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Para hallar el MCD y MCM de polinomios debemos tener en cuenta el MCD y MCM de números enteros
M.C.D. y M.C.M. de Polinomios
Máximo Común Divisor (M.C.D.)
Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)
Propiedades
M.C.D. de dos o más
polinomios es otro polinomio
que tiene la característica de
estar contenido en cada uno de
los polinomios.
M.C.M. de dos o más
polinomios es otro polinomio
que tiene la característica de
contener a cada uno de los
polinomios.
Dos o más polinomios son
primos entre sí, si su M.C.D.
es ± 1.
Obtiene factorizando los
polinomios.
Obtiene factorizando los
polinomios.
Únicamente para dos
polinomios A(x), B(x) se
cumple: MCD(A;B).MCM(A;B)=A(x).B(x)
Viene expresado por la
multiplicación de los
factores primos comunes
afectados de sus menores
exponentes.
Viene expresado por la
multiplicación de los
factores primos comunes y
no comunes afectados de
sus mayores exponentes.
A(x) y B(x) son polinomios no
primos entre si. Entonces:
1ra posibilidad:
A(x) – B(x) = MCD
2da posibilidad:
A(x) – B(x) = contiene al
MCD
MCD Y MCM DE POLINOMIOS TEORÍA Y PRÁCTICA 5TO
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Ejercicios Resueltos
01.- Hallar el M.C.D. de los polinomios siguientes:
A(x) = x3 – x2 – 4x + 4 B(x) = (x + 2)3 (x + 5)
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: Dado que A(x) no esta factorizado procedemos a factorizarlo. A(x) = x3 – 5x2 + 4; por divisores binómicos entonces (x - 1) es divisor ya que x = 1 hace cero el polinomio. Obs. Recuerda que el rango de valores que se debe asignar a “x” está formado por: I.- Cuando el coeficiente principal es la unidad, por los divisores del término independiente. II.- Cuando el coeficiente principal es diferente de 1, por los divisores del término independiente más las fracciones que se obtienen de dividir estos valores entre los divisores del coeficiente. “En ambos casos se toma el doble signo (±)”
Regresando al ejercicio : Aplicando Ruffini:
0401
4011x
4411
−−−−−−−−↓↓↓↓====
−−−−−−−−
∴∴∴∴ A(x) = (x2 – 4)(x - 1) = (x + 2)(x – 2)(x - 1)
Luego tenemos:
B(x) = (x + 2)3 (x + 5) A(x) = (x + 2) (x - 2) (x - 1) Luego el M.C.D. de los polinomios A(x) y B(x) es: M.C.D. = (x + 2)
02.- Hallar el M.C.D. de los polinomios:
A = x2y3z4 B = x5y2z3 M.C.D. = x2y2z2 C = x3y5z2
03.- Hallar el M.C.M. de los polinomios:
A = x5y2z3 B = x3y3z4 M.C.M. = x5y5z4 C = x4y5
04.- Hallar el M.C.M. de los polinomios: A = (x + 1)2 (x + 3)5 (x + 2)3 B = (x + 1) (x + 2)4 C = (x + 1)3 (x + 3)4 (x + 2) (x + 4)
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: MCM(A; B; C) = (x + 1)3(x + 2)4 (x + 3)5 (x + 4)
05.- Sea: P1(x) = Ax2 + 2x – B
P2(x) = Ax2 – 4x + B
Si (x - 1) es el MCD de P1 ∧ P2, Hallar el cociente B/A.
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: (x - 1) deberá ser divisor de P1(x) y P2(x), entonces:
P1(1) = 0 ∧ P2(1) = 0. Redundando en el teorema del resto:
P1(1) = A + 2 – B = 0 … (α)
P2(1) = A – 4 + B = 0 … (β) Resolviendo el sistema:
A – B = -2 A + B = 4
→ A = 1; B = 3
Piden: 31
3
A
B========
06.- El MCD y MCM de dos polinomios son respectivamente:
MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1) MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3) Si uno de los polinomios es:
(x + 1)(x + 2)(x + 3) Hallar el otro polinomio.
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: Sean los polinomios A(x), B(x). Por propiedad: MCD(A; B) . MCM(A; B) = A(x) . B(x) Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos:
x2 -4
Diferencia de Cuadrados
Común a los 3 polinomios
No común
Mayores Exponentes
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)x(A
)MCM)(MCD()x(B ====
Reemplazando valores:
)3x)(2x)(1x(
)3x)(2x)(1x)(5x)(1x)(2x()x(B
++++++++++++++++++++++++++++++++++++====
B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5) 07.- Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones:
a-1 . xn-1 ; b-1 . xn-2 ; c-1 . xn-3
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: MCD = xn-3 MCM = a-1 . b-1 . c-1 . xn-1 piden:
abc
x
x
x.c.b.a
MCD
MCM 2
3n
1n111======== −−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
08.-Hallar el MCM de:
x2 – 4x + 3 x2 + 4x + 3
x4 – 10x2 + 9 x3 – 9x + x2 - 9
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: Factorizando:
I. x2 – 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) …(α)
II. x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) …(β) III. x4 – 10x2 + 9 = (x2 - 9)(x2 - 1)
= (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) …(θ) IV. x3 – 9x + x2 – 9 = x(x2 – 9) + (x2 – 9)
= (x2 - 9) (x + 1)
= (x + 3)(x - 3)(x + 1) …(γ)
De (α), (β), (θ) y (γ) se tiene: MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) = (x2 - 9)(x2 - 1)
Ejercicios Aplicativos 01.- Hallar el MCD de los polinomios: A(x) = (x + 6)2 (x - 7)3 (x + 9)4 B(x) = (x + 10)3 (x - 7)2 (x + 6)3
a) x + 9 d) (x - 7)2 (x + 6)2 b) x + 10 e) (x - 7)3 (x + 6)3 c) (x - 7)3(x + 6)3
Hallar el MCM de los polinomios: F(x) = (x + 5)4(x - 6)2(x + 9)3(x - 1)4 S(x) = (x + 5)2(x - 6)4(x + 7)2(x - 1)3
a) (x + 5)(x - 6)(x - 1) b) (x + 5)2(x - 6)2(x - 1)3 c) (x + 5)4(x - 6)4(x - 1)4(x + 9)3(x + 7)2 d) (x + 1)(x - 2)(x + 9) e) (x - 1)3(x - 6)4 02.- Hallar el MCD de los polinomios: A(x) = (x + 2)6(x - 1)4(x - 2)6(x + 3)4 B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2 C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2
a) (x - 1)(x + 2) d) (x + 2)2 b) (x + 1)(x + 3) e) (x - 1)2 c) (x - 1)2(x + 2)2
03.-Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3 F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x - 6)2 S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2
a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8 b) (x + 7)4(x + 6)8 c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3 d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2 e) (x + 7)4(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3
04.- Dados los polinomios: A(x; y; z) = x4y3z6 B(x; y; z) = x5y4z10 C(x; y; z) = x6y2z5
Indicar: )C;B;A(MCD
)C;B;A(MCMS ====
a) x2y4z6 b) x2y4z3 c) x2y2z5 d) xyz4 e) xyz 05.- Señale el MCD de los polinomios: A(x) = x4 – 1 B(x) = x2 – 3x + 2
a) x – 2 b) x – 1 c) x + 1 d) x2 – 1 e) x2 + 1
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06.- Hallar el MCM de: P(x; y) = x2 – y2 F(x; y) = x2 – 2xy + y2 S(x; y) = x2 + 2xy + y2
a) x – y b) (x + y)3 c) (x2 – y2)2 d) (x2 – y2)3 e) (x - y)3
07.- Indique el MCD de: P(x; y) = x3 + x2y + xy2 + y3 Q(x; y) = x3 – x2y + xy2 – y3 R(x; y) = x4 – y4
a) x2 + y2 b) x2 – y2 c) x2 + 1 d) y2 + 1 e) x + y
08.- Indique el MCD de: P(x) = 3x3 + x2 – 8x + 4 Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4
a) 3x2 + 4x – 4 b) 3x2 – 4x + 4 c) 3x2 + x - 4 d) x2 – 4x + 4 e) x + 2
09.- Hallar el MCD de los polinomios: P(x; y) = x3 – xy2 + x2y – y3 F(x; y) = x3 – xy2 – x2y + y3 C(x; y) = x4 – 2x2y2 + y4
a) x + y b) x – y c) x2 – y2 d) (x + y)(x – 3y) e) x2 – y4
10.- Si el MCD de: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – m Q(x ) = x3 + 2x2 – x - n es (x - 1). Hallar: “m + n”
a) -8 b) 8 c) 4 d) 6 e) 2
11.- Se tienen dos polinomios cuyo MCD es: x2 + 2x - 3 si uno de los polinomios es: P(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 + Ax + B entonces “A + B” es:
a) 33 b) -3 c) 12 d) -6 e) 1
12.- El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su MCM por su MCD es: 2x3(x + y)2 entonces uno de los polinomios es:
a) x2 + xy b) xy + y2 c) (x + y)2 d) x + y e) 2x + 2y
13.- El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el producto de su MCM por su MCD es:
x6 – 2x4 + x2 Halle la suma de factores primos del MCM.
a) 2x b) 4x – 1 c) 3x d) 2x + x2 e) 3x + 1
14.- El producto de dos polinomios es (x2 - 1)2 y el cociente de su MCM y MCD es (x - 1)2. Calcular el MCD.
a) x + 1 b) x2 + 1 c) (x + 1)2 d) (x - 1)2 e) x - 1
15.- Si el MCM de los polinomios: x2 + x – 2 x4 + 5x2 + 4 x2 – x - 2 es equivalente a: x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D Determinar: “A + B + C + D”
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
EJERCICIOS ADICIONALES
01. El producto de dos polinomios es: (x6 + 1)2 – 4x6
y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es: (x2 + 1)2 – 4x2 Luego el MCD es: a) (x + 1)(x3 - 1) b) (x - 1)(x3 + 1) c) (x2 + x + 1)(x + 1) d) (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) e) (x2 + x + 1)(x2 - 1)
02. Si el MCM de “A” y “B” es θxay4 y el MCD de
los mismos es βx5yb. Calcular: nm
maE
b
b
++++−−−−θθθθ
++++ββββ−−−−====
Siendo: A = 12xn-1 . ym+1 B = 16xn+1 . ym-1
a) 35
43 b) 17
44 c) 36
43
d) 43
35 e) 16
15