regulares?

• Mide ahora los ángulos interiores de los distintos polígonos regulares y suma la medida de los ángu-los interiores de los mismos.

• ¿Qué condición debe existir en cuanto a la suma de los ángulos en un vértice común para poder tener un teselado?

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Actividad 29. El elefante asiático de la ilustración pesa 4.000 kg y su distancia al punto de apoyo es de 50 cm. La hormiga pesa 1 mg. ¿Qué longitud deberá tener el brazo donde se apoya la hormiga para que pueda le-vantar al elefante?

Actividad 30. Daniel adquiere un terreno para la cría de caracoles. El terreno tiene forma cuadrangular, pero el dueño no sabe lo que mide. Quiere venderlo por 24 euros el m2. Este es el plano a escala 1:20.

a) ¿Cómo medirías tú la superficie sobre el plano?b) ¿Cómo sobre el terreno?c) ¿Cuánto debe pagar Daniel por el terreno?

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Soluciones preguntas tipo test

1b 2a 3c 4b 5b 6c 7a 8a 9c 10c 11a 12a 13a 14c 15a 16b 17a 18b 19a 20a 21c 22c 23a 24c 25a 26c 27c 28b 29a 30b 31a 32c 33a 34c 35c 36a 37a 38c 39a 40a 41a 42c 43a

Podemos acabar cantando…

Si quieres intentarlo, la página pi.ytmnd.com puede ayudarte. También puedes buscar en youtube «What does the fox say» o cualquier otra canción. ¡Anímate!

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Mister CuadradoUnrecorridoporelsorprendentemundodelageometría

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Todos en círculoEllibroquehacefácillageometría

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El número Pi y Arquímedes como nunca te los habían contado

En todo el mundo, el 14 de marzo se celebra el día del número ∏:un número misterioso y fascinante, presente en muchísimas

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