Clculo diferencial Unidad 3. Derivacin

Actividad 3. Derivacin de orden superior e implcita

Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implcitas y de orden superior, adems de realizar las demostraciones de las funciones presentadas.

1.

Calcula las siguientes derivadas de funciones implcitas, suponiendo que depende de .a. .

b. .

c. .

2. Calcular las siguientes derivadas de orden superior:a. .

b. .

c. .

3. Considerando la funcin demuestre que(a)

existe en .Tenemos que: Derivando :

Por identidad:

Es derivable en todos los y continua tiene inversa.Evaluando en los puntos por lmite Para : Para :

(b) .Tenemos: ?(c) .Tenemos que: Derivando implcitamente Aplicando identidad Como

4. Demostrar que .Tenemos que: Derivando implcitamente: Aplicando identidad Como 5. Calcular .

6.

Utilizando induccin matemtica, demostrar que para todo polinomio existe tal que para todo .La hiptesis es que n es el grado del polinomio ms uno

Para se cumpla como demostramos

Supongamos que para un polinomio de grado m la derivada m+1 es cero

Por hiptesis el primer sumando es

Luego se cumple para el valor de y se cumple la induccin.

7. Dada la siguiente funcin:

Calcular y .Para si Por definicin: Por Hopital y evaluando: Para , si : Teniendo y derivando:

8.

Demuestre que la funcin es invertible en y .Tenemos que: Encontrando de Demostrando: