Mecánica de sólidos Sesión 22

Modelos analógicos y escalamiento

LAMMG

¿Que es modelado analógico de la deformación?

Maquinas análogas

Modelos analógicos de la deformación

Técnica experimental que permite el estudio de procesos geológicos a través del análisis de modelos construidos y deformados en escala espacial y temporal reducida.

Procesos tectónicos:

Millones de años

Miles de kilómetros

En el laboratorio:

Pocas horas (max: días)

Centímetros

Jennete et al., 2003

Abstracción, Idealización, SistematizaciónSon empleados para representar tentativamente algunos aspectos de situaciones reales o hipótesis propuestas con los datos geológicos disponibles.

¿Cómo funciona la técnica de modelado analógico de la deformación?

1. Identificación del problema o proceso a investigar que ocurren en la naturaleza y formulación de la hipótesis.

2. Construcción y deformación del modelo

3. Interpretación de los resultados y su utilización para el análisis de los procesos geológicos naturales.

¿ Por quémodelos analógicos ?

El modelado analógico nos permite:investigar la influencia de diferentes parámetros (e. g., tasa de

deformación, reología, cinemática) en los procesos investigadosanalizar en detalle la evolución en 4D (espacio + tiempo) de las estructuras

Dificultades en el análisis de los procesos geológicosresultado final de la deformación (no evolución)visión limitada de las características geométricasdefinición pobre de los parámetros que controlan los procesos

-mejor comprensión de los procesos geológicos-ayuda en la interpretación del prototipo natural -verificación de hipótesis en la evolución de la deformación, o en la geometría de las estructuras, basado en la interpretación de perfiles sísmicos y/o análisis de campo

Breve perspectiva histórica sobre el modelado analógico

La escuela escocesa de Geología

James Hutton (1726 – 1797)Theory of the Earth (1795)

John Playfair (1748 – 1819)Illustrutations of the Huttonian Theory (1802)

Sir James Hall (1761 – 1832)Escalamiento cualitativo del plegamiento (1815)

Marco histórico del modelado analógico

Los primeros intentos para construir modelos de procesos tectónicos se realizaron desde el inicio de la geología misma al final del siglo 18

1795 Hutton presento “Theory of the Earth” en la Royal Society of Edinburgh.

Teorías anteriores (Neptunism) sugerían que las rocas se formaron como precipitados de un océano primitivo. Hutton estableció que los granitos y basaltos se solidificaron a partir de un fundido (debido al peso de estratos y océanos suprayacentes + altas temperaturas a profundidad). “Fuerzas gigantescas” del interior de la tierra habían fundido las rocas profundas.

Además, Hutton descubrió y explico las discordancias, y su implicación de procesos geológicos repetidos, levantamiento de montañas, erosión, y millones y millones de años de historia de la tierra.

Marco histórico del modelado analógico

James Hutton

Uno de los jóvenes colegas de Hutton, James Hall, creía que los procesos gigantescos que servían como base para las hipótesis de “Theory of the Earth”podrían ser reproducidos e investigados mediante experimentos.

Hutton “the forces shaping the earth are of such intensity, as to liefar beyond the reach of our imitation, and the operations ofnature are performed on so great a scale, compared to that ofexperiments, that no inference could properly be drawn fromthe one to the other”.

Hutton tenia poca fe en la experimentación debido a que pensaba que los procesos en la naturaleza eran de tal escala que hacían que cualquier intento de reproducirlos en el laboratorio no fuera exitoso.

A pesar de esto, Hall comenzo a realizar experimentos sobre la formacion de granitos en 1790, y sus experimentos sucesivos se enfocaron en lo que hoy sera petrologia, tectonofisica y geodinamica experimentales. Sus resultados mas importantes serian la prueba de que la velocidad de enfriamiento de una roca fundida afecta su textura

James Hall

Marco histórico del modelado analógico

Primeros experimentos documentado de procesos tectónicos presentado por Hall el 13 de Febrero 1812 en la Royal Society of Edinburgh.

Observación inicial presencia de pliegues en estratos del Silúrico en los lofty cliffsen la costa de Berkwickshire, Escocia

Hipótesis los pliegues se formaron durante acortamiento de estratos inicialmente horizontales (De Saussure, 1796, sugirió esto en su cuarto volumen de Voyagesdans les Alpes)

Objetivo del experimento reproducir y explicar este proceso de deformación

Continuación esquemática de los estratos donde han sido removidos por erosión o se encuentran ocultos de la vista

Los experimentos de James Hall

Prototipo Natural

Interpretación y formulación de la hipótesis del mecanismo de formación

Primer experimento: Hall deformo sabanas hechas de diferentes materiales (lana, lino, algodón) y color

Sabanas

Puerta (con pesas)

Segundo experimento: deformo estratos de arcilla con una cobertura pesada

Aparato de modelado

Los experimentos de James Hall

Hall concluyo “the imitation of the natural process is an object which may bepursued with rational expectation of success.”

Pliegues modelados segun el experimento de James Hall

Los experimentos de James Hall

Pliegues en el prototipo natural

Uso de los resultados experimentales para probar la validez de la hipótesis tectónica

Favre (1878), Daubrée (1879) y Schardt (1884) realizaron experimentos para estudiar los procesos de fractura y plegamiento de rocas.

Final del siglo 19 primeros estudios sistemáticos de acortamiento (Cadell, 1888, 1890; Willis, 1893).

Los resultados fueron comparados en detalle con cadenas orogénicas como los Apalaches y el Jura, ilustrando el papel de los esfuerzos compresivos durante su formación.

Aparato experimental usado por Caddell (1888) para deformar estratos de arcilla en acortamiento y para estudiar las estructuras resultantes.

Marco histórico del modelado analógico

A pesar de su importancia histórica, estos trabajos trataron de obtener solo una similitud morfologica entre los experimentos y las estructuras naturales y fallaron completamente en considerar la similitud fisica.

Los materiales analogos fueron seleccionados por oportunidad y no habia correspondencia con los materiales reales.

No fue sino hasta 1910 que los investigadores en tectónicaexperimental comenzaron a entender el principio de similitud física como la consideración predominante en laboratorios de modelado.

O. Morath (1913) aplico principios teóricos cuantitativos a los modelos tectónicos deduciendo algunos factores de reducción de resistencia.

Hans Cloos en Alemania demostró que en los experimentos diseñados para simular deformación tectónica era necesario utilizar la plasticidad o viscosidad de los materiales para escalar otras dimensiones del modelo.

En particular, Cloos (1929, 1939) realizo modelos de arcilla para el análisis del desarrollo y evolución de cadenas orogénicas y zonas de extensión continentales.

Marco histórico del modelado analógico

En 1937, King Hubbert formalizo el concepto de similitud dinámica.Since the model necessarily involves hugediminutions in space and time, the physicalcharacteristics of the materials employed in it mustbe correspondingly rescaled (justifying the use ofweaker materials with respect to the natural prototype).

El modelo se vuelve una replica “realista” del prototipo natural desde un punto de vista físico

Transición de una descripción cualitativa de los experimentos a un análisis cuantitativo de los resultados del modelo y su extrapolación a los procesos naturales. “The signicance of scale-model work in tectonicstudies lies in the fact that a correctly constructeddynamic scale model passes through an evolutionwhich simulates exactly that of the original (theprototype), though on a more convenient geometricscale (smaller) and with a conveniently changed rate(faster)” (Ramberg, 1967)

Marco histórico del modelado analógico

80s Un paso adelante en el modelado de procesos geológicos que involucran el sistema litosfera – astenósfera. Uso de materiales adecuados para reproducir la estratificación reológica de la corteza y el manto litosférico.

PRINCIPIO DE SIMILITUD DINAMICA (Weijemars and Schmeling, 1986)

30s - 50s Analisis de diapirismo salino (Nettleton and Milton; Parker and McDowell) y modelos que investigaban la deformacion relacionada a movimiento verticalesde bloques de basamento (experimentos realizados en el laboratorio de la Academia de Ciencias en Moscu

Marco histórico del modelado analógico

Hemin Koyi

60s y 70s Desarrollo importante del modelado analógico. Hans Ramberg(Uppsala Suecia): introducción de la técnica de la centrifuga para investigar el papel de la gravedad en los procesos geológicos (e.g., tectónica salina, convección astenosférica, colapso pos-orogénico).

Ultimos años un gran desarrollo de la tecnica.

Nuevos aparatos para:-deformacion (e.g.,modelado termomecanico)-monitorear la evolucion de la deformacion en los modelos (tomografia en 3D,

escaner laser)Analisis de una variedad de procesos geologicos (e.g., subduccion, cuñas

tectonicas, extrusion, levantamieto de plumas del manto, procesos de erosion e interrelacion entre clima y tectonica entre muchos otros).

Scale model of erosional system; Geosciences Rennes (France).

Marco histórico del modelado analógico

Comparacion entre modelos analogicos y numericos (un proceso geologico es investigado de manera independiente mediante experimentos fisicos y numericos y los resultados se comparan.

Construcción del modelo

Deformacion del experimento

Escaneado de la superficiemodelo de elevacion digital (MED)

MED Modelo numerico del efectodel drenaje de un rio sobre la

superficie del modelo

Aplicacion de erosion y sedimentacio en el modelo

analogico

Marco histórico del modelado analógico

•orogenic deformation •extension •Inversion•hydrocarbon migration within extensionally-formed sedimentary basins •links between erosion processes at Earth's surface and deformation •faults and fluid flow•REOLOGIA DE MATERIALES•REPRODUCIBILIDAD ENTRE LABS

•physical and numerical modeling of tectonic processes, •microscopic to lithospheric in scale are considered, •including anisotropic grain growth, •processes of diffusive mass transfer, •the mechanics and geometry of faulting and folding, •salt tectonics. •thermomechanical coupling and mechanical flow •reference to the strengths and limitations of the methods

2003

2006

Aparatos de modelado

Model

Model

Aparatos para modelar en condiciones de gravedad normal

Experimentos en condiciones de gravedad normal

Isostasia

Aparato utilizado por Caddell (1888)

Diseño y construcción de un aparato de deformación

Aparato tipo “squeeze-box”

Experimentos en condiciones de gravedad normal

Aparato de Modelado de cizalla simple y pura, Universidad de Florencia

Sistemas de inyeccion de fluidos

Magma injection system

Rosetti et al.(2000)

Algunos aparatos para incluir reología dependiente de la temperatura

Shemenda (1994)

Ventajas:

Los modelos y las estructuras resultantes son grandes y los resultados se pueden analizar

con detalle

Control de las condiciones de frontera (e.g., velocidad de

deformación)

Problemas:Los efectos de la deformacion relacionados con los contrastes

de densidad en materiales ductiles y viscosos no se amplifican (e.g., magmas,

cortezas inferiores ductiles, manto superior o diapiros

salinos)

Duracion y la preparacion de los experimentos lleva tiempos

elevados (horas o dias)

Experimentos en condiciones normales de gravedad

Generalmente la deformacion se aplica mediante una

discontinuidad de velocidad que controla fuertemente el campo

local de esfuerzos

¿Que es una discontinuidad de velocidad?

Large Capacity Centrifuge, Hans Ramberg Tectonic Lab, Uppsala University (Sweden)

Aparato de deformación: gravedad aumentada

Centrifuge at the Tectonic Modelling Lab, CNR – IGG, Sezione di Firenze

La centrifuga se basa en el principio de que las fuerzas centrifugas juegan el mismo papel en los modelos que la fuerza de gravedad en las estructuras geologicas

Aparato de deformación: gravedad aumentada

Aparato de deformación: gravedad aumentada

¿como se hacen estos modelos?

Duracion corta de los experimentos (minutos)

Uso de materiales resistentes (facil construccion de los modelos)

Modelos pequeños y no se puede estudiar con detalle la evolucion

de las estructuras

Es dificil controlar con precision algunas condiciones de frontera (e.g., velocidad de deformacion)

Se enfatizan los efectos de la viscosidad y la densidad (

buenos para modelar diapirismo, intrusiones, domos

dúctiles)

Se aplica un campo uniforme de esfuerzos y la distribucion de la deformacion se impone solo por 

las condiciones de frontera

Las centrifugas son caras!!

Modelos sensibles a pequeñas perturbaciones (difícil de hacer)

Experimentos en condiciones de gravedad aumentada

Ventajas: Problemas:

Modelo de extension en gravedad normal

Comparacion entre modelos

Modelo de extension en centrifuga

Materiales

REOLOGIA: Estudio  de  la  conducta  mecanica  (flujo)  de  los materiales. 

Elastico, Plastico, Viscoso y sus combinaciones

Conducta ductil o flujo viscoso

Conducta quebradiza

Reología de la corteza

τb = σ tanΦ + c

Ley de ByerleeDepth < 10 km (<200 MPa)

C = 0μ = tanΦ = 0.85

Depth > 10 km (>200 MPa)C = 60 MPaμ = 0.6

Conducta  quebradiza: la  roca  pierde  cohesion  a  lo  largo  de fracturas o fallas, la resistencia es independiente de la velocidad de deformacion pero dependiente de la presion

Flujo dúctil a partir de experimentos en minerales

En términos de los esfuerzos principales

La viscosidad disminuye exponencialmente con la temperatura y se incrementa exponencialmente con la presion!!

La reología de estos fluidos esta caracterizada por una ley de potenciasSi n=1 es un fluido newtonianoUn fluido no newtoniano con n=3 se utiliza para representar el manto

Comportamiento ductil: la roca se deforma continuamente sin perder la cohesion a lo largo de fracturas o fallas.La resistencia de las rocas es dependiente de la velocidad de deformacion pero independiente de la presion.

Newtonian: =σ/η Non-Newtonian: = A (σ)n

Caracteristica de:Cobertura (e.g., evaporitas, arcilla) y rocas metamorficas Corteza inferior continentalManto litosférico inferior

ε&ε&

Reología: comportamiento dúctil

σ1 - σ3

Dep

th

Brittle

Ductile

Perfiles de resistencia

Se grafica el esfuerzo diferencial (σ1 – σ3) contra la profundidad; este tipo de gráficos se han utilizado ampliamente para representar las características reológicas de la corteza o la litosfera (e.g., Ranalli, 1995).

Lower crust

Upper crust

Upper mantle

Perfiles de resistencia

Perfiles de resistencia

Perfiles de resistencia

Weak 3-layer lithosphereThermo-mechanic age: 50 MaThickness: 80 km

Normal 4-layer lithosphereThermo-mechanic age: 250 MaThickness: 120 km

Cratonic lithosphereThermo-mechanic age: 400 MaThickness: 140 km

Arena y arcilla son los materiales mas comunmente utilizados

Materiales analogos utilizados para la deformacion quebradiza

ArcillaVentajas: Permite un analisis muy detallado de las estructuras resultantes,

principales y secundarias Problemas: alta resistencia cohesiva; alto contenido de agua influencia las

propiedades de friccion; determinacion del contenido de agua

ArenaVentaja: poca cohesion (escala bien a muchas rocas naturales; e.g., corteza

superior); barata y facil de encontrarProblems: no se comporta como un material plastico ideal (la deformaicon anterior

a la falla no se escala a las rocas naturales); su alta dilatancia de cizalla crea fallas que no se escalan a fallas reales

Materiales analogos para la deformacion quebradiza

Asthenosphere: glycerol (+gypsum), honeyMagma: glycerol; low viscosity silicone (silicone+oleic acid)

To measure the rheological properties, viscometers are normally used

SiliconesMezclas de silicon y otros materiales (e.g., arena, barita) estas mezclas se

utilizan para aumentar la densidad y la resistencia del material ductil

Materiales analogos para la deformacion ductil

Viscometro coni-cilindrico del

LAMMG

Materiales Análogos: deformación dúctil

Permite obtener la curvas de esfuerzo vs tasa de deformacion de diferentes materiales

Graficas esfuerzo – deformacion para diferentes materiales

Materiales analogos para deformacion ductil

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0.05 0.1 0.15 0.2

strain rate

shea

r str

ess

Silicon-arena corindon 100:30

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

strain rate

shea

r str

ess

Silicon- arena de cuarzo 100:55

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12strain rate

shea

r str

ess

Silicon SGM36

Newtoniano

No-Newtonianopotencias

Materiales analogos: deformacion ductil

Comparison between strength profilesin nature and in the mdoels

Analogue materials

ANALOGUE  MODEL rheological multilayer composed by brittle and ductile layers that reproduce (at reduced scale)  natural rocks in order to be directly comparablesimilarity conditions have to besatisfied

Escalamiento

Construccion de los modelos

Condiciones de similitud y reduccion de los modelos (scaling)

Para que los modelos analogicos representen una replica realista del proceso tectónico en estudio (prototipo

natural), las condiciones actuando durante el experimentodeben ser analogas a las naturales.

ModeloPrototipo

SIMILITUD:•Geometria•Cinematica•Dinamica•Reologia

σ* = σ m /σ n = ρ* g* l*(Hubbert, 1937; Ramberg, 1981)

In order the model to be a realistic replica of the tectonic process under investigation, the conditions acting during the experiments must be analogous to the ones acting in nature (Hubbert, 1937).

A scale model represents a simplified version of the natural prototype in terms of dimensions, rheology of rocks and boundary conditions of deformation

Similarity conditions:•Geometry (lengths and angles)•Kinematics (deformation velocity)•Dynamics (forces)

•Rheology (behaviour of materials under the applied stresses) (Wejermarsand Schmeling, 1986)

Analogue modelling: scaling

Theory of dimensional analysis: model and prototype are expressed in the same fundamental dimensions (mass, length and time), and the several fundamental dimensions of model and original are each in a chosen arbitrary ratio, the model ratio.

The model must represent a geometrically reduced replica of the natural prototype.The model and the natural prototype are geometrically similar if all the corresponding lengths are proportional and all corresponding angles are equal

Analogue modelling: similarity conditions

Geometrical similarityL=

3 km

L=30

cm

L=20 cmL=2 km

L*=Lmod/Lnat=30/3000000=10-4

L=3.6 km L=36 cm

α=34°α=34°

α=56° α=56°

L*=Lmod/LnatL* is the constant of proportionality (model ratio) of lengths

Amod/Anat = (L*)2 Vmod/Vnat = (L*)3

The model evolution must be similar to the natural prototype. The geometrically similar model and natural bodies have to undergo similar variations in shape and/or position, with the time required for any change in the model proportional to the corresponding change in the prototype.

Analogue modelling: similarity conditions

Kinematic similarity

T*=Tmod/TnatT* is the model ratio of time

If two bodies are kinematically similar the velocities and accelerations of corresponding points must be proportional:

V*=Vmod/Vnat = (Lmod/Tmod)/(Lnat/Tnat) = L*/T*

V* is the model ratio of velocitya*=amod/anat = (Lmod/Tmod

2)/(Lnat/Tnat2) =

L*/T*2

a* is the model ratio of acceleration

Two bodies can be geometrically and kinematically similar only provided the masses of the one, point by point, are proportional to the corresponding massesof the other, and that the corresponding forces, point by point, have the same directions and proportional magnitudes.

Analogue modelling: similarity conditions

Dynamic similarity

M*=dMmod/ dMnatM* is the model ratio of mass

d*=dmod/dnat=(dMmod/ dVmod)/(dMnat/ dVnat) = M*/L*3

d* is the model ratio of density

This condition requires similar ratios and distributions of different kinds of body forces (resulting from gravity and inertia) and surface forces (resulting frompressure, elastic strain and viscous resistance) acting on corresponding particles in the model and in nature:

Analogue modelling: similarity conditions

Dynamic similarity

F* = Fgmod/Fgnat = Fimod/Finat = Fpmod/Fpnat= Fvmod/Fvnat= Femod/Fenat

F* is the model ratio of forceletters g, i, p, v and e refer to gravitational, inertial, pressure, viscous and elastic forces, respectively

in terms of dimensional formulas

F* = M*L*/T*2

The surface forces (forces acting only on the external surface of a element of volume) are proportional to the magnitude of the area acted upon. Their intensity is measured by a stress (ratio force/area).

Analogue modelling: similarity conditions

Dynamic similarity

σ = F/A

σ* = M*/(L*T*2)σ* is the model ratio of

stress

Analogue modelling: similarity conditions

Summarising, for all the mechanical quantities we can express the model ratio from their dimensional formulas (i.e., in terms of combinations of three fundamental units: mass, length, time)

Length L

Area L2

Volume L3

Velocity LT-1

Acceleration LT-2

Density M L-3

Force M LT-2

Stress M L-1T-2

Viscosity M L-1T-1

Strain rate T-1

Scaling procedure

τb = σ tanΦ + c

BRITTLE

Φm = Φn

σ* = τb* = M*L-1T-2 = d* g* L*c*= σ*

Scaling procedure

DUCTILE (Newtonian)

σ/ = ηε&

= 1/T*

η*=σ*T*= M*/(L*T*) = d*g*L*T*

ε&

Choice of the length scaling ratio (function of the requested detail) typical values of L* are between 10-4 (1 cm represents 100 m) and 10-6 (1 cm represents 10 km).

Choice of experimental material (density ratio)

Stress scaling ratio (function of length, gravityand density)

σ* = d*g*L*For brittle materials: σ* = c*

Strain rate scaling ratio (function of stress, and viscosity)

ε * = σ */ η *Time T * = 1 / ε *

Velocity v* = ε * L *

Scaling procedure

Alternatively, the scaling of the model to nature can be obtained through comparison of adimensional numbers given by the ratio between forces (gravitational, viscous, frictional, etc.) in both model and the natural case

In order the model to be dynamically scaled, these ratios must be identical (or at least similar) in the model and in the natural prototype (Hubbert, 1937; Ramberg, 1981; Weijermars and Schmeling, 1986).

Scaling procedure

Ductile deformation: Ramberg number (Rm, Weijermars and Schmeling, 1986):

Rm = Gravitational forces / Viscous forces= ρ g L/ η ε

The model is scaled if:Rmn ≈ Rmm

ρn gn Ln/ ηn εn = ρm gm Lm / ηm εm

Scaling procedure

Rs = ρ g L/ c

The model is scaled if:Rsn ≈ Rsm

ρn gn Ln/ c n = ρm gm Lm / c m

Scaling procedure

Brittle deformation: ratio between gravitational forces and cohesion (Rs, Ramberg, 1981):

Reynolds number (Re):Re = Inertial forces / Viscous forces

= m a / {[η (V/L)]/L2} = ρ V2 L2 / {[η (V/L)]/L2}= ρ V2 L2 / (η V L)

Re = ρ L V/ η

Scaling procedure

Analogue and prototype materials must be characterised by similar rheological behaviour under the applied stresses. This requires similar stress-strain rate curves (i.e., similar shape and dip of the curves).

Analogue modelling: similarity conditions

Rheological similarity

Natural material

Good analogue

Bad analogue

Model limitations

All kinds of modelling (analytical, numerical or analogue) are simplifications of natural processes. This has to be considered when extrapolating model results to nature!

Main Limitations:Limited analogue materials to model the whole of rock properties and behaviourLimited knowledge about the properties of real rocks (accuracy of the model’s results is directly proportional to the accuracy of input data)Impossibility to simulate chemical, physical and thermal processes which take place during deformation (e.g., cooling of magmas with consequent variationsin viscosity, etc.)Impossibility of considering all the aspects involved in a selected geologicalprocesses (e.g., neglecting parameters such as erosion or sedimentation, ect.)

Model analysisOne of the most important aspects of analogue modelling is the documentation of

deformation within the models.As in nature, models develop structures during progressive strain and modellers

use therefore a variety of techniques to monitor and quantify deformation.

SURFACE passive grids are marked on the model surface. Deformation can be monitored by photos.

Model analysis

Internal deformation can be continously monitored through X-ray computerisedtomography (no need to cut the models)

Ejemplos:Influencia de la rugosidad (cambios en el coeficiente de friccionresidual) en el plano de deslizamiento de flujos granulares no cohesivos

Plano inclinado liso

Plano inclinado con rugosidad en parches

Ejemplos 2:Intrusión de fluidos en medios mecánicamente estratificados

Parafina: elasto-viscosa

Silicon: viscoso

Intrusión