Mcd y mcm de polinomios

http://algebragenerosa.blogspot.com 1

Para hallar el MCD y MCM de polinomios debemos tener en cuenta el MCD y MCM de números enteros

M.C.D. y M.C.M. de Polinomios

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)

Propiedades

M.C.D. de dos o más

polinomios es otro polinomio

que tiene la característica de

estar contenido en cada uno de

los polinomios.

M.C.M. de dos o más

polinomios es otro polinomio

que tiene la característica de

contener a cada uno de los

polinomios.

Dos o más polinomios son

primos entre sí, si su M.C.D.

es ± 1.

Obtiene factorizando los

polinomios.

Obtiene factorizando los

polinomios.

Únicamente para dos

polinomios A(x), B(x) se

cumple: MCD(A;B).MCM(A;B)=A(x).B(x)

Viene expresado por la

multiplicación de los

factores primos comunes

afectados de sus menores

exponentes.

Viene expresado por la

multiplicación de los

factores primos comunes y

no comunes afectados de

sus mayores exponentes.

A(x) y B(x) son polinomios no

primos entre si. Entonces:

1ra posibilidad:

A(x) – B(x) = MCD

2da posibilidad:

A(x) – B(x) = contiene al

MCD

MCD Y MCM DE POLINOMIOS TEORÍA Y PRÁCTICA 5TO

“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria”


Ejercicios Resueltos

01.- Hallar el M.C.D. de los polinomios siguientes:

A(x) = x3 – x2 – 4x + 4 B(x) = (x + 2)3 (x + 5)

SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: Dado que A(x) no esta factorizado procedemos a factorizarlo. A(x) = x3 – 5x2 + 4; por divisores binómicos entonces (x - 1) es divisor ya que x = 1 hace cero el polinomio. Obs. Recuerda que el rango de valores que se debe asignar a “x” está formado por: I.- Cuando el coeficiente principal es la unidad, por los divisores del término independiente. II.- Cuando el coeficiente principal es diferente de 1, por los divisores del término independiente más las fracciones que se obtienen de dividir estos valores entre los divisores del coeficiente. “En ambos casos se toma el doble signo (±)”

Regresando al ejercicio : Aplicando Ruffini:

0401

4011x

4411

−−−−−−−−↓↓↓↓====

−−−−−−−−

∴∴∴∴ A(x) = (x2 – 4)(x - 1) = (x + 2)(x – 2)(x - 1)

Luego tenemos:

B(x) = (x + 2)3 (x + 5) A(x) = (x + 2) (x - 2) (x - 1) Luego el M.C.D. de los polinomios A(x) y B(x) es: M.C.D. = (x + 2)

02.- Hallar el M.C.D. de los polinomios:

A = x2y3z4 B = x5y2z3 M.C.D. = x2y2z2 C = x3y5z2

03.- Hallar el M.C.M. de los polinomios:

A = x5y2z3 B = x3y3z4 M.C.M. = x5y5z4 C = x4y5

04.- Hallar el M.C.M. de los polinomios: A = (x + 1)2 (x + 3)5 (x + 2)3 B = (x + 1) (x + 2)4 C = (x + 1)3 (x + 3)4 (x + 2) (x + 4)

SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: MCM(A; B; C) = (x + 1)3(x + 2)4 (x + 3)5 (x + 4)

05.- Sea: P1(x) = Ax2 + 2x – B

P2(x) = Ax2 – 4x + B

Si (x - 1) es el MCD de P1 ∧ P2, Hallar el cociente B/A.

SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: (x - 1) deberá ser divisor de P1(x) y P2(x), entonces:

P1(1) = 0 ∧ P2(1) = 0. Redundando en el teorema del resto:

P1(1) = A + 2 – B = 0 … (α)

P2(1) = A – 4 + B = 0 … (β) Resolviendo el sistema:

A – B = -2 A + B = 4

→ A = 1; B = 3

Piden: 31

3

A

B========

06.- El MCD y MCM de dos polinomios son respectivamente:

MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1) MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3) Si uno de los polinomios es:

(x + 1)(x + 2)(x + 3) Hallar el otro polinomio.

SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: Sean los polinomios A(x), B(x). Por propiedad: MCD(A; B) . MCM(A; B) = A(x) . B(x) Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos:

x2 -4

Diferencia de Cuadrados

Común a los 3 polinomios

No común

Mayores Exponentes



)x(A

)MCM)(MCD()x(B ====

Reemplazando valores:

)3x)(2x)(1x(

)3x)(2x)(1x)(5x)(1x)(2x()x(B

++++++++++++++++++++++++++++++++++++====

B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5) 07.- Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones:

a-1 . xn-1 ; b-1 . xn-2 ; c-1 . xn-3

SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: MCD = xn-3 MCM = a-1 . b-1 . c-1 . xn-1 piden:

abc

x

x

x.c.b.a

MCD

MCM 2

3n

1n111======== −−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

08.-Hallar el MCM de:

x2 – 4x + 3 x2 + 4x + 3

x4 – 10x2 + 9 x3 – 9x + x2 - 9

SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: Factorizando:

I. x2 – 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) …(α)

II. x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) …(β) III. x4 – 10x2 + 9 = (x2 - 9)(x2 - 1)

= (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) …(θ) IV. x3 – 9x + x2 – 9 = x(x2 – 9) + (x2 – 9)

= (x2 - 9) (x + 1)

= (x + 3)(x - 3)(x + 1) …(γ)

De (α), (β), (θ) y (γ) se tiene: MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) = (x2 - 9)(x2 - 1)

Ejercicios Aplicativos 01.- Hallar el MCD de los polinomios: A(x) = (x + 6)2 (x - 7)3 (x + 9)4 B(x) = (x + 10)3 (x - 7)2 (x + 6)3

a) x + 9 d) (x - 7)2 (x + 6)2 b) x + 10 e) (x - 7)3 (x + 6)3 c) (x - 7)3(x + 6)3

Hallar el MCM de los polinomios: F(x) = (x + 5)4(x - 6)2(x + 9)3(x - 1)4 S(x) = (x + 5)2(x - 6)4(x + 7)2(x - 1)3

a) (x + 5)(x - 6)(x - 1) b) (x + 5)2(x - 6)2(x - 1)3 c) (x + 5)4(x - 6)4(x - 1)4(x + 9)3(x + 7)2 d) (x + 1)(x - 2)(x + 9) e) (x - 1)3(x - 6)4 02.- Hallar el MCD de los polinomios: A(x) = (x + 2)6(x - 1)4(x - 2)6(x + 3)4 B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2 C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2

a) (x - 1)(x + 2) d) (x + 2)2 b) (x + 1)(x + 3) e) (x - 1)2 c) (x - 1)2(x + 2)2

03.-Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3 F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x - 6)2 S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2

a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8 b) (x + 7)4(x + 6)8 c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3 d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2 e) (x + 7)4(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3

04.- Dados los polinomios: A(x; y; z) = x4y3z6 B(x; y; z) = x5y4z10 C(x; y; z) = x6y2z5

Indicar: )C;B;A(MCD

)C;B;A(MCMS ====

a) x2y4z6 b) x2y4z3 c) x2y2z5 d) xyz4 e) xyz 05.- Señale el MCD de los polinomios: A(x) = x4 – 1 B(x) = x2 – 3x + 2

a) x – 2 b) x – 1 c) x + 1 d) x2 – 1 e) x2 + 1



06.- Hallar el MCM de: P(x; y) = x2 – y2 F(x; y) = x2 – 2xy + y2 S(x; y) = x2 + 2xy + y2

a) x – y b) (x + y)3 c) (x2 – y2)2 d) (x2 – y2)3 e) (x - y)3

07.- Indique el MCD de: P(x; y) = x3 + x2y + xy2 + y3 Q(x; y) = x3 – x2y + xy2 – y3 R(x; y) = x4 – y4

a) x2 + y2 b) x2 – y2 c) x2 + 1 d) y2 + 1 e) x + y

08.- Indique el MCD de: P(x) = 3x3 + x2 – 8x + 4 Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4

a) 3x2 + 4x – 4 b) 3x2 – 4x + 4 c) 3x2 + x - 4 d) x2 – 4x + 4 e) x + 2

09.- Hallar el MCD de los polinomios: P(x; y) = x3 – xy2 + x2y – y3 F(x; y) = x3 – xy2 – x2y + y3 C(x; y) = x4 – 2x2y2 + y4

a) x + y b) x – y c) x2 – y2 d) (x + y)(x – 3y) e) x2 – y4

10.- Si el MCD de: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – m Q(x ) = x3 + 2x2 – x - n es (x - 1). Hallar: “m + n”

a) -8 b) 8 c) 4 d) 6 e) 2

11.- Se tienen dos polinomios cuyo MCD es: x2 + 2x - 3 si uno de los polinomios es: P(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 + Ax + B entonces “A + B” es:

a) 33 b) -3 c) 12 d) -6 e) 1

12.- El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su MCM por su MCD es: 2x3(x + y)2 entonces uno de los polinomios es:

a) x2 + xy b) xy + y2 c) (x + y)2 d) x + y e) 2x + 2y

13.- El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el producto de su MCM por su MCD es:

x6 – 2x4 + x2 Halle la suma de factores primos del MCM.

a) 2x b) 4x – 1 c) 3x d) 2x + x2 e) 3x + 1

14.- El producto de dos polinomios es (x2 - 1)2 y el cociente de su MCM y MCD es (x - 1)2. Calcular el MCD.

a) x + 1 b) x2 + 1 c) (x + 1)2 d) (x - 1)2 e) x - 1

15.- Si el MCM de los polinomios: x2 + x – 2 x4 + 5x2 + 4 x2 – x - 2 es equivalente a: x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D Determinar: “A + B + C + D”

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

EJERCICIOS ADICIONALES

01. El producto de dos polinomios es: (x6 + 1)2 – 4x6

y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es: (x2 + 1)2 – 4x2 Luego el MCD es: a) (x + 1)(x3 - 1) b) (x - 1)(x3 + 1) c) (x2 + x + 1)(x + 1) d) (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) e) (x2 + x + 1)(x2 - 1)

02. Si el MCM de “A” y “B” es θxay4 y el MCD de

los mismos es βx5yb. Calcular: nm

maE

b

b

++++−−−−θθθθ

++++ββββ−−−−====

Siendo: A = 12xn-1 . ym+1 B = 16xn+1 . ym-1

a) 35

43 b) 17

44 c) 36

43

d) 43

35 e) 16

15

Mcd y mcm de polinomios

Documents

Transcript of Mcd y mcm de polinomios