Universidad Nacional Arturo Jauretche Rector Organizador: Lic. Ernesto Villanueva Director Editorial: Carlos Payaslian

Carlos Enrique D'Attellis Melina Daniela Podest Guillermo Ricardo Cocha Matemtica Elemental Aplicada 1 Edicin 2011 68 Pginas. 17,5X23 ISBN 978 - 987 - 26618-0-9 c 2011, UNAJ Realizacin Editorial Universidad Nacional Arturo Jauretche Av. San Martn N2002. Florencio Varela (1888) Tel 011-5087-9301 rectorado@unaj.edu.ar http://www.unaj.edu.ar Diseo Grfico: Luciana Etcheverri ISBN : 978 - 987 - 26618 -0-9 Impreso en la Argentina Hecho el depsito que establece la Ley N 11723 No se permite la reproduccin total o parcial de este libro, ni su almacenamiento en un sistema informatico, ni su transmisin en cualquier forma o por cualquier medio, electrnico mecnico, fotocopia u otros mtodos, sin el permiso previo del Editor.

Universidad Nacional Arturo Jauretche

Matemtica elemental aplicada

Carlos E. D'Attellis Melina D. Podest Guillermo R. Cocha

4

Qu es una buena definicin? Para el filsofo, es aquella que satisface a las reglas de la lgica. En la enseanza, una buena definicin es la comprendida por los alumnos.

Henry Poincar

5

6

ndice

n Proemio

......................................................................

9

n Captulo 1:

Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

n Captulo 2:

Funcin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

n Captulo 3:

Funcin cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

n Captulo 4:

Trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

n Captulo 5:

Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

n Adjunto:

Un CD complementario

7

8

proemioEste pequeo curso est destinado a los alumnos que ingresan a la Universidad Nacional Arturo Jauretche. A todos ellos, independientemente de la carrera que elijan seguir. Esto convierte la tarea en algo fuera de lo comn, ya que no se trata de un curso de repaso de los conocimientos adquiridos en el secundario y cuya utilidad est cuestionada porque generan en la mayora de los alumnos un marcado rechazo hacia la ciencia matemtica. En qu consiste esa instruccin que ofrece el nivel medio? En un cmulo de habilidades calculsticas que no tienen ninguna relacin con el mundo real, lo que hace que sean olvidadas apenas son rendidos los exmenes. Incluso son intiles para aquellos ingresantes a las universidades en carreras de Ingeniera y Ciencias, ya que, como cualquiera sabe, los conocimientos matemticos requeridos deben ser impartidos por las mismas facultades en cursos introductorios. El problema no es nuevo. Escriba el matemtico Julio Rey Pastor en 1927: El peso de la enseanza media lleg a ser intolerable para las tiernas inteligencias. Los alumnos que no perecan asfixiados bajo montaas de nombres o aplastados bajo la pesada loza de las matemticas, apenas salan de las aulas, se apresuraban a arrojar por la borda tan pesado bagaje, para poder caminar libremente a la contemplacin del mundo. Y no solamente en nuestro pas; hablando de Francia, el mismo destacado autor deca: Slo hay un punto en que todos coinciden: los resultados de la enseanza son deplorables. Universitarios eminentes, como Darboux, revelaron que pocos meses despus del examen, la mayor parte de los bachilleres no saban resolver una regla de tres simple y La Sorbona tuvo que instituir un curso de aritmtica para los bachilleres en Ciencias. Es interesante consignar el problema en palabras del mismo autor: El problema estriba en saber si el estudio de la matemtica, no ya profesional, sino educativo, favorece o perjudica el equilibrado desarrollo mental necesario para triunfar en la lucha por la vida. Y la contestacin exige un distingo: hay matemticas y matemticas. Su enseanza ser til o ser perjudicial, segn qu matemtica se ensee y cmo se la ensee. Este curso breve tiene en cuenta lo anterior. En l se trata de vincular la matemtica ms elemental con el mundo real, de establecer nexos entre elementos matemticos bsicos y la tecnologa actual. Para ello se han elegido los temas que pueden verse en el ndice. Comienza con la nocin de funcin, evitando definiciones formales, que apartan al auditorio del tema tal como se lo quiere plantear. Lo que sigue emplea esa idea en dos tipos de funciones bsicas, las lineales y las cuadrticas, pero aplicadas a modelos matemticos elementales que llevan a un concepto importante que no se ensea en los cursos usuales de matemtica: el de dinmica, es decir, el de variables que expresan algo del mundo real y que evolucionan en el tiempo. La nocin bsica de equilibrio aparece en forma natural, y las conclusiones obtenidas a partir de esos modelos permiten vincularlos con la realidad y el lenguaje que se usa diariamente. As, esa matemtica elemental muestra la utilizacin de esa ciencia en la vida. Luego se agregan dos tpicos ms: la trigonometra y las probabilidades. La primera es vinculada con la msica, y se introducen las funciones trigonomtricas bsicas co n las unidades correspondientes, de manera de entender las frases comunes en el ambiente tecnolgico actual, como banda ancha, la radio que transmite en 92.7 MHz y otras por el estilo. La segunda es analizada a partir de conceptos muy bsicos e inmediatamente aplicados a ejemplos de inters, como el de los jue9

gos y otros. La computadora desempea un papel importante en este curso, ya que permite graficar, simular y animar, lo que ayuda a comprender lo enseado. Es la intencin del curso mostrar vinculaciones de la matemtica bsica con sus aplicaciones, con la tecnologa, con la realidad, y quitarle a esa ciencia esa visin que se tiene de ella, la de una calculstica intil, que nadie aplica, y que impide que los alumnos vean que detrs de los grandes logros de la tecnologa est la matemtica. Este pequeo texto est acompaado de un CD en el que se encuentran animaciones, filmaciones y grficos que complementan las explicaciones brindadas en aqul. Las citas en el escrito dirigen hacia esos complementos, que, creemos, ayudarn al alumno a comprender las aplicaciones de la matemtica.

Buenos Aires, marzo de 2011.

10

C

A

P

T

U

L

O

1

Funciones

La palabra funcin es usual en el lenguaje comn. Por ejemplo, la ropa que uso es funcin del clima. Lo que queremos decir es que, si hace calor, usar una remera; en cambio, si hace fro, usar un pulver, y, si llueve, un impermeable. Esto implica que hay dos variables en juego: una es la variable independiente, el clima, y la otra, que es la forma de vestirse, dependiente de la primera. Una es funcin de la otra, la dependiente es funcin de la independiente. Se pueden citar muchos ejemplos como el anterior. Si se piensa en el documento nacional de identidad, se puede deducir rpidamente que, al ser un documento que permite la identificacin de todas y cada una de las personas del pas, debe ser nico. La unicidad de este instrumento da lugar a una funcin que, en este caso, relaciona a un individuo dado con un nmero identificatorio. Siguiendo con el mismo razonamiento, es decir, el de asignar a una variable dada otra que depender de ella, podemos especular respecto de miles de ejemplos posibles, como ser que a una persona le corresponde una edad dada (y slo una), a cada nmero le corresponde su cuadrado, a cada producto su precio, a cada libro su nmero estndar internacional de libro (identificador nico abreviado del nombre en ingls ISBN), a cada edificio su altura, a cada casa su direccin, etctera. Habiendo descrito las distintas aplicaciones de las funciones matemticas se puede percibir claramente su amplia utilizacin en la vida cotidiana. Aun de manera inconsciente se emplean cantidades numricas en correspondencia con otras, tiles para solucionar problemas que ocurren a diario en las distintas disciplinas, entre ellas: ingeniera, biologa, qumica, fsica, arquitectura, economa, astronoma, estadstica y muchas reas ms en las que sea necesario correlacionar variables. Si queremos hacer abstraccin de los ejemplos enunciados, debemos distinguir entre las dos variables nombradas con antelacin, y, adems, enunciar que una depende de la otra, que una es funcin de la otra. Cmo expresar esto en forma abstracta? Podemos llamar x a la variable independiente, y a la variable dependiente, e indicar que y es funcin de x con la letra f (de funcin). Usaremos la siguiente convencin para unir esas tres letras; diremos que y es funcin de x, escribiendo y = f (x), que se lee: y es igual a f de x. Daremos ahora un ejemplo matemtico de funcin: y = f (x) = x + 1 En trminos usuales se lee: y es f de x (lo que abrevia la expresin y es funcin de x), y esa funcin est definida por la operacin x + 1. Tanto la variable independiente como la dependiente son, en este caso, nmeros, y la variable dependiente y se calcula para cada valor de la independiente x mediante la expresin x + 1. As, ocurre que si11

x = 1, x = 2, x = 3, x = 1/ 2,

y = 1 + 1 = 2, y = 2 + 1 = 3, y = 3 + 1 = 4, y = 1/2 + 1 = 3/2, etc.

Cmo representar grficamente estas funciones? En el primer caso, se puede utilizar un diagrama como el que se muestra a continuacin:

La funcin es la correspondencia establecida por las flechas.

(Ver Mquina de funciones del CD adjunto.)En otros casos, como para la funcin y = x + 1, se usa la representacin cartesiana.

*

Ren Descartes (Cartesius) (1596-1650): fue educado en un colegio jesuita con mtodos que critic en una de sus obras principales, Discurso del mtodo, escrita en 1637. Fue licenciado en Derecho de la Universidad de Poitiers, y su nombre latino es Cartesius, de donde deriva nuestro adjetivo castellano cartesiano. La obra citada, Discurso del mtodo, es fundamental en la historia de la filosofa. All postula pienso, luego existo, o dudo, y de lo nico que no puedo dudar es de mi duda, y con eso est separando a Dios, porque de lo nico que no duda es de su subjetividad. Lo indubitable, aquello de lo cual van a ser deducidas las otras verdades, ya no es la verdad revelada divina, sino que es la subjetividad humana. Esto es lo que decididamente debemos llamar un gesto revolucionario dentro del pensamiento.1 pocas difciles para el pensamiento: en 1600 la Inquisicin pone a Giordano Bruno en la hoguera, en 1616 se lleva a cabo el primer proceso a Galileo y en 1633 es condenado en Roma. Un apndice de la obra citada trata sobre ptica, y la razn es que Descartes estaba interesado en ella por sus investigaciones sobre la formacin del arco iris en la atmsfera, y eso lo lleva al anlisis del fenmeno de la refraccin de la luz. Su contribucin matemtica trascendente es lo que hoy llamamos geometra analtica, que combin, magistralmente, ambas ramas de la matemtica.1 Feinmann,

Jos Pablo: La filosofa y el barro de la historia, Planeta, 2008.

12

La representacin cartesiana que nos interesa se da en un plano formado por dos ejes, uno correspondiente a la variable independiente x (eje horizontal o eje de abscisas) y otro a la variable dependiente y (eje vertical o eje de ordenadas), perpendicular al anterior. En el ejemplo en el que expusimos una funcin f(x) que sea x + 1, la representacin grfica es la siguiente:

Es claro que los puntos marcados estn sobre una recta. Como la funcin se define para cualquier x, no slo para los marcados con puntos, el grfico de la funcin y = f(x) = x + 1 es

Es claro que la funcin y = x + 1 es llamada funcin lineal, como surge en forma natural del dibujo. La expresin general para las funciones lineales es y = mx + b.13

En el caso anterior, m = 1, b = 1. Ejercicios Graficar y discutir el significado de m y b en los siguientes casos: 1) y = 2x + 1, 2) y = -2x - 1, 3) y = -x + 1. De lo anterior, los dos nombres para los parmetros m y b: pendiente y ordenada al origen. Es vlido expresar las funciones tambin asignando y haciendo corresponder valores en una tabla. Podemos dar otros ejemplos cambiando la funcin f(x) = x + 1 usada en lo precedente. Si definimos y = f(x) = x2, resulta la tabla: x = 0, x = 1, x = -1, x = -2, x = -2, etctera. y = 0, y = 1, y = 1, y = 4, y = 4,

14

Como en el caso anterior, x es un nmero cualquiera y la representacin grfica de la funcin y = x2 es

Esa curva es llamada parbola. La expresin general de una parbola es: y = ax2 + bx + c En el caso anterior, a = 1, b = 0, c = 0. A semejanza de lo que ocurre con los parmetros presentes en la ecuacin de la funcin lineal, los parmetros a, b y c pertenecientes a la ecuacin de la funcin cuadrtica tambin pueden variar para dar lugar a diferentes grficas. Si seguimos considerando, a efectos de simplificar los clculos, b = 0 y c = 0 y si variamos el parmetro a, podemos observar que la parbola ser ms o menos ancha, segn a vaya tomando valores cada vez ms chicos o cada vez ms grandes, respectivamente.

15

Si establecemos a = 1 y c = 0, variando los valores de b se obtendr:

16

Por ltimo, podremos fijar a = 1 y b = 0 variando c, y observaremos que la parbola se desplaza verticalmente segn cules sean los valores elegidos, como se observa a continuacin:

17

Existen varias posibilidades ms de modificar los parmetros de una funcin cuadrtica. En los ejercicios que siguen se podrn poner en prctica.

EJERCICIOS Graficar y discutir el significado de a, b, y c en los siguientes casos: 1) 2) 3) y = -x2, y = -x2 - x - 1, y = 2x2 + 3x + 1

POBLACIN DE PECES Un tipo de funcin que utilizaremos ms adelante tiene como variable independiente el tiempo. Pensemos, por poner un ejemplo, en una poblacin de peces en una laguna de la que queremos seguir su evolucin en el tiempo. Podemos pensar que el intervalo de tiempo en que contamos a sus habitantes es mensual. Esto significa que tenemos posibilidad de contar o censar la cantidad de peces cada mes. As, la variable independiente es el tiempo contado en meses: 1, 2, 3, 4,... y la variable dependiente es la cantidad de peces que se cuenta cada mes; en nuestros trminos para definir funciones, podemos escribir p = f (n) que se lee p es igual a f de n, y se entiende que n es el tiempo medido en meses y p es la cantidad de peces encontrados en el mes n-simo.

BATALLA NAVAL - RELACIONES Y FUNCIONES Para dar un enfoque didctico de este tema puede mencionarse el tradicional juego conocido como batalla naval. ste consiste en el enfrentamiento de dos contrincantes, cada uno de los cuales posee un tablero de juego subdividido en casillas en las que se asentarn los barcos o flotas que intervienen (ubicados de manera oculta por cada uno de los jugadores). Los barcos podrn ser daados o hundidos, momento en el cual se sumarn puntos dependiendo de quin haya sido el atacante que dio en el blanco. Es necesario especificar la posicin de los barcos. Esta ubicacin puede expresarse, de hecho as se hace en el juego tradicional, con una letra y un nmero correspondientes.

18

Llamaremos a este par de (letra; nmero), par ordenado. As, es posible puntualizar la localizacin de los barcos, ya sea que ocupen un casillero, dos casilleros, tres casilleros y as sucesivamente. Si se quiere hacer mencin de un barco en un solo casillero, bastar con escribir, por ejemplo, (A; 4). Si, por el contrario, el barco ocupa dos casilleros o ms ser inevitable hacer alusin a dos pares de valores, como pueden ser: (C; 2) y (D; 2). Para poder hacer una generalizacin del caso planteado se puede pensar que tanto columnas como filas del tablero estn compuestas por nmeros, es decir, que se suplantan las letras por nmeros. Lo anterior se establece para poder pensar en la idea del sistema de ejes cartesianos mencionada precedentemente. Los ejes en el plano son x e y, la primera es la variable independiente y la segunda, la dependiente, como ya vimos en los primeros prrafos del captulo. Si trasladamos este mismo concepto a las coordenadas de los barcos y consideramos que x e y pueden tomar valores distintos en el tablero de juego, ser suficiente con enunciar los pares (x; y) con nmeros que representen cada ubicacin. Ahora bien, puede haber un valor dado de x al cual le correspondan varios valores de y; de hecho, si observamos la grfica, vemos que a x = 5 (E en letras) se le asignaron dos valores de y. Esto define una relacin (no una funcin) entre un valor dado de x y varios valores e y. Sobre la base de esto vale aclarar que una funcin f(x) describir solamente el caso en que a cada elemento del conjunto de valores de partida x le corresponde uno y slo un valor del conjunto de llegada y.

19

20

C

A

P

T

U

L

O

2

Funcin lineal

Ya hemos visto en el captulo anterior la expresin general de las funciones lineales. Consideremos ahora la expresin A (n + 1) = 1,5 . A(n) - 1, en la que la variable independiente n es el tiempo (ver Poblacin de peces en el captulo 1). Si llamamos x al valor presente A(n) e y al valor futuro A(n + 1), tenemos y = 1,5 . x -1, que es una funcin lineal con m = 1,5, b = -1. Si analizamos los valores de y correspondientes a cada valor de x, entonces x = A(0) = 3 x = A(1) = 3,5 x = A(2) = 4,25 y= A(1) = 1,5 . 3 - 1 = 3,5 y= A(2) = 1,5 . 3,5 - 1 = 4,25, y= A(3) = 1,5 . 4,25 - 1 = 5,375,

y as siguiendo. El smbolo que se ha utilizado antes se lee entonces. El diagrama de flujo del clculo anterior es: 1) 2) 3) 4) x = 3, y = 1,5x - 1, cambiar el x en 1) por el y obtenido en 2), ir a 2) y calcular el nuevo y. (x = 3) (y = 3,5) (x = 3,5) (y = 4,25)

Ahora tenemos un procedimiento general para los clculos efectuados antes. Veamos el procedimiento grficamente; usaremos para ello dos funciones lineales: y = 1,5 x - 1 y = x,21

donde la segunda aparece porque en el punto 3) del diagrama de flujo se cambia x por y, es decir, se usa y = x.

La interseccin de las dos rectas se da en x = 2, que es el punto de equilibrio de A(n + 1) = 1,5A(n) - 1, porque, si a ese punto de equilibrio lo llamamos p, tendremos:p = 1,5 p 1, p 1,5 p = 1, p ( 1,5) = 1, 1 p ( 1 2 ) = 1, p = 2.

Que p sea un punto de equilibrio significa que, si en un instante la variable A toma el valor p, pasa el tiempo y permanece en p (est en equilibrio, no se mueve). Dijimos que un punto ser un punto de equilibrio si la variable evaluada en ese mismo punto persiste en ese valor a pesar del transcurso del tiempo. Como es sabido, la variable en cuestin podr modificarse y evaluarse en otros valores. Si estos ltimos son cantidades cercanas, ser posible la obtencin de un equilibrio estable o inestable. Ambos conceptos pueden ejemplificarse con situaciones ya conocidas en la cotidianidad. Pensemos en un pndulo. Este objeto est en equilibrio estable cuando, al ser apartado de su posicin original (en reposo, suspendido verticalmente), regresa inmediatamente a su estado inicial. El equilibrio inestable puede ejemplificarse con un bastn parado sobre su punta. Puede lograrse que quede22

quieto en esa posicin por unos breves instantes, pero si se desplaza, aunque sea mnimamente, terminar desmoronndose en una direccin dada relacionada con la perturbacin ejercida sobre l. Como los puntos sobre la recta y = 1,5x - 1 [que son los A(1), A(2), A(3)...] se alejan del punto de equilibrio, se dice que p es inestable. Esto sucede siempre que la recta dada por y = mx + b tiene |m| > 1. Aclaremos que |m| se lee mdulo de m o valor absoluto de m. El valor absoluto de cualquier variable, en este caso m, es un nmero positivo (mayor o igual a cero) que vale m cuando m > 0 y vale -m cuando m < 0. Esto quiere decir que nos olvidamos del signo que acompaa a la variable diciendo que el resultado de aplicar el mdulo a una variable es siempre positivo. Para clarificar el concepto daremos los siguientes ejemplos: | -1 | = 1, | 5 | = 5, | -16 | = 16, - | -2 | = -2 etctera. Sabiendo ahora cul es el mdulo o valor absoluto de una variable, diremos que, para la recta representada por y = mx + b, si |m| < 1, el punto de equilibrio es estable y, si m = 1, no hay punto de equilibrio, ya que y=x+b y = x, son paralelas. El paralelismo existente entre dos rectas implica que, si las alargramos tanto como se nos ocurra, stas jams se cruzaran entre s. Finalmente, existe la posibilidad de que m = -1 oscilando alrededor del punto de equilibrio. Ejemplo 1: Sea y = -0,8x + 3,6

23

Ejemplo 2: y = -x + 4

24

Receta para la recta y = 1,5x - 1: 1) 2) 3) 4) x, voy a la recta y = 1,5x - 1 y determino (y, x), voy a la recta y = x, con este nuevo x voy a la recta y = 1,5x - 1.

En general, 1) 2) 3) 4) x, determino el punto sobre la recta r, horizontal hasta y = x, ir a 1) con ese x.

Habiendo mencionado en el captulo anterior que una funcin lineal puede expresarse como y = mx + b, podemos puntualizar qu significa cada uno de los parmetros involucrados. La letra m se utiliza para nombrar a la pendiente de la recta enunciada, como ya apuntamos antes, como y = mx + b. Este coeficiente que acompaa a x (variable independiente) es la inclinacin o pendiente de la recta respecto de la horizontal. As, la pendiente de la recta se refiere al ngulo que sta forma con el eje horizontal. Una recta con gran pendiente estar ms inclinada respecto de la referencia horizontal que otra recta con menor pendiente. La otra constante presente en la ecuacin de la recta enunciada es b, que se conoce como ordenada al origen, y es el punto en el cual la recta representada corta o cruza al eje y (eje de la variable dependiente). Es importante observar que, si x = 0, entonces y = b, por eso a b se le da el nombre de ordenada al origen. Es factible deducir, entonces, que cuando se modifica el valor de m, se est variando la inclinacin de la recta y cuando se modifica b, se traslada la recta hacia arriba o hacia abajo.

(Ver Graficadores de funciones del CD adjunto.)

OFERTA Y DEMANDA La ecuacin de la recta tambin puede aplicarse a los ya conocidos trminos econmicos oferta y demanda. Corresponden a un producto que se produce en una unidad de tiempo. Por ejemplo, una cosecha anual o semestral. El productor decide sobre el ao prximo basndose en los precios del corriente ao. Qu superficie sembrar? Si este ao el precio es alto, sembrar ms el ao que viene. Al ao prximo, con una buena cosecha, el precio bajar. Con un precio bajo, la decisin es sembrar menos. Con menor cosecha el precio subir. El proceso es recursivo y el precio oscila. Cmo oscila? Hacia un equilibrio? O no? Para analizar el problema, la propuesta es construir un modelo matemtico. Que variables intervienen? Tres en cada perodo n, oferta O(n), demanda D(n), precio P(n). Formularemos tres hiptesis: 1) 2) 3) La oferta cada ao depende en forma directa del precio del ao anterior. La demanda cada ao depende en forma inversa del precio presente. Cada ao el precio del producto se ajusta para que la demanda iguale a la oferta.25

Aclaremos el ltimo punto: se oferta el producto con la intencin de vender todo, a un precio alto. El consumidor quiere comprar a un precio bajo una gran cantidad. Si no hay tanta oferta, el que vende mantiene su precio por la menor cantidad que quiere comprar el consumidor. El consumidor sube un poco el precio ofrecido, pero compra menos. El productor, que quiere vender todo, baja su precio. Esto contina hasta que el consumidor alcanza un precio al cual compra exactamente lo que el productor quiere vender. ste es el precio de la tercera hiptesis. Pongamos juntas las tres hiptesis en trminos matemticos, suponiendo que el coeficiente que vincula la oferta con el precio es 0,8: (hiptesis 1) o sea, si y siO(n + 1) = 0,8 P(n ), P(n ) = 6 P(n ) = 12 O(n + 1) = 4,8 O(n + 1) = 9,6.

El coeficiente 0,8 debera surgir de estadsticas previas que permitan conocer la reaccin del productor ante las variaciones en el precio del producto.

Pongamos valores en la hiptesis 2: D(n) = -1,2 . P(n) + 20, o sea, si y si P(n) = 6 P(n) = 12 26

D(n) = 12,8 D(n) = 5,6

Hiptesis 3: El precio en el ao siguiente se ajustar de tal manera que la oferta iguale a la demanda, o sea, O(n + 1) = D(n + 1), de manera que, usando lo anterior,O(n + 1) = D(n + 1), O(n + 1) = 0,8 P(n ), 0,8 P(n ) = 1,2 P(n + 1)+ 20, P(n + 1) = 1 (0,8 P(n ) 20 ), 1,2

2 50 P(n + 1) = P(n )+ , 3 3

es decir, si P(n) = 7 P(n + 1) = - 2 . 7 + 50 = 36 = 12. 3 3 3

27

Analicmoslo en general, es decir, en lugar de usar 0,8 como antes, pongamos s > 0: O(n + 1) = s . P(n). El parmetro s puede llamarse sensibilidad de los productores respecto del precio, D(n + 1) = -d . P(n + 1) + b, d > 0, (antes usamos d = 1,2 y b = 20), y d es la llamada sensibilidad de los consumidores al precio. De la tercera hiptesis obtenemos D(n + 1) = O(n + 1), -d . P(n + 1) + b = s . P(n), y as,

P(n + 1) = - s . P(n) + b d d

Afirmar que el precio est en equilibrio, es decir que P(n + 1) = P(n) = p para cualquier n (es decir, pasa el tiempo y no se mueve), entonces

p=

s b p+ , d d

s b p 1 + = , d d d +s b p = , d d p= d b , d+s d b . d+s

p=

Si s = 2, d = 3, b = 50, el punto de equilibrio es p = 10. Analicemos la solucin general del sistema A(n + 1) = r . A(n) + g.

28

El punto de equilibrio esp = r p + g, g = p ( r ), 1 p= g . 1 r

Escribamos las desviaciones respecto del equilibrio, es decir,E (n ) = A(n ) p, E (n ) = A(n ) A(n ) = E (n )+ g , 1 r g . 1 r

As, como A(n+1) = rA(n) + g, resultag = r E (n )+ + g, 1 r rg = r E (n )+ + g, 1 r 1 r g + g ( r) , = r E (n )+ 1 r g , = r E (n )+ 1 r

g 1 r g E (n + 1)+ 1 r g E (n + 1)+ 1 r g E (n + 1)+ 1 r E (n + 1)+

de manera que E(n + 1) = r . E(n). Ahora es fcil deducir que si el valor inicial es E(0)E ( ) = r E (0 ), 1 M E (k ) = r k E (0 ),

E (2 ) = r E ( ) = r 2 E (0 ), 1

que es la solucin general de la ecuacin E(n + 1) = rE(n). Como dijimos que

29

A(k ) = E (k )+

g , 1 r

y, adems,E (k ) = r k E (0 ),

reemplazando E(k) se obtieneg , 1 r g g + A(k ) = r k A(0 ) , 1 r 1 r A(k ) = r k E (0 )+

que es la solucin general de A(n+1) = rA(n) + g. Entonces, resumiendo, diremos que si A(n + 1) = r . A(n) + g, entonces,g g + A(k ) = r k A(0 ) ; 1 r 1 r

para el caso analizado antes ocurrir que siP(n + 1) = s b P(n )+ , d d

resultab b k s P(k ) = P(0 ) d + d , s s d 1+ 1+ d d b b s + P(k ) = P(0 ) . d d + s d + s k

Continuaremos con el anlisis de la estabilidad. En el primer caso, el punto de equilibrio tendr la expresin p= por lo que finalmente obtendremosA(k ) g g = r k A(0 ) 1 r 1 r

g , 1-r

A(k ) p = r k [A(0 ) p ] .

30

Sern posibles dos situaciones que se detallarn en lo que sigue:n n

Si |r| < 1, A(k) k p , por lo que p es estable. Si |r| > 1, A(k) - p k , por lo que p es inestable.

Aclaremos en palabras la escritura utilizada. Cuando se emplea k , se hace referencia a que la variable k se puede hacer tan grande como se quiera y se lee la variable k tiende a infinito. El smbolo , se denomina en matemtica infinito. En el presente caso, vemos que se tienen valores a cada lado de la flecha, k , lo cual quiere decir que A(k) tiende a p (punto de equilibrio ya mencionado) cuando k se hace muy grande, nuevamente diremos, tanto como uno quiera. En conclusin, la flecha indica tendencia, A(k) tender -o se aproximar- a la cantidad p si k es muy grande. El segundo caso es anlogo al primero ya citado. El punto de equilibrio es p= y entonces, s P(k ) p = [P(0 ) p ] . dk

b , d+s

Para este caso, el anterior r es el cociente -s/d, de manera que:n n

Si |s/d| < 1, p es estable. Si |s/d| > 1, p es inestable.

Si estamos interesados en un anlisis cualitativo (estabilidad o no), slo interesa la relacin mencionada. Si la realidad es complicada, las ecuaciones lineales son una aproximacin. Esto es de gran utilidad en el control de la situacin. Por ejemplo, el precio de la soja subi mucho debido a la gran demanda internacional. En consecuencia, aument la produccin (con un retardo); esto significa que la sensibilidad del productor respecto del precio s es alta. Pero los consumidores necesitan una cantidad ms o menos fija, de manera que el consumo cae poco frente al aumento del precio, es decir, la sensibilidad del consumidor respecto del precio es baja (d). As, s > d, que significa inestabilidad. Qu hacer frente a estas circunstancias? El gobierno puede actuar como consumidor para subir el valor de d, fijando un precio sostn. Tambin puede bajar s, pagando para que el productor no siembre, o poniendo retenciones. El petrleo ofrece un ejemplo histrico. El precio subi mucho en los aos setenta; entonces, se increment la explotacin y la produccin. Es decir, la sensibilidad s (del productor respecto del precio) fue grande. Aunque suba el precio, el consumo baja poco, por lo necesario del combustible, o sea, el d es bajo. Esto da lugar a s > d y a ciclos de inestabilidad que sucedieron, efectivamente. Si s = d, resultaP(k ) p = ( 1) [P(0 ) p ]k

y el precio oscila con amplitud constante. Pero la realidad es que difcilmente ocurre que s = d, slo llegan a ser parecidos. En ese caso es difcil predecir estabilidad o no.31

CARRERA ARMAMENTISTA Pensemos en dos naciones A, B, con gastos en armas A(n) y B(n) en el ao n. El incremento del gasto en A, A(n+1) - A(n), se debe a 1) lo gastado por B, 2) a un trmino que tenga en cuenta que el gasto de A no puede crecer demasiado (cuestin de presupuesto), y 3) a un trmino constante, es decir,

A(n + 1) A(n ) = r A(n )+ s B(n )+ a;

r mide la economa de A y s mide la desconfianza entre A y B. Anlogamente,

B(n + 1) B(n ) = R B(n )+ S A(n )+ b;

Para simplificar, supongamos r = R, s = S. Sumando A(n+1) - A(n) y B(n+1) - B(n),

[A(n + 1)+ B(n + 1)] [A(n )+ B(n )]= (r + s ) [A(n )+ B(n )]+ c,con c = a + b. El gasto total es; T (n ) = A(n )+ B(n ) T (n + 1) T (n ) = ( r + s ) T (n )+ c T (n + 1) = ( r + s ) T (n )+ c. 1

El punto de equilibrio de esta dinmica armamentista esp = (1 r + s ) p + c p c = (1 r + s ) p pc = 1 r + s p c =rs p p= c . rs

32

La solucin de la ecuacin

T (n + 1) = ( r + s ) T (n )+ c, 1

esc c k + T (k ) = ( r + s ) T (0 ) 1 . r s r s

Si -1 < 1 - r + s < 1, o sea, -2 < - r + s < 0, el punto de equilibrio es estable. La expresin (1 - r + s) est elevada a la variable k, si planteamos que debe mantenerse entre -1 y 1, veremos que, mientras k aumenta, la expresin (1 - r + s)k se hace ms pequea. Existe una serie de observaciones importantes al respecto:n

-r + s < 0 significa s < r y da estabilidad.

n

1 Si s > r, hay inestabilidad porque ( r + s ) +.k

n

Si

T (0 )

c rs c rs

< 0, T (k ) (o cero si llega antes). La carrera armamentista se acaba.

n

Si

T (0 )

> 0, T (k ) + . La carrera armamentista crece.

Ejemplo: Primera Guerra Mundial. Francia y Rusia

Alemania y Austria-Hungra.

T (n + 1) = ( r + s ) T (n )+ c, 1

Segn datos histricos, los gastos anuales fueron:

1909 1910 1911

199 millones de libras 205 millones de libras 215 millones de libras

T (0 ) = 199, T ( ) = 205, T (2 ) = 215. 1

33

1 1 T ( ) = ( r + s ) T (0 )+ c, 1 1 T (2 ) = ( r + s ) T ( )+ c 205 = ( r + s ) 199 + c, 1 215 = ( r + s ) 205 + c 1 5 380 . (1 r + s ) = y c= 3 3

De lo anterior se desprende que s - r = 2/3, entonces ocurre que s > r. Si T(0) > 190, van al desarme. Como T(0) = 199, concluy en guerra.

34