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MARCO DESCHAMPS F. 2
Curriculum Vitae
DR. MARCO ANTONIO DESCHAMPS FERNÁNDEZ
Ingeniero Industrial de la UNAM, Maestría en Administración del ITESM,
Doctorado en Administración de las Organizaciones por la facultad de Contaduría
y Administración de la UNAM, diversos cursos de actualización y especialización
en México y en el extranjero, Miembro fundador del Colegio de Posgraduados en
Administración de la República Mexicana A.C. Vicepresidente del “American
Marketing Association” capítulo México.
Experiencia laboral en empresas privadas y del sector público: Miembro del
departamento de Matemáticas de la UIA, Subdirector de la Escuela de Ingeniería
de la Universidad La Salle, Investigador de medio tiempo y miembro del claustro
doctoral de la División de Estudios Superiores de la Facultad de Contaduría y
Administración de la UNAM, Subdirector de la Escuela de Ingeniería de la
Universidad Anáhuac del Sur, Catedrático de licenciatura y posgrado en diferentes
universidades: ITESM, UNAM, LA SALLE, LAS AMÉRICAS y ANÁHUAC del Sur,
entre otras. Conferencista y cátedras de posgrado en diferentes centros de
negocios y asociaciones de Centro y América del Sur, participante en diferentes
congresos y foros como panelista y conferencista en México y América del Sur.
Libros publicados: Métodos Cuantitativos para los Procesos de Inferencia,
Mercadeo para Instituciones de Micro Finanzas, Regresión Lineal Simple y Series
de Tiempo, Administración Financiera para Instituciones de Micro Crédito, Coautor
de la serie de libros “Monografías Educativas de México” (SEP), Dirección de tres
tesis de doctorado.
Artículos publicados: Ejercicios para Métodos Cuantitativos para las Ventas,
Aplicación de los Planos Preceptúales para Evaluar la Imagen de Servidores
Públicos, Evaluación Económica de la Inversión Educativa, Modelos de Asignación
de Profesores de Educación Primaria del Sistema Federal.
MARCO DESCHAMPS F. 3
ÍNDICE
Conceptos Estadísticos Generales 4
Plan de muestreo 8
Definición de la población 8
Definición de las unidades muestrales e identificación del
marco muestral 9
Método de muestreo 9
Cálculo del tamaño de la muestra 9
Aleatorización y recolección de observaciones 9
Análisis del contenido de la muestra 10
Cálculo del Tamaño de la Muestra para Población Infinita 11Cálculo del Tamaño de la Muestra para Población Finita 14Métodos de Muestreo 17
Muestreo probabilistico 17
Muestreo no probabilistico 17Muestreo Simple Aleatorio 17Muestreo Sistemático 18Muestreo Estratificado 19CASO DE ESTUDIO 20
Casos especiales de muestreo estratificado 23
Muestreo por Conglomerados 25
Muestreo no estadístico 25
Muestreo de Intencional 25
Muestreo por Cuotas 25
Muestreo Bola de Nieve 26
Muestreo Conveniencia 26
CASO DE ESTUDIO 26
PRUEBA COMPRENSIVA 30
MARCO DESCHAMPS F. 4
MUESTREO ESTADÍSTICO PARA LA AUDITORÍA
MARCO DESCHAMPS F. Los investigadores y analistas enfrentan un problema importante cuando trata de
obtener una muestra representativa de la población, tal qué, represente de manera
adecuada a todos sus elementos. Por ejemplo, tomar una muestra de los ciudadanos de
cierta ciudad para hacer un sondeo de opinión con el objeto de conocer el desempeño de
los gobernantes. Determinar a quienes y cuantos se debe auditar para conocer el nivel de
problemas fiscales, etc.
Una parte de la teoría estadística se dedica a establecer la forma y los
procedimientos para obtener una muestra representativa, seleccionar un conjunto de
observaciones capaz de representar con exactitud las características de todas las
observaciones contenidas en la población.
La estadística es la disciplina matemática que trata de la forma de analizar la
información, pero más importante aun que el análisis de la muestra es la inferencia que
se establece sobre el comportamiento de la población. El objetivo principal de la
estadística es la inferencia, que se realiza para conocer el valor de ciertas medidas de la
población (parámetro) a partir del análisis de la información contenida en la muestra. La
inferencia estadística es el procedimiento mediante el cual los resultados del análisis de la
muestra se pueden generalizar a toda la población. El proceso de inferencia estadística
se realiza porque en la mayoría de los casos los datos de que se dispone corresponden
a una muestra. El proceso de muestreo es esencial para que la inferencia sea valida. Una
muestra mal obtenida o tendenciosa invalida el proceso de inferencia utilizado para
obtener alguna conclusión importante sobre el comportamiento de los parámetros de la
población, aun cuando éste sea muy sofisticado e innovador.
MARCO DESCHAMPS F. 5
1. Conceptos Estadísticos Generales.
El muestreo estadístico es una proceso utilizado para garantizar que las
observaciones que se toman de una población sean representativas de ésta y por lo tanto
se puedan utilizar en los procesos de inferencia. De manera general la inferencia
estadística es un proceso que comprende los siguientes pasos.
• Establecer la forma de obtener una muestra representativa • Definen los métodos estadísticos para analizar la muestra • Obtener los estimadores apropiados • Utilizar un procedimiento valido mediante el uso de un
distribución de probabilidad apropiada para estimar los parámetros a partir de los datos contenidos en la muestra
• Interpretan los resultados y se elaboran las conclusiones
El proceso de seleccionar una muestra representativa de la población debe de
cubrir ciertos principios básicos, el más importante de ellos es considerar que cualquier
elemento de la población tenga la misma probabilidad de ser elegido en la muestra.
Los estimadores más comúnmente empleados son: la media aritmética, la
variancia y el porcentaje de casos favorables
La forma más común de hacer la inferencia es mediante el empleo de un intervalo
de confianza, este establece dos valores en donde se estima se encuentra el parámetro
poblacional que se desea conocer, la estimación se basa en cierta confiabilidad y
probabilidad de error, La estadística no es exacta y siempre considera aunque su valor
sea muy pequeño una probabilidad de error representada por α, la cuál se puede
interpretar como la probabilidad de que el parámetro no se encuentre en el intervalo
calculado, el complemento del error de estimación para obtener una certeza completa
recibe el nombre de confiabilidad, la cual se representa como:: ( 1- α )
Para hacer inferencia con respecto a la media aritmética de una población
mediante un intervalo de confianza se utiliza:
MARCO DESCHAMPS F. 6
)(Parametropoblaciónlademedia=µ
muestralademediaX = ( Estimador )
NXi∑=µ
nXiX ∑=
n >30 ; muestra grande
Un intervalo de confianza para µ está dado por.
n
ZX σα 2/±
Ejemplo: Se tomó una muestra de 64 observaciones para conocer las ventas
semanales de un vendedor y se obtuvo una media aritmética de $390 con una desviación
estándar de 60. Establezca un intervalo de confianza del 95% para el promedio de ventas
semanarios del vendedor e interprete dicho intervalo.
X = $390
05.=∞
n = 64 64
6096.1390 ±
S = 60 ( ) 95.07.4043.375 =≤≤ µ
n
ZX σα 2/±
Para hacer inferencia con respecto al porcentaje de casos favorables de una
población mediante un intervalo de confianza se utiliza:
MARCO DESCHAMPS F. 7
casosdeTotalfavorablesCasoséxitosdePorcentajeP ==
^
casosdeTotalfavorablesCasosióndelapoblacéxitosdePorcentajeP ==
Un intervalo de confianza para el porcentaje de éxitos de la población está dado por:
npqzP
2
^
∞±
Utilizando una cierta una probabilidad de error; α
Ejemplo. Se tomó una muestra aleatoria de 100 consumidores para conocer la
preferencia sobre una marca de producto, resultó que 40 de ellos dijo preferir la merca del
fabricante. El gerente de mercadotecnia desea estimar el porcentaje de consumidores que
prefiere la merca para conocer su participación en el mercado. Un intervalo de confianza
del 95% para el porcentaje de consumidores que prefiere la marca del fabricante está
dada por:
40.010040^
==P
npqzp
2∞±
El complemento de P recibe el nombre de “q”; en donde, q = 1 - p
00.2cot96.1%951
2 ==
=∞−
∞errordeaunaParaz
100)60.0)(40.0(240.0 ±
Un intervalo de confianza para “P” está dado por: ( ) 95.048.032.0 =≤≤ P
MARCO DESCHAMPS F. 8
2. Plan de Muestreo Los métodos de muestreo tienen como finalidad responder dos cuestiones
básicas que se fundamentan mediante el diseño de la muestra; ¿ cuántas observaciones
deberán hacerse? y ¿a quiénes se deberá observar?. Ambas cuestiones se responden
mediante el desarrollo y diseño de un plan de muestro. El plan de muestreo permite
justificar la validez y confiabilidad de la muestra empleada, se compone de los seis pasos
o etapas que se muestran a continuación.
• Definición precisa de la población que se estudia
• Identificación de las unidades y definición del marco de la muestra
• Selección del método de muestreo
• Cálculo del tamaño de la muestra
• Aleatorización y recolección de datos
• Análisis de la muestra para establecer conclusiones
Las mediciones realizadas sobre los elementos de una muestra obtenida
mediante este procedimiento permiten justificar su representatividad y extender los
resultados hacia toda la población mediante algún proceso de inferencia estadística.
A continuación se expone el contenido de un plan de muestreo.
a) Definición de la población. Primeramente es necesario identificar con toda
precisión la población que se está estudiando, si la población está claramente
definida se sabe qué elementos pertenecen a ella y cuáles no, una definición
ambigua de la población estudiada ocasiona dificultades en la formación del
marco de la muestra.
Cuando se desarrolla un plan de muestreo la población que se estudia se debe
definir con precisión, de tal forma que se identifique si un elemento pertenece a
la población o no. Hay que evitar que la definición de la población sea
ambigua. Por ejemplo: Los estudiantes de la UAS. debería especificarse,
estudiantes de licenciatura que se encuentran inscritos en al menos una
asignatura en el presente semestre.
MARCO DESCHAMPS F. 9
b) Definición de las unidades muestrales e identificación del marco muestral. Las unidades muestrales se definen como son aquellas en las que se puede
tomar una observación. Se llama marco de la muestra a las unidades
muestrales identificadas mediante un número.
Una unidad de observación es aquella en la cual se puede hacer una
medición. Si todas las unidades muestrales se identifican mediante un número,
éste conforma el marco muestral. Ejemplo: se desea hacer un estudio sobre
las empresas medianas del ramo de la transformación ubicadas en la zona
metropolitana de la Ciudad de México.
Una forma de definir la población es: empresas de la industria de la
transformación de tamaño mediano instaladas en el Valle de México, de
acuerdo a la definición del INEGI. Sí se obtiene un listado de éstas empresas e
identifican mediante algún número, este listado representa el marco muestral.
c) Método de muestreo
De manera general existen dos grupos de muestreo: el probabilístico y el no
probabilístico. Los tipos que corresponden a cada uno se estudiarán en detalle
más adelante.
d) Calculo del tamaño de la muestra. El calculo del tamaño de la muestra
requiere de una confiabilidad estadística, ( 1- α ) o de la fijación de un error de
estimación (α) , a partir del cuál se calcula el valor de “z” de la distribución de
probabilidad normal estandarizada, cuándo se tienen muestras grandes de
tamaño mayor a 30. Se requiere de la fijación de un error de estimación
máximo aceptado, (α) que representa la probabilidad de error máximo con el
que se hará la inferencia.
e) Aleatorización y recolección de observaciones. La forma más común de
aleatorizar la observaciones del marco muestral es mediante el empleo de
números aleatorios Un número aleatorio es aquél que posee la propiedad de
que su ocurrencia no depende de la ocurrencia de los números anteriores, es
decir, ocurre de manera espontánea, totalmente al azar. Para obtener números
MARCO DESCHAMPS F. 10
aleatorios se puede usar tablas elaboradas especialmente para este propósito,
las cuales figuran en la mayoría de los libros de estadística, o también se
puede recurrir a un medio electrónico tal como el uso de la calculadora, la
mayoría de ellas tienen incluida un función matemática “Random (RDM)” que
genera automáticamente números aleatorios.
Ejemplo: Sí existen 80,000 empresas medianas ubicadas en la Ciudad de
México y el cálculo del tamaño de la muestra fue de 400 empresas. Determine
mediante números aleatorios las empresas que deben de ser seleccionadas en
la muestra.
Se generan números aleatorios entre 0 y 1, y se multiplican por 100,000
como se muestra a continuación.
.915*100000= 91500
.285*100000= 28500
.254*100000=25400
.332*100000=33200
.178*100000=17800
.365*100000=36500
Las empresas señaladas en el marco muestral mediante este número
son las seleccionadas, si el número obtenido se encuentra fuera del marco
muestral se elimina y se continua con el siguiente Los números aleatorios
tienen el defecto de repetirse, en este caso se omite el número y se continua
con el siguiente, además la secuencia de los números aleatorios no se puede
interrumpir porque se rompe la aleatoriedad.
f) Análisis del contenido de la muestra. Si la muestra fue elegida
aleatoriamente entonces se analiza mediante el procedimiento estadístico
apropiado, y a partir de él se elaboran los estimadores para la inferencia
estadística
Este capitulo trata de la forma de calcular y obtener una muestra estadística
representativa, enfocada a estudiantes de la escuela de Economía y Negocios que
MARCO DESCHAMPS F. 11
utilizan estos métodos en áreas de estudio tales como: Investigación de Mercados,
Análisis de Decisiones, Comercio Internacional etc. Se hace énfasis en el cálculo
estadístico del tamaño de muestra y de la aplicación de las diferentes técnicas de
muestreo en los casos en que la población se considera infinita y finita, tanto para
variables cuantitativas como cualitativas.
3. Cálculo del Tamaño de la Muestra para Población Infinita El cálculo del tamaño de muestra para el tipo de muestreo simple aleatorio
cuando la población es infinita, se obtiene a partir del intervalo de confianza de la
inferencia, tanto para variable cualitativa como cuantitativa. Este cálculo del tamaño de la
muestra es el más usual de los procesos de muestreo, prácticamente todos los demás
casos para el calculo del tamaño de una muestra se basan en él. A continuación se
muestra la expresión para el cálculo del tamaño de la muestra para ambos casos.
Variable cuantitativa. Para variable cuantitativa de tiene:
n
ZX σα 2/±
El error de estimación se define como:
estimacióndeerrorn
Z =σ
α 2/
Como se observa el error de estimación es el valor que es necesario agregar al
estrimador de la muestra para estimar el parámetro de la población. Este error de
estimación se representa con la letra B. No debe confundirse la probabilidad de error con
el error de estimación, ya que como se observa significan conceptos muy diferentes.
nZB σα 2/=
Si se despeja de esta expresión n ( tamaño de la muestra ) se obtiene:
MARCO DESCHAMPS F. 12
BZn 2
222σ∞=
Está expresión se puede aplicar mediante el siguiente procedimiento:
• Se fija la significancia o probabilidad para la estimación.
• Se estimar la varianza de la muestra (S2). La varianza de puede obtener
calcular de manera aproximada por cualquiera de las siguientes formas:
a) Mediante el rango. El rango es la diferencia entre el valor de la máxima observación y la mínima
16
22 R=σ
b) Por estudios semejantes o anteriores.
c) Mediante una prueba piloto.
• Una vez obtenidos todos los datos se aplica el cálculo de “n”
Ejemplo : Se desea hacer un estudio en la universidad para conocer cuánto gasta
en promedio en gasolina un estudiante a la semana. Se fija un error de estimación para el
estudio de +/- 5 litros. ¿Cuántos estudiantes habría que entrevistar se sabe por
estimaciones que el que más gasta consume 300 lt y el que menos, 40 lt. Use una
confiabilidad del 95%.
Error de estimación. B = +/- 5 16
22 R=σ
Confiabilidad = 95% Obs. Max=300
Obs. Min= 40 422516
)40300( 22 =
−=σ
B
SZn 2
222∞=
sestudianten 6765
)4225)(2(2
2
==
MARCO DESCHAMPS F. 13
Variable cualitativa. Cuando la variable es cuantitativa con base en la fijación del
error de estimación semejante al anterior, está se encuentra dada por:
estimacióndeerrornqpZ =2/α
npqzB
2∞=
Despejando “n” se obtiene.:
B
Z pqn 2
22∞=
Ejemplo. ¿Cuántas observaciones se deben hacer para determinar el porcentaje
de automóviles particulares que lleva encendido su radio en alguna estación radio
trasmisora local. Se sabe por estudios anterior que aproximadamente la mitad de los
conductores sintoniza alguna estación de radio. Use una confiabilidad del 99% para un
error de estimación de +/- 10%?
BZ pq
n 2
22∞=
41.166)10(.
)5)(.5(.)58.2(2
2
==n
MARCO DESCHAMPS F. 14
4. Cálculo del Tamaño de la Muestra para Población Finita
En los procesos de muestreo la población que se estudia puede ser de 2 tipos:
finita o infinita. Se dice que la población es infinita cuando su tamaño es desconocido o
existe un número muy grande de observaciones que la componen, por ejemplo: el número
de autos que circula en el “periférico” en un día determinado. También se dice que es
población es infinita cuando el tamaño de la muestra que se espera obtener es muy
pequeña en relación al tamaño de la población. El criterio es que si el tamaño de la
muestra es menor al 5% del tamaño de la población, está se considera infinita. Por
ejemplo, se desea hacer un estudio entre los estudiantes de la UNAM para conocer el
porcentaje de ellos que posee automóvil propio. ¿Cuántos alumnos se deberían
encuestar si existen 120, 000 alumnos en el plantel ?.
Nn 05.0≤
0.05 x (120,000) = 6000. Es decir, si: n < 6000 se considera población infinita.
Para una muestra de menos de menos de 6000 observaciones, lo cuál es muy
valido, la población se considera infinita. Sí el tamaño de la población es desconocido
por su gran tamaño se considera población infinita.
Para Población Finita su tamaño debe ser conocido y el tamaño de la muestra
que se espera es mayor al 5% el tamaño de la población, es decir el tamaño de la
muestra esperado no es muy grande con relación a la población. Por ejemplo, se desea
hacer una encuesta en la universidad para conocer el porcentaje de alumnos del área
económico-administrativa que practican algún deporte en las instalaciones de la
universidad. Se sabe que hay 700 alumnos en esta área de estudios. Para conocer el tipo
de población. Infinita o finita se hace:
n< (.05)(700); Es decir: n < 35
Para fines de muestreo la población se considera finita.
MARCO DESCHAMPS F. 15
La obtención del tamaño de muestra para población finita se obtiene del cálculo
del intervalo de confianza. Para este caso es necesario agregar al intervalo un factor de
corrección para población finita.
12
^
−−
± ∞ NnNP n
pqz
De igual manera que el procedimiento anterior, igualando el error de estimación y
despejando “ n “ se obtiene:
12/ −
−=
NnN
nZB σ
α Despejando se obtiene:
22
2
2
2
)1(σ
σ
+−
=
∞zBN
Nn
Mediante el mismo procedimiento sí variable es cualitativa el cálculo del tamaño
de la muestra para población finita está dada por:
pqz
BNNpqn
+−
=
∞
2
2
2)1(
MARCO DESCHAMPS F. 16
Ejemplo. Se desea hacer un estudio entre los cuenta habientes de una tienda
cuyo principal negocio es la venta a crédito, para conocer la cantidad promedio de
compras mensuales de este tipo de clientes.. Dado que existen 2000 tarjetas de crédito se
propone sacar una muestra para estimar µ, usando cota del error para un error de
estimación de $ 3.00. Se sabe que la mayoría de los saldos de las cuentas están entre
$500 y $450. Encuentre el tamaño de muestra necesario para estimar µ.
14.6725.156
4)9)(1999(
)25.156(2000=
+=n
5. Métodos de Muestreo El muestreo probabílistico se utiliza en estudios formales en donde el rigor
metodológico es necesario para establecer conclusiones validas y confiables, los
resultados del análisis de la muestra se pueden generalizar a toda la población, es decir
las conclusiones se establecen sobre la población. Estos métodos de muestreo se basan
en el principio fundamental de que cualquier elemento de la población puede ser elegido
en la muestra.
El muestreo no probabilistico se utiliza en estudios de carácter exploratorio. En
éstos no se pretende estimar los parámetros de la población, sino únicamente obtener
mediante el análisis de la muestra, indicadores que permitan suponen cierto
comportamiento de los parámetros. El método utiliza procedimientos de selección
basados en juicios personales, es más bien un método que se basa en el buen juicio del
analista y depende de su experiencia para seleccionar las observaciones e interpretar los
resultados. No es concluyente, pues existe una buena parte de subjetividad en su
aplicación e interpretación.
Ambos tipos de muestreo poseen técnicas diferenciadas que se seleccionan y
aplican de acuerdo a las características del problema. Los métodos que comprenden
ambas formas de muestreo son:
MARCO DESCHAMPS F. 17
Muestreo probabilistico.
• Simple Aleatorio • Sistemático • Estratificado • Conglomerados o Racimos
Muestreo no probabilistico.
• Por Cuotas • De Conveniencia • Intencional • Bola de Nieve
Una breve descripción de las técnicas de muestreo probabilístico se muestran a
continuación.
Muestreo Simple Aleatorio. - Éste tipo de muestreo es el más importante ya que
en él se basan los demás tipos. Consiste en seleccionar la muestra mediante un método
que permita garantizar que cualquier elemento de la población tenga la misma
probabilidad de ser incluida en la muestra, las observaciones se realizan con reemplazo
de tal manera que la población permanece con el mismo tamaño. Esta condición se
cumple fácilmente cuándo la población considerada es grande con relación al tamaño de
la muestra. Si se tiene una muestra de tamaño “n” de una población de “N” unidades,
cada elemento de la muestra tiene una probabilidad: n / N, de ser incluida.
Para el muestreo simple aleatorio el tamaño de la muestra se calcula de la siguiente manera: Población Finita. Variable cuantitativa
22
2
2
2
)1( σ
σ
+−
=
∞zBN
Nn
Variable cualitativa
MARCO DESCHAMPS F. 18
pqz
BNNpqn
+−
=
∞2
2
2)1(
Población Infinita:
Variable cuantitativa
BZn 2
222 σ∞=
Variable cualitativa
BZ pq
n 2
22∞=
Para seleccionar a las observaciones se generan números aleatorios y obtener las
observaciones representativas de la población. De esta forma se garantiza que cualquier
elemento de la población tenga la misma probabilidad de ser elegido en la muestra.
Muestreo Sistemático. – Es una técnica de muestreo en la que la muestra se
elige mediante la selección de una observación cualquiera elegida al azar, una vez
elegida esta la siguiente se hace siguiendo una sucesión. Este métodos se usa cuándo se
desea cubrir todo el rango de las unidades comprendidas en la población.
Este tipo de muestreo consiste en calcular el tamaño de muestra igual que en el
simple aleatorio, pero las observaciones se toman de manera sistemática, a partir de la
primera. Se sigue el procedimiento discreto a continuación.:
• Se genera un número aleatorio entre 1 y N • A partir de este número se obtiene un cierto valor llamado
“k”. K = N / n
• A partir de primer número elegido al azar se elige el siguiente número contando K unidades a partir de él.
• Este procedimiento se repite con cada número
seleccionado, recorriendo así todo el marco muestral de la población. Sí mediante la secuencia que se sigue llega un momento que el número calculado para extraer la observación de la población se sale del rango de los números de la población, se continua a partir del limite
MARCO DESCHAMPS F. 19
inferior del rango, de forma tal que se recorra la imagen de los datos poblacionales.
Ejemplo: Para una población de tamaño 5000 se desea extraer una muestra
sistemática de tamaño 90
K = 5000/90 = 55
Se genera un número aleatorio. Ejemplo 3034, a partir de este se encuentran los
demás agregando 55 a cada uno de ellos.
.
3034+55=3098 3098+55=3153 3153+55=3208
I I I
Etc.
Así se extraen sucesivamente las observaciones hasta obtener 90.
Muestreo Estratificado.- Es un procedimiento en el cuál se seleccionan muestras
aleatorias de cada estrato, la existencia y definición de cada estrato se hace necesaria
cuando la población no es homogénea y existen subgrupos con características diferentes,
se espera que los resultados del análisis de los datos sea diferente para cada estrato.
Para cada estrato se selecciona una sub-muestra del total, seleccionando las unidades
dentro de cada estrato mediante un muestreo simple aleatorio. La razón de tomar una
muestra estratificada es obtener una muestra más eficiente de la que se lograría con el
muestreo aleatorio simple.
Este tipo de muestreo se utiliza cuando la población no es homogénea es decir
cuando hay diferencias importantes dentro de cada estrato.
MARCO DESCHAMPS F. 20
CASO DE ESTUDIO Se quiere hacer un estudio para determinar la magnitud de la evasión fiscal que se
puede presentar entre las empresas de la transformación instaladas en la Cd. de México.
En este caso se forman estratos con las características que diferencian los
resultados por tamaño de empresa.
Para calcular el tamaño de la muestra es necesario identificar el tipo de datos,
(cualitativos o cuantitativos) si son cualitativos la varianza de cada estrato debe ser
conocido por un valor exacto o aproximado.
De manera semejante al muestreo simple aleatorio el tamaño de la muestra se
deduce y calcula mediante la siguiente expresión.
∑
∑
=∞
=
+=
K
i
K
i
NipiqiNz
NB
Nipiqin
12
2
21
1
K = número de estratos. Si los datos son cuantitativos el tamaño de muestras se calcula mediante la expresión.
∑
∑
=∞
=
+=
k
i
k
i
iNiNz
NB
Nin
1
22
2
2
2
1
1 σ
σ
MARCO DESCHAMPS F. 21
Después de encontrar el tamaño de la muestra se reparte ésta de manera
proporcional al tamaño de cada estrato, aplicando la siguiente relación.
NNinn =
Para el ejemplo de las empresas del sector de la transformación, suponga que
existen 5000 empresas pequeñas, 2000 medianas y 500 grandes sitiados en la Cd. de
México. Además se sabe que en las empresas pequeñas existe la mayor evasión que en
las grandes. De información estadística recabada con anterioridad se sabe que en las
empresas pequeñas el máximo valor de la evasión fiscal anua de una empresa es 23
millones de pesos y el mínimo, 0. Para las medianas el máximo es 10 millones y el
mínimo 0. Para las grandes el máximo es 80 millones y el mínimo 0. ¿Cuántas empresas
de cada tipo se deben seleccionar si se fija un error de estimación de 1 millón de pesos
para una confiabilidad del 95%?
El valor inicial de la variancia para cada estrato está dado por:
16
22 R=σ
( ) 33
16023 2
2 =−
=σ
( ) 25.6
16010 2
2 =−
=σ
( ) 4
1608 2
2 =−
=σ
955.9493.1898
179500
)179500(7500
14
)1)(7500()4(500)25.6(2000)33(5000
2 ===+
++=n
0.6375005000951 ==n
MARCO DESCHAMPS F. 22
0.2575002000952 ==n
0.77500500953 ==n
En conclusión se deben auditar: 63 empresas pequeñas, 25 medianas y 7
grandes.
CASO DE ESTUDIO Para tener una idea de la opinión de los trabajadores el gerente de personal de
una empresa desea seleccionar una muestra de empleados de sus 4 plantas productoras.
Con el objeto de estimar la proporción de trabajadores que prefieren la reducción de la
semana de trabajo, paro técnico, con una cota para el error de estimación del 10%.
La empresa emplea 75 personas en cada uno de las plantas 1 y 2, 65 en la planta
3 y 40 en la 4. Se estima que cerca del 75% de los empleados de la planta 4 están a favor
de la reducción de la semana de trabajo mientras que en las otras plantas este porcentaje
corresponde al 50%. Encuentre el tamaño de la muestra para el estudio.
∑
∑
=∞
=
+=
k
i
k
i
NipiqiNz
NB
Nipiqin
12
2
21
1
78.698777.
25.61
)25.61(2551
4)10)(.255(
)25)(.75(.40)5)(.5(.65)5)(.5(.75)5)(.5(.752 ==+
+++=n = 70
Conclusión: se debe sacar la muestra aleatoria de 70 empleados, correspondiendo
el siguiente número de empleados para cada planta.
MARCO DESCHAMPS F. 23
215.2025575701 ===n
215.2025575702 ===n
1782.1725565703 ===n
1198.1025540704 ===n
Casos especiales de muestreo estratificado.- Existen 2 casos en los que el
muestreo estratificado se aplican de manera sencilla, cuándo se tienen dados cualitativos
con una población infinita, y cuando la variancia de cada estrato es igual o muy
semejante.
Cuándo el tamaño de la población es muy grande con relación al tamaño de
muestra esperada, utilizando datos de tipo cualitativo. El tamaño de la muestra se
encuentra considerando la variancia de cada estrato igual y desconocida, es decir se hace
p = 0.5 y q = 0.5, utilizando una cota para el error de estimación del 95%. El tamaño de
muestra resultante está dado por:
12 +
=BNNn
MARCO DESCHAMPS F. 24
Ejemplo. Se desea hacer un estudio de mercado para conocer la opinión de las
amas de casa con respecto a una nueva marca de detergente. Se utilizan los niveles
socio-económicos A, B y C. Para estos tres niveles, la población que vive en la
delegación Álvaro Obregón es :
A=15000, B=7000, C=6500, N=28, 500
¿Cuántas amas de casa de cada nivel se deben entrevistar si se fija un error de
estimación del 5% con cota del error?
46.3941)05)(.28500(
285002 =+
=n 20736.2072850015003941 ===n
9065.892850065003943 ===n
A veces la población se encuentra estratificada pero la varianza entre los estratos
es la misma. En este caso se utiliza el método para el cálculo de la muestra del muestreo
simple aleatorio y se reparte éste valor entre el tamaño proporcional de cada estrato. Para
el mismo ejemplo de los empleados de las plantas en que se desea conocer su opinión
con respecto a la reducción de la semana. Suponga que la variancia es la misma para
cada estrato, el porcentaje de casos favorables es el mismo e igual para las 4 plantas. En
este caso se obtiene:
pqz
BNNpqn
+−
=
∞2
2
2)1(
03.72)5)(.5(.
4)10)(.254(
)5)(.5)(.255(2 =+
=n
9777.962850070003941 ===n
MARCO DESCHAMPS F. 25
2125575721 ==n 21
25575722 ==n
1835.1825565723 ===n 1229.11
25540724 ===n
Muestreo por Conglomerados.- Es una técnica muy usada principalmente
cuándo la población se encuentra muy dispersa y resulta muy costoso aplicar un
muestreo simple aleatorio, consiste en subdividir a la población en subgrupos
denominados conglomerados, los cuáles son mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos. Así seleccionar una muestra aleatoria de los conglomerados con base en un
muestreo simple aleatorio, posteriormente dentro de cada conglomerado se puede aplicar
nuevamente un muestreo simple aleatorio con las unidades que lo componen. Este
procedimiento de puede aplicar de manera sucesiva dando origen al muestreo Multi-
étapico. En este muestreo se pueden distinguir dos modalidades: Bi- étapico y Multii-
étapico.
6. Muestreo no estadístico Una breve descripción de las técnicas de muestreo no probabilístico se expone a
continuación.
Muestreo de Intencional.- Este tipo de muestreo el investigador selecciona las
unidades muestrales que a su juicio son más representativas, esto exige un conocimiento
previo de la población. La selección de la muestra se hace de forma tal que sólo se
seleccionan las unidades muestrales con determinadas características, la
representatividad es subjetiva.
Muestreo por Cuotas.- Se basa en el buen conocimiento de los estratos de la
población y de las unidades más representativas o adecuadas de cada estrato. Es tipo de
muestreo es equivalente al estratificado, es la versión no estadística de este tipo de
muestreo, primero se definen las categorías o estratos y después cuotas de cada
estrato.
MARCO DESCHAMPS F. 26
Muestreo Bola de Nieve.- Se aplica cuando las unidades muestrales de la
población son desconocidas. Se busca y selecciona una observación inicial al azar,
después se buscan las otras con la información recabada con ésta. Así se continúa
sucesivamente realizando las observaciones en forma progresiva.
Muestreo Conveniencia.- Consiste en seleccionar las unidades muestrales que
mejor se adaptan a las conveniencias de la investigación, cómo el caso de seleccionar a
las personas que de modo voluntario están dispuestas a contestar.
CASOS DE ESTUDIO
1. Conteste en forma objetiva y concisa las siguientes cuestiones.
a) Mencione y explique los pasos que se siguen para realizar un plan de
muestreo.
b) ¿Cuál es el método de muestreo que se recomienda usar, cuando la población
que se estudia se encuentra muy dispersa y es imposible aplicar un muestreo
simple aleatorio?. Explique brevemente en que consiste el método.
c) ¿Qué tipo de muestreo estadístico es recomendable cuándo se desean
aleatorizar las observaciones y cubrir al mismo tiempo, el recorrido ( rango ) de
todo el marco muestral de la población ?
2. Defina de manera concisa los siguientes conceptos que se utilizan para diseñar una
muestra estadística.
a) Error de estimación
b) Significancia
3. El gerente de una tienda comercial de departamentos desea conocer la opinión de los
clientes de la tienda con respecto al servicio que presta la tarjeta de crédito que
ofrece. Se requiere obtener una muestra aleatoria de 25 clientes con tarjeta de crédito
MARCO DESCHAMPS F. 27
de un total de 150 que la adquirieron recientemente. Explique cómo podría
seleccionarse la muestra aleatoria y definir ¿qué clientes? se deben entrevistar.
4. En un diario de la Ciudad de México se publican frecuentemente los resultados de
diferentes estudios de opinión que se realizan por medio de encuestas en las
principales ciudades del país. En la mayoría de estos estudios se mencionan al final
de los resultados leyendas como esta: el estudio tiene una confiabilidad del 95% para
un error máximo de más o menos 4%. ¿Cómo interpreta estos resultados? Explique.
5. Se desea realizar un estudio entre las personas que escuchan la radio de FM de la
Ciudad de México, para conocer su opinión con respecto a cierta estación de radio.
¿ De que manera se podrían identificar las unidades muestrales y formar el marco
muestral?
6. Mencione y describa el procedimiento para realizar un muestreo no estadístico.
Desarrolle y explique los cuatro métodos más utilizados para tal propósito.
7. Conteste en forma objetiva y concisa las siguientes cuestiones.
a) ¿En qué consiste un muestreo estratificado y bajo que características
especificas de la población es apropiado usar?
b) ¿Cuáles son las características principales de un muestreo sistemático? Dé un
ejemplo
c) ¿Cuáles son los tipos de muestreo no probabilísticas? Enúncielos y
descríbalos brevemente; muestre un ejemplo de aplicación de cada uno.
d) Un cierto despacho que se dedica a hacer estudios de mercado, desea
realizar una investigación para conocer; ¿cuál es el promedio de consumo
mensual de gas doméstico en los domicilios de cierta ciudad? Debido a que la
población se encuentra muy dispersa se necesita aplicar un muestreo por
conglomerados de tipo bi-etápico, dos etapas. ¿Cuál es la forma más
conveniente para definir y seleccionar los conglomerados y las unidades
muestrales?
MARCO DESCHAMPS F. 28
e) Un despacho que se dedica especialmente a realizar estudios de opinión, ha
recibido una propuesta para hacer una investigación que tiene como finalidad
calcular el “ rating” de un programa de radio que se trasmite tres días a la
semana a las 17.00 Hrs. La encuesta para medir el “reating” del programa
radiofónico es sobre los partidos políticos y se hará telefónicamente. Diseñe el
plan de muestreo del estudio. Haga uso de los supuestos que considere
necesarios.
f) Una empresa que edita el periódico local de una cierta ciudad desea hacer un
estudio de mercado entre las familias que viven en la entidad con el fin de
conocer su opinión sobre el formato del diario. Desarrolle y explique de
manera detallada el “plan de muestreo” para el estudio. Haga uso de los
supuestos que considere necesarios; especifique la técnica de muestreo
apropiada.
8. Conteste como verdadero o falso las siguientes cuestiones. En caso de ser falsa la
pregunta, diga ¿por qué?, y escriba la respuesta correcta.
a. Si el tamaño de la población ( N ) es menor al 5% del tamaño de la
muestra (n), la población se considera infinita ______ ( ) b. El muestreo no probabilístico permite una moderada inferencia en la
conclusión sobre los parámetros de la población _____ ( )
c. El muestreo estratificado se aplica principalmente cuando la población
se encuentra muy dispersa_______________________( )
d. El muestreo bi - étapico (o de dos etapas); es una variación del muestreo por conglomerados _____________________ ( )
e. Si la confiabilidad aumenta el tamaño de la población aumenta_ ( )
9. A un fabricante de productos electrónicos le gustaría realizar una encuesta entre los
consumidores de una de sus marcas líderes en ventas. El propósito de la
investigación es medir el nivel de satisfacción de sus clientes con respecto al uso del
MARCO DESCHAMPS F. 29
producto, también se desea conocer la opinión de los consumidores sobre el servicio
que ofrecen los distribuidores.
a) Identifique la población y el marco muestral para el estudio, que tipo de muestreo podría usarse para realizar el estudio.
b) Describa la forma en podría tomarse una muestra aleatoria mediante el uso del
marco muestral identificado anteriormente.
c) ¿Podría utilizarse un muestreo estratificado? En caso afirmativo, ¿por qué?
10. Conteste como verdadero o falso las siguientes cuestiones. En caso de que la
cuestión sea falsa explique ¿por qué?, y escriba la respuesta correcta.
a) Para una significancia de 0.20, el valor de “z” para el calculo de la muestra en un muestreo simple aleatorio es de 1.32 ____________________ ( )
b) El muestreo sistemático constituye una alternativa valida, cuando la recolección
de los datos en el muestreo simple aleatorio se complica debido a problemas de
aleatorización con las unidades de muestreo _____________ ( )
c) Se realizó un muestreo simple aleatorio entre las 60,000 tiendas de una cadena comercial para estimar “P” (porcentaje de elementos de la población que tiene una cierta característica de interés). Al utilizar un muestreo simple aleatorio con datos cualitativos para población infinita, utilizando un error de estimación de 5% y una confiabilidad de 95%, el tamaño de la muestra debe ser 400 ____( )
d) Un criterio comúnmente aceptado para calcular el tamaño de una muestra, para un muestreo no estadístico, es tomar al menos el 10% de los elementos de la población _________________________________________ ( )
e) Al estimar un cierto parámetro poblacional con los datos de una muestra elegida
estadísticamente, el cálculo del intervalo de confianza para el valor del parámetro, nunca puede ser mayor al error de estimación que se usó al calcular el tamaño de la muestra_________________________________________ ( )
MARCO DESCHAMPS F. 30
PRUEBA COMPRENSIVA 1. ¿Cuál de las siguientes definiciones corresponde a un número aleatorio?
a. Es un número cuya secuencia sigue un patrón definido b. Es un número cuya ocurrencia es independiente del número inmediato
anterior c. Es un número obtenido al azar por medio de una secuencia lógica d. Es un número cuya secuencia es fácilmente predecible
2. ¿ Cómo se afecta el tamaño de la muestra cuando se incrementa de 95% a 99% el grado de confianza con que se estima el porcentaje de éxitos de la población
a. El tamaño de la muestra se incrementa b. La precisión disminuye c. La probabilidad del error de estimación aumenta d. Ninguna de las anteriores
3. Si el tamaño de la muestra es menor al 5% del tamaño de la población, entonces el
error estándar para la media está dado por:
a. nσ
b. nσ
1nnN
−−
c. nσ
1NnN
−−
d. Nσ
4. El nivel de precisión en el muestreo se define como:
a. La probabilidad del error de estimación b. La diferencia entre el valor real y el valor estimado c. El intervalo en donde se encuentra el verdadero valor del parámetro d. El valor que hay que agregar al estimador para obtener el intervalo.
5. ¿Cuál de los siguientes procedimientos de muestreo representa una muestra
aleatoria?
a. Se selecciona una muestra aleatoria de cada cinco personas que salen de la puerta de un centro comercial, comenzando a una determinada hora
b. Se elige al azar una pagina del directorio telefónico y se seleccionan todos los números telefónicos de la pagina
MARCO DESCHAMPS F. 31
c. Se escribe el nombre de los 40 integrantes de un grupo y se depositan en un sombrero, se sacan 10 papelitos revolviendo el sombrero en cada substracción
d. Ninguno de los anteriores
6. ¿Cuál de los siguientes es un método para seleccionar la muestra de una población?.
a. Muestreo por aproximaciones b. Muestreo parcialmente aleatorizado c. Muestreo por conveniencia d. Muestreo por bondades numéricas
7. Sí el error de estimación se incrementa en una proporción mayor a la confiabilidad, el tamaño de muestra.
a. Disminuye b. Aumenta c. Aumenta en la misma proporción d. Se mantiene igual
8. El empleo de una muestra estadística permite:
a. Analizar adecuadamente la muestra b. Resumir científicamente los resultados obtenidos en el análisis de la
muestra c. Establecer conclusiones validas sobre la población d. Establecer conclusiones validas sobre la muestra
9. Ud. está tomando muestras de una población con una media aritmética conocida de 34 ¿qué tamaño de muestra garantizará que la media de la muestra sea 34?
a. 34 b. 0 c. 67 d. Ninguna de las anteriores
10. La corrección para población finita en el calculo del tamaño de la muestra tiene que usarse cuando la fracción de la muestra con respecto a la población es.
a. Menor que 0.010 b. Mayor que 0.05 c. Menor que 0.05 d. Ninguna de las anteriores