Matemáticas IV. Geometría Analítica
Preparatoria Sur UAQ.
Ing. Mariana Lujambio Chávez
Apuntes Primer Parcial.
Historia
• Prehistoria.
Actividades prácticas.
Formas geométricas a través de la naturaleza.
Historia de la geometría analítica.
Historia
• La luna llena, la superficie lisa de un lago, la rectitud de un rayo de luz existió antes que el hombre mismo y son objeto de observación desde el primer momento de la existencia del hombre.
Historia de la geometría analítica.
Geometría como ciencia.
• surgió en las primeras civilizaciones:
• Los egipcios usaron en la construcción de sus pirámides ciertas proporciones entre sus lados, seguramente por razones estéticas.
Historia de la geometría analítica.
Geometría como ciencia
• Los griegos estudiaron matemáticamente las proporciones entre los segmentos de distintos polígonos regulares.
Historia de la geometría analítica.
Principales aportaciones de:
• Pitágoras
• Euclides
• Descartes
Historia de la geometría analítica.
Geometría Analítica.
• Nace en la primera mitad del siglo XVII
• Establece un nexo entre las curvas del plano y las ecuaciones algebraicas con dos incógnitas.
Historia de la geometría analítica.
Causa de:
• Mecánica contemporánea
• Astronomía
• Arte de la guerra
• Cuando kepler descubre que los planetas giran alrededor del Sol.
Historia de la geometría analítica.
Padres de la GA
• René Descartes (1596-1570)- “Discurso del método” y “Geometría”
• Pierre Fermat (1601- 1665)
Historia de la geometría analítica.
Definición de GA
• La GA es aquella parte de la matemática que aplicando el método de las coordenadas, estudia los objetos geométricos por medios algebraicos.
Historia de la geometría analítica.
Segmento rectilíneo Dirigido
• Para fines de G.A. se añade al concepto de segmento rectilíneo la idea de sentido o
dirección.
A Origen o punto inicial
B Extremo o punto
final
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional
Segmento rectilíneo Dirigido
• Podemos obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B a A.
• Un segmento dirigido en un sentido se considera de longitud positiva, mientras que en el sentido puesto se considera de longitud negativa.
A Extremo o punto
final
B Origen o
punto inicial
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional
Sistema coordenado lineal o unidimensional
• O- punto fijo sobre la línea, llamado Origen. • 𝑂𝐴-longitud de medida (unidad de medida)=1 • 𝑂𝑃-longitud positiva, P corresponde al número positivo x.
• 𝑂𝑃′-longitud negativa, P corresponde al número negativo x’. • EJE- Recta X’X • El número real x correspondiente al punto P se llama
coordenada del punto P.
X’ X (x’) (x2)
P’ P2
(0)
O
(1)
A
(x1) (x)
P1 P
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
Distancia Dirigida.
• Es aquella que al medirla se establece un sentido entre sus puntos.
• La distancia dirigida de P1 a P2 es:
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
Distancia Dirigida.
• Y la distancia dirigida de P2 a P1 es:
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
Ejemplos.
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
División de un segmento en una razón dada.
• Sea el segmento definido por lo puntos P1 (x1) y P2 (x2), si P(x) es un punto sobre el segmento 𝑃1𝑃2 entonces P divide en los segmentos 𝑃1𝑃 y 𝑃𝑃2 en la razón r.
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
División de un segmento en una razón dada.
• Siendo 𝑃1𝑃 =x-x1 y 𝑃𝑃2 = x2-x por lo tanto:
• La coordenada del punto de división P es:
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
Ejercicios:
1
2
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
Ejercicios:
3
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
Punto medio
• Es aquel que divide un segmento en dos partes iguales. La coordenada del punto medio, Pm, del segmento definido por los puntos P1 (x1) y P2 (x2), se determina tomando la razón r=1.
• Se sustituye en :
• Se obtiene la coordenada del punto medio:
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
Ejercicios 1
2
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
EL problema de weber.
• Actividad
Sistema de coordenadas Bidimensional
El problema de Weber
Sistema de coordenadas Bidimensional
Plano cartesiano
• Son dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen.
• Recta horizontal: eje X o eje de las abscisas.
• Recta vertical: eje Y o eje de las ordenadas.
Sistema de coordenadas Bidimensional
Plano cartesiano
• El plano cartesiano presenta cuatro regiones llamadas “cuadrantes”.
Sistema de coordenadas Bidimensional
Plano cartesiano
• A cada punto P se le asigna un par coordenado P(x,y).
P(x,y)
Sistema de coordenadas Bidimensional
Localización de puntos.
• Para localizar un punto P(x,y) en el plano cartesiano:
• Tomar como referencia el origen.
• Se avanza tanto como lo indique el primer número correspondiente a las Xs (abscisa) hacia la derecha o izquierda según sea su signo.
• A partir de la nueva posición se avanza como lo indique el segundo número correspondiente a las Ys
(ordenadas) hacia arriba o abajo según sea su signo.
Sistema de coordenadas Bidimensional
Ejemplo
• Grafica los siguientes puntos:
• A(-5,4)
• B(3,2)
• P(-2,0)
• Q(-1,-3)
• R(0,-4)
• S(5,-1)
Sistema de coordenadas Bidimensional
Ejemplo
• Grafica los siguientes puntos:
• A(-5,4)
• B(3,2)
• P(-2,0)
• Q(-1,-3)
• R(0,-4)
• S(5,-1)
Sistema de coordenadas Bidimensional
Ejercicios
Sistema de coordenadas Bidimensional
Repuestas
Sistema de coordenadas Bidimensional
Distancia entre dos puntos
• Dados puntos del plano, la distancia que existe entre ellos es de la forma:
Sistema de coordenadas Bidimensional
Distancia entre dos puntos ejercicios.
Sistema de coordenadas Bidimensional
División de un segmento en una razón dada
Sistema de coordenadas Bidimensional
División de un segmento en una razón dada
Sistema de coordenadas Bidimensional
División de un segmento en una razón dada.
• El signo de la razón indica si el punto de división se ubica entre los extremos del segmento o fuera de ellos sobre la misma recta.
Sistema de coordenadas Bidimensional
División de un segmento en una razón dada.
• El signo de la razón indica si el punto de división se ubica entre los extremos del segmento o fuera de ellos sobre la misma recta.
Sistema de coordenadas Bidimensional
Punto medio
Sistema de coordenadas Bidimensional
Puntos de trisección de un segmento de recta
Sistema de coordenadas Bidimensional
Ejercicios de clase. 1
2
3
4
5
Sistema de coordenadas Bidimensional
Pendiente de una recta.
• Apuntes subidos al portal. (A1)
Sistema de coordenadas Bidimensional
Ejercicios de clase 3
Sistema de coordenadas Bidimensional
Condición de paralelismo
Sistema de coordenadas Bidimensional
Condición de perpendicularidad
Sistema de coordenadas Bidimensional
Ejercicios.
Sistema de coordenadas Bidimensional
Ángulo entre rectas
Área de un triangulo
Sistema de coordenadas Bidimensional
Área de un triangulo
Sistema de coordenadas Bidimensional
Área de un polígono
Sistema de coordenadas Bidimensional
Ejercicios
1.
2.
Sistema de coordenadas Bidimensional