Post on 18-Dec-2014
description
UD2: ANALISI MATEMATIKOAINTEGRAZIOA
BATXILERGO ZIENTIFIKO TEKNOLOGIKOAMATEMATIKA II
2
1 1. INTEGRAL MUGAGABEA.
1.1. Funtzio baten jatorrizkoa.
[a, b] tartean definituta dauden f(x) eta F(x) bi funtzio izanik, esango dugu F(x) funtzioa f(x)-ren jatorrizko funtzioa dela, baldin eta F(x)-ren deribatua f(x) bada tartean.
πΉ (π₯) f
πππππππ‘π’π
πππ‘πππππ§πππ
Demagun F(x) funtzioa f(x)-ren jatorrizkoa dela [a,b] tartean; f(x)-ren integral mugagabea deritzogu haren jatorrizko guztien multzoari, F(x) + K eta honela adierazten dugu:
β« π (π₯ )ππ₯=πΉ (π₯ )+π
2
1 1.2. Berealako integralak.
2
1
2
1 1.3. Integral mugagabeen propietateak.
[β« π (π₯ )ππ₯ ]β²= π (π₯)
β« [ π (π₯ )+π(π₯ )]ππ₯=β« π (π₯ )ππ₯+β«π (π₯ )ππ₯
β«π π (π₯ )ππ₯=πβ« π (π₯ )ππ₯
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.1. Deskonposizio bidezko integralak.
β« β« β« dxxgbdxxfadxxbgxaf )()()()(
β« (3 π₯2+4 π₯β2 ) βππ₯=ΒΏΒΏ
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.2. Ordezkapen metodoa.
β« 2πππ₯
π₯βππ₯=ΒΏ ΒΏ
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.3. Zatikako integrazio metodoa.
β«π’ βππ£=π’ βπ£ββ«π£ βππ’
β«π₯ sinπ₯ ππ₯=ΒΏΒΏ
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.4. Funtzio razionalen integrazioa.
β« π (π₯)π (π₯)
ππ₯=ΒΏΒΏ
β P(x)-en maila β₯ Q(x)-en maila : bi polinomioen arteko zatiketa egiten da. β P(x)-en maila < Q(x)-en maila: Q(x) faktoreetan deskonposatzen dugu ; aukera desberdinak lortu ditzakegu.
a) erro bakunak.
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.4. Funtzio razionalen integrazioa.
a) Erro bakunak:
b) Erro anizkoitzak:
c) Erro errealik gabeko faktoreak agertzen direnean:
d) Erro errealik gabeko faktoreak eta gainera izendatzailean polinomio bat agertzen denean;
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.5. Funtzio Trigonometrikoen integrazioa.
motatakoak:
a) m bakoitia eta n bikoitia; cosx=t ordezkapena egin
b) m bikoitia eta n bakoitia; sinx=t ordezkapena egin
c) m eta n bakoitiak; sinx=t edo cosx=t ordezkapenak egin daitezke
d) m eta n bikoitiak ; tanx=t ordezkapena egin. Kasu honetan;
, eta
Integrazioan funtzio trigonometriko generikoak ageri direnean:
,
1
2
3
4
2. INTEGRAL MUGATUA.
2.1. Kurba baten azpiko azalera.
[a,b] tartearen partizioa deritzogu honako hau betetzen duten zenbaki errealen multzo ordenatu eta finitoari:
= b
Weierstrass- en teorema:F(x) funtzioa jarraitua bada [a,b] tartean, tarte horretako bi puntutan f(x) funtzioak maximoa eta minimoa ditu.Tarte horretan funtzioak duen maximoari M deituko diogu eta minimoari, m
1
2
P partizioari lotutako f(x)-en goi-batura deritzogu, , zenbaki erreal honi:
ππ ( π ,π )=(π₯1βπ₯0 )π 1+ (π₯2βπ₯1)π 2+β¦+(π₯πβπ₯πβ 1)ππ
P partizioari lotutako f(x)-en behe-batura deritzogu, , zenbaki erreal honi:
ππ ( π ,π )=(π₯1βπ₯0 )π1+(π₯2βπ₯1 )π2+β¦+ (π₯πβπ₯πβ1 )ππ
1
2
[a,b] tartean jarraitua den f funtzio bat izanik, f-ren integral mugatua [a,b]-n deritzogu goi eta behe baturek biek duten limiteari, eta honela adierazten dugu:
β«π
π
π (π₯ )ππ₯= limπββ
ππ ( π ,π )=ΒΏ limπββ
ππ ( π ,π ) ΒΏ
1
2
2.2. Funtzio integrala.
F funtzioa [a,b] tartean integragarria bada, funtzioari, izanik, f(x)-en funtzio integrala [a,b]-n deitzen zaio.
Barrow-ren erregela:Izan bedi f(x) funtzioa jarraitua [a,b]-n, eta F(x), f(x)-en jatorrizkoa [a,b]-n. Orduan;
- F
Integral mugatuen propietateak:
F(x) [a,b] tartean definituta egonik eta izanik, orduan;
1
2
=
1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
F(x) funtzioa jarraitua eta positiboa bada [a,b]-n;
F(x)-en grafikoak, x=a eta x=b zuzenen eta abzisa ardatzak mugatzen duten eskualdearen azalera adierazpen hinek emandakoa da:
π΄=β«π
π
π (π₯ )ππ₯
1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
F(x) funtzioa jarraitua, postiboa eta negatiboa bada [a,b]-n;
π΄=β«π
π
π (π₯ )ππ₯ββ«π
π
π (π₯ )ππ₯+β«π
π
π (π₯ )ππ₯
1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
f(x) eta g(x) funtzioa jarraituak, [a,b]-n;
π΄=β«π
π
[ π (π₯ )βπ (π₯ ) ]ππ₯+β«π
π
[π (π₯ )β π (π₯ )]ππ₯