Matemática Aplicada a la Edificación I Tema 2...

Matemática Aplicada a la

Edificación I

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

MOSAICOS

M.C. Escher

(Holanda, 1898-1972)

http://www.mcescher.com/

Edificación I

Generación de mosaicosMatemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Se aplican traslaciones, giros, simetrías

Edificación I

Generación de mosaicosMatemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Grupo cristalográfico plano: producto de dos traslaciones de vectores linealmente independientes

17 grupos diferentes

Edificación I

“Computer Aided Design”

Diseño asistido por ordenador

A modo de ejemplo:

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Programa SketchUp Software libre

Edificación I

• Introducción. Conceptos básicos.

• Transformaciones geométricas en el plano.

o Traslación.

o Simetría axial.

Tema 2: Transformaciones en el plano y en el espacio.

o Producto de transformaciones.

o Homotecia.Matemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

o Simetría axial.

o Giro.

• Transformaciones geométricas en el espacio.

o Traslación.

o Simetría especular.

o Giro.

o Simetría axial.

o Homotecia.

o Simetría central.

o Homotecia.

Edificación I

Introducción. Conceptos básicos

� Sistema de referencia y coordenadas

� Distancia entre dos puntos

Geometría en el plano y en el espacio :

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

� Ecuaciones de rectas, planos, …

Edificación I

Se llama transformación geométrica a toda aplicación biyectiva del plano en sí mismo. El punto P’=t(P) se denomina transformado, homólogo o imagen del punto P.

....A ....A’Transformación geométrica

Todo punto tiene asociada una única imagen

En el plano

En el espacio

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

.... ....t

....B’....BTodo punto es imagen de un

único punto

Edificación I

Transformaciones lineales

1 1 1'x a x b y c= ⋅ + ⋅ +

P(x,y) P’(x’,y’)t Las coordenadas de P’ se calculan a partir de

las de P, según indique la transformación t

Ecuaciones de una transformación geométricaEn el plano

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

2 2 2'y a x b y c= ⋅ + ⋅ +

1 1 0 0 1

x c a b x

y c a b y

Matriz de la transformación geométrica

Edificación I

Ecuaciones de una transformación geométricaEn el espacio

P(x,y,z) P’(x’,y’,z’)t

Las coordenadas de P’ se calculan a partir de las de P, según indique la transformación t

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 0 0 01 1

d a b cx x

d a b cy y

d a b cz z

Matriz de la transformación geométrica

Edificación I

Dada una transformación geométrica t, se llama transformación inversa de ella, y se representa por t-1, a la transformación geométrica tal que t-1(P’)=P, siendo P’=t(P) para todo punto p del plano.

....A ....A’t

........ t -1

En el plano

En el espacio

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

....A....A’t -1

� Si la matriz de la transformación t es T, entonces la matriz de la transformación inversa t -1 es su matriz inversa T -1

Edificación I

Se llama isometría o movimiento a toda transformación geométrica que deja invariable las distancias.

))(),((),( isometría est QtPtdQPd =⇔

Isometrías: Traslación, simetrías, giro

No isometrías: Homotecia, semejanza

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Propiedades: Toda isometría transforma rectas en rectas

Toda isometría conserva el valor absoluto de los ángulos

El determinante de la matriz de una isometría es ±1

En el plano

Edificación I

Se llama transformación directa, par o positiva a toda transformación geométrica que conserva la orientación de los ángulos.

Transformación directa: Traslación, giro, homotecia, simetría axial (espacio), …

Propiedades: El determinante de la matriz de una transformación directa es > 0

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Se llama transformación inversa, impar o negativa a toda transformación geométrica que cambia la orientación de los ángulos.

Transformación inversa: Simetría axial (plano), simetría especular (espacio), …

Propiedades: El determinante de la matriz de una transformación inversa es < 0

En el plano

En el espacio

Edificación I

Se llama elemento doble de una transformación geométrica a todo elemento geométrico (punto, recta, circunferencia, etc.) que permanece invariable respecto de ella.

t(E)=EEn el plano

En el espacio

A los puntos que verifican esta propiedad (se transforman en ellos mismos, es decir coinciden con su imagen) se les llaman puntos fijos o puntos dobles de dicha transformación geométrica. M

atemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

En las traslaciones: rectas paralelas al vector de la traslación

En las simetrías axiales planas: puntos del eje de simetría, rectas perpendiculares al eje

En las simetrías especulares (espaciales): puntos del plano de simetría, rectas y planos perpendiculares al plano de simetría

fijos o puntos dobles de dicha transformación geométrica.

Edificación I

Traslación en el plano

Dado un vector , se llama traslación de vector , y se denota por , a la transformación geométrica que asocia a cada punto

vt�v�

Transformaciones geométricas en el plano

o Traslación.

o Simetría axial.

o Giro.

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Propiedades:

por , a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del plano otro punto de forma que se verifique

vt�)(' PtP v

'PP v=��

• Toda traslación es una isometría directa.

• Toda traslación transforma rectas en rectas paralelas a ellas.

• Los elementos dobles de la traslación de vector v son las rectas paralelas al vector v.

• Una traslación queda determinada si conocemos un punto del plano y su imagen.

Edificación I

Ecuaciones de la traslación de vector (v1,v2)

= += +

1 1 0 0 1 Matemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Matriz de la traslación

Determinante = 1

Edificación I

Ejemplo

Traslación de vector (-3,-4) aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)

Rombo original

− −

1 1 1 1

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Rombo original0 1 2 1

0 1/ 2 0 1/ 2

Rombo transformado

vértices originales

1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

3 1 0 0 1 2 1 3 2 1 2

4 0 1 0 1/ 2 0 1/ 2 4 7 / 2 4 9 / 2

− ⋅ = − − − − − − − − − −

vértices transformados

Edificación I

Ejemplo

Rombo original y su

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Rombo original y su transformado

Edificación I

Simetría axial en el plano

Dada una recta e en el plano, se llama simetría respecto del eje e o simetría axial de eje e, y se denota por Se , a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del plano otro punto P ′ = Se(P) de forma que la recta e es la mediatriz del segmento PP ′.

Propiedades:Matemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Propiedades:

• Toda simetría axial es una isometría inversa.

• Los únicos puntos dobles de una simetría axial son los puntos del eje. Las rectas perpendiculares a dicho eje son rectas dobles.

• Una simetría axial queda determinada si conocemos un punto del plano y su imagen.

Edificación I

Ecuaciones de la simetría axial de eje e

1 1 0 0 1

' cos 2 2

' 2 cos 2

x M sen x

y N sen y

α αα α

= ⋅ −

e y mx n≡ = +

pendiente de la recta e

m tg α=

ángulo que forma el eje e con el semieje positivo de OX (medido desde éste)

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

' 2 cos 2y N sen yα α −

Matriz de la simetría axial

Determinante = -1

Para calcular los parámetros M y N:

1 1 0 0 1

cos 2 2

2 cos 2

a M sen a

a N sen a

α αα α

= ⋅ −

A(a1,a2)

punto cualquiera del eje

(punto doble)

Edificación I

Ejemplo

Simetría axial de eje x+y-1=0 aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)

Matriz de la simetría axial1 0 0

− −

Rombo original

1 1 1 1 M

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Rombo original

Rombo transformado

0 1 2 1

0 1/ 2 0 1/ 2

1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 2 1 1 1/ 2 1 3/ 2

1 1 0 0 1/ 2 0 1/ 2 1 0 1 0

− ⋅ = − − −

Edificación I

Ejemplo

Eje de simetría, rombo original

Simetría axial de eje x+y-1=0 aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Eje de simetría, rombo original y su transformado

Edificación I

Giro en el plano

Dado un punto C del plano y un ángulo , se llama girode centro C y amplitud α, y se denota por G(C,α), a la transformación que asocia a cada punto P del plano otro punto P ′ = G(C,α)(P) de forma que se verifiquen las dos condiciones siguientes:

α ∈ℝ

( , ) ( , ')

d C P d C P

PCP α

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Propiedades:

Se llama simetría central de centro C al giro de centro C y amplitud 180∘

• Todo giro es una isometría directa.

• El único punto doble de un giro es su centro.

• Un giro queda determinado si conocemos el centro, un punto y su transformado o bien dos puntos y sus respectivos homólogos.

Edificación I

Ecuaciones del giro de centro C(c1,c2) y amplitud α

1 1 0 0 1

x M sen x

y N sen y

α αα α

= − ⋅

Matriz del giro

Determinante = 1

Giro en el plano

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Determinante = 1

1 1 0 0 1

c M sen c

c N sen c

α αα α

= − ⋅

C(c1,c2)

centro del giro

(punto doble)

Edificación I

Ejemplo

Giro de centro C(1/2,-1) y amplitud -30º aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)

Matriz del giro

3 3 11

3 3 1 3

2 4 2 2

− − −

Giro en el plano

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

2 4 2 2− −

Rombo original

1 1 1 1

0 1 2 1

0 1/ 2 0 1/ 2

Edificación I

Ejemplo

Rombo transformado

Giro en el plano

1 0 0 1 1 1 11 1 1 1

3 3 1 3 3 5 3 3 3 31 0 1 2 1 1 1

4 2 2 4 4 4 4 4 40 1/ 2 0 1/ 2

− ⋅ = − + + + − M

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

0 1/ 2 0 1/ 23 3 1 3 3 3 3 3 5 3 7 3 5

2 4 2 2 2 4 4 4 2 4 4 4

− − − − − − −

Edificación I

Producto de transformaciones

Dadas dos transformaciones geométricas t1 y t2, se llama producto de ambas transformaciones, y se denota por t2 ◦ t1, a la composición de ambas transformaciones, es decir, al resultado de aplicar primero la transformación t1 y a continuación la transformación t2

....P ....P’t1 t2 ....P’’

En el plano

En el espacio

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

....P ....P’ ....P’’

....P ....P’’t2 ◦ t1

Importante: En general, el producto de transformaciones no es conmutativo

t2 ◦ t1 ≠ t1 ◦ t2

Edificación I

� Si T1 es la matriz asociada a la transformación t1 y T2

es la matriz asociada a la transformación t2, entonces la matriz asociada al producto t2 ◦ t1 es T2 ・ T1.

En el planoEn el espacio

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Producto de matrices

t2 ◦ t1

T2・ T1

Edificación I

o Producto de traslaciones

Traslación de vectoraT� 1 2( , )a a a

Traslación de vectorbT�

1 2( , )b b b�

Matrices

T T� ��1 0 0 1 0 0 1 0 0

Producto de transformaciones en el planoMatemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

� El producto de dos traslaciones es otra traslación cuyo vector es la suma de los vectores de las traslaciones dadas.

b aT T� ��

1 1 1 1

2 2 2 2

1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

b a a b

Traslación de vector a b+� �

El producto de traslaciones es conmutativo, es decir, el resultado no depende del orden en que se apliquen ambas traslaciones.

Edificación I

Ejemplo

T(2,1)・ T(-3,-4) aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)

Producto de transformaciones en el plano

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Edificación I

o Giro G(C,α) donde C(c1,c2)

( , ) ( , ')C CG Gα α�

Producto de giros concéntricos

Giro G(C,α’) donde C(c1,c2)

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

( , ')CG α α+

� El producto de dos giros concéntricos es otro giro del mismo centro y cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los giros dados.

El producto de giros concéntricos es conmutativo, es decir, el resultado no depende del orden en que se apliquen ambos giros.

Edificación I

Ejemplo

G(C,90º)・ G(C,-30º) donde C(1/2,-1) aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)

3 3 11

3 3 1 3

2 4 2 2

− − −

1/ 2 0 1

3/ 2 1 0

− − −

Podéis comprobar que es la matriz de un giro de centro C

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Matriz del giro G(C,-30º)

2 4 2 2

Matriz del giro G(C,90º)

Matriz del giro G(C,90º) ・ G(C,-30º)

1 0 01 0 0

3 3 11/ 2 0 1 1

4 2 23/ 2 1 0

3 3 1 3

2 4 2 2

− − • − −

− −

1 3 1 3

4 2 2 2

1 3 3 1

2 4 2 2

= − − − −

un giro de centro C y amplitud 60º

Edificación I

Ejemplo

− − 1

1 1 1 1

0 1 2 1

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

1 1 1 1

23 −

43 −

23 −

− − 1

43 − +

vértices transformados

Edificación I

Ejemplo

23 −

43 −

23 −

− − 1

43 − +

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Edificación I

Producto de giros no concéntricos

Giro G(C,α)

( , ) ( ', ')C CG Gα α� =

Giro G(C’,α’)

( '', ')CG α α+ si α+α’ ≠ 2kπ

Traslación si α+α’ = 2kπ

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

� El producto de dos giros no concéntricos es:

� Otro giro de distinto centro y amplitud la suma de las amplitudes si no es múltiplo de 2π.

� Una traslación si la suma de las amplitudes es múltiplo de 2π.

El producto de giros no concéntricos no es conmutativo, es decir, el resultado sí depende del orden en que se apliquen ambos giros.

Edificación I

Ejemplo

G(O,90º)・ G(C,-30º) donde C(1/2,-1) aplicado al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)

3 3 11

3 3 1 3

2 4 2 2

− − −

Podéis comprobar que es la matriz de un giro de centro

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Matriz del giro G(C,-30º)

2 4 2 2

Matriz del giro G(O,90º)

Matriz del giro G(O,90º) ・ G(C,-30º)

1 0 01 0 0

3 3 10 0 1 1

4 2 20 1 0

3 3 1 3

2 4 2 2

− • −

− −

3 3 1 3

4 2 2 2

3 3 11

= − − −

un giro de centro C’’ y amplitud 60º

3 3 1 3''( 3, )4 4 4 4

C − − +

Edificación I

Ejemplo

− 11

1 1 1 1

0 1 2 1

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

1 1 1 1

23 −

43 −

23 −

− 11

43 + 1

Edificación I

Ejemplo

23 −

43 −

23 −

− 11

43 + 1

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Edificación I

Producto de giro por traslación

Giro G(C,α)

Traslación aT�

( , )C aG Tα �� =

( ', )CG α

( , )CaT G α� � =

( '', )CG α

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

� El producto de un giro por una traslación es otro giro de distinto centro y la misma amplitud.

El producto de un giro por una traslación no es conmutativo, es decir, el centro del giro producto depende del orden en que se apliquen ambas transformaciones.

( , )Ca α� ( '', )C α

Edificación I

Ejemplo

Identificar el movimiento G(A(3,1),-90º) ・ T(-2,0)

Matriz del giro G(A(3,1),-90º)

Matriz de la traslación T(-2,0)

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

1 0 0 1 0 0 1 0 0

2 0 1 2 1 0 2 0 1

4 1 0 0 0 1 6 1 0

• − = − −

Podéis comprobar que es la matriz de un giro

de centro (4,2) y amplitud -90º

Edificación I

Producto de simetrías axiales de ejes concurrentes

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

� El producto de dos simetrías axiales de ejes concurrentes es un giro de centro el punto de intersección de ambos ejes y de amplitud el doble del ángulo que va del eje de la primera simetría que se aplica hacia el eje de la segunda simetría que se aplica.

Todo giro se puede descomponer como producto de dos simetrías cuyos ejes se corten en el centro del giro y formen un ángulo equivalente a la mitad de el del giro.

Edificación I

Producto de simetrías axiales de ejes paralelos

� El producto de dos simetrías axiales de ejes paralelos es

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

� El producto de dos simetrías axiales de ejes paralelos es una traslación cuyo vector es perpendicular a ambos ejes, su módulo es el doble de la distancia entre ambos ejes y su sentido es el que va desde el eje de la primera simetría que se aplica hacia el eje de la segunda simetría que se aplica.

Toda traslación se puede descomponer como producto de dos simetrías de ejes paralelos, los cuales serán perpendiculares al vector de la traslación y a distancia igual a la mitad del módulo de éste y orientadas según el sentido de dicho vector.

Edificación I

Recopilando…

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Edificación I

Homotecia en el plano

Dado un punto C del plano y un número real k ≠ 0, se llama homotecia de centro C y razón k, y se denota por H(C,k), a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del plano otro punto P′ = H(C,k)(P) de forma que:

Propiedades:

' =kCP CP⋅��

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Propiedades:

• Ninguna homotecia (con k ≠ 1) es una isometría.

• Toda homotecia transforma puntos alineados en puntos alineados.

• Toda homotecia conserva el valor absoluto y la orientación de los ángulos.

• El único punto doble de una homotecia de razón k ≠ 1 es su centro. Las rectas que pasan por el centro son rectas dobles.

• Una homotecia queda determinada si conocemos el centro, un punto y su imagen, o bien si conocemos dos puntos y sus respectivos transformados.

Edificación I

Ecuaciones de la homotecia de centro C(c1,c2) y razón k

1 1 0 0 1

x M k x

y N k y

Matriz de la homotecia

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

1 1 0 0 1

c M k c

c N k c

C(c1,c2)

centro de la homotecia

(punto doble)

Edificación I

Ejemplo

Homotecia de centro C(2,-1) y razón -1/3 aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)

− − −

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Rombo original

Edificación I

Ejemplo

Homotecia de centro C(2,-1) y razón -1/3 aplicada al rombo de vértices (0,0), (1,1/2), (2,0) y (1,-1/2)

Rombo transformado

1 0 01 1 1 1 1 1 1 1

8 10 . 0 1 2 1 8 / 3 7 / 3 2 7 / 3

3 30 1/ 2 0 1/ 2 4 / 3 3/ 2 4 / 3 7 / 6

− = − − − − −

− − Matemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

− −

Edificación I

Producto de homotecias

Homotecia K(C,k)

Con el mismo centro:

Homotecia K(C,k’)

( , ) ( , ') ( , ')C k C k C k kH H H ⋅=�

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

� El producto de dos homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro y de razón el producto de sus razones.

Edificación I

Con distinto centro:

Homotecia K(C,k)

Homotecia K(C’,k’)

si k�k’ ≠ 1

)','(),( kCkC HH �)',''( kkCH ⋅

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

En ambos casos, los parámetros que definen la transformación producto deberán ser calculados de forma matricial.

� El producto de dos homotecias de distinto centro es:

� Otra homotecia de distinto centro y razón el producto de las razones, si éste es distinto a 1.

� Una traslación si el producto de las razones es 1.

Traslación si k�k’ = 1

)','(),( kCkC HH �

Edificación I

o Se llama semejanza al producto de un movimiento por una homotecia o de una homotecia por un movimiento.

Semejanza

Ejemplo

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Calcular las ecuaciones de la semejanza que resulta al aplicar una simetría de eje y=x+1 y a continuación una homotecia de razón k=2 que transforma el punto A(2,3) en el punto A’(3,5)

Edificación I

Transformaciones geométricas en el espacio.

o Traslación.

o Simetría especular.

o Giro.

o Simetría axial.

o Simetría central.

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

o Homotecia.

Edificación I

Traslación en el espacio

Dado un vector , se llama traslación de vector , y se denota por , a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del espacio otro punto de forma que se verifique

vt�)(' PtP v

'PP v=��

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

vector v

Edificación I

o Propiedades:

• Toda traslación es una isometría directa.

• Toda traslación transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas paralelas a ellas y planos en planos paralelos a ellos.

• Toda traslación carece de puntos dobles.

• Las únicas rectas dobles de la traslación de vector v son las rectas Matemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

• Las únicas rectas dobles de la traslación de vector v son las rectas paralelas al vector v.

• La inversa de una traslación de vector v es otra traslación de vector – v.

• El producto (composición) de dos traslaciones de vectores u y v es otra traslación de vector u+v.

• El conjunto de las traslaciones es un grupo conmutativo.

Edificación I

Ecuaciones de la traslación de vector (v1,v2,v3)

= += += +

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

1 0 0 01 1

1 0 0'

0 1 0'

0 0 1'

Edificación I

Ejemplo

Traslación de vector (-3,0,6) aplicada al punto P(4,5,2)

1 0 0 0

3 1 0 0

0 0 1 0

6 0 0 1

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

6 0 0 1

(4,5, 2) '(1,5,8)P P→

Aplicación de la traslación 1 0 0 0 1 1

3 1 0 0 4 1

0 0 1 0 5 5

6 0 0 1 2 8

− ⋅ =

Edificación I

Simetría especular en el espacio

Dado un plano Π, se llama simetría especular respectodel plano Π, y se denota por SΠ, a la transformacióngeométrica que asocia a cada punto P del espacio otropunto P’=SΠ(P) de forma que el plano Π es perpendicular ala recta que une los puntos P y P’ y pasa por el punto mediodel segmento 'PP

“reflejo en un espejo”

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

M es el punto medio del segmento PP’

El segmento PP’ es perpendicular al plano Π

Edificación I

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Propiedades:

• Toda simetría especular es una isometría inversa.

• Toda simetría especular transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas y planos en planos.

• Los únicos puntos dobles de una simetría especular son los puntos del plano de simetría Π.

• Las rectas y planos perpendiculares al plano de simetría Π son elementos dobles.

Edificación I

Ecuaciones de la simetría especular de plano Π

0Ax By Cz DΠ ≡ + + + =

plano de la simetría especular

( , , )A B C

vector normal al plano

1 2 3( , , )n n n n=�

vector normal al plano y UNITARIO

1 1 0 0 0 1

'x P x

matriz identidad de orden 3I =

n Matemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Matriz de la simetría especular

Para calcular los parámetros P, Q y R:

2 1 2 3

N n n n n

Se impone que un punto cualquiera del plano de simetría A(a1,a2,a3) sea punto doble

Edificación I

Ejemplo

Simetría especular de plano ΠΠΠΠ: -x+y+z+3=0 aplicada al punto P(0,3,6)

1 0 0 0

1 2 22

2 1 22

− −

Matriz de la simetría especular

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

2 2 12

− −

(0,3,6) '(8, 5, 2)P P→ − −

Aplicación de la simetría especular 1 0 0 0

1 2 2 1 123 3 3 0 82 1 2

3 523 3 3

6 22 2 1

23 3 3

⋅ = −− − −

− −

Edificación I

Giro en el espacio

Se llama giro o rotación de eje la recta e y ángulo α, y se denota por G(e,α), a la transformación que asocia a cada punto P del espacio otro punto P ′ = G(e,α)(P) de forma que se verifiquen las dos condiciones siguientes:

• P’ pertenece al plano Π perpendicular al eje e trazado por el punto P.

•�'PCP α= donde C es el punto de corte del plano Π con el eje e.

• ( , ) ( ', )d P e d P e=Para definir unívocamente el giro al que se M

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

• ( , ) ( ', )d P e d P e=Para definir unívocamente el giro al que se hace referencia hay que fijar un sentido en el eje de giro o dar un punto y su transformado

Se traza el plano Π que contiene a P y es

perpendicular al eje de rotación e

En el plano Π se transforma P en P’, mediante el giro de

centro C y ángulo α

Edificación I

Giro en el espacio

Turning Torso (Malmö, Suecia)

2005, Santiago Calatrava

sidenci

al de 1

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

sidenci

al de 1

Propiedades:

• Todo giro es una isometría directa.

• Todo giro transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas y planos en planos.

• Los únicos puntos dobles de un giro son los puntos del eje e del giro.

• Los planos perpendiculares al eje de giro y las esferas centradas en un punto del eje de giro son elementos dobles.

• El conjunto de todos los giros del mismo eje constituyen un grupo conmutativo.

Edificación I

Giro en el espacioEcuaciones del giro de eje OX y ángulo α

sentido creciente en el eje

1 1 0 0 0 1

' 0 1 0 0

' 0 0 cos

y sen y

z sen z

α αα α

= ⋅ −

Matriz del giro

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Matriz del giro

Ecuaciones del giro de eje OY y ángulo α

1 1 0 0 0 1

' 0 cos 0

' 0 0 1 0

' 0 0 cos

x sen x

z sen z

= ⋅ −

Matriz del giro

Edificación I

Giro en el espacio

Ecuaciones del giro de eje OZ y ángulo α

1 1 0 0 0 1

' 0 cos 0

' 0 0 0 1

x sen x

y sen y

α αα α

− = ⋅

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Matriz del giro

Edificación I

Ejemplo

Giro de eje OY y ángulo 90º y sentido creciente aplicado al punto P(7,-1,3)

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

Matriz del giro

Giro en el espacio

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

0 0 1 0

0 1 0 0

(7, 1,3) '(3, 1, 7)P P− → − −

Aplicación del giro

1 0 0 0 1 1

0 0 0 1 7 3

0 0 1 0 1 1

0 1 0 0 3 7

⋅ = − − − −

Edificación I

Simetría axial en el espacio

Dada una recta e, se llama simetría axial de eje e, y sedenota por Se, a la transformación geométrica que asocia acada punto P del espacio otro punto P’=Se(P) de forma quese verifiquen las siguientes condiciones:

• P y P’ pertenecen a un plano perpendicular el eje e de la simetría.

• La recta definida por P y P’ es perpendicular el eje de la simetría

• Si M es el punto de corte del eje e de la simetría con la recta 'PPMatemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

•( , ) ( ', )d P M d P M=

Si M es el punto de corte del eje e de la simetría con la recta 'PP

Una simetría axial de eje e es un giro de eje e y amplitud 180°.

Edificación I

Propiedades:

• Toda simetría axial es una isometría directa.

• Toda simetría axial transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas y planos en planos.

• Los únicos puntos dobles de una simetría axial son los puntos del eje e de la simetría.

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

• Las rectas normales al eje de simetría son rectas dobles. Los planos normales al eje de simetría y los que contienen a éste son planos dobles.

Edificación I

Ecuaciones de la simetría axial de eje e

1 2 3( , , )n n n n=�

vector director del eje y UNITARIO

1 1 0 0 0 1

'x P x

matriz identidad de orden 3I =

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Para calcular los parámetros P, Q y R:

2 1 2 3

N n n n n

Se impone que un punto cualquiera del eje de simetría A(a1,a2,a3) sea punto doble

Edificación I

Ejemplo

Simetría axial de eje e cuya ecuación vectorial es (x,y,z)=(2,1,2)+λλλλ(1,0,0) aplicada al punto P(0,8,-3)

1 0 0 0

0 1 0 0

2 0 1 0

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

2 0 1 0

4 0 0 1

− −

(0,8, 3) '(0, 6,7)P P− → −

Aplicación de la simetría axial

1 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0

2 0 1 0 8 6

4 0 0 1 3 7

⋅ = − − − −

Edificación I

Simetría central en el espacio

Dado un punto C del espacio, se llama simetría central decentro C, y se denota por SC, a la transformación geométricaque asocia a cada punto P del espacio otro punto P’=SC(P)de forma que se verifiquen las dos siguientes condiciones:

• Los puntos P, C y P’ son colineales

• C es el punto medio del segmento 'PP

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Propiedades:

• Toda simetría central es una isometría inversa.

• Toda simetría central transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas paralelas y planos en planos paralelos.

• El único punto doble de una simetría central es su centro C.

• Las rectas y los planos que pasan por el centro C de la simetría son elementos dobles. Las esferas centradas en el centro de la simetría son elementos dobles.

Edificación I

Ecuaciones de la simetría central de centro C(c1,c2,c3)

1 0 0 01 1

2 1 0 0'

2 0 1 0'

− = − −M

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

32 0 0 1' cz z −

Matriz de la simetría central

Edificación I

Ejemplo

Simetría central de centro M(1,0,-3) aplicada al punto P(-1,9,-3)

1 0 0 0

2 1 0 0

0 0 1 0

− −

Matriz de la simetría central

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

6 0 0 1 − −

( 1,9, 3) '(3, 9, 3)P P− − → − −

Aplicación de la simetría central

1 0 0 0 1 1

2 1 0 0 1 3

0 0 1 0 9 9

6 0 0 1 3 3

− − ⋅ = − − − − − −

Edificación I

Producto de transformaciones en el espacio

Producto de simetrías axiales

� El producto de dos simetrías axiales cuyos ejes son paralelos, es una traslación de vector perpendicular a ambos cuyo módulo es el doble de la distancia entre ambas rectas.

� El producto de dos simetrías axiales cuyos ejes se cortan en un punto M es un giro de eje la recta r perpendicular a ambos ejes por el punto M y ángulo el doble del que forman ambas rectas.M

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

el punto M y ángulo el doble del que forman ambas rectas.

Resultados similares a los del plano

� El producto de dos simetrías axiales cuyos ejes se cruzan es el producto de una traslación por un giro (o de un giro por una traslación).

Edificación I

Producto de giros

� El producto de dos giros de ejes paralelos es:

� Otro giro respecto a un eje paralelo a ambos si la suma de los dos ángulos de giro no es múltiplo de 2π.

� Una traslación si la suma de los dos ángulos de giro es múltiplo 2π, en cuyo caso el vector de la traslación es perpendicular a ambos ejes y su módulo es el doble de la distancia entre ambos.

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

distancia entre ambos.

� El producto de dos giros cuyos ejes se cortan es otro giro cuyo eje pasa por la intersección de los ejes dados.

� El producto de dos giros cuyos ejes se cruzan es igual al producto de dos simetrías axiales cuyos ejes se cruzan.

Resultados similares a los del plano

Edificación I

Movimiento helicoidal

Se llama movimiento helicoidal al producto de un giro por una traslación de vector paralelo al eje del giro.

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

escaleras de caracol

La Casa Espiral de Apartamentos (Ramat Gan, Israel)

1990, Zvi Hecker

Parque de la Villete (París, Francia)

1984-6, Bernard Tschumi

Edificación I

Propiedades:

Movimiento helicoidal

• Una transformación es un movimiento helicoidal si y sólo si es producto de dos simetrías axiales.

• Todo producto de traslación por giro, o de giro por traslación, es un movimiento helicoidal, cualquiera que sea la dirección del vector de la traslación.M

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

vector de la traslación.

• El conjunto de los movimientos helicoidales es un grupo que coincide con el grupo de los movimientos directos.

Edificación I

Descomposición en producto de movimientos

Toda traslación de vector se puede descomponer en el

producto de dos simetrías especulares cuyos planos son

perpendiculares a la dirección del vector , separados una

distancia y tales que el sentido desde el primer plano hacia

el segundo coincide con el sentido del vector . / 2v�

1 2, vΠ Π ⊥ �

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

2 1vt S SΠ Π=� �

1 2, vΠ Π ⊥

1 2( , )2

vd Π Π =

vΠ →Π�

Edificación I

Todo giro en el espacio de eje e y de amplitud α se puede descomponer en el producto de dos simetrías especulares de planos π1 y π2 tales que π1 ⋂ π2 = e y el diedro es igual en magnitud y sentido a α/2.

�1 2eΠ Π

1 2 eΠ ∩ Π =

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

2 1( , )eG S Sα Π Π= �

�1 2

αΠ Π =

1 2 eΠ ∩ Π =

Edificación I

2 1eS S SΠ Π= �1 2 eΠ ∩ Π =

Toda simetría axial de eje e se puede descomponer en el producto de dos simetrías especulares de planos perpendiculares entre sí y que se cortan en e.

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

2 1eS S SΠ Π= �

1 2Π ⊥ Π

Edificación I

1C∈Π

Toda simetría central de centro C se puede descomponer en el producto de una simetría especular de un plano que pase por C y de una simetría axial cuyo eje sea perpendicular al plano anterior y que pase por C.

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

1C eS S SΠ= � C e∈

1e ⊥ Π

Edificación I

Homotecia en el espacio

Dados un punto C del espacio y un número real , sellama homotecia de centro C y razón k, y se representa porH(C,k), a la transformación geométrica que asocia a cadapunto P del espacio otro punto P’= H(C,k)(P) que verifica

0k ≠

'CP k CP= ⋅��

“zoom”

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Edificación I

Homotecia directa

razón positiva

Homotecia inversa

razón negativa

1k ≠ La homotecia no es un movimiento (no conserva las distancias)M

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Ecuaciones de la homotecia de centro C(c1,c2,c3) y razón k

1 0 0 01 1

(1 ) 0 0'

c k kx x

c k ky y

c k kz z

− = − −

(no conserva las distancias)

Edificación I

Ejemplo

Homotecia de centro C(6,2,-1) y razón 2 aplicada al punto P(3,5,2)

1 0 0 0

6 2 0 0

2 0 2 0

− −

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

2 0 2 0

1 0 0 2

(3,5,2) '(0,8,5)P P→

Aplicación de la homotecia

1 0 0 0 1 1

6 2 0 0 3 0

2 0 2 0 5 8

1 0 0 2 2 5

− ⋅ = −

Edificación I

Homotecia K(C,k)

Con el mismo centro:

Homotecia K(C,k’)

( , ) ( , ') ( , ')C k C k C k kH H H ⋅=�

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

� El producto de dos homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro y de razón el producto de sus razones.

Edificación I

Con distinto centro:

Homotecia K(C,k)

Homotecia K(C’,k’)

si k�k’ ≠ 1

)','(),( kCkC HH �)',''( kkCH ⋅

C, C’ y C’’ están alineados

Vector de la traslación

paralelo a CC’Matemática Aplicada a la

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

En ambos casos, los parámetros que definen la transformación producto deberán ser calculados de forma matricial.

� El producto de dos homotecias de distinto centro es:

� Otra homotecia de distinto centro y razón el producto de las razones, si éste es distinto a 1.

� Una traslación si el producto de las razones es 1.

Traslación si k�k’ = 1

)','(),( kCkC HH � paralelo a CC’

Edificación I

o Se llama semejanza al producto de un movimiento por una homotecia o de una homotecia por un movimiento.

SemejanzaHomotecia en el espacio

Semejanza directa razón de la homotecia positiva

Semejanza inversa razón de la homotecia negativa

Matemática

Aplicada I

M.A. Garrido

Grupo C

Ejemplo Semejanza H(C(6,2,-1), 2) � SC(1,0,-3)

Matriz de la semejanza

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

6 2 0 0 2 1 0 0 2 2 0 0

2 0 2 0 0 0 1 0 2 0 2 0

1 0 0 2 6 0 0 1 11 0 0 2

− − − − ⋅ = − − − − − − − −

Matemática Aplicada a la Edificación I Tema 2...

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