MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

f(x)

x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera Po como aproximación de la raíz. Una buena aproximación inicial es aquella para la cual resulta válida la desigualdad:

f(Po) • f ’’ (Po) > 0

Es importante tener en cuenta a f ’’(Po) porque si vale cero tendremos un punto de inflexión en la función y no habrá convergencia.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

x1

f(x)

x

f(x1)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera Po como aproximación de la raíz y obtener el valor de la función por ese punto.

• Trazar una recta tangente a la función por ese punto.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

x1

f(x)

x

f(x1)

x2

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera Po como aproximación de la raíz.

• Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto.

• El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera Po como aproximación de la raíz.

• Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto.

• El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.

• El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)

A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

El método de Newton-Raphson implica el generar la sucesión {Pn} definida por:

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz.

Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge.

Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez mucho mayor a la de los otros métodos, por lo cual es uno de los preferidos

También observe que en el caso de que f '(Po) = 0, el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso Po mismo es una raíz de f(x).

Algunas consideraciones: